若恒有x Ax 0( 0),则称二次型是 半正(负)定二次型,
T
其对应的矩阵 A称为半正(负)定矩阵;
称其它类型的二次型是 不定二次型 , 其对应的矩阵称为 不定矩阵 .
2
2. 正定矩阵的判别法： 判别法 I：用定义。 例1： 设A, B均为n阶正定阵 , 证明A B也为n阶正定阵 .
证： A, B为n阶正定阵,
1 1
t
t 2时, 3 0. t 2时, 二次型正定 .
请记住，这类题就这样做！
9
练习
2 2 1.设二次型为f ( x1 , x2 , x3 ) 3x12 3x2 3x3 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
则f的负惯性指数为______; 此二次型的类型为_________ .
1.定义： f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX是实二次型 , 若对于任何
6.2 正定二次型和正定矩阵
非零向量x (c1 , c2 ,, cn )T , 恒有xT Ax 0( 0), 则称f ( x1 , x2 ,, xn )是正定(负定)二次型;
而其对应的矩阵 A称为 正定（负定）矩阵 ；
T i
(3).与每一个 j 都正交; 证明 : (1)1 , 2 , n线性无关; (2) 0.
11
8
例4 : t为何值时, 二次型正定?
2 2 2 f ( x1, x2 , x3 ) 5x1 x2 tx3 4 x1 x2 2 x1 x3 2 x2 x3
5 2 1 5 2 1 0, A 2 1 1 1 5 0, 2 2 1 1 1 t 5 2 1 3 A 2 1 1 t 2
