燕尾定理

第9讲燕尾定理第一关基础燕尾定理【知识点】燕尾定理，因此图类似燕尾而得名，是五大模型之一，是一个关于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上点，满足AD、BE、CF 交于同一点O）．S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；同理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE．【例1】对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD 的面积是多少？【答案】45【例2】如图，BD：DC=2：3，AE：CE=5：3，求AF：BF。

【答案】5：2【例3】如图，△ABC中，E是AD的中点，已知△ABC的面积是2，△BEF的面积是13，求△AEF的面积.【答案】1 6【例4】如图，S△BDF=3cm2，S△CDF=5cm2，S△CEF=4cm2，求△ABC的面积.【答案】1 177【例5】如图，AE=DE，BC=3BD，三角形ABC的面积是30平方分米，求阴影部分的面积.【答案】12【例6】如图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？【答案】3 7【例7】如图，在三角形ABC中，CE=2AE，F是AD的中点，三角形ABC的面积是1，那么阴影部分的面积是多少？【答案】5 12【例8】三角形ABC中，∠C是直角，已知AC=2，CD=2，CB=3，AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是多少？【答案】3 10【例9】如图，在三角形ABC中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD，连接CF交DE于P点，求EP DP的值．【答案】9 4【例10】梯形ABCD中，AE与DC平行，S△ABE=15，求S△BCF。

【答案】15【例11】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面积是多少平方厘米？【答案】14【例12】如图，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4平方厘米，△CED的面积是6平方厘米，则四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【答案】11【例13】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】5 12【例14】如图，在△ABC中，BD=AD，EF=3，FC=2，△ADH与△AGC的面积和等于四边形EFGH的面积，那么BE的长是多少？【答案】1【例15】如图，正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形，如果DG=5，那么正方形ABCD面积是多少？【答案】64【例16】如图所示，正方形ABCD的面积为9平方厘米，正方形EFGH的面积为36平方厘米，边BC 落在EH上．已知三角形AGC的面积为6.75平方厘米，求三角形ABE的面积．【答案】2.25。

燕尾定理公式燕尾定理，又称为“皮克定理”或“握手定理”，是平面几何中的一个定理，已有两百多年的历史。

它描述的是一个简单多边形内部的点数与边数及顶点数之间的关系。

通过该定理，我们可以方便地计算出由卡片拼成的形状中的点数、边数和顶点数，以及对一些技术问题的解决。

下面是详细介绍。

燕尾定理公式为：对于一个平面图形，内部的点数I等于边数B减顶点数V加2，即I=B-V+2。

其中，点数I表示几何图形内部的点的数量；边数B表示几何图形的边数；顶点数V表示几何图形的顶点数。

公式的意义在于，当我们知道了任意两个值时，就可以非常方便地求出第三个值。

例如，当我们知道一张图形内部有m个点，其中包含n条边，那么该图形的顶点数就等于n-m+2。

此外，燕尾定理中的“燕尾”一词来源于几何形状。

燕尾的具体形状为带有斜切角的直角三角形，其两个直角边长度分别与相邻边相等，不同于其他三角形的长和宽的形状。

而燕尾定理中的“燕尾”则指的是这种三角形的形状。

燕尾定理的应用十分广泛。

例如，在计算地图中某个地区所覆盖的面积时，可以利用该定理计算出图形内部的点数、边数和顶点数。

而在计算工艺制图中特定形状的尺寸时，也可以用燕尾定理来计算图形内部的点数、边数和顶点数。

当然，在应用定理时，还需要注意一些细节。

例如，燕尾定理只适用于简单多边形，即多边形内部没有自交（即交叉）。

此外，如果多边形存在空洞或孔，则需要分别计算内外多边形的点数、边数和顶点数，然后用两个结果相减得到最终结果。

总的来说，燕尾定理作为平面几何中的一个基础定理，可以在很多领域中得到应用。

对于初学者而言，掌握该定理的公式和应用方法是十分重要的，有助于提高几何计算的效率和准确性。

燕尾定理详细讲解
燕尾定理是一个关于平面三角形的定理，其得名源于解题图形类似燕尾的形状。

以下是燕尾定理的详细讲解：
1. 定理定义：燕尾定理是一个关于三角形面积的定理，它指出两个相似三角形对应的两条边之间的比例与它们的高成反比。

2. 定理公式：如果两个相似三角形的对应边长分别为a和b，高分别为h和k，那么它们的面积之比为a:b=(h:k)^2。

3. 证明方法：燕尾定理可以通过相似三角形的性质和勾股定理进行证明。

首先，由于两个三角形相似，我们有(a/b)^2=(h/k)^2。

然后，利用勾股定理，我们可以得到a^2=b^2-c^2，其中c是三角形的底边长。

结合上述两个等式，我们可以得到a:b=(h:k)^2。

4. 应用领域：燕尾定理在几何学、三角学等领域有广泛的应用，特别是在解决与三角形面积、相似三角形等有关的问题时。

通过燕尾定理，我们可以快速找到相似三角形之间的面积比例关系，从而简化问题解决过程。

5. 注意事项：在使用燕尾定理时，需要注意确保所涉及的两个三角形是相似的，这是应用该定理的前提条件。

此外，还需要注意单位和坐标系的统一，以确保计算结果的准确性。

总之，燕尾定理是一个重要的几何定理，通过掌握其定义、公式、证明方法、应用领域和注意事项等方面的知识，可以更好地理解和应用该定理，解决与三角形面积和相似三角形有关的问题。

