23.1.3 一般锐角的三角函数值

知2－讲
【例3】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的 锐角：
(1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)； (2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)； (3)tan A＝0.189(结果精确到1°)． 导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐角的度数
时要注意先按 2nd F 键．
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
1 已知三角函数值，用计算器求锐角A和B：（精确到 1′）
（1）sinA=0.708 3,sinB=0.568 8； （2）cosA=0.829 0,cosB=0.993 1； （3）tanA=0.913 1,tanB=31.80.
（来自教材）
知2－练
2 已知β为锐角，且tan β＝3.387，则β约等于
()
A．73°33′
B．73°27′
C．16°27′
D．16°21′
3 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科
学计算器求∠A约等于( )
A．24°38′
B．65°22′
C．67°23′
D．22°37′
知2－练
4 如果∠A为锐角，cos A＝ 1 ，那么( ) 5
A．0°<∠A<30° B．30°<∠A<45° C．45°<∠A<60° D．60°<∠A<90°
知1－练

23.1 3. 一般锐角的三角函数值
知识点二 比较两锐角三角函数值的大小
(1)用计算器求出三角函数值直接比较． (2)利用锐角三角函数的增减性比较．
23.1 3. 一般锐角的三角函数值
反思
已知 cosα (α 为锐角)是方程 2x2－5x＋2＝0 的根，求 cosα 的值．
解：∵方程 2x2－5x＋2＝0 的根为 x1＝12，x2＝2， ∴cosα＝12或 cosα＝2. 上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并 写出正确的解答过程．
23.1 3. 一般锐角的三角函数值
解：不正确．错误的原因是忽略了锐角的余弦的取值范围．因 为 α 为锐角，由锐角三角函数的定义，可知 0<cosα <1，所 以 cosα ＝2 应舍去． 正解：∵方程 2x2－5x＋2＝0 的根为 x1＝12，x2＝2，且 0<cos α <1，∴cosα ＝12.
例 3 [教材补充例题] 比较大小：sin37°，cos52°，sin41°.
[解析]根据正弦值随着锐角的增大而增大，余弦值随着锐角的 增大而减小，先将正弦、余弦统一为一种形式，再进行比较．
23.1 3. 一般锐角的三角函数值
解：解法一：∵cos52°＝sin(90°－52°)＝sin38°，而 37° ＜38°＜41°， ∴sin37°＜sin38°＜sin41°， 即 sin37°＜cos52°＜sin41°. 解 法 二 ： ∵sin37 ° ＝ cos(90 ° － 37° )＝ cos53° ， sin41 ° ＝ cos(90°－41°)＝cos49°，而 49°＜52°＜53°， ∴cos49°＞cos52°＞cos53°，即 sin41°＞cos52°＞sin37°.

知识点
2
已知三角函数值，用计算器求锐角的度数
知2－讲
已知锐角三角函数值求锐角的度数
如果是特殊角(30°，45°或60°角)的三角函数值，
可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数
值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按 2nd F
键，再按 sin-1 、cos-1 或 tan-1 键. 当三角函数值为分数时，
知2－练
，
课堂新授
(3)tan A＝0.189 0.
解：按键顺序为：
显示结果为10.702 657 49，
再按
，得∠A ≈ 10°42'10″.
知2－练
，
2-1.如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10 m 知2－练 高的天桥两端分别修建了 50 m 长的斜道，用科学 计算器计算这条斜道的倾斜角，下列按键顺序正Fra bibliotek课堂新授
2. 求非整数度数的锐角的三角函数值
知1－讲
(1)若度数的单位是用度表示的，则按整数度数的按键
步骤操作即可.
(2)若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用科学计
算器计算三角函数值时，同样先按 sin 、cos 或 tan
键，然后依次按数字键、
(度)键、数字键、
(分)键、数字键、
(秒)键，最后按 = 键，
确的是( B )
归纳总结
一般锐角的三角函数值
计算器
任意一个锐角 工具
三角函 数值
(精确到0.000 1)
解题秘方：按计算器的使用说明求值.
课堂新授 解：求值过程如下表所示.
三角函数
按键顺序
sin 26° cos 42° tan 75°
知1－练

