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线性代数第二章PPT课件

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第二章线性代数.ppt

第二章线性代数.ppt
实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从 参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之间 每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参 数为0.69的泊松分布。
泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一 点由下面的泊松定理所阐述。
泊松定理 设随机变量X n ~ B(n, pn )(0 pn 1),
例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立 的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能 由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其 一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同 维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不 能及时维修的概率的大小.
解 先考虑第一种方法 以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻 发生故障的台数,则 X~B(20,0.01). 于是,第一个人来不及维修的概率为
P{x1 X x2} P{X x2} P{X x1} F(x2 ) F(x1)
即有
P{x1 X x2} F(x2) F(x1)
因此可以认为
分布函数完整地描述了 随机变量的统计规律性.
如果将 X 看成是数轴上随机点的坐标,则 F(x) 就 是 X 落在区间(, x] 上的概率.
P{X
k}
C C k nk M NM CNn
,k
0,1,2,, n
此时我们称X 服从超几何分布。
例4 某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02, 独立射击400次，试求至少击中两次的概率。
解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为
X ，则
所以有
X ~ B(400,0.02)
P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6 ， 故其分布律为

线性代数课件第2章矩阵

线性代数课件第2章矩阵

于乘法中的数1． 课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB； （2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则

线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件

线性代数第二章矩阵及其运算2-3PPT课件
例如，设实数k=2，矩阵A=[1 2; 3 4]，则kA=[2 4; 6 8]。
CHAPTER 02
矩阵的乘法
矩阵乘法的定义
01
矩阵乘法是将两个矩阵对应位置的元素相乘，得到一个新的矩 阵。
02
矩阵乘法的结果是一个矩阵，其行数等于左矩阵的行数，列数
等于右矩阵的列数。
矩阵乘法的操作顺序是先进行行操作，再进行列操作。
CHAPTER 05
矩阵的秩
秩的定义
秩的定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
秩的Байду номын сангаас质
矩阵的秩是唯一的，且其值满足 特定的性质，如对于任何矩阵A， r(A)≤min(m,n)，其中m和n分别 为矩阵A的行数和列数。
秩的计算方法
可以通过多种方法计算矩阵的秩， 如高斯消元法、行变换法、初等 行变换法等。
线性代数第二章矩阵及 其运算2-3ppt课件
CONTENTS 目录
• 矩阵的加法与数乘 • 矩阵的乘法 • 逆矩阵与伴随矩阵 • 矩阵的行列式 • 矩阵的秩 • 矩阵的应用
CHAPTER 01
矩阵的加法与数乘
矩阵的加法
矩阵加法定义
两个矩阵A和B的和记作A+B，定义 为满足以下条件的矩阵C，即C的元 素Cij=Aij+Bij（i，j=1，2，…，n）。
03
矩阵乘法的性质
1 2
结合律
$(AB)C=A(BC)$，即矩阵乘法满足结合律。
分配律
$A(B+C)=AB+AC$，即矩阵乘法满足分配律。
3
单位元
存在一个单位矩阵，使得任意矩阵与单位矩阵相 乘都等于原矩阵。

线性代数第2章矩阵PPT课件

线性代数第2章矩阵PPT课件
线性代数第2章矩阵ppt 课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。

《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算

《线性代数》课件-第二章 矩阵及其运算

a11
A
A
a21
am1
a12 a22
am1
a1n
a2n
amn
数乘矩阵的运算规律
a, b, c R 结 合 (ab)c a(bc) 律 分 (a b) c ac bc 配 律 c (a b) ca cb
设 A、B是同型矩阵， , m 是数 (m)A (m A)
a11
a12
a13
a14
4
c11 a1kbk1
b11
b21
b31
b41
k 1
4
c12 a11b12 a12b22 a13b32 a14b42 a1k bk 2 k 1
一般地，
4
cij ai1b1 j ai 2b2 j ai 3b3 j ai4b4 j aikbkj k 1
行列式
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
(1) a a t( p1 p2 pn ) 1 p1 2 p2
p1 p2 pn
行数等于列数
共有n2个元素
a11 a12
a21
a22
am1 am1
anpn
a1n
a2n
amn
行数不等于列数 共有m×n个元素 本质上就是一个数表
第二章 矩阵及其运算
§1 矩阵
一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
B
一、矩阵概念的引入
例 某航空公司在 A、B、C、D 四座 A
城市之间开辟了若干航线，四座城市 之间的航班图如图所示，箭头从始发 地指向目的地.
城市间的航班图情况常用表格来表示:

2-3.1(k阶子式、余子式、代数余子式)--线性代数PPT

2-3.1(k阶子式、余子式、代数余子式)--线性代数PPT
S的余子式:
在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式.
S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称
A (1)(i1 ik )( j1 M jk )
为S的代数余子式.
§2.3 拉普拉斯展开定理
[结]
20 1 02 1 0 1 0 1
01 S1 1 1
A 0 1 1 2 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 1
101 M1 0 1 2
011
012 S2 1 1 1
2 2 2
A1 1 1 3 2 3 M1 M1 ,
10 M2 0 1
第二章 行列式
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式 二. 拉普拉斯定理
电子科技大学 黄廷祝
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式
k阶子式： 矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式.
A2 1 1 34 2 35 M 2 M 2 .
§2.3 拉普拉斯展开定理
例如，5阶行列式detA中，取子式
S a22 a52
a24 a54
则其代数余子式为
a11 a13 a15
(1)(25)(24) a31 a33 a35
a41 a43 a45
§2.3 拉普拉斯展开定理

《线性代数》课件-第2章方阵的行列式

教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型 的行列式的各种方法.
教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.
教学时间：6学时.
§1 n 阶行列式的定义
设n阶方阵A=(aij),称
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为方阵A 的行列式,记为| A |或det A .
1.1 n 阶行列式的引出
于是D中可能不为0的均布项可以记为
a a a b b . 1p1 1p2
mpm 1q1
nqn
这里，pi=ri,qi=rm+i-m,设l为排列p1p2 …pm(m+q1) …(m+qn)的 逆序数。以t，s分别表示排列p1p2 …pm及q1q2 …qn的逆序数，
应有l= t+s，于是
D
(1)l a1p1 a2 p2 a b b mpm 1q1 2q2 bnqn
b2
a2n , j 1, 2, , n.
an1
bn
ann
提出三个问题
（1）D=？（怎么算）？
（2）当D≠0时，方程组是否有唯一解？
（3）若D≠0时，方程组有唯一解，解的形式 是否是
xj
Dj D
,
j 1,2,
, n.
1.2 全排列及其逆序数
1、全排列 用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：
第二章 方阵的行列式
行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可 少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有 着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计 算方法。
教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念， 掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.

线性代数ppt课件


c12 1
c1r c2r 1
dr1 0且rn时，唯一解；
dr1 0且rn时，无穷多解。
c1n d1 c2n d2
crn 0
ddrr1
x1x23x4x5 2 例、求解方程组4x1x1x22x22x36x3x43x144x5 7
2x14x22x34x47x5 1
x1 c12x2

x2

c1nxn d1 c2nxn d2

xr crnxn dr 0dr1
(r n)
（其中r为阶梯形方程组中方程式的个数。）
5
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
由阶梯形方程组知原方程组（*）的解有以下三种情况：
（ 1 ） d r 1 0 ， 则 方 程 组 无 解 ；
（2）dr1 0且rn，则方程组（*）可化为如下
x1 c12x2 ...c1nxn d1
阶梯形方程组...... x2 ...c2nxn d2

xn dn
1 c12 由于系数行列式D 1
c1n c2n 10，
1
由Cramer法则，方程组（*）解唯一。
6
线性代数

6 x2 9 x2
3x3 5 10 x3 2
x1 3x2 2 x3 6
（3） 2x1x1 3x62x2 5x33x351 x1 3x2 5x3 4
第1节 Gauss消元法
4
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
用Gauss消元法可以解一般的线性方程组（*），消元的结 果得到一个与原方程组同解的“标准”的阶梯形方程组或 出现矛盾式，可得如下一般形式：

