第四章热传导方程

此曲面的全部热量为
t2
Q=
t1
S
k(x,
y,
z)
∂u ∂n
dS
dt,
(1.2)
其中
∂u ∂n
表示u沿S
上单位外法线方向n的方向导数。
流入的热量使介质内部温度发生变化，在时间间隔(t1, t2)中介质温度从u(t1, x, y, z)变
化到u(t2, x, y, z)，它所应该吸收的热量是
ν(x, y, z)ρ(x, y, z)[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz,
(1.7)
相应地，此时方程(1.6)为
∂u ∂t
=
c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ∂z2
+ f (t, x, y, z),
(1.8)
其中
f (t,
x,
y,
z)
=
F
(t, x, y, νρ
z).
(1.6)称为齐:::次::热:::传:::导::方:::程::，而(1.8)称为非:::齐::次:::热:::传::导:::方::程:::。
由于t1，t2与区域Ω都是任意的，于是
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
.
(1.4) (1.5)
(1.5)式称为非均匀的各向同性介质的:热:::传::导:::方::程:::。如果介质是均匀的，此时k ，ν 及ρ均 为常数，记k/νρ = c2，即得
∂u ∂t
Ω
其中ν为介质的比热，ρ为密度。因此就成立
t2 t1
S
k
∂u ∂n
dSdt
=
νρ[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz.
Ω
(1.3)
假 设 函 数u关 于 变 量x, y, z具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 关 于t具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 利
本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形， 可 以 进 行 类 似 的 讨 论 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 看F. John编 著 的 《Partial Differential Equations》, Springer-Verlag, 1982.
§ 1. 热传导方程的导出及其定解条件
=
c2
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+
∂2u ∂z2
.
(1.6)
如果所考察的介质内部有热源(例如介质中通有电流，或有化学反应等)，则在热传 导方程(1.5)的推导中还需要考虑热源的影响。若设在单位时间内单位体积中所产生的
2
热量为F (t, x, y, z)，则此时热平衡方程为
t2 t1
S
k
∂u ∂n
出。
在 推 导 热 传 导 方 程 的 过 程 中 起 基 本 作 用 的 是Fourier定 律 与 热 量 守 恒 定 律 ， 即 方
程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒
定律，即
dm
=
−γ(x,
y,
z)
∂U ∂n
dS
dt,
(1.10)
t2 t1
S
本节我们将考察热传导方程的导出及其相应的定解条件。
1.1 方程的导出
一、热传导方程
考察空间某介质D的热传导问题。以函数u(t, x, y, z)表示介质D在位置(x, y, z)及时
刻t的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，介质在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无
穷小面积dS
的热量dQ与介质温度沿曲面dS
γ
∂U ∂n
dSdt
=
[U (t2, x, y, z) − U (t1, x, y, z)]dxdydz,
Ω
(1.11)
其中U 表示扩散物质的浓度，dm表示在无穷小时段dt内沿法线方向n经过一个无穷小面
积dS的扩散物质的质量，式中γ(x, y, z)为扩散系数，其它符号与(1.1)、(1.3)中的含义 :::::::::::
第四章 热传导方程
关于函数u = u(t, x1, x2, · · · , xn)的热传导方程具有下述形式
ut = k u
其中k是热传导系数，是一个正常数。当n = 1时，导热的绝缘导线中的温度分布满足此 方程；当n = 3时，导热介质中的温度满足上述方程。此外，在描述扩散过程时，也会 出现同类型的方程。本章我们将介绍这类最典型的抛物方程的一些基本概念、方法和 结果。在第一节中，我们以n = 3为例介绍热传导方程的导出以及相应的定解条件。在 第二节中我们介绍求解热传导方程的Cauchy 问题(也称初值问题)的Fourier变换法。在 第三节中我们介绍求解热传导方程的初边值问题的分离变量法。在第四节中我们着重 介绍热传导方程的极值原理以及定解问题解的唯一性和稳定性。在第五节中我们介绍 了热传导方程的Li-Yau Hanarck 不等式。该不等式在几何分析中具有重要作用。第六 节讨论了当时间t趋于无穷时热传导方程初边值问题及Cauchy问题解的渐近性态。
法线方向的方向导数
∂u ∂n
成正比，即
dQ
=
−k(x,
y,
z)
∂u ∂n
dSdt,
(1.1)
其中k(x, y, z)称为介质在点(x, y, z)处的热传导系数，它取正值。(1.1)式中的负号是因
为热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此，dQ应和
∂u ∂n
异号。
1
在介质D内任取一闭曲面S ，它所包围的区域记为Ω，由(1.1)式，从时刻t1到t2流进
dSdt
+
t2 t1
F (t, x, y, z)dxdydzdt
Ω
=
νρ[u(t2, x, y, z) − u(t1, x, y, z)]dxdydz.
Ω
于是，相应于(1.5)的热传导方程应改为
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂yk∂u 源自y+∂ ∂z
k
∂u ∂z
+ F (t, x, y, z).
用Green公式，可以把(1.3)式写成
t2 t1
=
交换积分顺序得到
∂ Ω ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
νρ
Ω
t2 t1
∂u ∂t
dt
dxdydz,
dxdydzdt
t2 t1
Ω
νρ
∂u ∂t
−
∂ ∂x
k
∂u ∂x
−
∂ ∂y
k
∂u ∂y
−
∂ ∂z
k
∂u ∂z
dxdydzdt = 0.
(1.9)
二、扩散方程
在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半
导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方
程。
由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。只要将扩散
过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写