二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 13．求锐角 45°的正切值，先按键 tan ，再依次按键 4 ， 5 ， D·M′S ，再按键 ＝ ，就可得到值为___1_． 14．cos27°51′≈__0_._8_8_4__2__；tan56°17′35″≈__1_.4__9_9_0__； sin75°31′12″≈___0_.9_6_8__2__．
(1)sin42.6°； 解：0.6769
(2)cos25°18′； 解：0.9041
(3)2tan46°23′；
(4)sin15°＋cos49°.
解：2.0990
解：0.9149
17．(6 分)利用计算器求出下列各式中的锐角∠A.(精确到秒) (1)sinA＝0.964 0; (2)cosA＝0.291 0.
B．sin28°<cos28°<tan28°
C．cos28°<tan28°<sin28°
D．cos28°<sin28°<tan28°
12．已知 tanα＝6.866，用计算器求锐角α(精确到 1″)，按键顺 序正确的是( D )
A. tan 6 · 8 6 6 ＝ 2ndF B. 2ndF tan 6 ·8 6 6 ＝ 2ndF D·M′S C. tan 2ndF 6 ·8 6 6 ＝ D. 2ndF tan－1 6 · 8 6 6 ＝ 2ndF D·M′S
4．(4分)用计算器计算sin28°36′的值(保留四个有效数字)是( )A A．0.478 7 B．0.478 6 C．0.469 6 D．0.469 5
用计算器求锐角的度数 5．(4 分)已知 tanθ＝0.3249，则锐角θ约为___1_8_°__． (精确到度) 6．(4 分)已知 tanA＝0.5234，求锐角 A 的度数时按键顺序正确的 是( C ) A. tan－1 0 · 5 2 3 4 ＝ B. 0 ·5 2 3 4 ＝ 2ndf tan－1 C. 2ndf tan－1 0 ·5 2 3 4 ＝ D. tan－1 2ndf · 5 2 3 4

a 3 3a 3
3a 3 sin 60 2a 2
cos 60
tan 60
a 1 2a 2
3a 3 a
60°
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
a sin 45 2a a cos 45 2a
2 2 2 2
45°
a tan 45 1 a
cos60 1 （ 3） 1 sin 60 tan30
解： （1）1－2 sin30°cos30°
（2）3tan30°－tan45°+2sin60°
1 3 1 2 2 2 3 1 2
3 3 3 1 2 3 2
3 1 3
2 3 1
cos 60o 1 (3) o 1 sin 60 tan 30o
活 动 1
两块三角尺中有几个不同的锐 角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值． 60° 30° 45° 45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝
2a
2
a 2 3a
a 1 2a 2
30°
sin 30
cos30
tan 30
3a 3 2a 2
例2 求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260°
cos45 tan 45 （ 2） sin 45
解： （1） cos260°＋sin260°

3 1 2 2
2
2
cos45 tan 45 （ 2） sin 45 2 2 1 2 2
A 45
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆锥 的底面半径OB的3 倍，求 a ．

1．计算sin20°－cos20°的值约为(精确到0.0001)________.
2．已知sinA＝0.5086，求锐角A的按键顺序是2ndF −1 0.5086
＝，结果是 30.5706°
．
48°24′
3．已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)
课堂小结
典型例题
例2 已知锐角α的三角函数值，求锐角α的值：
(1)sinα＝0.6325；
(2)cosα＝0.3894；
(3)tanα＝3.5492.
解：(2)依次按键2ndF cos −1 ，然后输入函数值0.3894，
得到结果α＝67.0828292°；
典型例题
例2 已知锐角α的三角函数值，求锐角α的值：
一、一般锐角的三角函数值的求法
二、利用三角函数值求解实际问题
你知道15° 、55°等一般锐角三角函数值吗？本节课就将
学习它们的求法．
已知锐角度数可求出相应三角函数值，反过来，利用
三角函数值也可求出锐角度数．
知识讲授
如何利用计算器求一般锐角三角函数值，举例说明．
答：(1)视察手中计算器的各种按键，了解它们的功能．
(2)求sin40°的值．(精确到0.0001)
∴ sin63°52′41″≈0.8979
二、已知锐角的三角函数值求角
例2 已知锐角α的三角函数值，求锐角α的值：
(1)sinα＝0.6325；
(2)cosα＝0.3894；
(3)tanα＝3.5492。
解：(1)ห้องสมุดไป่ตู้次按键2ndF
−1 ，然后输入函数值0.6325，
得到结果α＝39.23480979°；

