第九讲 三共定理之共边定理

A ECBD【学习目标】1、掌握共边定理的特征及性质；2、会运用共边定理分析底、高及面积关系。

【知识与方法】【经典例题】【例1】在△ABC 中，AD=DC ，2AE=EB ，△ABC 的面积是△AED 的几倍？【例2】△ABC 面积是30cm ²，D 是BC 的中点AE=2ED ，阴影部分的面积是多少？【例3】三角形ABC 中，如图，D ，E 为两个三等分点，F 为AB 中点，若△EDF 的面积是12平方厘米，求△ABC 的面积。

练一练：图中三角形ABC 中，D 是BC 的中点，AE=EF=FC ，已知三角形ABC 的面积是120平方厘米，三角形DFC 的面积是多少？AEDCFB【例4】如图，长方形ABCD的长为8厘米，宽为6厘米，E、F分别为所在边的中点。

阴影部分的面积是多少平方厘米？【例5】在边长是12厘米的正方形内取一点P，将P点和边AD，BC的三等分点及AB，CD的中点连接起来（如图）。

求阴影部分的面积。

【例6】下图中，O是平行四边形ABCD内的一点，AD=3BE。

已知三个空白三角形面积分别是19，20，35平方厘米，三角形BOC的面积是多少平方厘米？【例7】如图，已知S△ABC=1，AE=ED，BD=32BC，求阴影部分的面积。

【例8】如下图，已知BO=2×DO，CO=5×AO，阴影部分面积的和是11平方厘米，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【例9】梯形ABCD中，AE与DC平行，S△ABE=15，S△BCF等于多少？练一练：如图所示，将△ABC的三条边三、四、五等分，得E、F、G点，已知△AEF的面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。

共边定理及其应用与推广几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶点的连线被公共边所截得的线段比.定理 如图1，设直线AB 与CD 交于M ，则有ABC ABD S CM S DM ∆∆= (共有四种情形).这个定理的证明基于一个基本的事实:共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下.证明 ABC ABC ACM ADM ABD ACM ADM ABD S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=g gAB CM AM CM AM DM AB DM ==g g .由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应用.二、共边定理的应用1.有关线段的问题例1 凸四边形ABCD 的两边,AD BC 延长后交于点K ；两边,AB CD 延长交于L ，对角线,BD AC 延长后分别与直线KL 交于,F G ，如图2.求证:KF KG LF LG =.该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线的线段比.此题是数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题》前言中提到的有趣的几何题.题目的证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件.但此题倘若利用共边定理来解决会变得很简单，具体证法如下.证明 KBD KBD KBL LBD KBL LBDS S S KF LF S S S ∆∆∆∆∆∆==g =ACD ACK ACL ACD S S CD AK CL AD S S ∆∆∆∆=g g =ACK ACL S KG S LG ∆∆=注 该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比.2.有关面积的问题例2 在ABC ∆的三边,,BC CA AB 上，分别取点,,X Y Z ，使13CX BC =，13AY AC =，13BZ AB =.连,,AX BY CZ 三条线，围成LMN ∆，如图3.问LMN ∆的面积是ABC ∆面积的几分之几? 解由于LMN ∆与ABC ∆不是公边三角形，为计算LMN ∆，将其转化为与ABC ∆公边的三角形MBC ∆，NCA ∆，LMN ∆来计算.先求MBC S ∆.ABC ABM BCM ACM MBC MBC S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=712AY AZ CY BZ =++=. 又27NCAABC S S ∆∆=，∴27MBC ABC S S ∆∆=. 同理，27LAB ABC S S ∆∆=， ∴17LMN ABC S S ∆∆=. 3.有关平行的问题现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线AB 与CD 交于一点M ，但是如果AB 与CD 不相交呢，会有什么情况?首先会不会有AB 与CD 不相交的情况呢?当然会.当ABC ABD S S ∆∆=，且CD 与AB 同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图4:通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了.这个几何事实描述为:若点,C D 在AB 的同侧，//CD AB 的充要条件为ABC ABD S S ∆∆=.有了这一定理就可以不用平行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法”.下面我们通过一个例题来说明其应甩例3 已知线段AB 与一条平行于AB 的直线l ，取不在AB 上也不在l 上的一点P ，作,PA PB 分别与直线l 交于点,M N ，连结,AN BM 交于O ，连PO 交直线AB 于Q ，如图5.求证:AQ BQ =.证明：AOP AOP AOB POB AOB PPOBS S S AQ BQ S S S ∆∆∆∆∆∆==g PMN AMN BMN MNP S S PN AM NB PM S S ∆∆∆∆==g g 1AMN BMNS S ∆∆==. 注在证明最后一步中运用了//AB l ，推导出了AMN BMN S S ∆∆=.实际上此题还解决了在平面内给定两点,A B 和平行于AB 的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB 的中点的操作方法.类似的方法还可以证明出PQ 平分l .如此一来，便得到了梯形中常见的一个结论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底. 此外，在这个过程中还有一个结论1PN AM NB PM =g ，实际上得到了平行线分线段成比例定理. 共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明.三、共边定理的推广下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理.共面定理：设直线PQ 与平面ABC 交于一点S ，如图6，则有P ABC Q ABC V PS V QS --=.该定理可用于立体几何的计算与证明.此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题.那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢?(1)可接受性共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一(2)通用性平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了.为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性.(3)对等性利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程.在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共边定理的作用不容小觑，掌握好这个定理，对初中几何学习是大有帮助的.。

