线性代数第二章
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第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容,也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。
主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。
在自学考试中,所占比例是各章之最。
按考试大纲的规定,第二章占26分左右。
而由于第三,四,五,六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具,故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。
以改版后的三次考试为例,看下表按考试大纲所占分数07.4 07.7 07.10 直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。
2.1 线性方程组和矩阵的定义2.1.1 线性方程组n元线性方程组的一般形式为特别若,称这样的方程组为齐次方程组。
称数表为该线性方程组的系数矩阵;称数表为该线性方程组的增广矩阵。
事实上,给定了线性方程组,就惟一地确定了它的增广矩阵;反过来,只要给定一个m×(n+1)阶矩阵,就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数,m个方程的线性方程组。
例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组【答疑编号12020102】2.1.2 矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表为m×n阶矩阵,也可记为为矩阵A第i行,第j列的元素。
注意:矩阵和行列式的区别。
二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵,记为O。
例如都是零矩阵。
2.若A的行数m=1,则称为行矩阵,也称为n维行向量。
若A的列数n=1,则称为列矩阵,也称为m维列向量。
3.若矩阵A的行数=列数=n,则称矩阵A为n阶方阵,或简称A为n阶阵。
如n个未知数,n个方程的线性方程组的系数矩阵。
4.称n阶方阵为n阶对角阵。
特别若上述对角阵中,,称矩阵为数量矩阵,如果其中λ=1,上述数量阵为,称为n阶单位阵。
5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a LL M M M L称为m 行n 列矩阵。
简称m n ⨯矩阵,记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L,简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===,,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。
说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵。
扩展几种特殊的矩阵:方阵 :行数与列数都等于n 的矩阵A 。
记作:A n 。
行(列)矩阵:只有一行(列)的矩阵。
也称行(列)向量。
同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等。
相等矩阵:AB 同型,且对应元素相等。
记作:A =B 零矩阵:元素都是零的矩阵(不同型的零矩阵不同) 对角阵:不在主对角线上的元素都是零。
单位阵:主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作:E n (不引起混淆时,也可表示为E )(课本P29—P31)注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。
第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和,那么矩阵A 与B 的和记作A B +,规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++ ⎪+=⎪⎪+++⎝⎭L L L L L LL说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。
(课本P33) 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+;()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭L L L L L L L设矩阵记,A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。
高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节,每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。
这本教材综合了高等数学和线性代数的知识,旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法,以及应用于实际问题的能力。
希望读者通过学习这本教材,能够系统地理解和应用线性代数的知识,为今后的学习和研究打下坚实的基础。
线性代数第二章矩阵及其运算$1.矩阵定义1 由m*n个数a_{ij}(i=1,2,3...,n)排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称mn矩阵。
为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示,记作这mn个数称为矩阵A的元素,简称为元,数位于矩阵A的第i行第j列,称为矩阵A的(i,j)元。
以数. 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵,本书中的矩阵除特别说明者外,都指实矩阵。
行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。
n阶矩阵A也记作An。
只有一行的矩阵 . 只有一列的矩阵称为列矩阵,又称列向量。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们是同型矩阵。
如果那么就称矩阵A与矩阵B相等,记作 A=B 元素都为零的矩阵称为零矩阵,记作O。
注意不同型的零矩阵是不同的。
矩阵的应用非常广泛,下面仅举几例。
例1工厂三个商店发送四种产品的数量可列成矩阵其中这四种产品的单价及单件重量也可列成矩阵其中。
例2一般的,若干个点之间的单向通道都可以用这样的矩阵表示。
例3n个变量x_1,x_2,...,x_n与m个变量y_1,y_2,...,y_m之间的关系式表示一个从变量给定了线性变换(2),它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定。
反之,如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵,则线性变换也就确定。
在这个意义上,线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系。
例如线性变换叫做恒等变换,它对应的一个n阶方阵叫做n阶单位矩阵,简称单位阵。
这个方阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线上的元素都是1,其他元素都是0.即单位阵E的(i,j)元为)又如线性变换对应n阶方阵这个方阵的特点是:不在对角线上的元素都是0.这种方阵为对角矩阵,简称对角阵。
对角阵也记作$2.矩阵的运算一、矩阵的加法定义2 设有两个m*n矩阵A=(a_{ij})和B={b_{ij}},那么矩阵A和B的和记作A+B,规定为应该注意,只有当两个矩阵是同型矩阵时,这两个矩阵才能进行加法运算。