当堂练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 的锐角：
（1）sin A＝0.627 5，sin B＝0.054 7； ∠A = 38°51′57″ ∠B = 3°8′8″
（2）cos A＝0.625 2，cos B＝0.165 9； ∠A = 51°18′11″ ∠B = 80°27′2″
3. 已知 sin232° + cos2α = 1，则锐角 α 等于（ A ）
A．32°
B．58°
C．68°
D．78°
4. 下列各式中一定成立的是（ A ） A. tan 75°＞tan 48°＞tan 15° B. tan 75°＜tan 48°＜tan 15° C. cos 75°＞cos 48°＞cos 15° D. sin 75°＜sin 48°<sin 15°
(1)求改直后的公路 AB 的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短 了多少千米 (精确到 0.1)?
(1) 求改直后的公路 AB 的长； 解：(1)过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∵AC＝10 千米，∠CAB＝25°，
∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2 (千米)，
课堂小结
三角函数 的计算
用计算器求锐角 的三角函数值或 角的度数
不同的计算器操作步 骤可能有所不同
利用计算器探索锐 三角函数的新知
当 0°＜α＜90°
正弦值随着 α 角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着 α 角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着 α 角度的增大（或减小）而增大（或减小）.
九年级数学上（HK） 教学课件
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数

2：已知sinA＝1/2，且∠B＝90°－∠A，求cosB.
解：∵∠B＝90°－∠A，∴∠A＋∠B＝90°， ∴cosB＝cos(90°－∠A)＝sinA＝ 1 .
2
仿例
仿例：已知α、β为锐角，且sin(90°－α)＝
1 3
，sinβ
＝ 1 ，求 cos（90°－β） 的值．
4
cosα
解：∵sin(90°－α)＝cosα＝
23.1.3 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标
【学习目标】 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，熟练进 行计算，使学生理解正、余弦相互关系式及推导过程，并能 利用其解答一些基本问题． 2．会用计算器求一些锐角的三角函数值． 3．运用锐角三角函数解决一些简单解直角三角函数值． 【学习重点】 能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算． 会用计算器求一些锐角的三角函数值．
1 3
，
cos(90°－β)＝sinβ＝
1 4
，
1
∴ cos（90°－β）＝
cosα
4 1
＝
3 4
.
3
自学互研
知识模块三 一般锐角的三角函数值的求法
1．任意画一锐角A，并用量角器量出它的角度，再用
计算器求出它的正弦，作直角三角形量出并计算
BC AB
的值，你有什么发现？
答：锐角A的度数与它的三角函数值是一一对 应的，知道其中一个可求出另两个．
情景导入
旧知回顾：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°
a
b
a
(1)sinA＝ c ，cosA＝ c ，tanA＝ b ，
sinB＝
b c
，cosB＝

第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.3 一般锐角的三角函数值
基础过关全练
知识点1 用计算器求一般锐角的三角函数值
1.求cos 9°的值,以下按键顺序正确的是 ( A )
A.cos 9 =
B.cos 2ndF 9 =
C.9 cos =
D.9 cos 2ndF =
解析 计算cos 9°时,先按cos,再按9,最后按=.故选A.
AB 5.5
∵60°<66.4°<75°,∴此时人能够安全使用这架梯子.
素养探究全练
13.(创新意识)(教材变式·P123T4) (1)用计算器计算并比较sin 25°+sin 46°与sin 71°之间的大小 关系; (2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sin α+sin β与sin(α+β)的大小关 系; (3)请借助如图所示的图形证明上述猜想.
知识点2 已知锐角的三角函数值求锐角的度数 7.已知cos A=0.559 2,运用科学计算器在开机状态下求锐角A 时,按下的第一个键是(M9123003)( A ) A.2ndF B.cos C.ab/c D.D·M'S
解析 根据锐角三角函数值求角度时,应先按2ndF键,故选A.
8.已知sin A=0.56,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确 的是(M9123003)( A ) A.2ndF sin-1 0 ·5 6 = B.2ndF 0 ·5 6 sin-1 = C.sin-1 2ndF 0 ·5 6 = D.sin-1 0 ·5 6 2ndF =
6.(1)猜想下列两组数值的关系. 2sin 30°·cos 30°与sin 60°; 2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°; (2)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是 否成立. (3)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.