线性代数第2章课件

a11 a 21 am 1 a12 a 22 am 2 a1 n a2 n a mn
例
线性变换
y1 1 x 1 , y2 2 x2 , yn n xn .
对应 n阶矩阵 1 0 0 2 A 0 0 0 0 n
B
b1 b2
...
bm
◆ mn矩阵A,当m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.
◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩
阵。
a11 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b11 b12 b22 am 2 b1n b2 n bmn b21 bm1
例 5 求矩阵
A -2 1 4 -2
B 2 4
-3
-6
的乘积AB和BA。
例 6
设A,B分别是n×1和1×n矩阵,且
a1 a2 , B b b b A 1 2 n an
计算AB和BA.
解
a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 a2bn AB b1 b2 bn an anb1 anb2 anbn a1 a2 b a + b a + + b a BA b1 b2 bn 1 1 2 2 n n an
B 2
1
C
1
0
-3 2
2 1
求AB+AC。
解
1 AB + AC A( B + C ) 3 1 3 2 3 4 1

线性代数ppt第二章 n维向量


第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
(6) k(l ) = (kl) , (7) (k + l) = k + l , (8) k( + ) = k + k . 五. 线性组合(linear combination)
n维向量: 1, 2, …, s
数(scalars): k1, k2, …, ks 线性组合: k11+k22+…+kss
根据推论2.1可知 1, 2, …, s线性相关.

第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 若1, 2, …, s线性相关, 则1, 2, …, s, s+1, …, t也线性相 关. 反之, 若1, 2, …, s, s+1, …, t线性 无关, 则1, 2, …, s也线性无关.
…

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
r(1, 2, …, s) s r(1, 2, …, s) < s r(1, 2, …, s) = s
1, 2, …, s
线性相关
(linearly dependent)
1, 2, …, s
线性无关
(linearly independent)