第九讲“三共定理”——共角定理新知探索共角定理思考：如图在前面两讲中，两个三角形有共同的高或者有公共的边，我们能够请两个三角形的面积比，若两个三角形既没有公共的高也没有公共边，能求其面积比吗？现我们还是给定一个条件，如果两个三角形有一对角相等或互为补角，我们来求一求两三角形的面积比！如下图：第一种情况：如图1，当有一组角对应相等，即:∠ABC=∠DAE时。

【分析】：连接DB。

构造两组共高三角形解：由共高定理得：ADACSSDABABC=∆∆；AEABSSDAEDAB=∆∆∴AEABADACSSSSDAEDABDABABC⨯=⨯∆∆∆∆∴AEABADACSSDAEABC⨯=∆∆想一想：在这种情况下，两个三角形的面积比与它们的边有何关系？第二种情况：如图1，当有一组角互补，即:∠ABC+∠DAE=180°时。

【分析】：连接DB 。

构造两组共高三角形解：由共高定理得：AD AC S S DAB ABC =∆∆；AEAB S S DAE DAB =∆∆ ∴AEAB AD AC S S S S DAE DAB DAB ABC ⨯=⨯∆∆∆∆ ∴AE AB AD AC S S DAE ABC ⨯=∆∆ 想一想：在这种情况下，两个三角形的面积比与它们的边有何关系？通过思考，可以把这个事实概括为一个重要的结论：共角定理【知识应用探究】题型I 共角定理的应用【例1】（三角形角平分线性质）如图，AD 是ΔABC 的角平分线，求证：CDBD AC AB = 证明：∵AD 是ΔABC 的角平分线∴ACAB AD AC AD AB S S ACD ABD =⨯⨯=∆∆（共角定理） 又∵∠ADB+∠ADC=180°∴CDBD AD CD AD BD S S ACD ABD =⨯⨯=∆∆（共角定理） ∴CD BD AC AB = 【同步提升训练】基础训练1、（等腰三角形等角对等边）已知△ABC 中，∠B=∠C ，求证：AB=AC综合演练2、如图，已知AB ∥DC ，AB=4，CD=8，梯形的面积为36。

首先是从三角形面积公式开始，12S =⨯底高 于是出现两种等面积模型：（1） （2）两个图中均有面积ABD ACD S S ∆∆=，这是最基本的模型，由它延伸出来的有：（1）推论：ABD ACD S a S b∆∆= ABE ACE S a S b∆∆=（也叫风筝模型） ABF ACF S a S b∆∆=（也叫燕尾模型）注意此模型的应用！ ABH ABC S b S ∆∆=，AGH ABHS a S ∆∆=，故AGH ABC S ab S ∆∆=（也叫共角模型） BD :CD=1 : 1B m ∥nnmBD :CD=a : bB BD :CD=a : bBBD :CD=a : bB AH :AC=b : 1AG :AB=a : 1B举例 连结CE （题目中第一空所求应为阴影面积之和） 由2BD CD =知23ABD ABC S S ∆∆=，13ACD ABC S S ∆∆= 又AE ED =，故13ABE DBE ABC S S S ∆∆∆==， 16CDE ACE ABC S S S ∆∆∆==， 23ABE ABE BCE BDE CDE S S AF FC S S S ∆∆∆∆∆===+ 15AEF ACD S AE AF S AD AC ∆∆=⋅=，即115AEF ABC S S ∆∆=一半模型：ABCD 中，12ABE ABD ABCD S S S ∆∆== E 为梯形ABCD 腰上中点，1122ADE ADF ABCD S S S ∆∆== E 、G 为中点，12ABCD S S =阴影 共边定理（ （2）的重要推论 ）：ABD BDE S AC S CE ∆∆=E AAB。