特殊角三角函数值我们都已熟记，那么不是 特殊角三角函数我们该怎么去求呢？
比如这样的问题：பைடு நூலகம்图,当登山缆车的吊箱 经过点A到达点B时,它走过了200m.已知缆车行 驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°,那么缆车 垂直上升的距离是多少?
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=ABsin16°. 你知道sin16°等于多少吗? 我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值？ 怎样用科学计算器求锐角的三角函数值呢? 请与同伴交流你是怎么做的.
★老师提示: 用计算器求三角函数值时,结果一般有10个数位.本书约定,如无特
别声明,计算结果一般精确到万分位.
请同学们计算：sin0°,cos0°,tan0°,sin90°,cos90°,tan90° 的值，并观察其正余弦数值的特点.
特点：正余弦值都在0到1之间.
注意：0°，90°的三角函数值我们也要牢记，那么如果已知三 角函数值能利用计算器求出角的度数吗？
用科学计算器求锐角的三角函数值. 例如,求sin16°,cos42°, tan85°和sin72° 38′25″的按键盘
顺序如下:
对于本节一开始提出的问题,利用科学计算器可以求得: BC=ABsin16°≈200×0.2756≈55.12
当缆车继续从点B到达点D时,它又走过了200m.缆车由点B到点 D的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°,由此你还能计算什么?

