最新中考数学共边定理及其应用与推广

初中数学知识归纳数论与代数的应用初中数学知识归纳：数论与代数的应用数学是一门抽象而又具体的学科，涵盖了广泛的领域。

在初中阶段，我们学习了许多数学知识，其中包括数论和代数。

本文将就数论和代数在初中数学中的应用进行归纳总结，包括数论的应用和代数的应用两个方面。

一、数论的应用数论是研究整数性质的数学分支，在初中数学中，数论的应用可以帮助我们解决一些与整数相关的问题。

1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中常见的概念，我们可以利用它们来解决一些整数运算问题。

例如，求两个数的最大公约数可以帮助我们简化分数运算，而求两个数的最小公倍数则可以帮助我们合并同类项。

2. 因数分解因数分解是将一个数表示成几个因子的乘积的过程。

这个过程在初中数学中经常被用来简化运算，例如化简分数、求解方程等。

因数分解还可以帮助我们判断一个数的性质，比如素数和合数的区别。

3. 同余定理同余定理是数论中的一项重要定理，它在初中数学中广泛应用于帮助我们判断整数的奇偶性、判断整数能否被某个数整除等。

通过同余定理，我们可以将复杂的数论问题简化为简单的模运算问题。

二、代数的应用代数是数学的一门重要分支，在初中数学中，代数的应用不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的逻辑思维能力。

1. 代数式的运算代数式的运算是代数学习的基础，我们通过对代数式进行加减乘除等运算，可以解决一些实际问题。

例如，求解线性方程组、利用比例关系进行量的换算等。

2. 二次根式的应用在初中数学中，我们学习了二次根式的概念和性质，可以利用它们解决一些几何问题。

比如，求解三角形的边长、面积等。

通过代数的应用，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更方便地进行计算和分析。

3. 函数与方程函数与方程是代数学中的重要内容，在初中数学中也起到了重要的作用。

函数可以用来描述数与数之间的关系，方程则可以用来求解未知数的值。

我们可以利用函数和方程解决一些实际问题，比如求解运动问题、优化问题等。

中考技巧圆幂定理、共高定理、共角定理、共边定理圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。

圆幂定理是一个总结性的定理。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

则有AE·CE＝BE·DE。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

则有PA²＝PC·PD。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。

从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。

经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

点对圆的幂定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。

性质：点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0。

注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。

在某些书中，点P对圆O的幂表示为 |OP²—R²|。

共高定理如图1，延长△PAM的边AM至点B，得△PBM，根据面积公式可以证明以下定理．图1共高定理：若M在直线AB上，P为直线AB外一点，则有S△PAM：S△PBM＝AM：BM．证明：如图1，因为S△PAM＝1/2AM·PM，S△PAM＝1/2BM·PM，所以S△PAM：S△PBM＝AM：BM．【举一反三】如图2，点P在△ABC的边BC上，且∠BAP＝∠CAP，试用共高定理推出PB：PC＝AB：AC．图2共角定理中考数学压轴题昨天共角定理若两个三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