共边定理和共角定理
共边定理和共角定理是几何学中两个重要的定理，它们都是关于多边形的定理。

这两个定理分别描述了多边形边数和内角数之间的关系。

共边定理指出，相邻两条边之间会有一个内角，那么在n条边的多边形中，边数和内角数之间的关系是n（n-3）/2，也就是说，当n 边形中有n条边时，内角数为n（n-3）/2。

这就是共边定理。

共角定理指出，多边形的n个内角之和为（n-2）180°，这就是共角定理。

以上就是共边定理和共角定理的基本定义，接下来我们将研究它们之间的关系。

共边定理和共角定理之间有一定的关联，当已知n条边多边形的内角数之和时，可以推导出它的边数。

因为我们已经知道共角定理：多边形的n个内角之和为（n-2）180°，且共边定理：n条边的多边形的内角数为n（n-3）/2。

所以若要求出边数，应当将（n-2）180°和n（n-3）/2分别等于，然后求解出n的值，即可求出多边形的边数。

此外，共边定理和共角定理还可以用于检验多边形是否有效。

一个多边形若是有效的，那么它应该符合共边定理和共角定理。

也就是说，若一个多边形边数和它的内角数之和不符合共边定理和共角定理，则该多边形是无效的。

共边定理和共角定理也可以用来求解多边形的面积，这里提出的
方法叫做“三角法”：如果一个多边形的所有边都可以通过已知的点形成三角形，那么通过共边定理和共角定理就可以将这些三角形重新拼接成一个完整的多边形，这样，就可以根据每个三角形的面积计算出整个多边形的面积。

总之，共边定理和共角定理是几何学中重要的定理，它们与多边形有着紧密的联系，可以帮助我们求解多边形的边数、内角数、面积等问题。

初中数学 共边定理的应用专题辅导张景中 彭翕成我们在上一期引入了共边定理，并对共边定理的应用进行了举例说明。

接下来我们将给出更多的例子，你会发现难题并不一定非要用复杂的方法才能解决。

共边定理看似平凡，但只要运用得当，也会成为解题的利器。

我们先来回顾一下这个定理。

共边定理 若直线AB 和PQ 相交于点M （如图1，有四种情形），则有：QMPM S S QAB PAB =∆∆。

例1. （2002年“希望杯”初一竞赛题）如图2，已知ABC ∆的面积是1，AF=2FC ，BD=DE=EC 。

求四边形GDEH 的面积。

解：四边形GDEH 不是规则四边形，不能直接求其面积，可先求出BGD BEH S S ∆∆和，相减即得。

由共边定理，32S S 32S S AH EH ABF CBF ABF EBF ===∆∆∆∆312132AF FC =⋅=⋅，得61S 3241S 41S A B C A B E B E H =⋅==∆∆∆。

由共边定理，612131AF FC 31S S 31S S AG DG ABF CBF ABF DBF =⋅=⋅===∆∆∆∆，得211S 3171S 71S ABC ABD BGD =⋅==∆∆∆。

所以42521161S S S BGD BEH GDEH =-=-=∆∆四边形。

例2. （2003年“希望杯”数学邀请赛试题）如图3，ABC ∆的面积等于25，AE=ED ，BD=2DC ，则B D E A E F ∆∆与的面积之和等于_________，四边形CDEF 的面积等于______。

