2020高考数学(文)(新课标)大一轮复习层级快练：第二章 函数与基本初等函数 作业7 含解析

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第3讲函数的奇偶性、对称性［基础达标］1．（2019·舟山市普陀三中高三期中）下列函数既是奇函数，又在（0，＋∞)上单调递增的是（）A．y＝－x2B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x解析：选B。

A.函数y＝－x2为偶函数，不满足条件．B．函数y＝x3为奇函数，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件．C．y＝log2x的定义域为（0,＋∞),为非奇非偶函数,不满足条件．D．函数y＝－3－x为非奇非偶函数，不满足条件．2．（2019·衢州高三年级统一考试）已知f（x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x）＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f（x）＝（)A．－x3－ln（1－x）B．x3＋ln(1－x）C．x3－ln(1－x）D．－x3＋ln（1－x）解析:选C。

当x<0时，－x>0，f(－x）＝（－x)3＋ln(1－x)，因为f（x)是R上的奇函数,所以当x＜0时，f(x)＝－f(－x）＝－[（－x）3＋ln（1－x)],所以f(x)＝x3－ln（1－x）．3．若f（x)＝（e x－e－x）(ax2＋bx＋c)是偶函数,则一定有（)A．b＝0 B．ac＝0C．a＝0且c＝0 D．a＝0,c＝0且b≠0解析：选C。

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式． (4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________. 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值； (2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________． 解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0；若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性． (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________． 解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减， 所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3， 又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1] B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( ) A ．－2x B ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( ) A ．2 B ．4 C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________． 解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1. 答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________.解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14. 答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝－ln 1－x1＋x ＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，。

第1讲 函数及其表示［基础达标］1．函数f (x )＝错误!＋ln(3x －x 2)的定义域是( ） A ．（2,＋∞) B ．(3，＋∞)C ．（2，3)D ．(2，3）∪(3,＋∞）解析：选C.由错误!解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为（2，3），故选C 。

2．(2019·嘉兴一模）已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2a ，x 〈2，log 2（x －2），x ≥2，则f （2a ＋2）的值为( ) A ．2a B ．a C ．2D ．a 或2解析：选B 。

因为函数f （x )＝错误!所以f （2a ＋2)＝log 2（2a ＋2－2）＝a ，故选B 。

3．下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝错误! B ．y ＝2log 2x C ．y ＝x 2D ．y ＝（错误!）3 解析：选D 。

y ＝x 的定义域为R ，而y ＝错误!的定义域为{x ｜x ∈R且x≠0}，y＝2log2x的定义域为{x｜x∈R，且x>0｝,排除A、B;y＝错误!＝｜x｜的定义域为x∈R，对应关系与y＝x的对应关系不同,排除C；而y＝(错误!)3＝x,定义域和对应关系与y＝x均相同,故选D。

4．（2019·杭州七校联考）已知函数f（x)＝x3＋cos错误!＋1，若f（a）＝2，则f(－a）的值为( )A．3 B．0C．－1 D．－2解析：选B.因为函数f（x)＝x3＋cos错误!＋1，所以f（x)＝x3＋sin x＋1，因为f(a）＝2,所以f（a)＝a3＋sin a＋1＝2，所以a3＋sin a＝1，所以f（－a）＝（－a)3＋sin（－a)＋1＝－1＋1＝0。

故选B.5．已知a，b为两个不相等的实数,集合M＝{a2－4a,－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于( ）A．1 B．2C．3 D．4解析：选D。

创新导向题
二次函数图象的应用
6.已知“0<t<m(m>0)”是“函数f(x)＝－x2－tx＋3t在区间(0，2)上只有一个零点”的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A.(0，2)
B.(0，2]
C.(0，4)
D.(0，4]
解析由f(x)在区间(0，2)上只有一个零点得f(0)·f(2)<0，解得0<t<4，由题意得(0，m)(0，4)，所以0<m<4，故选C.
答案C
专项提升测试
模拟精选题
一、选择题
7.(20xx·山东滨州模拟)定义在R上的函数f(x)，当x∈(－1，1]时，f(x)＝x2－x，且对任意的x满足f(x－2)＝af(x)(常数a>0)，则函数f(x)在区间(5，7]上的最小值是( )
A.－a3
B.a3
C.
D.－1
4a3
解析f(x－2)＝af(x)⇒f(x－4)＝af(x－2)＝a2f(x)⇒f(x－6)＝af(x－4)＝a3f(x)，x∈(5，7]⇒x－6∈(－1，1]，则f(x)＝f(x－6)＝[(x－6)2－(x－6)]＝－，当x－6＝时，f(x)有最小值为－.
答案D
8.(20xx·广东湛江模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x2)<x2f(x1)；③>；④<.
其中正确结论的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③。

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527解析 根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 答案 ①2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________(填序号).解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变，总产量增加，故①正确，③错误. 答案 ①3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差________元.解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15， t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 104.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.解析 设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案 205.(2015·长春模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝a e －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ， 则t ＝24，所以再经过16 min. 答案 166. A ，B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 kmh ，B 的速度是 16 kmh ，经过________小时，AB 间的距离最短.解析 设经过x h ，A ，B 相距为y km ，则y ＝（145－40x ）2＋（16x ）2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258. 答案 2587.某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为________.解析设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均费用为y＝100＋0.5x＋x（x＋1）x＝x＋100x＋1.5，由基本不等式得y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号.答案108.(2015·北京卷改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是________(填序号).①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；③甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.解析根据图象所给数据，逐个验证选项.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故①错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故②错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故③错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故④对.答案④二、解答题9.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型. (1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数.从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15 3.答：当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米.10.(2015·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x25－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为yx(万元).则yx＝x5＋8 000x－48≥2x5·8 000x－48＝32，当且仅当x5＝8 000x，即x＝200时取等号.∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元.则R(x)＝40x－y＝40x－x25＋48x－8 000＝－x25＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).∵R(x)在[0，210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利润，定价应为________元.解析 设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元， 日均销售量为480－40(x －1)＝520－40x (桶)，则y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200，0＜x ＜13.当x ＝6.5时，y 有最大值.所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润. 答案 11.512.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为________.解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 x ＝15，y ＝1213.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件.当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资).解析 当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *).当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润.答案 y ＝⎩⎨⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 1614.(2016·淮安调研) 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以 5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元.(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？ 解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 （14≤P ≤20），－32P ＋40 （20＜P ≤26），代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2P ＋50）（P －14）×100－5 600 （14≤P ≤20），⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40（P －14）×100－5 600（20＜P ≤26）， (1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20＜P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元. 故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元. (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫.。

