热传导方程及其定解问题的导出

热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。

以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。

依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。

(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。

o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。

o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。

因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。

温度场传输方程及定解条件的求解方法研究热传导是自然界中常见的一种热量传递方式，其具有重要的理论和应用价值。

在很多现代工业领域中，如材料加工、熔炼、焊接、注塑、电子散热等，热传导的研究与应用都是必不可少的工作。

热传导问题的研究建立在热传导的基本方程式上，其中最基本的方程式就是温度场传输方程。

本文主要探讨温度场传输方程及定解条件的求解方法研究。

一、温度场传输方程的基本理论温度场传输方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。

它的基本形式可以表示为：∂T/∂t - α ∇²T = q其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，∇²表示拉普拉斯算子，q表示热源项。

在一些情况下，比如固定边界条件下的热传导问题，T的变化只与时间有关，因此，温度场传输方程可以简化为：∂T/∂t - α ∇²T = 0二、求解温度场传输方程的方法1. 分离变量法利用分离变量法可以将温度场传输方程简化为一系列常微分方程，从而容易求解。

具体地，假设温度场T有一个可分离变量的解，即：T(x,y,z,t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)带入温度场传输方程，可以得到以下结果：X''/X + Y''/Y + Z''/Z + λ = γT/T其中，λ和γ是常数。

由于每个部分只与自己对应的坐标有关，因此可以把它们看作是互相独立的问题。

接着，利用定解条件求解每个常微分方程，最后组合在一起得到温度场的解。

2. 有限差分法有限差分法是利用网格点函数逼近微分方程的一种数值方法。

将连续的物理空间离散化为网格，利用差分近似代替微分，继而求解差分方程。

对于温度场传输方程，可利用有限差分法求解。

具体地，将温度场的各个变量在网格上离散化，然后利用差分公式近似替代微分项，从而得到离散方程。

接着利用初值和边界条件求解出网格点的温度。

三、定解条件的求解方法定解条件是温度场传输方程求解的必要条件。

数学物理方程答案谷超豪【篇一：数学物理方程第二版答案(平时课后习题作业)】>第一章．波动方程1 方程的导出。

定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。

解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为?，则x点处的张力t(x)为t(x)??g(l?x)且t(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。

仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,x??x),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为?g(l?x)sin?(x);?g(l?(x??x))sin?(x??x)其中?(x)表示t(x)方向与x轴的夹角又sin??tg??于是得运动方程?u ?x.?u?2u?u??x2?[l?(x??x)]∣x??x?g?[l?x]∣?g?xx?x?t利用微分中值定理，消去?x，再令?x?0得?2u??u?g[(l?x)]。

?x?x?t25. 验证u(x,y,t)?1t2?x2?y2在锥t?x?y0中都满足波动方程222?2u?2u?2u1222证：函数在锥0内对变量t?x?y??u(x,y,t)?222222?t?x?y?x?yx,y,t有二阶连续偏导数。

且232?u??(t2?x2?y2)?t??t35??u(t2?x2?y2)2?3(t2?x2?y2)2?t22?t?(t2?x2?y2)?32?(2t2?x2?y2)?u?(t2?x2?y2)?x?32?x?2u?x2?t?x?22352?2222?22?y?3t?x?yx??????52??u同理 ??t2?x2?y2?2?t2?x2?2y2?2?y所以即得所证。

2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 2??2u2?u?2?a2t?x??ux?at?0??(x) ??(0)??(0)? ?u??(x).?x?at?0?5??t2?x2?y22t2?2x2?y2??2u?x2?2u?y2?t?x??225?y22??2t2?x?y22???t2.?2u解：u(x,t)=f(x-at)+g(x+at) 令 x-at=0 得 ?(x)=f（0）+g（2x）令x+at=0 得 ?(x)=f（2x）+g(0) 所以 f(x)=?()-g(0). g（x）=?()-f(0). 且 f（0）+g(0)=?(0)??(0). 所以 u(x,t)=?(x2x2x?atx?at)+?()-?(0). 22即为古尔沙问题的解。

第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。

记杆的截面面积42l π为S 。

由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。

由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。

,.第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-=又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。

记杆的截面面积42l π为S 。

由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kts xu k t s xukdQ xx xx ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。

由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l k xu k t u c --∂∂=∂∂ρ 或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。