解：利用共边定理，32321BC BD ED AE S S S S S S FC AF CBF DBF DBF ABF CBF ABF =⋅=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆， 10S 154S 31S 31S S S S S ,32025154S 154S 31S 53S S S ,S 31S 3221S 21S ABC ABC ABC CDEF ADC BDE BDE AEF ABC ABC ABC BDE CBF CDEF ABC ABC ABD BDE =-+=-+=+=⋅==-=-=∴=⋅==∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆四边形四边形例3. 如图4，ABC ∆中，31CF ,BC 31BE ,AB 31AD ===CA 。

共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则SPM PABSQM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB 知识框架【例 1】 如图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA例题精讲【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.EFB A【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA【例 4】 如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE F【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？M N【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE O【例 6】 如图，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

共边比例定理
（实用版）
目录
1.共边定理的概念
2.共边定理的证明
3.共边定理的应用
4.结论
正文
一、共边定理的概念
共边定理是指在两个相交线段组成的两个三角形中，如果这两个三角形有一个公共边，那么这两个三角形的面积之比等于这个公共边的长度与它到另一个公共顶点的距离之比。

这个定理在解决一些几何问题时非常有用，尤其是在求解一些比例问题时。

二、共边定理的证明
为了证明共边定理，我们可以将问题分为四种情况进行讨论：
1.当两个三角形的高相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的底边长度之比。

2.当两个三角形的底边相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的高之比。

3.当两个三角形的高和底边都不相等时，我们可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。

4.当两个三角形的高和底边都不相等，且它们的顶点也不在同一条直线上时，我们同样可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。

三、共边定理的应用
共边定理在实际应用中非常广泛，它可以用来求解一些比例问题，例如在求解三角形的面积比例时，我们可以通过共边定理来求解。

另外，共边定理还可以用来证明一些几何问题，例如证明两个三角形的面积之和等于另一个三角形的面积等。

四、结论
共边定理是几何学中的一个基本定理，它对于解决一些比例问题和几何问题非常有用。

共边定理和共角定理
共边定理（SSS定理）：
三角形三条边RM,RS,SM所对应的角（依次称为α角、β角、γ角），若满足以下等式：RM/RS=α角/β角=SM/RS=α角/γ角，则这三条边
所构成的是相等三角形。

共边定理又称为SSS定理，其来源于古希腊几何大师欧几里得的几何论文《几何》（Element）。

欧几里得提出的这一定理指出，若一个三角形的三条边的比值相等，则这
个三角形是等边三角形。

从解决问题的角度来看，欧几里得SSS定理可以帮助人们确定给
定三角形是否为等边三角形；从物理原理的角度来看，SSS定理可以帮助用户理解和抽象
三角形的概念；从数学应用的角度来看，欧几里得的SSS定理可以帮助人解决几何相关的
大多数问题。