第7讲 函数的图象1．函数y ＝x 2－2|x |的图象是( )解析：选B.由y ＝x 2－2|x |知是偶函数，故图象关于y 轴对称，排除C.当x ≥0时，y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.即当x ＝0时，y ＝0，当x ＝1时，y ＝－1，排除A 、D ，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1ln （x ＋a ），x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2解析：选 C.由图象可得a (－1)＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1ln （x ＋2），x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C. 3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C.将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．4.已知函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝e xln xB ．f (x )＝e －xln|x | C ．f (x )＝e xln|x | D ．f (x )＝e |x |ln|x |解析：选C.如题干图所示，函数定义域中有负数，排除选项A.函数不是偶函数，排除选项D.当x →＋∞时，f (x )增长速度越来越快，与B 选项不符合，故排除选项B.当x →－∞时，由f (x )增长速度放缓，也可以排除选项B ，D.5．已知函数y ＝f (1－x )的图象如图所示，则y ＝f (1＋x )的图象为( )解析：选B.因为y ＝f (1－x )的图象过点(1，a )，故f (0)＝a .所以y ＝f (1＋x )的图象过点(－1，a )，选B.6.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，所以1f （3）＝1.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2.答案：2 7．若函数f (x )＝ax －2x －1的图象关于点(1，1)对称，则实数a ＝________． 解析：函数f (x )＝ax －2x －1＝a ＋a －2x －1，当a ＝2时， f (x )＝2(x ≠1)，函数f (x )的图象不关于点(1，1)对称，故a ≠2，其图象的对称中心为(1，a )，所以a ＝1.答案：18．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞) 9．已知函数f (x )＝x1＋x. (1)画出f (x )的草图； (2)指出f (x )的单调区间．解：(1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到的，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值； (2)作出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4. (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －4）＝（x －2）2－4，x ≥4，－x （x －4）＝－（x －2）2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)从f (x )的图象可知，当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析：选D.函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数． 又0<|x 1|<|x 2|，所以f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.2．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e解析：选B.由题意知，设x 0∈(－∞，0)，使得f (x 0)＝g (－x 0)，即x 20＋e x 0－12＝(－x 0)2＋ln(－x 0＋a )，所以e x0－ln(－x 0＋a )－12＝0.令y 1＝e x－12，y 2＝ln(－x ＋a )，要使得函数图象的交点A 在y 轴左侧，如图，则ln a <12＝ln e 12，所以a <e 12.3．(2019·辽宁沈阳模拟)已知函数f (x )＝ln(x ＋m )的图象与g (x )的图象关于x ＋y ＝0对称，且g (0)＋g (－ln 2)＝1，则m ＝________．解析：设点(x ，y )在g (x )的图象上，因为函数f (x )的图象与g (x )的图象关于x ＋y ＝0对称，则(－y ，－x )在f (x )的图象上，所以－x ＝ln(－y ＋m )，即y ＝m －e －x，因此g (x )＝m －e －x.又因为g (0)＝m －1，g (－ln 2)＝m －2，所以m －1＋m －2＝1，解得m ＝2. 答案：24．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图象关于直线x ＝1对称，则实数a 的值为________． 解析：法一：因为f (2－x )＝|3－x |＋|2－x －a |＝|x ＋a －2|＋|x －3|.又函数y ＝f (x )关于直线x ＝1对称． 故f (x )＝f (2－x )，即|x ＋1|＋|x －a |＝|x ＋a －2|＋|x －3|对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a －2＝1，即a ＝3.法二：由绝对值的几何意义知函数图象的两个“转折”点的横坐标分别为－1和a ，x ＝－1，x ＝a 关于x ＝1对称，故a －1＝2，则a ＝3.答案：35．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0，2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x＋2，即y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x， g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0，2]上恒成立， 即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立， 所以a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)． 6．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解：(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示，由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立， 应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。

§2.3函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) 题组二 教材改编2．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝______. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.答案 3解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)． 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.题型一 函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，x 2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝ln (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋sin 2x B ．f (x )＝x 2－cos x C ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案 D解析 对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＝－⎝⎛⎭⎫3x －13x ＝－f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg|sin(－x )|＝lg|－sin x |＝lg|sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg|sin x |是最小正周期为π的偶函数． 题型二 函数的周期性及其应用1．(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________. 答案 －2解析 f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________. 答案 －2－ 3解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－ 3.3．(2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________. 答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝122－1＋20－1＝2－1. 思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例 2 (1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2， 则f (2 021)＝________. 答案 －12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0 解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝e x －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2 求参数问题例3 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝a 2≤0，－1－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0. 命题点3 利用函数的性质解不等式例4 (1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．(0，e 2) B ．(e －2，＋∞)C ．(e 2，＋∞)D ．(e －2，e 2)答案 D解析 根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e－2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)．(2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.思维升华 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，f (x )＝12log (1－x )，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，32内是( ) A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0答案 D解析 当x ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，由f (x )＝12log (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎡⎭⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝⎛⎭⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D.(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 答案 －12解析 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. (3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (6－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________． 答案 (－3,2)解析 ∵g (x )是奇函数，∴当x >0时，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )， 易知f (x )在R 上是增函数， 由f (6－x 2)>f (x )，可得6－x 2>x ， 即x 2＋x －6<0，∴－3<x <2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断例1 (1)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误． 故选C. (2)下列函数：①y ＝sin 3x ＋3sin x; ②y ＝1e x＋1－12； ③y ＝lg 1－x1＋x ； ④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0.其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________． 答案 ②③解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题： ①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②③解析 由f (x )＋f (x ＋2)＝0可得 f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的最小正周期是4，①对； 由f (4－x )＝f (x )，可得f (2＋x )＝f (2－x )，f (x )的图象关于直线x ＝2对称，②对；f (4－x )＝f (－x )且f (4－x )＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数，③对． 二、函数性质的综合应用例2 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)<f (11)<f (80) B ．f (80)<f (11)<f (－25) C ．f (11)<f (80)<f (－25) D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则满足f (a －2)>0的实数a 的取值范围为__________． 答案 {a |a >4或a <0}解析 ∵偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，∴函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，∴不等式f (a －2)>0等价于f (|a －2|)>f (2)，即|a －2|>2，即a －2>2或a －2<－2，解得a >4或a <0.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1x 2C ．f (x )＝2x ＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案 B解析 函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)等于( ) A ．－3 B ．－54 C.54D ．3答案 A解析 由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0， 即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 答案 D解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝124-＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2. 5．(2018·锦州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( ) A ．(2，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)答案 B解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( ) A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1)B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1)C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0)D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的， ∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 答案 －ln 2解析 由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e2＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)． 又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln 2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________． 答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9.10．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增的．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤1e ，e解析 由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (ln t )＝f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ，由f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1t ≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1)． 又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的， 所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2 023)＝________.答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )， 即函数f (x )的周期是4，所以f (2 023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2 023)＝f (－1)＝f (1)．当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2 023)＝f (1)＝1.14．已知函数f (x )＝x 3＋2x ，若f (1)＋f (1log a3)>0(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是____________．答案 (0,1)∪(3，＋∞)解析 因为函数f (x )＝x 3＋2x 是奇函数，且在R 上是增函数，f (1)＋f (1log a3)>0，所以f (1log a3)>－f (1)＝f (－1)，所以1log a 3>－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a >1，0<a <3或⎩⎪⎨⎪⎧0<1a <1，3<a ，所以a ∈(0,1)∪(3，＋∞)．15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 020)＝________. 答案 0解析 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 020)＝0.。