4.3共边比例定理及应用共边比例定理 若线段PQ 所在直线与线段AB 所在直线相交于点M ，则⋅=∆∆QM PMs S QAB PAB (4.3-1)证明如图4-13，图形有四种情形：对于图4-13(a)，由P 作PE⊥直线AB 于E ，由Q 作QF⊥直线AB 于F ，则由Rt△PEM ∽ Rt△QFM，有⋅=QMPMQF PE 于是 ⋅==⋅⋅=∆∆QM PMQF PE QF AB PEAB s sQABPAB2121同理，可证得其他三种情况．共边比例定理可以看作是同底三角形面积之比等于其高之比的推广． 例1 用共边比例定理证明塞瓦定理及其逆定理．证明 仅证共点情形．如图4-14，在△ABC 中，若AD 、BE 、CF 相交于点P ，则由共边比例定理，有,.,,APBBPC APC APB BPC APC s s AE CE s s CD BD s s BF AF ∆∆∆∆∆∆⋅=⋅=⋅⋅= 以上三式相乘，即得.1.....=⋅⋅⋅⋅=∆∆∆∆∆∆APBBPC APC APB BPC APC s s s s s s EA CE CD BD FB AF 反之，若有.1..=EACE DC BD BF F A 记⋅===μρλEACEDC BD FB AF ,,设CF 与BE 交于P ，AD 与BE 交于./P 由共边比例定理，有PB C PAC CPA PE L CPBCPE s s s s S S PB PE ....∆∆∆∆∆∆==,1..μλμ+=+==FB AF EA CE CE FB AF CA CE B AP CAP C AP E AP BAP E AP s s S S S s B P E P /1////.//∆∆∆∆∆==∧ ⋅+=+==ρμ)1(1..BD DC EC AE AE BD DC AC AE 由已知有,1=λμρ故,1ρλμ=于是⋅=B P EP PB PE //可见P 与/P 重合，即AD 、BE 、CF 三线共点． 注 用共边比例定理也可证明梅涅劳斯定理，如图4-1，由=BC AC //ABA A CBA BBA xA ABA s s A B CB s s C A BA s s ∆∆∆∆∆∆==ω////1,,三式相乘，即证．其逆定理的证明也类似于上例． 例2 设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且⋅=31AB AD 若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为,43则EA CE的值为( )． 21.A 31.B 41.C 51.D （2003年全国联赛题）解 选B ．理由：如图4-15，连结⋅=-=∆41431,ADE s BE 设,x ACCE=则由共边比例定理，有 .x AC CEs s ABC BEC ==⋅∆∆从而 .1x S ABE -=∆又,31==∆∆AB AD s s ABE ADE 则 ⋅=-=∆4131x S ADE 解得 ⋅=41x 故⋅=31EA CE例3 如图4-16，在等腰直角△ABC 中，=AB ,90,1=∠A 点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且EF⊥BE.求：△CEF 的面积． （1998年全国联赛题）解 过C 作CD⊥CE 与EF 的延长线交于D ． 因 ,90=∠+∠AEB ABE,90.o B AE CED =∠+∠则 ,CED ABE ∠=∠故 Rt△ABE ∽ Rt△CED. 于是.2,41)(2====∆∆AEABCD CE AB CE S s ME CED 注意到FC 平分∠ECD，有,CDCEFD EF =由共边比例定理，知 ,2==∆∆FDEFS s CDF CEF 故 ⋅====∆∆∆∆24121.41.3241.3232ABC ABE CDE CEF s s s s 例4 设D 、E 分别在△ABC 的边AC 和AB 上，BD 与CE 交于F ，.40,32,=⋅==∆ABC s DC AD EB AE 求⋅AEFD S （1990年部分省市通讯赛题）解法1 如图4-17，连结DE.设△AED、△EFD、△BFE、△BC F 、△CDF 的面积分别为z 、y 、z 、u 、t ，则由共边比例定理，求得：,20.21=⋅⋅=++∆ABC S t y x ),20(32)(32x t y x -=+=即x ＝8．.2453,1652==+=⋅∝∆=++∆ABC s t u S z y x设,s y x s AEFD =+=则.4,20,8,16s u s t s y s z +=-=-=-=又由共边比例定理，有,u tz y =即⋅+-=--ss s s 420168 解得 .11=s 故.11=AEFD S解法2 注意到直线BFD 截△AEC，由梅涅劳斯定理，有.1..=DACD FC EF BE AB 而,23,2==DA CD BE AB 则 .3.==DACDBE AB EF FC 从而 .4131EC FC EF ==由共边比例定理，有,2021=⋅=⋅=∆∆ABC EBC s S ,5,41==∆∆EBC F EB s s .16.52(==∆∆AB ADBs s 从而 .11516.=-=-=∆∆EBF ADB FD AE s s S例5 在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、CA 上的点，且BD ：DC ＝m ：1，CE ：EA ＝n:1，AD 与BE 交于F ，则△ABF 的面积等于△ABC 的面积的多少倍？ （1984年上海市竞赛题） 解 如图4-18，连CF 并延长交AB 于G.对△ABC 与点F ，由塞瓦定理，有,1..=⋅⋅=n m GBAGEA CE DC BD GB AG 则 ⋅=mnGB AG 1对△AGC 与截线BFE ，由梅涅劳斯定理，有,1..1..=+=n FCGF mn mn EA CE FC GF BG AB 则 ⋅+=1mn mFC GF由共边比例定理，知⋅++==⋅∆∆1m mn mGC GF s s AK ABF例 6如图4 -19，在筝形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，过AC 、BD 的交点O 引EF 、GH ，其中EF 交AB 、CD 于E 、F ，GH 交DA 、BC 于G 、H. EH 、GF 分别交BD 于P 、Q ，则OP ＝OQ.（1990年IMO 国家队集训选拔赛题，同习题1.4第10题）证明 在AB 、BC 上分别取,//F G 、使.,//CF CF AG AG ==则利用三角形全等，知,/OA G GOA ∠=∠又,HOC GOA ∠=∠则,/OA G HOC ∠=∠即⋅=γβ同理=+⋅∠β1,4γ+∠故.32,41∠=∠∠=∠（其中=∠=∠=∠HOC OA G GOA ,,/βα,2,1,/∠=∠∠=∠EOB OE G γ .)4,3//∠=∠∠=∠OH F BOF连H G /交BD 于K ，在/BHG ∆中，注意到共边比例定理，则OKG oHK oFH OBF oEB xE s s s s s S KGHKH F BF EB E G ∆∆∆∆∆∆=..../(//// .4sin 213sin 21.2sin .211sin 21///∠⋅⋅∠⋅⋅∠⋅∠⋅⋅=OH OF OF OB OB OE OE OG )21sin(21)43sin(21∠+∠⋅⋅⋅∠+∠⋅⋅OG OK OK OH .1=故由塞瓦定理的逆定理，知、、BO F G //HE 三直线共点，即//F G 过点P ．利用三角形全等性，即知OP ＝OQ ．习 题 4.31 设M 、N 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，CM 与BN 交于点P ，且⋅==21,λλNC AN MB AM 求比值⋅PMCP2 在△ABC 内任取一点P ，连AP 、BP 、CP 并延长分别交对边于D 、E 、F ，求证：.1=++CFPFBF PE AD PD3 凸四边形ABCD 中，AD ＝BC ，另两边AB 、CD 的中点分别为M 、N ，延长AD 、BC 分别与直线MN 交于P 、Q ．求证：PD ＝QC. 4 在△ABC 中，D 、E 是BC 上的三等分点，F 是AC 的中点，BF 交AD 于G ，交AE 于H.求⋅∆.:ABC DEHG s s 5 如图，△ABC 被通过它的三个顶点与一个内点的三条直线分成六个小的三角形，其中四个小三角形的面积在图中标出．求△ABC 的面积． （第3届美国邀请赛题） 6 在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上分别取点D 、E 、F ，且满足.,,321λλλ===BFAFAE CE CD BD 连结AD 、 BE 、CF ，AD 交BE 于P ，交CF 于R ，BE 交CF 于Q 求⋅⋅∆∆ABL FQR s s .答案。

第章共边比例定理共角比例定理
共边比例定理若两个共边的三角形
，
的对应顶点，所在直线与交于，则．1
证法由同底三角形的面积关系式，有，．
由上述两式相加即证得图中（）、（），上述两式相减即证得图中（）、（）情形．
Q
M N
B
A
P
Q
M
N
B
A
A
B
N
M
Q
P
(4)
(3)
(2)
(1)
图21-1
M N
P
Q
B
A
证法不妨设与不同，则
．
证法在直线上取一点，使，则，．
所以，．
共角比例定理若与相等或互补，则有
（或）
证明把两个三角形拼在一起，让的两边所在直线与的两边所在直线重合，如图所示，其中图（）是两角相等的情形，图（）是两角互补的情形，两情形下都有
C'
B(B')
A'A
C
B(B')A'
C'
C
A
(2)
(1)
图21-2
①张景中．几何新方法和新体系．北京：科学出版社，2009：5．
共角比例定理的推广与相等或互补，点在直线上且不同于，点在直线上且不同于，则
证明不妨设，，，共线如图，则
B(Y)P
Z
X Q C
A
图21-3
共角比例不等式如果，而且两角之和小于，则
（或）．
证明记，．
如图，作一个顶角为的等腰，延长至，使，则．由共角比例定理，有
共角比例逆定理在和中，若，则与相等或互补．。