HL定理，又称为共角定理，是由古希腊几何大师黑格尔提出的结论。

黑格尔利用直角三角形的特性推出的定理，认为若三角形的边满足某种比例关系，则它们的角也满足一定
比例关系，以此定理可以判断一个三角形是否是等腰三角形。

黑格尔的HL定理也可以用
来解决三角形面积和外接圆相关的问题，从而获得更多的几何理论。

同时，它也给出了比
例关系在几何学中的应用，是这个应用最经典的例子。

三角形共边定理三角形共边定理，也称为两边之和大于第三边定理，是几何学中一个基本的定理。

它指出：三角形的任意两边之和大于第三边。

这个定理对于我们研究和解决三角形问题非常重要。

它提供了一个判断三条线段是否可以构成三角形的条件，也帮助我们理解三角形的性质和特点。

让我们来看一下这个定理的几何证明。

假设我们有一个三角形ABC，其中AB、BC、AC分别为三边。

我们要证明，AB + BC > AC。

我们可以通过画一条平行于AC的直线段DE，使得DE与BC相交于F点，与AB相交于G点。

这样，我们就得到了两个三角形，即三角形ABF和三角形CBF。

根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应边是平行的，即AB和CF平行，BF和AF平行。

根据平行线之间的性质，我们可以得到三角形ABF和三角形CBF 的对应角是相等的，即∠ABF = ∠CBF。

根据三角形内角和定理，我们知道∠ABF + ∠BAC + ∠CBF = 180°。

将上述两个结论代入上式，得到∠BAC + ∠ABF + ∠CBF = 180°。

由于∠ABF = ∠CBF，所以可以得到∠BAC + 2∠ABF = 180°。

根据三角形内角和定理，我们知道三角形ABC的内角和为180°。

因此，我们可以得到∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。

将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - 2∠ABF = 0。

化简后得到∠ABC + ∠ACB = 2∠ABF。

根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。

因此，我们可以得到∠ABF + ∠BFC + ∠CFB = 180°。

将上述两个等式相减，得到∠ABC + ∠ACB - (∠BFC + ∠CFB) = 0。

化简后得到∠ABC + ∠ACB = ∠BFC + ∠CFB。

根据三角形内角和定理，我们知道一个三角形的内角和为180°。

三角形共边定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，我们常常会遇到一种特殊情况，即三角形的两条边相等。

这种情况下，我们可以利用三角形共边定理来推导出三角形的其他性质。

三角形共边定理是指：如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边相等，且这两个三角形的夹角分别相等或互补，那么这两个三角形全等。

根据三角形共边定理，我们可以推导出三个重要的性质。

如果一个三角形的两边相等，那么它的两个夹角也相等。

这是因为如果两边相等，而夹角不相等，那么根据三角形内角和定理，三角形的三个角之和将大于180度，与三角形的性质相悖。

如果一个三角形的两边相等，那么它的两个夹角的补角也相等。

这是因为如果两边相等，而夹角的补角不相等，那么根据三角形内角和定理，三角形的三个角之和将小于180度，同样与三角形的性质相悖。

如果一个三角形的两个夹角相等，那么它的两边也相等。

这是因为如果两个夹角相等，而两边不相等，那么根据三角形内角和定理，三角形的三个角之和将不等于180度，同样与三角形的性质相悖。

三角形共边定理的应用非常广泛。

在实际问题中，我们常常需要利用这个定理来解决各种几何问题。

例如，当我们已知一个三角形的两边相等时，可以利用三角形共边定理推导出该三角形的其他性质，如角的大小、面积等。

又例如，在测量角度时，如果我们已知两条边的长度相等，那么可以利用三角形共边定理得出这两个角度相等的结论。

在设计建筑、制作模型等领域，三角形共边定理也有着重要的应用。

通过利用三角形共边定理，可以保证设计的建筑物或模型的稳定性和均衡性。

三角形共边定理是研究三角形性质的重要定理之一。

它通过描述三角形两边相等的情况，推导出了三角形的其他性质。

在实际问题中，我们可以利用这个定理来解决各种几何问题，应用范围广泛。

通过深入理解和应用三角形共边定理，我们可以更好地理解和掌握三角形的性质，为解决实际问题提供有力的工具和方法。

∆APB 面积︰∆AQB 面积＝PM ︰QM1如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝12BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴ DE ∥BC∴∠DBC ＝∠ADE 由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·DE/AB·BC ＝1/4∵AD ＝12AB ∴DE ＝12BC ． 这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（ ） A ．４C ．５D ．６B．3Ｅ．不确定解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC 的面积为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ． 这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目． 例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OB ＝OC·OD ＝1 即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥CDAABBPPMM共边定理图：四种位置关系QQABCDO问：共边定理怎么证线段相等？答：常常是共边与共角两个定理都会用到。

