线性代数课件第二章

项 b1 , b2 , … , bm 不全为零时，线性方程组(1)叫做 n 元
非齐次线性方程组， 当 b1 , b2 , … , bm 全为零时，(1)
式成为
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 ,
a21x1
a22 x2 a2n xn
0,
(2)
am1x1 am2 x2 amn xn 0 ,
(6) 数量矩阵
主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数量矩阵.
例如
n 阶数量矩阵
c
c
（c 为常数）.
c n
(7) 三角形矩阵
主对角线下 (上) 方的元素全为零的方阵称为上 (下)
三角形矩阵. 例如
a11
a12 a22
a1n a11
a2
n
,
ann
a21 an1
a22
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1 am2 amn bm
这里横排称为行，竖排称为列； 而对于齐次线性方程组
(2)的相应问题的答案也完全取决于它的 m n 个系数 aij
(i=1, 2, … , m; j=1, 2, … , n) 所构成的 m 行 n 列的矩形
数表：
单击乘积矩阵2 的某3一元4素，可2得1 该元5素的
A2 3 E3 -1935 3单430位矩1179阵的性-2质3 65 清 3
28 763 666
双E3击 乘3 积A矩23--352阵114053*的(某33-680925一13) +元2232素023645 ，* 5可=得110 -该1清元9 7201素空的-
二元，非齐次
y
唯一解
x y 0,
(II)
x
y
1,
x y 2;
二元，非齐次
y
无解
(III)
2
x1 x1
x2 0, 2x2 0,
3x1 3x2 0
二元，齐次
x2
无穷多解
O
x
O
x
O
x1
对于线性方程组需要讨论以下问题：
(1) 它是否有解？ (2) 在有解时它的解是否唯一？ (3) 如果有多个解，如何求出它的所有解？ 对于线性方程组(1)上述诸问题的答案完全取决于它 的m n 个系数 aij (i=1, 2, … , m; j=1, 2, … , n) 和右端的 常数项 b1 , b2 , … , bm 所构成的 m 行 n + 1 列的矩形数 表：
k a12
k a22
ka1n ka2n
kam1 kam2 kamn
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积, 简称数乘, 记为 kA.
2. 运算规律
设矩阵 A, B 为同型矩阵, k, l 为常数，则
(1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算.
解 (1) A 与 B 能进行加法运算; 而 A 与 C, B 与 C
不能进行加法运算, 因为它们不是同型矩阵, A 和 B 都是
3×2 矩阵, C 是 2×2 矩阵.
二、数与矩阵相乘
1. 定义
定义 3 设 A = ( aij )m×n , k 是一个数, 则称矩阵
ka11
（k aij）mn
ka21
四、矩阵的应用举例
例 1 产品发送量矩阵 某例厂2向三邻个接商矩店阵发送四种产品的数量可列成矩阵 四例个3城市线间性的变单换向的航矩线阵如图 2. 1 所示. 若令 其则间中图的例 设例二na2关ai.j个有次i1j为系45=变可线曲工式a量用性二线线厂x102矩， ，方的次x性向+y1yA10阵2从 从a程一12a,第曲方21bx11表组般102xxiix线ai1a程y1aa,a市 市示21方店132·+1110·111的·组xx到 到aa为程发c11,21y22x10a矩aa的2x为jjx送n132aa2222市 市2+与阵1矩2第222有 没x xaaadm阵2213j2x有3331个种+a条a1单变产2aaa12nn132e单44x4x向量品ynnaa向+航 1的2ynnf航b1xbx线数=1n2,n,线y,0,，量,2.，4,.···,(Iy)((mⅡ4之))
叫做 n 元齐次线性方程组．
对于 n 元齐次线性方程组(2)，x1 = x2 = … = xn = 0
一定是它的解，称之为齐次线性方程组(2)的零解．
如果一组不全为零的数是(2)的解，则它叫做齐次线性方
程组(2)的非零解．齐次线性方程组(2)一定有零解，但不
一有非零解．例如
x y 0, (I) x y 2;
A - B = A + (-B) .
2. 运算规律
设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A, 其中 O 与 A 是同型矩阵; (4) A + (– A ) = O .
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
am1 am2 amn
二、矩阵的定义
定义 1 由 m n 个数 aij (i = 1, 2, ···, m; j = 1, 2, ···,
n) 排成的 m 行 n 列的数表
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
(3)
am1 am2 amn
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0.
0 0 2
对角矩阵
(5) 单位矩阵
主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单位矩阵,
简记为 E 或 I . 如
1
En
1
.
1 n
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地
位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似.
如
EA = AE = A .
an2
.
ann
上三角形矩阵
下三角形矩阵
(8) 对称矩阵与反称矩阵
在方阵 A = ( aij )n 中, 如果 aij = aji (i, j = 1, 2, ···, n) ,则
称 A 为对称矩阵. 如果 A 还是实矩阵, 则称 A 为实对称
矩阵. 如果 aij = -aji (i, j = 1, 2, ···, n) , 则称 A 为反称矩阵.
如果对应元素相等, 即 aij = bij , i = 1,2, ···, m , j = 1, 2, ···, n ,
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 记为 A c d .
5 6
e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
它们之间的关系分别为 设某地区有甲、乙、丙三个工厂, 每个工厂都生产
位 Ⅰ、:个Ⅱ)如、下Ⅲxx表2、1 所Ⅳaa示12114:yy种11 产aa品1222.yy22已知aa1每233yy个33 ,工, 厂的(1年) 产量(单
2. 定义
定义 4 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n ,
a11x1 a12x2 a1n xn b1 ,
a21x1 a22x2 a2n xn
b2
,
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm ,
其中 aij 是第 i 个方程的第 j 个未知数的系数， bi 是第 i 个方程的常数项，i=1, 2, … , m; j=1, 2, … , n，当常数
本章介绍矩阵的概念、 矩阵的基本运算、矩阵的 秩、 可逆矩阵以及矩阵的初等变换、 分块矩阵的概念 及其运算. 最后, 利用矩阵的有关概念与方法讨论线性 方程组的解法及有解的条件.
第 一 节 线性方程组和矩阵
主要内容
线性方程组 矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例
一、线性方程组
设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组
若一个矩阵的所有元素都为零，则称这个矩阵为零
矩阵， m n 零矩阵记为 Ｏm n ，在不会引起混淆的情 况下，也可记为 Ｏ．
(3) 方阵 行数和列数相同的矩阵称为方阵．例如
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵，简记为
5 1
2 , 0
9
8
.
5 1
３×４矩阵
3
5
三、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量). 如
A = ( a11 ，a12 ，···，a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 如
a11
B
a21
.
am1
(2) 零矩阵
例2 设
33 00
22 11
AA22 11 ,, BB 22 22 ,,
且 2A 3X B, 求求矩矩阵阵XX..
解 在 2A 3X B, 两端同加上 2A
得 3X 2A B
(2)32
10 22
12
8 6
10,
三、矩阵的乘法
1. 引例
引例 1 线性变换的乘积 设引有例三2组变总量收x入1 , 与x2 ,总x3利, x润4 ； y1 , y2 , y3 ； z1 , z2 ，