23.1.3 一般锐角的三角函数值知识点 1 互余两角的正弦、余弦的关系1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝23，那么cos B 的值为( ) A. 23 B. 53 C. 52D ．不能确定 2．如果α是锐角，且sin α＝0.8，那么cos(90°－α)等于( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.23．若α是锐角，sin α＝cos50°，则α等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°4．已知sin42°54′＝0.6807，如果cos α＝0.6807，那么α＝________.5．化简下列各式：(1)1－sin70°＋cos20°； (2)2sin10°3cos80°. 知识点 2 用计算器求锐角的三角函数值6．利用计算器计算sin30°时，依次按键sin 30＝，显示的结果是( )A ．0.5B ．0.707C ．0.866D ．17．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( )A ．0.90B ．0.72C ．0.69D ．0.668．用计算器求下列三角函数值(精确到0.0001)：(1)sin75.6°； (2)cos37.1°； (3)tan25°.知识点 3 用计算器求锐角的度数9．已知三角函数值，用计算器求锐角A .(角度精确到1″)(1)sin A ＝0.3035； (2)cos A ＝0.1078；(3)tan A ＝7.5031.知识点 4 锐角三角函数的增减情况10．三角函数值sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是( )A ．cos43°＞cos16°＞sin30°B ．cos16°＞sin30°＞cos43°C ．cos16°＞cos43°＞ sin30°D ．cos43°＞sin30°＞cos16°11．若45°＜α＜90°，则sin α________cos α；若0°＜α＜45°，则sin α________cos α.(填“>”“<”或“＝”)12．用不等号连接下面的式子：(1)tan19°________tan21°；(2)cos18°________sin18°.13．若α为锐角，且cos α＜1，则α的取值范围是__________．14．在△ABC 中，∠C ＝90°，设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )A ．0<n <22 B ．0<n <12 C ．0<n <33 D ．0<n <3215．若α＜60°，且sin(60°－α)＝0.75，则cos(30°＋α)＝________．16．观察下列等式：①sin30°＝12，sin60°＝32； ②sin45°＝22，sin45°＝22； ③sin60°＝32，sin30°＝12； 根据上述规律，计算：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝________.(0°<α<90°)17．如图23－1－37，已知两点A (2，0)，B (0，4)，且∠1＝∠2，则sin β＝________．图23－1－3718．如图23－1－38，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，如果sin A ＝cos B ＝13，证明△ABC 为直角三角形．图23－1－3819．设β为任意锐角，你能说明tan β与sin β之间的大小关系吗？若能，请比较大小；若不能，请说明理由．20．如图23－1－39所示，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A ′C ′＝3.若∠B ＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为( )图23－1－39A ．25∶9B ．5∶3 C. 5∶ 3 D ．5 5∶3 321．如图23－1－40所示，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝13，求tan A 的值．图23－1－401．A [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，则cos B ＝sin A ＝23.故选A .2．A [解析] 一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，即cos (90°－α)＝sin α＝0.8.3．C [解析] 由sin α＝cos (90°－α)，可知α＝90°－50°＝40°.故选C .4．47°6′5．解：(1)原式＝1－sin 70°＋sin 70°＝1.(2)原式＝2sin 10°3sin 10°＝23. [点评] 本题主要考查互余两角的三角函数的互化．