第九讲三共定理之共心定理第九讲三共定理之共心定理
共心定理是三共定理中的一个重要定理，它描述了三个共线点
的共同关系。

该定理表示，在一个三角形的三角形外接圆上，三个
高分别相交于一个点，这个点被称为共心。

共心点是三角形的一个重要特征，它具有以下性质：
1. 三角形的外接圆是唯一的，因此共心点也是唯一的。

2. 共心点到三角形的三边的距离分别等于它到三角形三边的垂
直距离，也就是三个高的长度。

3. 共心点到三角形三边的连线构成三角形的垂直平分线，即共
心点到三个顶点的距离相等。

4. 共心点到三角形的边的连线构成三条高，它们相交于共心点。

5. 共心点位于三角形内部三条高的交点。

6. 共心点是三角形内切圆的圆心。

共心定理可以帮助我们研究和解决与三角形相关的问题。

通过确定共心点的位置，我们可以推导出与共心点相关的性质和定理。

共心点也是解决三角形相似性、重心、欧拉线等问题的重要工具。

总之，共心定理描述了三角形的三个高相交于一个点，该点被称为共心点。

共心点具有多个重要性质，可以帮助我们研究和解决与三角形相关的问题。

第九讲三共定理之共面定理
第九讲三共定理之共面定理
共面定理是三共定理的一个重要内容，它描述了在三维空间中，三条直线可以共面的条件和性质。

一、共面定理的条件
三条直线a、b、c共面的条件为：存在一个平面P，使得a、b、c都在P上。

二、共面定理的性质
1. 共面定理的逆命题也成立。

即，如果三条直线a、b、c不能
共面，则它们不在同一平面上。

2. 如果三条直线a、b、c共线，则它们一定共面。

3. 共面定理适用于任意形式的直线，包括竖直线和水平线。

三、共面定理的应用
共面定理在解决几何问题中有许多应用。

以下是共面定理的一
些常见应用场景：
1. 三维建模：在进行三维建模时，共面定理可以帮助我们确定
对象的位置和方向。

2. 几何分析：在进行几何分析时，共面定理可以判断给定直线
是否共面，从而简化问题的求解过程。

3. 空间投影：在进行空间投影时，共面定理可以帮助我们确定
投影平面和投影结果的位置。

共面定理是解决三维空间中直线共面问题的重要工具，它的应
用范围广泛且实用。

通过应用共面定理，我们可以更容易地解决复
杂的几何问题。

以上是第九讲三共定理之共面定理的内容。

希望对您有所帮助。

第九讲三共定理之共轴定理第九讲三共定理之共轴定理概述共轴定理是几何学中的重要定理之一，它是三共定理的一种特殊情况。

三共定理是指当两个圆和一条直线互相切于同一点时，它们的共切点将与直线的垂足共线。

共轴定理是三共定理在圆心相重的情况下的特殊形式。

定义设有两个圆A和B，它们的圆心分别为O1和O2，半径分别为r1和r2。

如果圆A和圆B的圆心重合，即O1与O2重合，那么我们称这两个圆具有共轴性。

共轴定理根据共轴定理，如果两个具有共轴性的圆与一条直线L互相相切于同一点T，那么共切点T和直线L的垂足H将共线。

证明1. 首先，设圆A和圆B的半径分别为r，并且与直线L互相相切于同一点T。

2. 因为圆A和圆B与直线L相切，所以TA和TB分别是半径OA和OB的垂线。

3. 由于圆A和圆B具有共轴性，所以TA和TB的延长线将相交于O，即圆A和圆B的圆心重合于O。

4. 因此，共切点T和直线L的垂足H将共线于台形ABTH的底边TH上。

应用共轴定理在几何学中有着广泛的应用。

例如，共轴定理可用于解决两个具有共轴性的圆与一条直线相切的问题。

通过利用共轴定理，我们可以确定共切点和直线的垂足的位置，并应用这些信息解决相关的几何问题。

总结共轴定理是三共定理在圆心相重的特殊情况下的应用。

它指出，两个具有共轴性的圆与一条直线互相相切于同一点时，共切点和直线的垂足将共线。

共轴定理在解决与共轴圆和直线相切的问题时具有重要的意义。

参考资料：- 《无穷的几何历程》郭家蕴编著- 《几何学教程》郑扬明著。

三点共圆的判定定理1. 合同或协议书的关键信息项1.1 合同双方合同方A：____________________________合同方B：____________________________1.2 合同目的合作目标：________________________________合作项目：________________________________ 1.3 合同期限开始日期：____________________________结束日期：____________________________1.4 合同条款权利与义务合同方A的权利与义务：__________________合同方B的权利与义务：__________________ 1.5 财务安排费用分摊比例：__________________________付款方式：______________________________付款时间安排：__________________________ 1.6 信息保密保密信息范围：_________________________信息披露条件：__________________________ 1.7 争议解决争议解决机制：__________________________适用法律：_______________________________1.8 协议修改与终止修改程序：_______________________________终止条件：_______________________________2. 合同2.1 合作内容与目标项目名称：____________________________项目目标：____________________________2.2 合作期限本合同的有效期限自开始日期______________________起至结束日期______________________止。

