- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
4 / 63
热传导方程的导出
函ê������ 关u变量������, ������ , ������ 具k二阶连Y偏导ê, 关u������ 具k一阶连Y偏 导ê. 在������ 内任取一闭曲面, 它所包Œ的区••Ω, d(1.1) 知, 从ž刻������1 到������2 ž刻流入Ω 的热量• ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ������������ ������ = ������ (������, ������, ������ ) d������ d������. (1.2) ������������ ������1 Γ 在žmm隔(������1 , ������2 ) 中Ô体§度从������(������, ������, ������, ������1 ) 变化到������(������, ������, ������, ������2 ), 它所áÂ的 热量• ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������(������, ������, ������ )������(������, ������, ������ )[������(������, ������, ������, ������2 ) − ������(������, ������, ������, ������1 )]d������d������ d������ Ω ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������������ = ������������ d������d������ d������ d������, ������������ ������1 Ω 其中������ •比热, ������ •密度.
(1.6)称•齐次热传导方程, 而(1.7)称•非齐次热传导方程.
(1.6)
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
8 / 63
定解¯题的提法
初©条‡:
������(������, ������, ������, 0) = ������(������, ������, ������ ), (1.9)
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
6 / 63
热传导方程的导出
根据热量Å恒原理k (︂ )︂ ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ [︂ ∫︁ ������2 ∫︁ ∫︁ ∫︁ ������ ������������ ������������ ������ ������������ d������d������ d������ d������ = ������������ ������������ ������ Ω ������������ ������1 Ω (︂ )︂ (︂1 )︂ ]︂ ������ ������������ ������ ������������ + ������ + ������ + ������ d������d������ d������ d������ ������������ ������������ ������������ ������������ 考虑到������1 , ������2 †区•Ω 的任意5, 得 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������ ������������ ������������ = ������ + ������ + ������ + ������. ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
10 / 63
扩散方程
考虑分子扩散过程, 以������ (������, ������, ������, ������) 表«在ž刻������, (������, ������, ������ ) 点处扩散Ô质 的浓度, 今推导������ (������, ������, ������, ������) 所满足的方程. ŸþÅð½Æ: 如果在所考察的范Œ内没k产)扩散Ô质的源, 那么对 任意区•Ω k下ª 因浓度变化而增\的质量 = 流入的质量.
Fick *ѽÆ: 在Ã穷
žm段d������ 内, 通过Ã穷
曲面块d������ 的质量d������
(1.17)
•
������������ d������ d������ ������������ ������ 表«扩散Ô质的浓度, ������(������, ������, ������ ) •扩散系ê. d������ = −������(������, ������, ������ )
其中
������ (������, ������, ������, ������) = ������ (������, ������, ������, ������) . ������������ (1.8)
如果Ô体内部没k热源, 则热传导方程• (︂ 2 )︂ ������������ ������ ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ = ������2 + + . ������������ ������������2 ������������ 2 ������������ 2
边界条‡: (0 ≤ ������ ≤ ������ )
1
第一类边界条‡(Dirichlet 边界条‡)
������(������, ������, ������, ������)|à = ������ (������, ������, ������, ������) (1.10)
2
第二类边界条‡(Neumann 边界条‡) ⃒ ������������ ⃒ ⃒ = ������ (������, ������, ������, ������) ������������ ⃒Γ 第三类边界条‡(Robin 边界条‡) (︂ )︂⃒ ⃒ ������������ + ������������ ⃒ ⃒ = ������ (������, ������, ������, ������) ������������ Γ
������������ = ������2 ������������
(︂
������ 2 ������ ������ 2 ������ ������ 2 ������ + 2 + 2 ������������2 ������������ ������������
)︂ + ������ (������, ������, ������, ������), (1.7)
第二章
热传导方程
Heat Equations
齐海涛
Email: htqi2008@
ìÀŒ学威°©校 数学与Ú计学
2008 年 12 月 9 日
齐海涛 (山东大Æ%海分
)Leabharlann êÆÔ理方程2008 年 12 月 9 日
1 / 63
目录
1
热传导方程9其定解¯题的导出 初边值¯题的分离变量法
齐海涛 (山东大Æ%海分
(1.11)
3
(1.13)
2008 年 12 月 9 日 9 / 63
)
êÆÔ理方程
定解¯题的提法
Cauchy ¯题 ������(������, ������, ������, 0) = ������(������, ������, ������ ) (−∞ < ������, ������, ������ < ∞) (1.14)
热传导方程的导出
¯题
给定一空mÔ体������, 所满足的方程. 其上的点(������, ������, ������ ) 在ž刻������ 的§度•������(������, ������, ������, ������), Á求������
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
4 / 63
热传导方程的导出
¯题
给定一空mÔ体������, 所满足的方程. 其上的点(������, ������, ������ ) 在ž刻������ 的§度•������(������, ������, ������, ������), Á求������
Fourier 热传导定律
在一§度场������(������, ������, ������, ������) 中, 在Ã穷 žm段d������ 内, 流过一Ã穷 面积块d������ 的 热量• ������������ d������ = −������ (������, ������, ������ ) d������ d������, (1.1) ������������ 其中������ •曲面‡元所指方向的单 法向量, ������ (������, ������, ������ ) > 0 •Ô体在点(������, ������, ������ ) 处的热传导系ê, 负号表«热量从§度高的一侧流向§度低的一侧.
2
3
4
齐海涛 (山东大Æ%海分
)
êÆÔ理方程
2008 年 12 月 9 日
3 / 63
1
热传导方程9其定解¯题的导出 初边值¯题的分离变量法
Cauchy ¯题
2
3
4
4值原理、 定解¯题解的•一5和-定5 解的ì进5态
5
齐海涛 (山东大Æ%海分