共边共角相似三角形及其应用一、基本概念：1.定义：如图，△ABC与△ACD有一条公共边AC和一个公共角∠ A，这样的两个三角形叫做共边共角三角形.这样的两个三角形若又有一个角对应相等，则两个三角形相似，那么这样的两个三角形称为共边共角相似三角形.2.性质定理：共边共角的两个相似三角形的公共边是夹公共角的另一条对应边的比例中项.如图1，在△ABC中，∠ACD=∠B，则△ACD∽△A BC，那么可得：AC2= AD·AB .特别地，当△ABC是直角三角形，且CD⊥AB时(如图2)，AC2 =AD·AB，即为射影定理.二、应用举例：例1.如图3，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B 两点，OP与AB相交于M，C是上一点. 求证：∠OPC=∠OCM .分析：若∠OPC=∠OCM，又∠O=∠O，所以必有△OCM∽△OPC，显然，这一结论只有通过“两边对应成比例，夹角相等”来实现.为此，应当设法证明= ，即OC2= OM·OP.这由OA2= OM·OP, OA= OP 即得.评析：图中△OCM与△OPC 为共边共角相似三角形.例2. 已知⊙C的半径为R，⊙O 过点C，且与⊙C相交于A、B 两点. D为⊙O上一点，弦AB、CD 相交于点E. 求证：CE·CD为定值（云南中考）分析：如图4，由于CE是线段CD的一部分，可构造以C为公共顶点的共边共角三角形.由于⊙C的半径已知为R，所以，只要能与R建立联系，即可得证. 为此，连结AC、AD 由∠ACE是公共角，及∠CAE =∠D，即得△ACE ∽△DCA，从而，CE·CD = R2为定值.评析：图中，△ACE与△D CA 是共边共角相似三角形.例3. 在圆内接四边形ABCD中，BC= CD= 4cm, AC交BD于E，AE=6 cm, 设BE=xcm ,DE = ycm , x、y 均为整数，求x、y 的值（河南省初三数学竞赛试题）解：如图5, 由相交弦定理: x·y = AE·CE = 6CE ,故要求x、y的值，必须先求CE的长. 注意到∠3 =∠1，联想到△CBE与△CAB是共边共角的相似三角形，可得：BC2 = CE·CA∴ 42= CE·（CE + 6），可得CE=2 或CE=－8（舍去），从而，x·y = 6×2 =12 ，∴x=3, y =4 或x=4, y=3 .评析：△CBE与△CAB是共边共角相似三角形例4.已知AC、AB是⊙O 的弦, AB＞AC.⑴如图6, 能否在AB 上确定一点E,使AC2 = AE·AB, 为什么?⑵如图7, 在条件⑴的结论下延长EC到P, 连结PB.如果PB=PE, 试判断PB和⊙O 的位置关系, 并说明理由.⑶在条件⑵的情况下, 如果E 是PD的中点, 那么C是PE的中点吗?为什么?(重庆中考题)分析：⑴观察图6，联想共边共角相似三角形的特征，那么只要AB上的点满足：∠ACE=∠B即可.为此连结并延长CE交⊙O于点C ' （如图6），所以只要=.故，满足题目要求的点E是存在的.作法：在优弧上取=.连CC’ ,交AB于点E,即可. 且AC2 = AE·AB.这里，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形⑵由⑴及PB =PE 可得∠3 =∠A，过B⊙O的直径，那么可证PB是⊙O的切线( 如图7);⑶连结BD，即可证明△PBC与△PBD是共边共角的相似三角形，那么PB2 = PC·PD，又PD=2PE, PE=PB, 可得C是PE的中点 .评析：⑴中，△ACE与△ACB是共边共角相似三角形；⑶中，△PBC与△PBD是共边共角相似三角形.参考习题1. 如图8，已知⊙O的内接四边形ABCD，D 是的中点，BC、AD的延长图5线相交于点 E ，DH 切⊙O 于D ，交EB 于点H.⑴ 求证：DH 平分∠CDE ；⑵ 在图中的已知线段中找出两条线段，使它们的积等于DE 2，并加以证明.（平顶山市模拟试题）2.已知如图，在△ABC 中, AB=AC, 过点A的直线与△ABC 的外接圆O 交于D, 与BC 的延长 线交 于 点F , DE 是BD 的延长线,连接CD.求证: ⑴ DF 平分∠EDC; ⑵ AB 2=AD·AF;⑶ AF 2－AB 2=AF·DF .(四川中招)——————备 用 习 题——————1.如图，PA 切⊙O 于A ， 割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点, AD 的延长线交 ⊙O 于E ，又BE 2 =DE·AE ， 求证： ⑴ PA =PD⑵ 2PB 2 = AD ·DE[ 提示: 由切割线定理证PA =2PB , ∴ B 是PD 的中点)2.如图，ΔABC 内接于⊙O ，AB = AC ，直线XY 切⊙O 于点C ，弦BD ∥XY ，AC 、BD 相交于点E ，（1）求证：ΔABE ≌ΔACD ；（2）若AB = 6cm,BC = 4 cm,求AE 的长.（吉林）3. 如图,在⊙O 中, PAB 是经过圆心的割线, PC 切⊙O于C, 若∠PAC = 120°, PA = 2cm,则PC =________cm;解：由PC 是切线，∠PAC = 120°,及AB 是直径 可得： ∠PCA=30°， 从而， AC=PA = 2cm, AB = 4cm , 再由PC 2=PA·PB ， 可得：PC=2 ；评析： 图中△PAC 与△PCB 是共边共角相似三角形 ；4 .如图，PA 为⊙O 的切线，从PA 的中点B 做割线BCD ，交圆于点C 、D ，连结PC 、PD 分别交圆于点E 、F . 求证：∠APD = ∠EFD.(河南省 中考题）（图8）（图9）5.已知如图，A 是⊙O上一点，割线PC交⊙O于B、C两点，PD是PB和PC 的比例中项，PA=PD，连结AD并延长交⊙O于E,求证：BE= CE. (四川）6.如图，已知⊙O1和⊙O2外切于点P，AB是两圆的外公切线，A、B为切点，AP的延长线交⊙O2于D，BP的延长线交⊙O1于C. 求证：⑴ AP·AD= BP·BC；⑵ AB2= AC·BD；⑶ PA·PB = PC·PD.7.如图，已知⊙O1 和⊙O2 外切于点A，直线BC切⊙O1于B，切⊙O2 于C，交O1O2于P.求证：⑴ PA2= PC·PB; ⑵. 若⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2－4x+ 3 = 0的两根，求△ABC的周长及PD的长.。