【最新】20xx版【2020】【2020】高考数学文一轮分层演练：第2章函数的概念与基本初等函数第6讲 (2)1．函数f(x)＝的定义域为( )A．B．(2，＋∞)C．∪(2，＋∞) D．∪[2，＋∞)解析：选C.要使函数有意义，(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，所以x>2或0<x<，即函数f(x)的定义域为(0，)∪(2，＋∞)．2．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是( )A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定解析：选A.由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．3．设a＝log510，b＝log612，c＝log714，则( )A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c解析：选D.因为a＝log510＝1＋log52，b＝log612＝1＋log62，c＝log714＝1＋log72，又0<log25<log26<log27，所以log52>log62>log72>0，所以a>b>c，故选D.4．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1解析：选A.由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a＞1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，loga b)，由函数图象可知－1<loga b<0，解得<b<1.综上有0<<b<1.5．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为( )A． B.22C． D.12。

题组层级快练(五)1．(2021·广东)函数y ＝lg （x ＋1）x －1的概念域是( ) A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)答案 C 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x>－1，x ≠1，选C. 2．以下函数中，与函数y ＝13x 概念域相同的函数为( ) A ．y ＝1sinx B ．y ＝lnx xC ．y ＝xe xD ．y ＝sinx x 答案 D解析 因为y ＝13x 的概念域为{x|x ≠0}，而y ＝1sinx 的概念域为{x|x ≠kπ，k ∈Z }，y ＝lnx x的概念域为{x|x>0}，y ＝xe x 的概念域为R ，y ＝sinx x的概念域为{x|x ≠0}，故D 项正确． 3．函数y ＝（14）－x －3·2x －4的概念域为( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 答案 A解析 由题意得(14)－x －3·2x －4≥0， 即22x －3·2x －4≥0.∴(2x －4)(2x ＋1)≥0，解得x ≥2.应选A.4．(2019·衡水中学调研卷)函数f(x)＝－x 2－3x ＋4lg （x ＋1）的概念域为( ) A ．(－1，0)∪(0，1]B ．(－1，1]C ．(－4，－1]D ．(－4，0)∪(0，1]答案 A解析 要使函数f(x)成心义，应有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x ≤1，应选A.5．(2019·衡水调研卷)假设函数y ＝f(x)的概念域是[1，2 019]，那么函数g(x)＝f （x ＋1）lgx 的概念域是( ) A ．(0，2 018]B ．(0，1)∪(1，2 018]C ．(1，2 019]D ．[－1，1)∪(1，2 018]答案 B 解析 使函数g(x)成心义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x>0且x ≠1，解得0<x<1或1<x ≤2 018.故函数g(x)的概念域为(0，1)∪(1，2 018]．应选B.6．假设对函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)作x ＝h(t)的代换，那么总不改变函数f(x)的值域的代换是( )A ．h(t)＝10tB ．h(t)＝t 2C ．h(t)＝sintD ．h(t)＝log 2t 答案 D解析 ∵log 2t ∈R ，应选D.7．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( )A ．(－∞，32) B ．(－∞，32] C ．(32，＋∞) D ．[32，＋∞) 答案 B解析 设1－2x ＝t ，那么t ≥0，x ＝1－t 22，因此y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，因此y ≤32.因此函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为(－∞，32]，应选B. 8．(2019·河北衡水武邑中学月考)假设函数y ＝x 2－3x －4的概念域为[0，m]，值域为[－254，－4]，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0，4]B ．[－254，－4]C ．[32，3] D ．[32，＋∞) 答案 C解析 函数y ＝x 2－3x －4的图像如下图．因为y ＝(x －32)2－254≥－254，由图可知，m 的取值从对称轴的横坐标32开始，一直到点(0，－4)关于对称轴对称的点(3，－4)的横坐标3，故实数m 的取值范围是[32，3]． 9．(2019·人大附中月考)以下四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x>0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x>0）.其中概念域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 ①y ＝3－x 的概念域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x>0)的概念域为(0，＋∞)，值域为(12，＋∞)，③y ＝x 2＋2x －10的概念域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x>0）的概念域和值域均为R .因此概念域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.10．函数y ＝21－x1＋x 的值域为________．答案 {y|y>0且y ≠12} 解析 ∵u ＝1－x 1＋x ＝－1＋21＋x≠－1，∴y ≠12. 又y>0，∴值域为{y|y>0且y ≠12}． 11．函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x的值域为________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．解析 由y ＝10x ＋10－x 10x －10－x ，得y ＋1y －1＝102x . ∵102x >0，∴y ＋1y －1>0. ∴y<－1或y>1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．12．函数y ＝x x 2＋x ＋1(x>0)的值域是________． 答案 (0，13]解析 由y ＝x x 2＋x ＋1(x>0)，得0<y ＝x x 2＋x ＋1＝1x ＋1x ＋1≤12x·1x ＋1＝13，因此该函数的值域是(0，13]．13．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是________；y ＝x 4－x 2＋1的值域是________．答案 [1，＋∞)；⎣⎡⎭⎫34，＋∞14．函数f(x)＝a x ＋a x ＋2的值域为________．答案 (2，＋∞)解析 令t ＝a x ＋2，那么t>2且t 2＝a x ＋2，∴a x ＝t 2－2，∴原函数等价于y ＝g(t)＝t 2－2＋t ＝(t ＋12)2－94，函数的对称轴为t ＝－12，函数图像开口向上．∵t>2，∴函数在(2，＋∞)上单调递增． ∴g(t)>g(2)＝(2)2－2＋2＝2，即y>2，∴函数的值域为(2，＋∞)．15．函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 方式一：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y)x ＋1－y ＝0. ∵x ∈R ，x ≠－1，∴Δ＝(1－y)2－4(1－y)≥0.解得y ≤－3或y ≥1.当y ＝－3时，x ＝－2；当y ＝1时，x ＝0.因此，函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．方式二：分离常数法y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1， 又(x ＋1)＋1x ＋1≥2或(x ＋1)＋1x ＋1≤－2， ∴y ≥1或y ≤－3.∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．16．(2019·安徽毛坦厂中学月考)已知函数f(x)＝ln(1－a 2x )的定义域是(1，＋∞)，求实数a 的值． 答案 2解析 由题意得，不等式1－a 2x >0的解集是(1，＋∞)．由1－a 2x >0，可得2x >a ，故x>log 2a.由log 2a ＝1，得a ＝2. 17．已知函数f(x)＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)假设f(x)的概念域为R ，求实数a 的取值范围；(2)假设f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．答案 (1)(－∞，－1]∪(53，＋∞) (2)[1，53]解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a>53或a<－1.∴a<－1或a>53. 又a ＝－1时，f(x)＝0，知足题意．∴a ≤－1或a>53. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪(53，＋∞)． (2)当a 2－1＝0时，得a ＝1或－1，查验得a ＝1知足． 当a 2－1≠0时，假设f(x)的值域为R .知足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）≥0，解得1<a ≤53. 综上得a 的取值范围为[1，53]．。