热传导热传导方程的推导热传导是指物质内部由高温区向低温区传递热量的过程。

热传导广泛应用于各个领域，如工程、物理学和地球科学等。

热传导方程是描述热传导过程的数学表达式。

本文将通过推导展示如何得到热传导方程。

1. 热传导基本原理热传导的基本原理是根据热量传递的分子动力学理论。

在物质内部，分子之间存在着热运动，高温区的分子会以更高的速度振动，从而传递给低温区的分子。

这种热传递是通过分子之间的碰撞和能量传递来实现的。

2. 热传导方程的推导为了推导热传导方程，我们首先需要定义一些物理量：- 温度：表示物体的热状态，用T表示。

- 热流密度：表示单位时间内通过单位面积的热量，用q表示。

- 热导率：表示物质传导热量的能力，用λ表示。

- 热传导方程：用于描述热传导过程的方程，用符号形式表示如下： q = -λ∇T其中，∇T表示温度的梯度，即温度变化的速率。

为了推导热传导方程，我们需要考虑热量在物质内部的传递过程。

假设一个空间区域Ω内的物体，我们可以将其划分为无数个小体积元，每个小体积元的体积为dV。

在Ω内，热量总是从高温区向低温区传递，而且传递的热量正比于温度梯度。

考虑Ω内任意一个小体积元dV，在时间t时刻，该小体积元所受到的热流密度q可以表示为：q = -λ∇T dV根据物质的连续性，Ω内的热量变化率等于通过Ω的表面流出的热量，即：dQ = -∇·(λ∇T) dV其中，∇·表示散度运算符，表示向各个方向上的热量流出。

根据高斯公式，上式可以进一步变形为：dQ = -λ∇^2T dV其中，∇^2表示拉普拉斯运算符，表示温度的二阶偏导数。

由于dV是任意小体积元的体积，所以可以将上式中的dV移至等式右侧，得到：dQ/dV = -λ∇^2T因为dQ/dV等于单位体积内的热量变化率，即ρc∂T/∂t（其中，ρ表示物体的密度，c表示物体的比热容），所以我们可以将上式改写为：ρc∂T/∂t = λ∇^2T这就是热传导方程的推导过程。

热传导中的导热方程推导与分析在热力学中，热传导是物质内部传递热量的过程，它在各种自然、工程和生物系统中起着重要的作用。

为了定量地描述热传导过程，我们需要引入导热方程，也称为热传导方程。

本文将介绍导热方程的推导与分析。

导热方程的基本形式是：∂T/∂t = α(∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z²)其中，T表示温度，t表示时间，x、y、z表示空间坐标，α为热扩散率。

该方程表明，温度随时间和空间的变化率正比于温度梯度。

我们将从微观角度出发，推导出该方程。

在微观尺度上，物质由大量的分子组成。

当分子之间存在温度差异时，热量会通过分子间的碰撞传递。

为了简化问题，我们将考虑一维情况下的热传导过程。

假设物体的长度为L，取一个微小的长度dx，温度在该段长度内的变化可以表示为dT。

由于热量是从高温区流向低温区，根据热传导的基本规律，单位时间内通过dx传递的热量可以表示为−kA(dT/dx)，其中k为热导率，A为截面积。

根据热力学第一定律，单位时间内通过dx传递的热量等于单位时间内该段物体温度的变化量乘以单位质量的热容Cp，即−Cpρ(dT/dt)dx。

其中ρ为物体的密度。

将上述两个方程相等并整理，可以得到：ρCp(dT/dt)dx = kA(d²T/dx²)dx化简后可得到：ρCp(dT/dt) = kA(d²T/dx²)将面积A取极限得到：∂T/∂t = k(∂²T/∂x²)这便是一维热传导的导热方程。

对于二维或三维情况，我们可以推广上述方法。

假设物体的面积或体积为A或V，单位时间内通过dx、dy或dz传递的热量仍可以表示为−kA(dT/dx)、−kA(dT/dy)或−kA(dT/dz)。

类似地，可以推导出二维或三维情况下的导热方程：二维情况：∂T/∂t = k(∂²T/∂x² + ∂²T/∂y²)三维情况：∂T/∂t = k(∂²T/∂x² + ∂²T/∂y² + ∂²T/∂z²)导热方程的推导过程告诉我们，温度随时间和空间的变化是由温度梯度决定的，热量会沿着温度梯度的方向传递。

第二章热传导方程§ 1热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ k 1(u u 1 )dsdt又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。

解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度u u( x,t) 。

记杆的截面面积 l 2为 S 。

t 到 tt 内流入截面坐标为 x 到 xx 一小段细杆的热量为 4由假设，在任意时刻dQu s t k u2u s x tkxs t k1x x x xx 2 xt 到 tt 在截面为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。

由假设，在时刻x 到 xx 一小段中产生的热量为4k 1dQ2k 1 u u l x tu u s x t1l1又在时刻 t 到 tt 在截面为 x 到 xx 这一小段内由于温度变化所需的热量为dQc u x,tt u x,t s x c u s x t由热量守恒原理得：3t tcu s x t k2us x t4k 1u u s x tt tx2 xl1消去 sx t ，再令x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系：cuk 4k 1 u ut x 2 l1u k 2u 4ka 22 u4k或t cx2c 1u u 1x2c 1u u 1ll其中a2kc2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。

解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dMDudsdt ，其中 D 为扩散系数，得nt 2D udsdtMt 1 snt 2t 2C udvdtM 1C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydzCudtdvt 1tt 1t两者应该相等，由奥、高公式得：t 2uuut 2C udvdtMD D D dvdt M 1t 1xx y y z zt 1t其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。