初三重要理论与实际应用解析在初中阶段，学生们接触到了许多重要的理论知识，并且必须将这些理论应用到实际问题中。

本文将对初三学生必备的重要理论知识进行解析，并探讨其在实际应用中的意义。

一、数学中的重要理论与实际应用数学是初三学生必修的一门科目，其理论知识与实际应用密不可分。

以下是几个重要的数学理论及其实际应用。

1.1 平行线与三角形的性质初三数学课程中，学生学习了平行线的性质，如同位角相等、内错角互补等。

同时，他们还学习了三角形的性质，如三角形内角和为180度等。

这些理论在实际应用中有着广泛的应用。

实际应用举例：在建筑领域，设计师需要利用三角定位原理来确定建筑物的位置和角度。

而平行线性质也能应用在道路设计中，确保道路相互平行，从而提高交通效率。

1.2 比例与相似初三数学中，学生学习了比例的概念和性质，如等比例线段、等比例图形等。

同时，他们还学习了相似三角形的判定条件和性质。

比例与相似的理论在生活中有许多实际应用。

实际应用举例：比例和相似性理论在地图制作和测量中非常重要。

通过测量实际距离，并按比例缩小地图尺寸，人们可以更方便地了解真实地理位置。

二、物理中的重要理论与实际应用物理是初三学生需要学习的一门科学，它描述了世界的自然现象和规律，并通过实际应用解决问题。

以下是物理中的几个重要理论及其实际应用。

2.1 力学中的牛顿运动定律物理力学中的牛顿运动定律描述了物体运动的规律，即物体在受力作用下会有加速度的改变。

这一理论被广泛应用于现实世界中的运动问题。

实际应用举例：车辆的行驶受到多种力的影响，如摩擦力、重力等。

利用牛顿运动定律，我们可以预测车辆的加速度和速度，从而优化驾驶行为，提高安全性。

2.2 光学中的折射定律光学是物理学的一个重要分支，它研究光的传播和反射、折射等现象。

其中，折射定律是一个重要的理论，描述了光线通过两种介质边界时的折射规律。

实际应用举例：眼镜的成像原理是基于折射定律的。

光线通过镜片时，会因折射而发生弯曲，从而纠正近视或远视的视觉问题。

专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的母子模型与A （X ）字模型．模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。

“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA . 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:42．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠．求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．4．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，CD∠AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B、P、Q为顶点的三角形与∠ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模型2. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，∠ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DE1BC4=．(1)若8AB=，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：DF =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．模型3. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN∠MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若EFBF＝2，求ANND的值；(3)若MN∠BE，求ANND的值．3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∠1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），∠CDE∠∠CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此∠CDE和∠CAB 互为顺相似；如图（2），∠CDE∠∠CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此∠CDE和∠CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∠CD，则∠AOB∠∠COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB于点D，则∠ABC∠，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD∠CE于点F，则∠ABD∠，它们互为相似；（2）如图（6），若∠AOB∠∠COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在∠ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截∠ABC ，使截得的一个三角形与∠ABC 相似，则满足的截线共有 条．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∠ABC DBC S S =．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∠ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒， ∠AE ∥ ．∠AEM △∽ ．∠AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∠ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ． （1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND△△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S ∠ADE ，S ∠ABC 和a ，b ，c ，d 之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∠BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以∠ADE ∠∠ABC ，可得比例式：a ca b c d=++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABCS a Sa b =+．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABCS a a a a c ac Sa b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++． （2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABCSacSa b c d =++？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在∠ABC 的边上，做AH ∠BC 于H ，可得：1212ABD ADCBD AHS BD SDC DC AH ⋅==⋅．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCSS= ．（2）如图6，E 在∠ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCSS= ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，∠ABCD 的面积为30，则∠AEF 的面积是 ．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC ODS OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．8．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D ，E ，F 依次是∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交∠ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ． 过点C 作CM ∠DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AFDM FC=（依据）， ∠BE AD EC DM ⋅＝BD AFDM FC⋅， ∠BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=．情况②：如图2，直线DE 分别交∠ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ． …（1）情况①中的依据指： ； （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是∠ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :F A ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．9.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中,5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES△ODB的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长； （3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ∠∠=、, 求线段OC 的长．10.（2022松江中考模拟）如图，已知在△ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分△ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG △DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求ADEABCS S ∆∆的值．11．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，△BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE ＝6，AE2＝AB•AD，且DC△AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．12．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证∠ACD∠∠ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．13．（2021·广西百色·中考真题）如图，∠ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．14．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC 与A B C '''中，点D 、D 分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．。

共边比例定理
（实用版）
目录
1.共边定理的概念
2.共边定理的证明
3.共边定理的应用
4.结论
正文
一、共边定理的概念
共边定理是指在两个相交线段组成的两个三角形中，如果这两个三角形有一个公共边，那么这两个三角形的面积之比等于这个公共边的长度与它到另一个公共顶点的距离之比。

这个定理在解决一些几何问题时非常有用，尤其是在求解一些比例问题时。

二、共边定理的证明
为了证明共边定理，我们可以将问题分为四种情况进行讨论：
1.当两个三角形的高相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的底边长度之比。