§2.7 函数的图象1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？ 提示 f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，则f (x )，g (x )的关系是_________. 提示 g (x )＝2b －f (2a －x )题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( × ) (2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( × ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝x ＋1x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C. 3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是 ．(填序号)答案 ③解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确． 4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是 ．答案 (－1,1]解析 在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三 易错自纠5．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________． 答案 y ＝ln ⎝⎛⎭⎫12x解析 根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln ⎝⎛⎭⎫12x .6．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个实数解，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (0，＋∞)解析 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，y ＝|x |与y ＝a －x 两图象只有一个交点，方程|x |＝a －x 只有一个解．7．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________． 答案 (4，＋∞)解析 画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.8．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是________．答案 C题型一 作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 题型二 函数图象的辨识例1 (1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案 D解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D. (2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案 C解析 题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x在同一直角坐标系下的图象大致是( )答案 B解析 因为函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )答案 D解析 令f (x )＝1ln|e x －e －x |，则f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝1ln|e x －e －x |＝1ln (e x－e －x )，显然y >0且函数单调递减，故D 正确．题型三 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝ . 答案 9解析 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2， 从图象分析应有f (m 2)＝2， ∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm ＝9.命题点2 解不等式例 3 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ．答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 解析 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，y ＝cos x <0. 结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x<0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1，所以f (x )cos x <0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 命题点3 求参数的取值范围例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 答案 (0,1]解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2 (1)(2018·沈阳检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值 答案 C解析 画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 [－1，＋∞)解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提． 一、函数的图象和解析式问题例1 (1)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22<1＋5， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2<f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x 2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C 选项．故选B.二、函数图象的变换问题例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 D解析 方法一 先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二 先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 方法三 当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D. 三、函数图象的应用例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 ． 答案 (3，＋∞)解析 在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为 ．答案 2解析 不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －12log x <0，即3sin ⎝⎛⎭⎫π2x <12log x .设f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ，g (x )＝12log x ，在同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为2.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是 ． 答案 (2,2 021)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2 020， 所以2<a ＋b ＋c <2 021.1．(2018·浙江)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )答案 D解析 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )答案 C解析 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C. 3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )答案 A解析 方法一 先作出函数f (x )＝log a x (0<a <1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x <0时的图象，故选A. 方法二 因为|x |＋1≥1,0<a <1， 所以f (|x |＋1)＝log a (|x |＋1)≤0，故选A.4.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1 的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2答案 C解析 由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e－x －1答案 D解析 与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移一个单位，得y ＝e－x的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.6．(2018·抚顺模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(0,1) D ．(－∞，＋∞)答案 A解析 当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为 ．答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析 画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}． 8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a＝ . 答案 －2解析 由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x－a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________．答案 5解析 方程2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图象知零点的个数为5.10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为 ． 答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a 的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是 ．答案 [1，3]解析 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1， 由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3. 12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|， G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解； 当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数， 所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案 D解析 函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0， ＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)， 即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝x|x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是 ．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞解析 f (x )＝⎩⎨⎧1＋1x －1，x >1，－1＋11－x ，x <1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ≥0，1，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x ＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.15．已知函数f (x )＝213,1,log ,1x x x x x ⎧-+≤⎪⎨>⎪⎩g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，74∪⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 解析 对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立， 即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )＝213,1,log ,1x x x x x ⎧-+≤⎪⎨>⎪⎩的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|， 所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74∪⎣⎡⎭⎫94，＋∞. 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，则实数k 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，16 解析 由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )，x ∈[0,6]的图象如图所示，由图知k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，16.。