第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
推论2.2. 若向量组1, 2, …, t与向量组1, 2, …, s等价, r(1, 2, …, t) = r(1, 2, …, s).
推论2.3. 若向量组1, 2, …, s 和1, 2, …, t 都线性无关, 并且这两个向量组等价, 则s = t.
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对应的.
10
三、几个特殊矩阵
✓单位矩阵（单位阵）：从左上角到右下角的直线
（叫做（主）对角线）上的元素都是1，其它元素
都是0，这种矩阵称为单位矩阵，简称单位阵，用
E表示，即
1 0 0
E
(
ij
)
0
1
0
0 0 1
单位矩阵对应线性变换为恒等变换
y1 x1,
y
2 x
2
,
y n x n .
a31 a32 a33 a34
其中a ij 为工厂向第 i店可列成矩阵
b 11 b 12
B
b 21
b b
31 41
b 22
b 32 b 42
其中b i 1 为第 i种产品的单价，b i 2为第 i种产品单件重量.
说明 从两个矩阵可以清楚看出这个厂的产品的信息. 8
0
0
k
14
一、矩阵的加减法
1. 定义 两个同为mn的矩阵相加（减）后得一
第 mn矩阵，其元素为两矩阵对应元素的和（差）.
二 节
A(aij)mn, B(bij)mn,
AB(aijbij)m n A B (a ij b i) jm n
矩
阵 特别注意
的 运 算
✓只有两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才 能进行加（减）法.
➢矩阵相等： 如果 A(aij)与 B (bij)是同型矩阵，
并且它们的对应元素相等，即
a ij b i( ji 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
那么就称矩阵 A与矩阵 B相等，记作 AB.
7
二、矩阵举例
例2 某厂向三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵
a11 a12 a13 a14 A a21 a22 a23 a24
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n
a m 1 a m 2 a mn
矩 阵
称为m行n列矩阵，简称 mn矩阵. 为表示这
个数表是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑
体字母表示它，记作
4
a11
A
a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
这 mn个数称为矩阵 A的元素，简称为元，数 a ij
位于矩阵的第 i行第 j列，称为矩阵的 (i, j)元. 以
数 a ij 为 (i, j) 元的矩阵可简记作 ( a ij ) 或 (aij )mn .
mn矩阵 A也记作Amn .
5
2. 有关概念
➢实矩阵与复矩阵：元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵；除特别说明外，都 指实矩阵.
15
例如
A3 20 01 27 01 10 2 ,B2 26 21 25 51 10 5
AB
42
56
32
45
2270
AB42
2 5
03
16
2. 矩阵的加减法_运算规则
✓交换律： A B B A ✓结合律：(A B ) C A (B C )
设矩阵 A(aij), 记
A(aij)
A称为矩阵 A的负矩阵. ✓ ABA(B ) ✓ O A A O A ✓ A A A (A )O
矩
的行列式以及他们的运算规律.
阵 基本要求
及 其
❖理解矩阵的概念，知道零矩阵、对角矩阵、单 位矩阵、对称矩阵等特殊矩阵；
运 ❖熟练掌握矩阵的运算及其运算规律. 算
3
一、矩阵的定义与记号
第
1.定义 由 mn个数 a i( ji 1 ,2 , m ;j 1 ,2 , ,n )
排成的m行n列的数表
一 节
《线 性 代 数》
电子教案之三
1
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总体概述
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主要内容
❖矩阵的概念；
第 三
❖零矩阵、对角矩阵、单位矩阵、对称矩阵等特 殊矩阵；
讲 ❖矩阵的线性运算（矩阵的加法及矩阵与数的乘
法）、矩阵与矩阵的乘法、矩阵的转置、方阵
例3 四个城市间的单向航线如下图所示，
若令
1
4
1, 从i市到j市有 1条单向航线，
aij 0, 从i市到j市没有单向. 航线
则这个图可以用矩阵表示为
2
3
0 1 1 1
A
(a
ij
)
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 00
说明 用矩阵表示这个图后，就可以用计算机对
这个图进行分析和计算.
9
例4 n个变量x1,x2,,xn与m个变y1, y2,, ym
0
0
0
注意 不同型的零矩阵是不同的，例如
O23 00
0 0
00,
0 O33 0
0
0 0 0
0 0, 0
O23 O33.
13
✓数量矩阵（纯量矩阵）： 不在对角线上的元素都 是0，对角线上的元素相同，这种矩阵称为数量矩
阵，又称纯量矩阵，用 kE表示， 即
k
kE
0
0
0 k 0
11
✓对角矩阵： 不在对角线上的元素都是0. 这种方
阵称为对角矩阵，简称对角阵，用 表示，即
1
0
0
2
0
0 dia(g1,2,,n)
0 0 n
y1 1x1,
对角矩阵对应的线性变换为
y2
2x
2,
y n n x n .
12
✓零矩阵：元素都是零的矩阵，记作0.
0
O
0
0
0 0 0
量之间的关系式
y1 a11x1 a12x2 a1nxn,
y2 a21x1 a22x2 a2nxn,
(1)
ym am1x1 am2x2 amnxn,
称为从变量 x1,x2,,xn到变量y1,y2,,ym的线性变换.
线性变换 (1 )的系数 a ij 构成矩阵 A(aij)mn;
称为线性变换的系数矩阵，线性变换与矩阵是一一
➢行矩阵（行向量）： 只有一行的矩阵，记作
A(a1,a2, ,an)
1n矩阵
➢列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，记作
b 1
B
b2
b m
m1矩阵
6
➢方阵：行数与列数都等于 n的矩阵称为 n阶矩阵
或 n阶方阵. n阶矩阵A也记作A n .
➢同型矩阵: 两个矩阵的行数相等、列数也相等时， 就称它们是同型矩阵.
17
二、矩阵与数的乘法（矩阵的数乘）
A A
1. 定义 mn阶矩阵 与一个数 k相乘后得一
mn矩阵，其元素为原矩阵对应元素乘以这个数. 记作 kA或Ak.
A(aij)mn ka11
k
A(k
ai j)mn
ka21
ka12
ka22
ka1n ka2n
kam1 kam2 kamn
说明
✓ (1)A(aij)A矩阵 的负矩阵；
✓ kE(kij) 纯量矩阵.
18
例如
A3200
17 20
1102
4
B4A1820068804408