2.当两个三角形的底边相等时，两个三角形的面积之比就等于它们的高之比。

3.当两个三角形的高和底边都不相等时，我们可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。

4.当两个三角形的高和底边都不相等，且它们的顶点也不在同一条直线上时，我们同样可以通过相似三角形的性质来证明两个三角形的面积之比等于它们的高和底边长度之比。

三、共边定理的应用
共边定理在实际应用中非常广泛，它可以用来求解一些比例问题，例如在求解三角形的面积比例时，我们可以通过共边定理来求解。

另外，共边定理还可以用来证明一些几何问题，例如证明两个三角形的面积之和等于另一个三角形的面积等。

四、结论
共边定理是几何学中的一个基本定理，它对于解决一些比例问题和几何问题非常有用。

数学中考重要知识点概述代数与几何运用总结数学作为一门基础学科，在中考中起着至关重要的作用。

代数与几何是其中两个核心领域，也是中考的重要知识点。

本文将概述代数与几何在中考中的应用，并总结其中的重要知识点。

一、代数运用1. 方程与不等式方程与不等式是代数学中的基本概念，广泛应用于中考试题中。

方程与不等式解题是考查学生的数学逻辑思维和计算能力的重要手段。

在解题过程中，要善于运用方程与不等式的性质，将实际问题转化为代数表达式，从而得到正确的答案。

2. 函数与图像函数与图像是数学中较为抽象的概念，但在中考中也有广泛的应用。

掌握函数与图像的性质，可以帮助学生解决各种实际问题。

在函数与图像的应用中，要熟练掌握函数的定义、性质，理解函数与图像之间的关系，并灵活运用函数与图像的特点进行问题求解。

3. 数列与数列运算数列是一个有序的数的集合，是中考中常见的知识点。

数列的性质与变化规律，对于学生在解题中起着重要的指导作用。

在数列与数列运算的应用中，要学会识别数列的类型，理解数列的递推关系，掌握常见数列运算的方法。

二、几何运用1. 三角形三角形是几何学中的重要概念，也是中考中常见的几何形状。

熟练掌握三角形的性质，对于解决与三角形相关的问题至关重要。

在三角形的应用中，要注意掌握三角形的周长、面积、角度关系等重要概念，并能够准确运用相关的定理与公式进行计算。

2. 相似与全等相似与全等是几何学中的重要概念，对解决几何问题有着重要的指导作用。

了解相似与全等的性质，能够帮助学生判断和构建几何图形，解决实际问题。

在相似与全等的应用中，要善于利用相似与全等的条件，进行图形的判断和计算。

3. 平面与立体几何平面与立体几何是几何学中的重要内容，也是中考中常考的知识点。

掌握平面几何的性质与定理，可以帮助学生解决与平面图形相关的问题。

对于立体几何的应用，要了解立体图形的表面积与体积计算方法，掌握判断与计算立体图形的技巧。

综上所述，代数与几何作为数学中的重要知识点，在中考中起着重要作用。

中考数学必背定理1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补? ? ?15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1 直角三角形的两个锐角互余19.推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25.边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26.斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31.推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33.推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35.推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形?37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 那么这个三角形是直角三角形48.定理四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51.推论任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等? ??54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理2 矩形的对角线相等62.矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65.菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267.菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等??75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L ×h83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d84.(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85.(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88.定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边? ? ? ? ? ? ??89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94.判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101.圆是定点的距离等于定长的点的集合102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合?104.同圆或等圆的半径相等105.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108.到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109.定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

第八讲“三共定理”——共边定理新知探索共边定理问题回顾：在上一讲中，我们留下了一道习题：如图AB、PQ相交于M。

求证：BMAMSSBPQAPQ=∆∆在这道题目中，ΔAPQ和ΔBPQ没有共同的高，你能求它们的面积比吗？如果不能，我们先放一放，先观察下面四组图形：它们有什么共同的特点？在上面四组图中：它们都有一条公共边AB的两个三角形，这样的两个三角形叫做共边三角形。

【思考】：如果过共边三角形ΔABM、ΔABN的顶点M、N作直线，与公共边相交于点P，那么共边三角形的面积比与PNPM有何关系？如下图：通过猜想，可以把这个事实概括为一个重要的结论：共边定理我们如何来证明这个定理呢？【分析】我们以第一种情形来加以证明。

如图：方法1：ΔABM、ΔABN虽有公共的边AB，但没有公共的高，不能直接应用共高定理。

但是图中出现很多的三角形中，出现了一条共高三角形的关系链：ΔABM—ΔBPM—ΔBPN—ΔABN。

在这些三角弄散中，前者与相邻的后者是两个共高三角形。

如下图：证明：由已知，根据共高定理分别可得：PBABSSBPMABM=∆∆①NPMPSSBPNBPM=∆∆②ABPBSSABNBPN=∆∆③把①、②、③三式左右两边分别相乘，可得：NPMPABPBNPMPPBABSSSSSSABNBPNBPNBPMBPMABM=⨯⨯=⨯⨯∆∆∆∆∆∆即NPMPABPBNPMPPBABSSABNABM=⨯⨯=∆∆∴NPMPSSABNABM=∆∆方法2：这种方法表达更简洁，学习程度较好的同学可以阅读参考。

证明：由共高定理可得：NPMPABPBNPMPPBABSSSSSSSSABNBPNBPNBPMBPMABMABNABM=⨯⨯=⨯⨯=∆∆∆∆∆∆∆∆即：NPMPSSABNABM=∆∆方法3：证明：如图，延长PB至点Q，使PQ=AB，连接MQ、NQ。

由共高定理可得：PQ MA BMSS∆∆=；PQ NA BNSS∆∆=；NPMPSSPQNPQM=∆∆∴NPMP S S S S PQN PQM ABN ABM ==∆∆∆∆ 即NP MP S S ABN ABM =∆∆ 想一想：其它三种情形的共边三角形，你能否用上述三种方法一一证明？试试看！【实践练习1】如下图，根据给的条件填空：①=∆∆ABC ABE S S ；②=∆∆BDCABD S S ； ③=∆∆BDE ABE S S ；④=∆∆DEC ABD S S ⑤=FE AE 。