第二章函数与基本初等函数Ⅰ,第4课函数的概念及其表示法激活思维1. (必修1P26练习4改编)下列对应中为函数的有________．(填序号)①A＝B＝N*，对任意的x∈A，f：x→|x－2|；②A＝R，B＝{y|y>0}，对任意的x∈A，f：x→1x2；③A＝B＝R，对任意的x∈A，f：x→3x＋2；④A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，对任意的(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.2.(必修1P31习题6改编)直线x＝1和函数y＝f(x)图象的交点个数为________．3. (必修1P31习题8改编)已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________．4.(必修1P34习题7改编)已知函数f(x)＝3,1,(),1,x xf xx x⎧≤=⎨->⎩若f(x)＝2，则x＝________．5.(必修1P36习题3改编)已知函数f(x)在[－1，2]上的图象如图所示，则f(x)的解析式为________．(第5题)知识梳理1.函数的概念设A，B是两个______的数集，如果按某个确定的________，使对于集合A中的________元素x，在集合B中都有______的元素y和它对应，那么称________为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y＝f(x)的________，将所有的输出值y组成的集合叫作函数y＝f(x)的__________．2. 相同函数函数的定义含有三个要素，即____________、____________和____________．当函数的________及________确定之后，函数的________也就随之确定．当且仅当两个函数的__________和________都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．3.函数的表示方法：________、________、________．4.映射的概念一般地，设A ，B 是两个______的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的__________元素x ，在集合B 中都有______确定的元素y 与之对应，那么就称对应__________为从集合A 到集合B 的一个映射．课堂导学, __函数的概念判断下列对应是否为函数： (1) x →y ＝x 2＋2x ＋1，x ∈R ； (2) x →y ＝1x ，x ≠0，x ∈R ；(3) x →y ，其中y 4＝x ，x ∈R ，y ∈R .判断下列对应是否为函数： (1) x →y ＝12x ，x ∈R ；(2) x →2，x ∈R ；(3) x →y ，其中y 2＝x ，x >0，y ∈R ；(4) x →y ，x ∈{江苏，山东，山西，江西}，y ∈{南京，济南，太原，南昌}．试判断以下各组中的两个函数是否为同一函数： (1) f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3；(2) f (x )＝|x |x ，1,0,()1,0;x g x x ≥⎧=⎨-<⎩(3) f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x 2＋x ；(4) f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.__求函数的解析式根据下列条件求各函数的解析式： (1) 若f(x ＋1)＝2x 2＋1，求f(x)；(2) 若f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x ＋3，求f(x)； (3) 若2f(x)－f(－x)＝x ＋1，求f(x)．(1) 已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，求f(x)的解析式； (2) 已知二次函数f(x)与x 轴的两个交点的横坐标是0和－2，且f(x)的最小值是－1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称，求f(x)和g(x)的解析式；(3) 已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋x(x ≠0)，求f(x)的解析式．, __分段函数)(2018·姜堰中学)已知函数f(x)的定义域为实数集R ，对任意的x ∈R ，f (x －90)＝错误!则f (10)－f (－100)的值为________．(2018·无锡模拟)已知函数2log ,0,()31,0,x x x f x x >⎧=⎨+≤⎩则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是________．已知函数21,0,3()1,0.x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩(1) 若f (a )＞a ，求实数a 的取值范围；(2) 若f(f(b))＝－2，求实数b的值．（1）(2017·苏州暑假测试)已知实数m≠0，函数3,2,()2, 2.x m xf xx m x-≤⎧=⎨-->⎩若f(2－m)＝f(2＋m)，则m的值为________．(2) 设函数2222,0,(),0.x x xf xx x⎧++≤=⎨->⎩若f(f(a))＝2，则实数a＝________．课堂评价1. 若集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，有以下4个对应法则：①f：x→y＝x2；②f：x→y＝3x－2；③f：x→y＝－x＋4；④f：x→y＝4－x2.其中不能构成从A到B的函数的是________．(填序号)2.(2018·响水中学)若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为________．3. 若函数5,6,()(2),6,x xf xf x x-≥⎧=⎨+<⎩则f(3)＝__________．4. (2017·全国卷Ⅲ)设函数1,0,()2,0,xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩则满足f(x)＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．5. (2018·启东中学)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f(x)的解析式是________．, 第5课 函数的定义域与值域)激活思维1. (必修1P 25例2改编)函数f(x)＝x －2＋1x －3的定义域是________． 2. (必修1P 93习题5改编)已知函数y ＝x 2－x 的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为________．3. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)＝x 2－2x －3，x ∈[－1，2]的最大值为________．4. (必修1P 31习题3改编)函数y ＝2x －1的定义域是[2，5)，则其值域是________． 5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)＝x 2的值域为{1，4}，那么这样的函数有________个．知识梳理1. 函数的定义域(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式________的x 的取值范围．(2) 分式中分母应________；偶次根式中被开方数应为________，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数________．(3) 对数式中，真数必须________，底数必须________，含有三角函数的角要使该三角函数有意义等．(4) 实际问题中还需考虑自变量的__________，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集．2. 求函数值域的主要方法(1) 函数的________________直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过______求得值域．(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用________求值域．(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用__________求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用____________求值域(主要适用于定义域为R 的函数)．(4) 单调函数常根据函数的________求值域．(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式，可利用________求值域． (6) 有些函数具有明显的几何意义，可根据________的方法求值域．(7) 只要是能求导数的函数常采用________的方法求值域 .课堂导学__求函数的定义域)(1) (2018·南通中学)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为________．(2) 函数y ＝x 2lg （4x ＋3）＋(5x －4)0的定义域为________．(3) 若函数y ＝f(x)的定义域是[1，2 020]，则函数g(x)＝f （x ＋1）x －1的定义域是________．(4) 已知函数f(x －1)的定义域为[3，7]，那么函数f(2x ＋1)的定义域为________．【高频考点·题组强化】1. (2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州二调)函数f(x)＝lg （5－x 2）的定义域是________．2. 函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．3. (2018·南师附中)函数f(x)＝log 12（2x －3）的定义域是________．4. 函数f(x)＝4－x 2|x ＋2|的定义域为________．5. 已知函数f(2x －1)的定义域为(0，2)，那么f(x)的定义域为________.求函数的值域问题提出：求函数值域比求函数定义域要复杂得多，求函数值域常与求函数最值问题紧密相联，要适当注意．函数的值域取决于定义域和对应法则，无论采取什么方法求函数的值域，都应先考虑其定义域，同时要注意结合函数图象来解决问题．那么，求函数值域的方法有哪些呢？ ● 典型示例 求下列函数的值域：(1) y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1，3]； (2) y ＝3x ＋1x －2； (3) y ＝x ＋41－x ； (4) y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝⎛⎭⎫x>12.【思维导图】【规范解答】(1) (配方法)因为y ＝3x 2－x ＋2＝3⎝⎛⎭⎫x －162＋2312， 所以函数y ＝3x 2－x ＋2在[1，3]上单调递增． 当x ＝1时，原函数取得最小值4； 当x ＝3时，原函数取得最大值26.所以函数y ＝3x 2－x ＋2(x ∈[1，3])的值域为[4，26]． (2) (分离常数法)y ＝3x ＋1x －2＝3（x －2）＋7x －2＝3＋7x －2， 因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y|y ≠3}.(3) (换元法)设t ＝1－x ，t ≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t ≥0)，所以y ≤5， 所以原函数的值域为(－∞，5]．(4) (基本不等式法)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x （2x －1）＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x>12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝⎛⎭⎫x －12·12⎝⎛⎭⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y ≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2＋12，＋∞. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制．换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解．二次分式型函数求值域，多采用分离出整式再利用基本不等式的方法求解．● 总结归纳(1) 求函数值域的常用方法有观察法、反解法、换元法、配方法、基本不等式法、判别式法、单调性法等．(2) 要掌握基本初等函数y ＝kx ，y ＝kx ＋b(k ≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，y ＝kx (k ≠0)值域的一般方法．● 题组强化 1. 函数y ＝x ＋13x －2的值域是________． 2. 函数y ＝x －1－2x 的值域是________． 3. 函数y ＝52x 2－4x ＋3的值域是________．4. (2018·苏州期末)函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域为________．5. 若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f （x ）的值域是________．_已知函数的定义域(值域)求参数已知函数f(x)＝（1－a 2）x 2＋3（1－a ）x ＋6. (1) 若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2) 若f (x )的定义域为[－2，1]，求实数a 的值．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6. (1) 若f (x )的值域是[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f (x )≥0恒成立，求g (a )＝2－a |a －1|的值域．课堂评价1. (2018·苏州期中)函数y ＝1ln （x －1）的定义域为_______________．2. 函数f(x)＝log 2(3x ＋1)的值域为__________．3. (2018·无锡一中)已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log 2f(x)的定义域是________．(第3题)4. 若函数f(x)＝（a －1）x 2＋（a －1）x ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围为________．5. 若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是________．,第6课函数的单调性激活思维1.(必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是______．(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间[0，＋∞)上也是单调增函数，则函数f(x)在R上是单调增函数；④若定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调增函数，在区间(0，＋∞)上也是单调增函数，则函数f(x)在R上是单调增函数．2.(必修1P55习题8改编)函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调减区间是________．3.(必修1P44习题4改编)已知函数y＝f(x)是定义在R上的单调减函数，那么满足f(2－a2)＜f(a)的实数a的取值范围为________．4. (必修1P39例4改编)函数y＝1x在区间[1，3]上的最大值是________．5.(必修1P54本章测试6改编)若函数f(x)＝5x2＋mx＋4在区间(－∞，－1]上是减函数，在区间[－1，＋∞)上是增函数，则m＝________．知识梳理1.