线性代数知识点总结第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ija i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵;简称m n ⨯矩阵,记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,简记为()()m n ij ij m nA A a a ⨯⨯===,,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元;说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵; 扩展几种特殊的矩阵:方阵 :行数与列数都等于n 的矩阵A ; 记作:A n; 行列矩阵:只有一行列的矩阵;也称行列向量; 同型矩阵:两矩阵的行数相等,列数也相等; 相等矩阵:AB 同型,且对应元素相等;记作:A =B 零矩阵:元素都是零的矩阵不同型的零矩阵不同 对角阵:不在主对角线上的元素都是零;单位阵:主对角线上元素都是1,其它元素都是0,记作:E n 不引起混淆时,也可表示为E 课本P29—P31注意 矩阵与行列式有本质的区别,行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同;第二节 矩阵的运算矩阵的加法 设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和,那么矩阵A 与B 的和记作A B +,规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算;课本P33 矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+;()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记,A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-;课本P33数与矩阵相乘,A A A λλλ数与矩阵的乘积记作或规定为111212122211,n n m m mn a a a a a a A A A A A a a a λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭数与矩阵的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律设A B 、为m n ⨯矩阵,,λμ为数()()()1A A λμλμ=; ()()2A A A λμλμ+=+;()()3A B A B λλλ+=+;课本P33矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算;矩阵与矩阵相乘 设(b )ij B =是一个m s ⨯矩阵,(b )ij B =是一个s n ⨯矩阵,那么规定矩阵A 与矩阵B的乘积是一个m n⨯矩阵(c )ij C =,其中()12121122j j i i is i j i j is sj sj b b a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1sik kj k a b ==∑,()1,2,;1,2,,i m j n ==,并把此乘积记作C AB = 注意1;A 与B 能相乘的条件是:A 的列数=B 的行数;2;矩阵的乘法不满足交换律,即在一般情况下,AB BA ≠,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵;3;对于n 阶方阵A 和B,若AB=BA,则称A 与B 是可交换的;矩阵乘法的运算规律()()()1AB C A BC =;()()()()2AB A B A B λλλ==()()3A B C AB AC +=+,()B C A BA CA +=+ ()4m n n n m m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯⨯⨯== ()5若A 是n 阶方阵,则称 A k 为A 的k 次幂,即kk A A AA =个,并且m k m k A A A +=,()km mk A A =(),m k 为正整数;规定:A 0=E注意 矩阵不满足交换律,即AB BA ≠,()kk k AB A B ≠但也有例外课本P36纯量阵 矩阵0E 0λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为纯量阵,作用是将图形放大λ倍;且有()(E)E A A A λλλ==,A 为n 阶方阵时,有()(E )n n n n n E A A A λλλ==,表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的;课本P36 转置矩阵把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作A T ,如122458A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,142528T A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭; 转置矩阵的运算性质()()1TT AA =;()()2TT T A B A B +=+;()()3TT A A λλ=;()()4TT T AB B A =;课本P39方阵的行列式由n 阶方阵A 的元素所构成的行列式,叫做方阵A 的行列式,记作A 或注意矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是n 2个数按一定方式排成的数表,而n 阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数; 运算性质()1T A A =;()2nA A λλ=;(3)AB A B B A BA ===课本P40对称阵 设A 为n 阶方阵,如果满足A =A T ,即(),1,2,,ij jia a i j n ==那么A 称为对称阵;说明对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等,如果TA A =-则称矩阵A 为反对称的;即反对称矩阵A =a ij 中的元素满足a ij =-a ji ,i ,j =1,2,…n 伴随矩阵行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A A *⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵; 性质 AA A A A E **==易忘知识点课本P总结1只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算;2只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律;3矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同;第三节 逆矩阵定义对于n 阶矩阵A ,如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB =BA =E 则说矩阵A 是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵;1A A -的逆矩阵记作,1A B -=即;说明1 A ,B 互为逆阵, A = B -12 只对方阵定义逆阵;3.若A 是可逆矩阵,则A 的逆矩阵是唯一的;定理1 矩阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠,并且当A 可逆时,有1*1AA A-=重要证明见课本P奇异矩阵与非奇异矩阵当0A =时,A 称为奇异矩阵,当0A ≠时,A 称为非奇异矩阵;即0A A A ⇔⇔≠可逆为非奇异矩阵;推论若(A=E)AB E =或B ,则1B A -=证明见课本P求逆矩阵方法**1(1)||||021(3)||A A A A A A -≠=先求并判断当时逆阵存在;()求;求。