相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

模型1.“母子型”模型(共边共角模型)【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“母子型”模型(共边共角模型)“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。

图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴ADAB=ABBC，∴AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，∴AC2=AD·AB.同理可证：BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4)共边模型条件：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBC，∵∠ADB=∠DCB，∴△ADB∽△DCB，∴ABDB =DBBC，∴BD2=BA⋅BC1.(2024·河北石家庄·二模)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，∠BAE=∠DAC，AB=9，AD =12，则CE长为()A.214B.3 C.9 D.4872.(23-24九年级上·江苏南通·阶段练习)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．3.(2024·湖南长沙·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交BC于C，D两点，分别以点C和点D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧交于点P，作直线AP，交CD于点E．若AC=5，CD=6，则BC=．4.(2024·广西南宁·三模)阅读与思考，完成后面的问题．射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有如下结论：①AD2=BD⋅DC；②AB2=BD⋅BC；③AC2=CD⋅BC．下面是该定理的证明过程(部分)：∵AD是斜边BC上的高，∴∠ADB=90°=∠ADC．∵∠B+∠BAD=90°，∠B+∠C=90°，∴∠BAD=∠C．∴△ABD∽△CAD(依据)．∴BDAD =ADCD．即AD2=BD⋅DC．(1)材料中的“依据”是指；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；(3)应用：△ABC中，∠A=90°，B1,0，C-3,0，点A在y轴上，求顶点A的坐标．5.(2023·山东淄博·九年级统考期末)如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP= 60°，且△ACP∽△PDB．(1)请判定△PCD的形状，并说明理由；(2)若AC=2，BD=3，求△ABP的面积．6.(2024·浙江温州·三模)如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心BC长为半径画弧，交边AB于点D，连接CD．点E是CB延长线上的一点，连接AE，若AB平分∠CAE．(1)求证：△ACD∽△AEB．(2)当AD=BD时，求BCEB的值．7.(2024·河南·二模)三角形的布洛卡点(Brocardpo int)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A．LCrelle1780-1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的名字命名．如图1，若△ABC内一点P满足∠P AB=∠PBC=∠PCA=∠α，则点P是△ABC的布洛卡点，∠α是布洛卡角．(1)如图2，点P为等边三角形ABC的布洛卡点，则布洛卡角的度数是；P A、PB、PC的数量关系是；(2)如图3，点P为等腰直角三角形ABC(其中∠BAC=90°)的布洛卡点，且∠1=∠2=∠3．①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若△ABC的面积为52，求△PBC的面积．1.(23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习)如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则下列结论中不正确的是()A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△EDCD.△ABC∽△ACD2.(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°．分别以点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC 长为半径画弧，交BC于点H，连结AG,AH．则下列说法错误的是()A.AG =CGB.∠B =2∠HABC.△CAH ≅△BAGD.BG 2=CG ⋅CB3.(2023·江苏·九年级专题练习)如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，且∠ACD =∠ABC ，若AC =3，AD =1，则DB 的长为．4.(23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习)如图，在△ABC 中，AB =2AC ．以点A 为圆心，以AC 的长为半径作弧交边AB 于点D ．分别以点D ，C 为圆心，以大于12CD 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点E ，则EC BE 的值为．5.(23-24九年级上·陕西汉中·期中)如图，点C 、D 在线段AB 上，且CD 是等腰直角△PCD 的底边．当△PDB ∽△ACP 时(P 与A 、B 与P 分别为对应顶点)，∠APB =°．6.(2024·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC 中，AB =AC ，BC =24，tan C =512，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为．如图2，连接AP ，作∠APQ ，使得∠APQ =∠B ，PQ 交AC 于Q ，则当BP =11时，AQ 的长为．7.(2024.广东九年级校级月考)在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D,AD=8,DB=2，求CD的长8.(22-23九年级上·云南红河·期末)如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE．求证：△ABC∽△AEB．9.(2023春·福建福州·八年级校考期末)已知：如图，在△ABC中，D为AB边的中点，连接CD，∠ACD=∠B，AB=6，求AC的长．10.(23-24八年级下·浙江宁波·期末)【证明体验】(1)如图1，在△ABC中，D是AB边上的点，连结CD，若∠ACD=∠ABC，求证：AC2=AD⋅AB．【思考探究】(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，D是AB边上的点，连结CD，E是CD的中点，连结BE．若∠ACD=∠DBE，求AD的长．11.(23-24九年级下·河南南阳·阶段练习)如图，在△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P为△ABC内的一个动点，已知∠BP A=135°，∠APC=90°．(1)求证：△BP A∽△CPB；(2)求APPC的值．12.(2023·陕西西安·九年级期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、AC于点F，E．(1)求证：ΔCBF∽ΔABE；(2)若AB=10，BC=6，求ΔCBF的面积．13.(2024·四川·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．14.(2024·山东·八年级专题练习)定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．15.(2023秋·江苏扬州·九年级校联考阶段练习)如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，连接CM交DB于N.(1)求证：BD2=AD⋅CD；(2)若BC=6，CD=8，求AD的长.16.(2023·广东深圳·一模)【探究发现】(1)如图①所示，在等腰直角△ABC中，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，则有下列命题：①△BDO∽△BCA；②△EDA∽△ECO；③△BDO∽△EDA；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；【类比迁移】(2)如图②所示，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点D，O分别为边BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，若OB=2，求AE的值；【拓展应用】(3)在等腰△ABC中，AB=AC=a，BC=b，a<b<2a，点D，O分别为射线BA，BC上一点，且OB=OD，延长OD交射线CA于点E，当△ADO为等腰三角形时，请直接写出OB的长(用a，b表示)．相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

备注：本文主要是针对课上讲的图形与几何常用定理，迚行了综合整理，涉及定理的内容是什么，该定理的应用思路是什么？因为是总结性的内容，所以是需要小伙伴们在听完理论课和学霸作业之后，再迚行阅读~~1.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