函数单调性的定义(1) 一般地，对于____________的函数f(x)，如果对于属于这个区间的______两个自变量x1，x2，当________时，都有________(或都有________)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)．(2) 如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的__________；若函数是增函数，则称该区间为________；若函数为减函数，则称该区间为________．2.复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y ＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有__________________，并且具有这样的规律：____________________________．3.函数的最值课堂导学__函数单调性的判断与证明求证：f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数．讨论函数f(x)＝xx2－1在x∈(－1，1)上的单调性．,由函数单调性求参数范围)(2018·南通调研)已知函数,0,()(0,1)(3)4,0xa xf x a aa x a x⎧<=>≠⎨-+≥⎩且满足对任意x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2<0成立，则实数a的取值范围是________．【高频考点·题组强化】1.已知函数f(x)＝3－axa－1(a≠1)．若f(x)在区间(0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．2. 若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a的取值范围是________．3. 已知函数f(x)＝x|2x－a|(a>0)在区间[2，4]上单调递减，则实数a的值是________．4. 已知函数f(x)＝ax2－x＋1在(－∞，2)上单调递减，则实数a的取值范围是________．5. (2018·金陵中学)若定义在[－2，2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为________．,抽象函数的单调性)已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，f(1)＝－23，且当x>0时，f(x)<0.(1) 求证：f(x)在R上是减函数；(2) 求f(x)在[－3，3]上的最大值和最小值．已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，恒有f(x)>1.(1) 求证：f(x)在R上是增函数；(2) 若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.课堂评价1. (2018·常州调研)函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的单调减区间是________．2. 函数y＝log0.5(x2－5x＋6)的单调增区间为________．3. (2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．4. (2018·苏州中学)若函数f(x)＝－ax＋b(a>0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a＋b＝________．5. (2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋e x－1e x，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．第7课 函数的奇偶性激活思维1. (必修1P 43练习6改编)函数f(x)＝x 4－1x （x 2－1）是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)2. (必修1P 94习题28改编)若f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________．3. (必修1P 55习题8改编)若函数f(x)＝(x ＋a)(x －4)为偶函数，则实数a ＝________．4. (必修1P 43习题4改编)已知函数f(x)＝4x 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，其定义域为[a －6，2a]，那么点(a ，b)的坐标为__________．5. (必修1P 54本章测试8改编)若偶函数f(x)在(－∞，－1]上是增函数，则f ⎝⎛⎭⎫－32， f(－1)，f(2) 的大小顺序是________．知识梳理1. 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的______一个x ，都有__________(或__________)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有__________(或__________)，则称f(x)为偶函数．2. 奇、偶函数的性质(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于______对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于______对称)．(2) 奇函数的图象关于______对称，偶函数的图象关于______对称． (3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__________．(4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.课堂导学函数奇偶性的判定判断下列各函数的奇偶性： (1) f(x)＝x 3－x 2x －1；(2) f(x)＝x 2－1＋1－x 2； (3) f(x)＝|x ＋2|－|x －2|；(4) 22,0,(),0.x x x f x x x x ⎧+<=⎨->⎩判断下列各函数的奇偶性：(1) f(x)＝(x －1)1＋x1－x； (2) f(x)＝log a (x ＋x 2＋1)(a>0且a ≠1)．,_函数奇偶性的应用)(1) (2018·连云港模拟)若函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝________．(2) 若函数f (x )＝(),0,()(2),0x x b x f x ax x x -≥⎧=⎨+<⎩(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．(1) 若f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则 f (－1)＝________．(2) 已知f (x )＝ax 7－bx ＋2，且f (－5)＝17，那么f (5)＝________．_函数奇偶性与单调性的综合应用问题提出：奇函数在定义域内的单调性是怎么样的呢？偶函数在定义域内的单调性又是怎么样的呢？抽象函数中，与函数单调性有关的不等式问题，又是如何去掉抽象函数中的符号“f”的呢？● 典型示例已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，对任意的实数a ∈R ，f (－a )＋f (a )＝0恒成立，且f (－3)＝2.(1) 试判断函数f (x )在R 上的单调性，并说明理由； (2) 解关于x 的不等式：f ⎝⎛⎭⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.【思维导图】【规范解答】(1) 函数f (x )为R 上的减函数．理由如下：由题知f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又因为f (x )是R 上的单调函数， 由f (－3)＝2，f (0)<f (－3)，知f (x )为R 上的减函数． (2) 由f ⎝⎛⎭⎫m －x x ＋f (m )<0，得f ⎝⎛⎭⎫m －x x <－f (m )＝f (－m )， 结合(1)得m －x x >－m ，整理得（1－m ）x －m x<0. 当m >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >0或x <m 1－m ； 当m ＝1时，不等式的解集为{x |x >0}； 当0<m <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <m 1－m .【精要点评】利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集．● 总结归纳奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f ”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性．因此，若函数具有奇偶性，在研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得．● 题组强化1. 已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≤0的解集是________．2. (2017·苏北四市期末)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________．3. 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x －3)＋f(x 2－3)<0，那么x 的取值范围为________．4. (2018·苏州期中)已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式f （x ）x －1>0的解集为________．5. 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，如果f(ax ＋1)≤f(x －2)在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，求实数a 的取值范围．课堂评价1. 已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝________．2. (2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．3. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝log2(2＋x)＋(a－1)x＋b(a，b为常数)．若f(2)＝－1，则f(－6)的值为________．4. (2018·徐州期中)已知函数f(x)＝e x－e－x＋1(其中e为自然对数的底数)，若f(2x－1)＋f(4－x2)>2，则实数x的取值范围是________．(提示：考虑g(x)＝e x－e－x的性质)5. (2018·通州中学)已知函数22,0,(),0x x xf xax bx x⎧+≤=⎨+>⎩是奇函数，求a＋b的值．第8课 函数的图象和周期性激活思维(第1题)1. (必修1P 31练习2改编)若f(x)的图象如图所示，则f(x)＝________．2. (必修1P 45习题9改编)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数且周期为3，若f (1)＝－1，则f (2 018)＝________．3. (必修1P 29练习6改编)方程|x －1|＝1x 的正实数根的个数是________．4. (必修1P 87习题14改编)任取x 1，x 2∈(a ，b)，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>12[f(x 1)＋f(x 2)]，则称f(x)是(a ，b)上的凸函数．在下列图象中，为凸函数图象的是________．(填序号),①) ,②) ,③) ,④)(第4题)5. (必修1P 45习题4改编)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)·f (x )＝1对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，则f (119)＝________．知识梳理1. 作函数图象有两种方法：(1) 描点法：①______；②______；③__________．运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．(2) 图象变换法：包括______变换、______变换、______变换．2. 周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有______________，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．3. 设a 为非零常数，若对f(x)定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f(x ＋a)＝－f(x)；②f(x ＋a)＝1f （x ）；③f(x ＋a)＝－1f （x ）；④f(x ＋a)＝f （x ）＋1f （x ）－1；⑤f(x ＋a)＝1－f （x ）1＋f （x ）；⑥f(x ＋a)＝f(x －a)，则f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期(上述式子分母均不为零)．课堂导学作函数的图象)分别画出下列函数的图象：(1) y＝x＋2x－1；(2) y＝⎝⎛⎭⎫12|x|；(3) y＝|log2x－1|.分别画出下列函数的图象：(1) y＝|lg x|；(2) y＝x2－2|x|－1.__函数图象的简单应用(2018·苏州实验中学)定义min{a，b}＝,,,,a a bb b a≤⎧⎨<⎩已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．(2018·启东中学)如图，函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．(变式)_函数的周期性)(1) (2018·江苏卷)已知函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝错误! 则f (f (15))的值为________．(2) (2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________．(2018·如皋模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．课堂评价1. (2018·宿迁、泰州调研)已知函数f(x)＝log a (x ＋b)(a ＞0且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．(第1题)2. (2017·南京三模)已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪log 4⎝⎛⎭⎫x －32，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．3. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝ 6－x ，则f (919)＝________．4. (2018·海门中学)已知函数f(x)＝|x －2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．5. (2018·沛县中学)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x|，0<x ≤2，13x 2－83x ＋5，x>2.若函数g(x)＝f(x)－m 存在四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．, 第9课 二次函数、幂函数激活思维1. (必修1P 54测试7改编)函数f(x)＝x 2＋2x －3，x ∈[0，2]的值域为________．2. (必修1P 47习题9改编)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________．3. (必修1P 44习题3改编)函数2221,0,()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨-+-<⎩的单调增区间是________．4. (必修1P 89练习3改编)若幂函数y ＝f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫9，13，则f(25)＝________． 