6．A7．B [解析] 本题要求熟练应用计算器，对计算器显示的结果，根据近似数的概念用四舍五入法取近似数．8．[解析] 以度为单位的锐角，按sin ，cos ，tan 键后直接输入数字，再按＝得到锐角的正弦，余弦，正切值．解：(1)按sin 7 5 . 6 ＝显示0.968583161，即sin 75.6°≈0.9686.(2)按cos 3 7 . 1＝显示0.797583928，即cos 37.1°≈0.7976.(3)按tan 2 5＝显示0.466307658，即tan 25°≈0.4663.9．解：(1)∠A ≈17°40′5″.(2)∠A ≈83°48′41″.(3)∠A ≈82°24′30″.10．C [解析] 根据余角三角函数之间的关系，sin 30°＝ cos 60°，而cos 16°＞cos 43°＞cos 60°，即cos 16°＞cos 43°＞ sin 30°.11．＞ ＜ [解析] (方法一)取特殊值法：当45°＜α＜90°时，取α＝60°，sin 60°＝32，cos 60°＝12，此时sin 60°＞cos 60°，因此应填“＞”；当0°＜α＜45°时，取α＝30°，sin 30°＝12，cos 30°＝32，由sin 30°＜cos 30°，此时sin α＜cos α，应填“＜”． (方法二)统一转化为正弦，利用锐角的正弦值随着角度的增大而增大比较．∵cos α＝sin (90°－α)(α为锐角)，当45°＜α＜90°时，α＞90°－α，∴sin α＞sin (90°－α)，∴sin α＞cos α；当0°＜α＜45°时，α＜90°－α，∴sin α＜sin (90°－α)，∴sin α＜cos α.12．(1)＜ (2)＞ [解析] (1)由于正切值随锐角的增大而增大，因为19°＜21°，所以tan 19°＜tan 21°，应填“＜”．(2)由cos 18°＝sin (90°－18°)＝sin 72°，因为72°＞18°，所以sin 72°＞sin 18°，即cos 18°＞sin 18°.13．0°＜α＜90°14． A[解析] 根据题意，知0°＜∠B ＜45°，再根据sin 45°＝22和一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行分析，有0＜n ＜22.故选A . 15．0.75 [解析] cos (30°＋α)＝cos [90°－(60°－α)]＝sin (60°－α)＝0.75.16． 1[解析] 根据①②③可得出规律，即sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1(0°＜α＜90°)． 17.2 55[解析] ∵∠1＝∠2， ∴sin β＝cos ∠1＝OB AB ＝422＋42＝2 55. 18．证明：在Rt △ACD 中，sin A ＝CD AC. 在Rt △BCD 中，cos B ＝BD BC ， ∴CD AC ＝BD BC ，即CD BD ＝AC BC， ∴Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴∠ACD ＝∠B.∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．19．解：能．如图，设β是Rt △ABC 的一个锐角，令∠B ＝β，则tan β＝AC BC ，sin β＝AC AB.因为BC<AB ，所以AC BC >AC AB，所以tan β＞sin β. 20．A [解析] 如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′.∵△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ，∠B ′＝∠C′，BC ＝2BD ，B ′C ′＝2B′D′，∴AD ＝AB·sin B ，A ′D ′＝A′B′·sin B ′，BC ＝2BD ＝2AB·cos B ，B ′C ′＝2B′D′＝2A′B′·cos B ′，∵∠B ＋∠B′＝90°，∴sin B ＝cos B ′，sin B ′＝cos B.∵S △ABC ＝12AD·BC ＝12AB·sin B ·2AB ·cos B ＝25sin B ·cos B ，S △A ′B ′C ′＝12A′D′·B′C′＝12A′B′·sin B ′·2A ′B ′·cos B ′＝9sin B ′·cos B ′， ∴S △ABC ∶S △A ′B ′C ′＝25∶9.21．解：如图，过点D 作CD 的垂线交BC 于点E.∵tan ∠BCD ＝13＝DE CD，∴可设DE ＝x ，则CD ＝3x.∵CD ⊥AC ，CD ⊥DE ，∴DE ∥AC.又∵D 为AB 的中点，∴E 为BC 的中点，∴DE ＝12AC ，∴AC ＝2DE ＝2x. 在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝2x ，CD ＝3x ，∴tan A ＝CD AC ＝3x 2x ＝32.。