应用思路：证明两线段长度相等时，线段垂直平分线性质定理是思路之一。

即找到线段的中点和与线段垂直的线这两个条件。

2.角平分线性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

应用思路：题目中涉及角平分线的已知条件，往往需要利用角平分线的性质定理迚一步的探究是否存在两个三角形全等，从而得到迚一步的结论（因为涉及角平分线，就可以构造出直角三角形，所以到角两边距离相等+直角+公共斜边（HL）得到三角形全等）。

3.平行线的判定方法（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

应用思路：平行线的性质和判定在题目中往往不是直接给定哪个直线与哪个直线平行，需要自己根据已知条件看隐藏条件，比如题目告诉四边形ABCD是菱形，那就隐含了平行线，我们就知道了平行线中所有的性质。

反之，如果告诉了角与角相等，观察两角位置关系，得出相应结论，比如等腰三角形，比如平行线，比如三角形相似或三角形全等（结合其他条件）等等的一系列结论。

4.等腰直角三角形应用思路：在考试中，如果出现等腰直角三角形的条件，除了考虑边相等的关系，还要考虑角的关系和角的大小。

更要注意的是，任意两个等腰直角三角形都是相似三角形（因为对应边成比例，两边夹角相等或两个角相等，三角形相似）5.直角三角形直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

反之，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

应用思路：题目中涉及直角三角形时，首先可以知道的结论是有一个角是直角。

∆APB 面积︰∆AQB 面积＝PM ︰QM1如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，用面积方法证明：DE ∥BC 且DE ＝12BC ． 证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴△ADE ﹕△BDE ＝△ADE ﹕△CDE ＝1﹕1 ∴△BDE ＝△CDE ∴ DE ∥BC∴∠DBC ＝∠ADE 由共角定理得：△ADE/△ABC ＝AD·DE/AB·BC ＝1/4∵AD ＝12AB ∴DE ＝12BC ． 这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理．传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形．例2：(1983年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形ABC 的面积为10，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且BD ＝2，DC ＝3，若△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，则这个面积是（ ） A ．４C ．５D ．６B．3Ｅ．不确定解：由△BCE 与四边形DCEF 的面积相等，在四边形BCEF 中分别减去这两个面积，得△BFD 与△BFE 同底且面积相等，所以BF ∥DE ，可以得到AB 为边的两个三角形△ABD 与△ABE 面积相等，因为三角形ABC 的面积为10，且BD ＝2，DC ＝3，所以△ABD 的面积等于4，即△ABE 面积等于4，所以△BCE 的面积等于10－4＝6，故选C ． 这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目． 例3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，由共角定理得：△AOB/△COD ＝OA·OB ＝OC·OD ＝1 即△AOB ＝△COD ，∴共底的两个三角形△ACB ＝△CBD ，∴AD ∥BC ； 同理可证AB ∥CDAABBPPMM共边定理图：四种位置关系QQABCDO问：共边定理怎么证线段相等？答：常常是共边与共角两个定理都会用到。

4.4共角比例定理及应用共角比例定理若在△ABC和///CBA∆中，/AA∠=∠或+∠A,180/ο=∠A则⋅⋅⋅=∆∆///////CABAACABssCBAABC(4.4-1)证明不妨设/AA∠∠与重合或互为邻补角，如图4-20所示．这时连,//BCCB、由共边比例定理，有/////.CBACABcABABCABCABCsssSss∆∆∆∆∆∆⋅=⋅⋅=////.CAACBAAB注也可由三角形面积公式推导，即⋅⋅⋅=∠⋅⋅∠⋅⋅=⋅∆∆///////////sin21sin21///CABAACABCABCABABACACABSsCBAABC显然，当//CAAC=时，式(4.4-1)即为式(4.3-1)的一种情形，即共角比例定理也可看作共边比例定理的一种推广，运用共角比例定理，可方便地推证一些基本结论，如(1)在△ABC中，若∠B＝∠C，则由,1ACABACBCABBCSSCABBAc=⋅⋅==∆∆得.ACAB=(2)在△ABC中，若AD平分∠A交BC于D，则由.ADADSSDCBDADCADB==∆∆,ACABACAB=得⋅=DCBDACAB 例1 如图4—21，在△ABC的边AB、AC上分别取点D、E，使AD＝ AE．又设M是BC之中点，AM与DE 交于N，求证：⋅=ABACNEDN&证明由共角比例定理，有⋅⋅⋅=⋅⋅=∆∆∆∆AMACAEANssAMABADANssACMANEABMAND,两式相除，并注意到,,,ABMACMsSAEADMCBM∆∆===则⋅==∆∆ABACssNENDENAAND&例2如图4-22，在△ABC 中，,72ο=∠CBA E 是AC 中点，D 在BC 上且2BD ＝DC ，AD 与BE 交于F ，则△BDF 与四边形FDCE 的面积比是( )． 51.A 41.B 31.C 52.D E ．这些都不是 （第9届美国奥林匹克预赛题）解选A ．理由：用共角比例定理及共边比例定理，得)(3BFFE BF BF BD BE BC S S BDF BCE +=⋅⋅=∆∆ )1(3)1(3ABD ADE s s BFFE ∆∆+=+= ).1(3ABD ADC ADC ADE S S S S ∆∆∆∆⋅⋅+= .6)12.211(3=+= 即,6.BDF BCE S S ∆∆=故⋅=∆FDCE BDF S S 51 注 上述方法求解时，题中条件ο72=∠CBA 是多余的，例3 如图4-23，点M 和N 三等分AC ，点X 和y 三等分BC ，AY 与BM 、BN 分别交于点S 、R ，则四边形SRNM 的面积与△ABC 的面积之比为 ． （1996年上海市竞赛题）解 填⋅425理由：对△BMC 与截线ASY ，由梅涅劳斯定理得,121.31...==SM BS YB CY AC MA SM BS即有 ,6=SM 从而⋅=7BM 又对△BNC 与截线ARY 运用梅涅劳斯定理，有 ,121.32...==RN BR YB CY AC NA RN BR 即有 ,3=RN BR 从而⋅=43BN BR 由共角比例定理，有,14943.76==⋅⋅=∆∆BN BM BR BS s S BMN BSR从而 ⋅=∆145BMN RSMN s s又由共边比例定理，有 ⋅==⋅⋅∆∆31AB MN S S ABC BMN 故 ⋅==⋅=⋅∆∆∆42531.145145.ABC BMN ABC SRNM S S S S 例4 设M 是任意三角形ABC 的边BC 的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F ，连EF 与AM 交于N ．求证： ⋅+=)(21AFAC AE AB AN AM （1978年辽宁省竞赛题） 证明 如图4-24，由MB ＝ MC ，得.22ACM ABM ABC S S S ∆∆∆==对等式AFN AEN AEF S S S ∆∆∆+=两边同除以,ABC S ∆得⋅+=⋅+=⋅∆∆∆∆∆∆∆∆∆ACMAFN ABM AEN ABC AFN AEN ABC AEF S s S S S s s S S 22 对上式，运用共角比例定理得)..(21AMAC AN AF AM AB AE AC AB AF AE ⋅⋅+⋅=⋅⋅ ,)(21ω⋅⋅+=AN AC AF AB AE整理即得 ⋅+=)(21AFAC AE AB AN AM 例5 已知四边形ABCD 的对角线AC 经过另一对角线BD 的中点0，过0作两直线分别与AB 、BC 、CD 、DA 交于E 、H 、F 、G,连EH 、FG 分别与BD 相交于P 、Q 求证：OP=OQ ．(§4.3中例5的推广)证明 如图4-25，连ED 、BG 、BF 、DH ．由共边比例定理和共角比例定理，有OGF DGF BHE OHE S S S S OQ DQ BP OP ∆∆∆∆=..& BHEBAC BAC DAC DAC DGF OGF OHE S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=... BE BH BC BA BO DO DC DA DF DG OF OG OE OH ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=... BDEBDC BDH BDA BDC BDF BDA BDG BDF BDE BDG BDH s S S S S S S S S S S s ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅=..1 (1)从而,DQ OQ BP OP =即有,ODOQ BO OP =故OP ＝OQ ． 注此问题是张景中院士提出并证明．本节及上节中的例题的解法，一部也是张院士给出的，习 题 4.41 设D 、E 分别是△ABC 的边AC 、AB 上的点，且满足=∠=∠ECB DBC .21A ∠求证：BE ＝CD ． 2 设△ABC 是等腰直角三角形，.90ο=∠C 在BC 边上取一点M ，使CM =2MB ，过C 作MA 的垂线与斜边AB交于P ．求⋅PBAP 3 平行四边形ABCD 的面积为60，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，AF 分别与ED 、BD 交于G 、H ，求四边形BHGE 的面积．4 在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上分别取M 、K 、L ．求证：△AML、△BMK 、△CKL 中至少有一个面积不大于.41⋅∆ABC S （第8届IMO 试题） 5 在凸四边形ABCD 中，AB ＝ CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．延长BA 、CD 分别交FE 的延长线于P 、Q 求证：PA =QD.（同习题4.3第3题）答案。