5. (必修1P 73练习3改编)已知幂函数y ＝(m 2－5m ＋7)·xm2－6在(0，＋∞)上单调递增，那么实数m ＝________．第9-12课时内容丢失知识梳理1. 对数的相关概念(1) 对数的定义：如果a b ＝N(a ＞0，a ≠1)，那么b 叫作______________，记作________． (2) 常用对数和自然对数①常用对数：以______为底N 的对数，简记为lg N ； ②自然对数：以______为底N 的对数，简记为ln N. (3) 指数式与对数式的相互转化a b ＝N ⇔________(a ＞0，a ≠1，N ＞0)，两个式子表示的a ，b ，N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．2. 对数运算的性质(M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1) (1) log a (MN)＝____________； (2) log a MN ＝____________；(3) log a M n ＝__________．3. 对数换底公式(N ＞0，a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1) log b N ＝____________．由换底公式可以得到：log a b ＝________，log an b m ＝________，log ab·log b c ＝________． 4. 几个常用的结论(N ＞0，a ＞0，a ≠1) (1) log a a ＝______，log a 1＝______； (2) log a a N ＝______，a log aN ＝______．课堂导学__对数的计算计算：(1) lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18；(2) 2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(3) 12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(4) (lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25. 计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．计算：lg 37＋lg 70－lg 3－（lg 3）2－lg 9＋1., __指数式与对数式的互化已知实数x ，y ，z 满足3x ＝4y ＝6z ＞1. (1) 求证：2x ＋1y ＝2z；(2) 试比较3x ，4y ，6z 的大小．(2018·如东中学)已知a>0，b>0，log 9a ＝log 12b ＝log 16(a ＋b)，求ba 的值．若x log 34＝1，求23x ＋2－3x2x ＋2－x的值．换底公式的应用(1) 计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)；(2) 已知log a x ＋log c x ＝2log b x ，且x ≠1，求证：c 2＝(ac)log ab.已知log 37·log 29·log 49a ＝log 412，那么实数a 的值为________．课堂评价1. 计算：lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________．2. 若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________．3. 计算：(log 43＋log 49)(log 32＋log 38)＝________．4. (2018·启东中学)计算：log 23·log 34＋(3)log 34＝________．5. (2018·南京一中)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，那么f(－2)＋f(log 212)＝________．,第12课对数函数激活思维1. (必修1P85练习2改编)函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是________．2.(必修1P112测试8改编)已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(2)>f(3)，则实数a的取值范围是________．3. (必修1P87习题10改编)函数f(x)＝ln 1－x1＋x是________(填“奇”或“偶”)函数．4.(必修1P87习题11改编)如图，曲线是对数函数y＝log a x的图象，已知a取3，43，35，110四个值中的一个，则相应于C1，C2，C3，C4的a值依次为________．(第4题)5. (必修1P75习题5改编)函数f(x)＝log a x－1(a>0且a≠1)的图象过定点________．知识梳理1. 对数函数的定义形如________________的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是________．2. 对数函数的图象与性质(续表)3. 指数函数与对数函数的比较4. 对数函数图象的变化规律函数y＝log a x(a＞0且a≠1)的底数a的变化对图象位置的影响．(1) 上下比较：在直线x＝1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x轴．(2) 左右比较：(比较图象与直线y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．课堂导学_对数的大小比较)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为________．(2018·南通中学)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小顺序是________．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则2x ，3y 与5z 的大小关系为________．_对数函数的图象)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x|，0<x ≤10，－12x ＋6，x>10，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是________．(2018·常州一中)设f(x)＝|lg x|，a ，b 为实数，且0＜a ＜b. (1) 若a ，b 满足f(a)＝f(b)，求证：ab ＝1； (2) 在(1)的条件下，求证：由关系式f(b)＝2f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g(b)＝0，存在b 0∈(3，4)，使g(b 0)＝0._对数函数的综合应用已知函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)．(1) 求函数y＝f(x)的定义域；(2) 判断函数y＝f(x)的奇偶性；(3) 若f(m－2)<f(m)，求实数m的取值范围．(2018·镇江中学)已知函数f(x)＝log2(5－x)－log2(5＋x)＋1＋m.(1) 若f(x)是奇函数，求实数m的值；(2) 若m＝0，是否存在实数x，使得f(x)＞2？若存在，求出x的取值范围；若不存在，请说明理由．已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1) 若当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，求实数a的取值范围．(2) 是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．课堂评价1. (2017·苏锡常镇调研)函数f(x)＝1ln（4x－3）的定义域为________．2.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小顺序是________．3. (2018·连云港模拟)已知函数f(x)＝lg 1－x1＋x，若f(a)＝12，则f(－a)＝________．4. (2017·徐州、连云港、宿迁三检)如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3log a x，y2＝2log a x和y3＝log a x(a>1)的图象上，则实数a的值为________．(第4题)5. 已知函数f(x)＝log a 1－xb＋x(0＜a＜1)为奇函数，若当x∈(－1，a]时，函数f(x)的值域为(－∞，1]，则实数a＋b的值为________．(提示：由奇函数的定义域关于原点对称先求出b)第13课函数与方程激活思维1. (必修1P75例1改编)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若ac<0，则该函数的零点个数是________．2. (必修1P111复习题13改编)已知函数f(x)＝2x－3x，那么函数f(x)的零点个数为________．3. (必修1P96练习2改编)若方程lg x＝2－x在区间(n，n＋1)(n∈Z)内有解，则n的值为________．4. (必修1P76习题1改编)若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点分别为2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．5. (必修1P96练习5改编)函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下表：那么方程x＋x－2x－2＝0的一个近似根为__________．(精确到0.1)知识梳理1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系2. 一般地，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的____________，所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图象与x轴有________，也等价于方程f(x)＝0有________．3. 函数零点的存在性定理一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条________的曲线，且________，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c就是函数y＝f(x)的零点，也就是方程f(x)＝0的根．这个结论称为零点的存在性定理．由上述可知，利用零点的存在性定理判定函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象不间断；②f(a)·f(b)<0，两者缺一不可．4. 二分法对于区间[a，b]上的连续不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．课堂导学函数零点的存在性问题)判断下列函数在给定区间上是否存在零点：(1) f(x)＝x2－3x－18，x∈[1，8]；(2) f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1，3]．(2018·无锡一中)已知函数f(x)＝2x－log4x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k的值为________．零点个数的判断函数223,0,()2ln,0x x xf xx x⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为________．已知定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，f(x)＝lg(x2－3x＋3)，则f(x)在R上的零点个数为________．根据零点个数求参数(2018·南京、盐城一模)设函数f(x)是偶函数，当x ≥0时，(3),03,()31,3,x x x f x x x -≤≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若函数y ＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩ g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则实数a 的取值范围是________．简单的根的分布当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围． (1) 方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2； (2) 方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1；(3) 方程x 2－(a ＋4)x －2a 2＋5a ＋3＝0的两根都在区间[－1，3]上．已知关于x 的方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0的两个实数根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a 的取值范围是________．课堂评价1.已知函数f(x)＝23x＋1＋a的零点为1，则实数a的值为________．2.设x0为函数f(x)＝2x＋x－2的零点，且x0∈(m，n)，其中m，n为相邻的整数，则m＋n ＝________．3. 函数22,0,()1ln,0x x xf xx x⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为________．4. 若函数f(x)＝a x－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．5.(2018·启东中学)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．,第14课函数模型及其应用激活思维1.(必修1P110练习1改编)某地高山上温度从山脚起每升高100 m降低0.6 ℃.已知山顶的温度是14.6 ℃，山脚的温度是26 ℃，那么此山的高为________m.2. (必修1P32习题12改编)某商品的单价为5 000元，若一次性购买超过5件，但不超过10件，则每件优惠500元；若一次性购买超过10件，则每件优惠1 000元．某单位购买x件(x∈N*，x≤15)，设最低的购买费用是f(x)，则f(x)的解析式是________________________________________________________________________．3. (必修1P98例2变式)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt.若在前5个小时消除了10%的污染物，则污染物减少50%所需要的时间约为________h．(精确到个位，参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)4. (必修1P69例6改编)从盛满20 L纯消毒液的容器中倒出1 L，然后用水加满，再倒出1 L，再用水加满．这样继续下去，则所倒次数x和残留消毒液y之间的函数解析式为________．5. (必修1P100练习3改编)某商品在近30天内每件的销售价格P(单位：元)与销售时间t(单位：天)的函数关系为20,025,100,2530,t tPt t+<<⎧=⎨-+≤≤⎩t∈N，且该商品的日销售量Q(单位：件)与销售时间t(单位：天)的函数关系为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，则这种商品日销量金额最大的一天是30天中的第________天．知识梳理1.数学模型及数学建模数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学的角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．2.常见的几类函数模型3. 解函数应用题时，要注意四个步骤：第一步，阅读理解；第二步，引入数学符号，建立数学模型；第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果；第四步，将所得结果再转译成具体问题的解答．课堂导学_二次函数模型某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2) 当140＜a≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)。