共边定理及其应用与推广几何一直是初中数学的重难点，初中几何主要研究边角关系，并要求对边，角关系进行严格的证明、推理.学生普遍感觉几何好学但解题难，难在思维的深度，尤其难在辅助线的添加，许多几何题目往往受制于这神来一笔的辅助线.如何攻克这座堡垒呢?本文将介绍共边定理这一用途极广的几何解题工具，以供广大读者参考.一、共边定理共边定理建立在共边三角形的基础上，它是指，共边三角形的面积比等于第三个顶 点的连线被公共边所截得的线段比.定理 如图1，设直线AB 与CD 交于M ，则有ABC ABD S CM S DM∆∆= (共有四种情形).这个定理的证明基于一个基本的事实:共高三角形的面积比等于底的比.具体证明如下. 证明 ABC ABC ACM ADM ABD ACM ADM ABDS S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆= AB CM AM CM AM DM AB DM ==. 由于共边定理有四种位置情形却对应同一个比值，所以，如何选择两个合适的三角形，是运用共边定理解决间题的关键，而图形的选择差异使得解法往往不唯一共边定理虽然是对等高等底三角形面积相等这一基本性质的推广，但是它的用途却相当的广泛.它在线段和面积之间建立了天然的桥梁，由此可利用这两种几何量的反复转化，证明一大批几何问题，尤其是在没有特别条件下只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会得到易想不到的效果.下面通过几个例题来说明共边定理的应用.二、共边定理的应用1.有关线段的问题例1 凸四边形ABCD 的两边,AD BC 延长后交于点K ；两边,AB CD 延长交于L ，对角线,BD AC 延长后分别与直线KL 交于,F G ，如图2.求证:KF KG LF LG=.该题的叙述比较复杂，但其实不看文字，只看图也是一目了然的，即为几条直线相交后证同一直线的线段比.此题是数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题》前言中提到的有趣的几何题.题目的证明较难，难点在于图中没有相似三角形和全等的三角形，只有几条线段相交的条件.但此题倘若利用共边定理来解决会变得很简单，具体证法如下.证明 KBD KBD KBL LBD KBL LBD S S S KF LF S S S ∆∆∆∆∆∆== =ACD ACK ACL ACD S S CD AK CL AD S S ∆∆∆∆= =ACK ACL S KG S LG ∆∆= 注 该题将共边定理面积比用于证明线段成比例，相反也可以利用线段成比例来证明面积比.2.有关面积的问题例 2 在ABC ∆的三边,,BC CA AB 上，分别取点,,X Y Z ，使13CX BC =，13AY AC =，13BZ AB =.连,,AX BY CZ 三条线，围成LMN ∆，如图3.问LMN ∆的面积是ABC ∆面积的几分之几?解由于LMN ∆与ABC ∆不是公边三角形，为计算LMN ∆，将其转化为与ABC ∆公边的三角形MBC ∆，NCA ∆，LMN ∆来计算.先求MBC S ∆.ABC ABM BCM ACM MBC MBCS S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=712AY AZ CY BZ =++=.又27NCA ABC S S ∆∆=， ∴27MBC ABC S S ∆∆=. 同理，27LAB ABC S S ∆∆=， ∴17LMN ABC S S ∆∆=. 3.有关平行的问题现在我们反过来思考，共边定理的前提是直线AB 与CD 交于一点M ，但是如果AB 与CD 不相交呢，会有什么情况?首先会不会有AB 与CD 不相交的情况呢?当然会.当ABC ABD S S ∆∆=，且CD 与AB 同侧的时候，它们会平行从而不相交，如图4:通过上述反向的思考得到了一个新的思路，即把共边三角形与平行直线联系到一起了.这个几何事实描述为:若点,C D 在AB 的同侧，//CD AB 的充要条件为ABC ABD S S ∆∆=.有了这一定理就可以不用平行线的性质来证明两直线的平行，张景中教授把这种方法称为“平行线面积判定法”.下面我们通过一个例题来说明其应甩例3 已知线段AB 与一条平行于AB 的直线l ，取不在AB 上也不在l 上的一点P ，作,PA PB 分别与直线l 交于点,M N ，连结,AN BM 交于O ，连PO 交直线AB 于Q ，如图5.求证:AQ BQ =.证明：AOP AOP AOB POB AOB PPOBS S S AQ BQ S S S ∆∆∆∆∆∆==PMN AMN BMN MNP S S PN AM NB PM S S ∆∆∆∆== 1AMN BMN S S ∆∆==. 注在证明最后一步中运用了//AB l ，推导出了AMN BMN S S ∆∆=.实际上此题还解决了在平面内给定两点,A B 和平行于AB 的一条直线，仅利用没有刻度的直尺如何作出AB 的中点的操作方法.类似的方法还可以证明出PQ 平分l .如此一来，便得到了梯形中常见的一个结论，即延长梯形两腰的交点与梯形对角线的连线平分梯形的上下底.此外，在这个过程中还有一个结论1PN AM NB PM=，实际上得到了平行线分线段成比例定理.共边定理不仅能推导出以上的定理，它还可以推导出相似形基本定理，平行四边形的性质，三角形重心的性质，“共角定理”等.还有一些用传统方法比较难证的定理如“赛瓦定理”，“帕普斯定理”，“德沙格定理”等等，在这里就不一一赘述了，有兴趣的读者可以尝试证明. 三、共边定理的推广下面将共边定理进行空间上的推广，即得到共面定理.共面定理：设直线PQ 与平面ABC交于一点S ，如图6，则有P ABC Q ABC V PS V QS--=.该定理可用于立体几何的计算与证明.此外，共边定理还可以用于解决应用题.例如在行程问题当中，时间不变就等价于三角形中一的高不变，一般涉及正比例的应用题都可以考虑用共边定理来解决，而不仅限于解决平面几何的问题.那么，相比传统方法，共边定理有哪些优点呢?(1)可接受性共边定理基于一个基本的事实，即共高三角形的面积比等于底的比.这个道理在小学就接触过，学生学起来简单，相比相似三角形和全等三角形，需要判定相似或全等的条件比较多，学生的可接受性较强一(2)通用性平面几何中的基本图形是三角形，从统计学的角度来看，一般几何图形中出现全等三角形或相似三角形的可能性太小了.为了能利用相似三角形和全等三角形性质来解题，就需要添加辅助线，但辅助线的添加往往无章可循，而共边三角形却比比皆是，因而它的性质具有通用性.(3)对等性利用相似三角形和全等三角形性质解决问题，需要三个判定条件证明全等或相似.相比之下，共边定理则是一个条件对应一个结论，正是这种对等性，往往能简化几何证明的过程.在这里需要说明的是，共边定理的应用并不排斥传统几何方法中那些有效的方法，相反，它能为传统方法提供更简捷的证明思路一个定理的用途越广，就越能凸显该定理的重要性从上述的例题可以看出，共边定理的作用不容小觑，掌握好这个定理，对初中几何学习是大有帮助的.。