作者： 陆小平;张林兴
出版物刊名： 苏州教育学院学报
页码： 27-28页
主题词： 面积定理;三角形;初中几何;平面几何;梅涅劳斯定理;两个三角;中学数学;初中数学;
公共边;几何习题
摘要： 在平面几何的图形中,我们把有一条公共边的两个三角形称为共边三角形,共边三角形的问题是常见的,由于共边三角形的面积与边之间有一些特殊的关系,本文试提出一个有关共边三角形的面积定理,运用该定理,可以处理许多初中几何问题和解决数学竞赛中有关平几的试题.定理（共边三角形的面积定理）:若ΔABC与ΔABD有公共的边AB,CD与AB（或它们的延长线）相交于P,则(SΔABC)/(SΔABD)=（CD）/（DP）证明:ΔABC与ΔABD共边AB,共有四种不同情况,如图所示,但证法相同.。

近年来，教育行业不断进行改革创新，教学质量得到了较大的提升。

而在这个过程中，公用边数学教案也逐渐成为教学的重要组成部分，以其简洁、清晰的优点受到广泛赞誉。

在众多的数学教案中，优秀的公用边数学教案几乎无处不在，它们是教育创新的象征和骨干。

本文将对一些优秀的公用边数学教案进行深入分析。

第一篇案例：由连雨达老师编写的《初中数学之平面上的大小比较》教案。

该教案以“知识升级，理解提升”为目标，结合具体的例子，使用精简强化的方式，全面提高学生对比大小的理论理解和应用能力。

该教案在教学时采用“问题情境”分析法，即通过分析“解决问题所需要的信息和方法”，引发学生思考和探究，提升课堂效率。

此外，教案采取了全方位的教学手段，如教师板书讲解、学生的自主整理和策略计划等，使学生的思维能力得到更好的发挥。

第二篇案例：由张欣老师编写的《重点练习题解析》教案。

该教案以重点习题为切入点，通过分类组合方式，深入了解问题本质，保持全局理解与学科细节的平衡，最终促进学生之间的交流与合作。

同时，该教案倡导学生将学习当作一项长期而复杂的过程，不断推进课程的发展，丰富以往单一教师讲授方式，使学生的主动性、积极性和创造力得到充分发挥。

第三篇案例：由李霞老师编写的《小学数学之有理数的概念及其运算》教案。

该教案引导学生了解有理数的定义、性质以及相关的运算方法，强调理论和实践相结合的教学方法，为下一步的有理数学习打下坚实地基础。

在教学过程中，教案采用“启发式教学法”和“互动性教学法”相结合的形式，通过与学生互动，激发学生参与和合作的意愿，让学生更加主动地发掘知识和应用技能，提高学生的学科领域外表现和全面素质。

以上三个案例都是典型的优秀公用边数学教案，它们具有以下的特点：一、理论与应用结合：这些教案不仅关注本质，还注重实践应用。

通过适当引导学生思考和分析，让他们能够灵活应对各种实际问题。

二、思维与操作并重：这些教案充分体现了开发学生思维能力和潜力的思路与方法，又注重操作技巧和策略，从而提高数学学习的效果。

蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。

设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。

则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。

又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。

对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。