23.1.3一般锐角的三角函数值知识点1用计算器求锐角的三角函数值1．利用计算器计算sin30°时，依次按键sin30＝，显示的结果是()A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．12．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是()A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.663．用计算器求下列三角函数值(精确到0.0001)：(1)sin75.6°；(2)cos37.1°；(3)tan25°.知识点2用计算器求锐角的度数4．2018·淄博一辆小车沿着如图23－1－34所示的斜坡向上行了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是()图23－1－34图23－1－355．已知三角函数值，用计算器求锐角A.(角度精确到1″)(1)sin A＝0.3035；(2)cos A＝0.1078；(3)tan A＝7.5031.知识点3锐角三角函数的增减与取值范围6．三角函数值sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是()A．cos43°＞cos16°＞sin30°B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30°D．cos43°＞sin30°＞cos16°7．若45°＜α＜90°，则sinα________cosα；若0°＜α＜45°，则sinα________cos α.(填“>”“<”或“＝”)8．用不等号连接下面的式子：(1)tan19°________tan21°；(2)cos18°________sin18°.9．若α为锐角，且cosα＜1，则α的取值范围是__________．10．若α是锐角，且sinα＝1－2m，则m的取值范围是________．11．计算sin0°＋cos0°＋tan0°＋sin90°＋cos90°的结果为()A．0 B．1 C．2 D．312．在△ABC中，∠C＝90°，设sin B＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是()A．0<n<22B．0<n<12C．0<n<33D．0<n<3213．若α＜60°，且sin(60°－α)＝0.75，则cos(30°＋α)＝________．14．如图23－1－36，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝13，求△ABC的三个内角的度数．(精确到l′)图23－1－3615．设β为任意锐角，你能说明tanβ与sinβ之间的大小关系吗？若能，请比较大小；若不能，请说明理由．16．2017·福建小明在某次作业中得到如下结果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝(22)2＋(22)2＝1.据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)当α＝30°时，验证sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．(2)小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．17．(1)如图23－1－37①所示，已知AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，试比较sin∠B1AC，sin∠B2AC和sin∠B3AC的值的大小；(2)如图②所示，在Rt△ACB3中，B1和B2是线段B3C上的点(与点B3，C不重合)，试比较cos∠B1AC，cos∠B2AC和cos∠B3AC的值的大小；(3)总结(1)(2)中的规律，根据你探索到的规律试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．图23－1－37教师详解详析1．A2．B [解析] 本题要求熟练应用计算器，对计算器显示的结果，根据近似数的概念用四舍五入法取近似数．3．[解析] 以度为单位的锐角，按sin ，cos ，tan 键后直接输入数字，再按＝得到锐角的正弦，余弦，正切值．解：(1)按sin 7 5 . 6 ＝显示0.968583161，即sin75.6°≈0.9686.(2)按cos 3 7 . 1＝显示0.797583928，即cos37.1°≈0.7976.(3)按tan 2 5＝显示0.466307658，即tan25°≈0.4663.4．A5．解：(1)∠A≈17°40′5″.(2)∠A≈83°48′41″.(3)∠A≈82°24′30″.6．C [解析] 根据余角三角函数之间的关系，sin30°＝ cos60°，而cos16°＞cos43°＞cos60°，即cos16°＞cos43°＞ sin30°.7．＞ ＜ [解析] (方法一)取特殊值法：当45°＜α＜90°时，取α＝60°，sin60°＝32，cos60°＝12，此时sin60°＞cos60°，因此应填“＞”；当0°＜α＜45°时，取α＝30°，sin30°＝12，cos30°＝32，由sin30°＜cos30°，此时sinα＜cosα，应填“＜”． (方法二)统一转化为正弦，利用锐角的正弦值随着角度的增大而增大比较．∵cosα＝sin(90°－α)(α为锐角)，当45°＜α＜90°时，α＞90°－α，∴sinα＞sin(90°－α)，∴sinα＞cosα；当0°＜α＜45°时，α＜90°－α，∴sinα＜sin(90°－α)，∴sinα＜cosα.8．(1)＜ (2)＞ [解析] (1)由于正切值随锐角的增大而增大，因为19°＜21°，所以tan19°＜tan21°，应填“＜”．(2)由cos18°＝sin(90°－18°)＝sin72°，因为72°＞18°，所以sin72°＞sin18°，即cos18°＞sin18°.9．0°＜α＜90°10．0＜m ＜12 [解析] 由题意可知0＜1－2m ＜1，解得0＜m ＜12. 11．C12．A [解析] 根据题意，知0°＜∠B ＜45°，再根据sin45°＝22和一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行分析，有0＜n ＜22.故选A. 13．0.75 [解析] cos(30°＋α)＝cos[90°－(60°－α)]＝sin(60°－α)＝0.75.14．解：如图，过点A 作BC 边上的高AD ，则BD ＝CD ＝6.5，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC.在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝6.510＝0.65， ∴∠BAD≈40°32′，∴∠BAC ＝2∠BAD≈81°4′，∴∠B ＝∠C≈49°28′.15．[解析] 根据正切和正弦的定义列出表达式，再根据直角三角形的斜边大于直角边，判断出 AC BC 和 AC AB 的大小． 解：能．如图，设β是Rt △ABC 的一个锐角，令∠B ＝β，则tanβ＝AC BC ，sinβ＝AC AB.因为BC<AB ，所以AC BC >AC AB，所以tanβ＞sinβ.16．解：(1)当α＝30°时，sin 2α＋sin 2(90°－α)＝sin 230°＋sin 260°＝(12)2＋(32)2＝1. (2)小明的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，设∠A ＝α，则∠B ＝90°－α.∴sin 2α＋sin 2(90°－α)＝(BC AB )2＋(AC AB )2＝BC 2＋AC 2AB 2＝AB 2AB 2＝1.17．解：(1)在题图①中，显然有B 1C 1＞B 2C 2＞B 3C 3，∵sin ∠B 1AC ＝B 1C 1AB 1，sin ∠B 2AC ＝B 2C 2AB 2， sin ∠B 3AC ＝B 3C 3AB 3，AB 1＝AB 2＝AB 3， ∴sin ∠B 1AC ＞sin ∠B 2AC ＞sin ∠B 3AC.(2)在Rt △ACB 3中，∠C ＝90°，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1，cos ∠B 2AC ＝AC AB 2， cos ∠B 3AC ＝AC AB 3， ∵AB 3＞AB 2＞AB 1，∴AC AB 1＞AC AB 2＞AC AB 3， 即cos ∠B 1AC>cos ∠B 2AC>cos ∠B 3AC.(3)规律：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． 由规律可知：sin18°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°；cos18°>cos34°>cos50°>cos62°>cos88°.。