第九讲三共定理之共径定理第九讲三共定理之共径定理
共径定理是三共定理的一部分，指的是在一个圆内，以该圆的
直径为直径的两个弦，其垂直的两个弦分别相交于圆心。

共径定理可以通过正面解释和逆向思考来理解。

首先，我们可
以通过正面解释来证明这个定理。

假设有一个圆，将其直径延长，
然后在圆内找到两条以该直径为直径的弦。

我们可以观察到，这两
条弦的垂直平分线必定相交于圆心。

这是因为在一个圆中，同一个
弦的两个垂直平分线必定相交于圆心，而以直径为直径的两条弦本
质上是同一个弦。

因此，共径定理成立。

另一种理解共径定理的方法是逆向思考。

假设我们知道两个弦
的垂直平分线相交于圆心，我们可以推导出这两条弦以直径为直径。

因为在一个圆中，同一个弦的两个垂直平分线必定相交于圆心。

因此，如果两条弦的垂直平分线相交于圆心，那么这两条弦必定是以
直径为直径的。

这就是共径定理的逆向思考方式。

共径定理在几何问题中具有重要的应用。

它可以帮助我们确定圆的圆心位置，从而解决一些几何问题。

在证明其他定理时，我们也可以使用共径定理作为辅助定理进行推导。

总而言之，共径定理是三共定理中的一部分，指的是在一个圆内，以该圆的直径为直径的两个弦，其垂直的两个弦分别相交于圆心。

通过正面解释和逆向思考，我们可以理解并应用共径定理来解决几何问题。