题组层级快练(四)1．以下表格中的x与y能组成函数的是( )答案C解析A中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数，也是有理数．2．以下图像中不能作为函数图像的是( )答案 B解析B项中的图像与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不知足函数的概念．应选B.3．如下图，对应关系f是从A到B的函数的是()答案 D解析A到B的函数为关于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此不能显现一对多的情形，因此D项表示A到B的函数．4．以下函数中，与函数y＝x相同的是()A．y＝(x)2B．y＝3x3C ．y ＝x 2D ．y ＝x 2x答案 B解析 A 中，y ＝(x)2＝x(x ≥0)与函数y ＝x(x ∈R )对应关系相同，但概念域不同，故A 错；C 中，函数y ＝x 2＝|x|(x ∈R )与函数y ＝x(x ∈R )的对应关系不同，故C 错；D 中，函数y ＝x 2x ＝x(x ≠0)与函数y ＝x(x ∈R )的定义域不同，故D 错；B 中，函数y ＝3x 3＝x(x ∈R )与函数y ＝x(x ∈R )对应关系相同，概念域也相同，故B 正确．5．(2019·杭州学军中学模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x>1，假设f(x)＝2，那么x 等于( )A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．2答案 A解析 当x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32； 当x>1时，－x ＝2，∴x ＝－2(舍去)． ∴x ＝log 32.6．已知函数f(x)对任意实数x 知足f(2x －1)＝2x 2，若f(m)＝2，那么m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3 D ．3或－1答案 C解析 此题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t 可得x ＝12(t ＋1)，故f(t)＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f(m)＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.7．(2019·湖北宜昌一中模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x<1，2x ，x ≥1.若f(f(56))＝4，那么b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12答案 D解析 f(56)＝3×56－b ＝52－b ，当52－b ≥1，即b ≤32时，f(52－b)＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，取得52－b ＝2，即b ＝12；当52－b<1，即b>32时，f(52－b)＝152－3b －b ＝152－4b ，即152－4b ＝4，取得b ＝78<32，舍去． 综上，b ＝12，应选D.8．概念函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，那么不等式(x ＋1)f(x)>2的解集是________．答案 {x|x<－3或x>1}解析 ①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x ＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．因此不等式(x ＋1)f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}． 9．已知f(x －1x )＝x 2＋1x 2，那么f(3)＝______．答案 11解析 ∵f(x －1x )＝(x －1x )2＋2，∴f(x)＝x 2＋2(x ∈R )，∴f(3)＝32＋2＝11.10．已知f(2x ＋1)＝x 2－3x ，那么f(x)＝________． 答案 14x 2－2x ＋74解析 令2x ＋1＝t ，那么x ＝t －12，f(t)＝(t －12)2－3×t －12＝t 2－2t ＋14－3t －32＝t 2－8t ＋74，因此f(x)＝14x 2－2x ＋74. 11．已知函数f(x)，g(x)别离由下表给出那么f[g(1)]的值为________；知足f[g(x)]>g[f(x)]的x 的值是________． 答案 1，212．(2019·甘肃省张掖市高三一诊)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x>0，x ＋1，x ≤0.假设f(a)＋f(1)＝0，那么实数a 的值等于________．答案 －3解析 ∵f(1)＝2>0，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2<0，故a ≤0.依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 13．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－（x －1）2，x>0，使f(x)≥－1成立的x 的取值范围是________．答案[－4，2]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x>0，－（x －1）2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故x 的取值范围是[－4，2]．14．具有性质：f(1x )＝－f(x)的函数，咱们称为知足“倒负”变换的函数，以下函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x<1，0，x ＝1，－1x ，x>1.其中知足“倒负”变换的函数是________． 答案 ①③解析 关于①，f(x)＝x －1x ，f(1x )＝1x －x ＝－f(x)，知足；关于②，f(1x )＝1x＋x ＝f(x)，不知足；关于③，f(1x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f(1x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x>1，0，x ＝1，－x ，0<x<1.故f(1x)＝－f(x)，知足．综上可知，知足“倒负”变换的函数是①③.15．(2019·沧州七校联考)已知函数f(x)对任意的x ∈R ，f(x ＋1 001)＝2f （x ）＋1，已知f(16)＝1，则f(2 018)＝________． 答案 1解析 f(2 018)＝f(1 017＋1 001)＝2f （1 017）＋1，又f(1 017)＝f(16＋1 001)＝2f （16）＋1＝1，∴f(2 018)＝21＋1＝1.16．一个圆柱形容器的底面直径为d cm ，高度为h cm ，现以S cm 3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液高度y(cm)与注入时刻t(s)的函数关系式及概念域．答案y＝4Sπd2·t，t∈[0，πhd24S]解析依题意，容器内溶液每秒升高4Sπd2cm.于是y ＝4Sπd2·t.又注满容器所需时刻h÷(4S πd 2)＝πhd 24S (秒)，故函数的概念域是t ∈[0，πhd 24S]．17．依照统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时刻(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品历时30分钟，组装第A 件产品历时15分钟，求c 和A 的值． 答案 60，16解析 因为组装第A 件产品历时15分钟，因此c A ＝15①，因此必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.18．(2019·北京海淀期末)已知函数f(x)＝x·|x|－2x. (1)求函数f(x)＝0时x 的值；(2)画出y ＝f(x)的图像，并结合图像写出f(x)＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值范围．答案 (1)－2，0，2 (2)(－1，1) 解析 (1)由f(x)＝0可解得x ＝0，x ＝±2， 因此函数f(x)＝0时x 的值为－2，0，2.(2)f(x)＝x|x|－2x ，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x<0.图像如下图．由图像可得实数m ∈(－1，1)．。