三角形的燕尾定理公式摘要：一、燕尾定理公式简介二、燕尾定理公式的推导过程三、燕尾定理公式在实际问题中的应用四、总结正文：一、燕尾定理公式简介燕尾定理公式，是描述三角形中一个重要性质的公式。

它表示了在一个三角形中，如果有一条直线与两条边相交，那么这两条边的长度和这条直线的长度之间将满足一个特定的关系。

这一性质广泛应用于解决各种几何问题，是理解许多复杂几何关系的基础。

二、燕尾定理公式的推导过程燕尾定理公式的推导过程涉及一些复杂的几何知识和数学理论，对于非专业的人来说可能有些晦涩。

然而，我们可以通过一个简单的模型来说明其基本原理。

假设有一个三角形ABC，其中AB 和AC 是两条边，BC 是底边。

现在有一条直线DE 与AB 和AC 相交，交点分别为F 和G。

根据三角形的性质，我们知道AF=BF，AG=CG。

现在我们将这个模型扩展到更一般的情况。

假设我们有一个任意的三角形ABC，其中AB=c，AC=b，BC=a。

我们有一条直线DE 与AB 和AC 相交，交点分别为F 和G。

根据相似三角形的原理，我们可以得出以下比例：AF/AB = AG/AC通过交叉相乘，我们可以得到：AF*AC = AG*AB这个等式就是燕尾定理公式。

三、燕尾定理公式在实际问题中的应用燕尾定理公式在解决各种几何问题中都有广泛的应用。

例如，在测量问题中，如果我们知道了一个三角形的一个角度和其对应的边长，以及另一个角度和其对应的边长，那么我们就可以用燕尾定理公式来计算第三个角度和其对应的边长。

在建筑和工程领域，燕尾定理公式也被广泛应用。

例如，在设计桥梁和建筑物的结构时，需要考虑到各种力的平衡，包括垂直于结构表面的压力和水平方向的张力。

在这些情况下，理解燕尾定理公式是非常重要的。

四、总结总的来说，燕尾定理公式是理解三角形性质的重要工具。

它不仅可以帮助我们解决各种几何问题，也是理解许多复杂几何关系的基础。

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.例题精讲【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE F【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x y y x ABCD E FGE D CBA【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFE DCBA【例 3】ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBA【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．ED【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE O【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．BE【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BA【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．B【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA课后作业1、如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．4、如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F5、如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA。

燕尾模型公式推理
燕尾定理:在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CD
S△AOB∶S△COB=AE∶CE
S△BOC∶S△AOC=BF∶AF
因此图类似燕尾而得名。

是五大模型之一，是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。

此定理是面积法最重要的定理之一。

所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段的方法。

相关定理有以下几个：
等底等高的两个三角形面积相等;
等底(或等高)的两三角形面积之比等于其高(或底)之比;
在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等;
若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点的直线与底边平行。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交於同一點O ，那麼::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為ABO ∆和ACO ∆的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在於，它可以存在於任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯繫的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，D 是BC 上任意一點，請你說明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 與三角形CED 同高，分別以BD 、DC 為底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 與三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 與三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；綜上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】如右圖，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．例題精講燕尾定理O F EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【點評】本題關鍵是把AOB △的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【答案】27:16【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【鞏固】如圖，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,則:AF BF =GF EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空【解析】 根據燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF===△△【答案】5:2【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【點評】本題關鍵是把AOB △的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】如圖，三角形ABC 被分成6個三角形，已知其中4個三角形的面積，問三角形ABC 的面積是多少?35304084O FED CBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設BOF S x =△，由題意知:4:3BD DC =根據燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根據::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面積是844030355670315+++++= 【答案】315【例 3】如圖，三角形ABC 的面積是1，E 是AC 的中點，點D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 與BE 交於點F ．則四邊形DFEC 的面積等於 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】希望杯，五年級，初賽 【解析】 方法一：連接CF ，根據燕尾定理，12ABF ACFS BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 設1BDF S =△份，則2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如圖所標所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：連接DE ，由題目條件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以則四邊形DFEC 的面積等於512．【答案】512【鞏固】如圖，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面積是30，求陰影部分面積.BBB【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 題中條件只有三角形面積給出具體數值，其他條件給出的實際上是比例的關係，由此我們可以初步判斷這道題不應該通過面積公式求面積. 又因為陰影部分是一個不規則四邊形，所以我們需要對它進行改造，那麼我們需要連一條輔助線，(法一)連接CF ，因為BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面積是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根據燕尾定理，12ABFCBFS AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△, 所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以陰影部分面積是30107.512.5--=．(法二)連接DE ，由題目條件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以陰影部分的面積為12.5．【答案】12.5【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是2200cm ，E 在AC上，點D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 與BE 交於點F ．則四邊形DFEC 的面積等於 ．FED CBAABCDE FFEDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 連接CF ，根據燕尾定理，2639ABF ACFS BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 設6ABFS =△份，則9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+=【答案】93【鞏固】如圖，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 與CD 相交於點O ,則ABC △被分成的4部分面積各占ABC △ 面積的幾分之幾？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答【解析】 連接CO ,設1AEO S =△份，則其他部分的面積如圖所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按從小到大各占ABC △面積的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【鞏固】如圖所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 與AP 相交於點X ，若ABC△的面積為6，則ABX △的面積等於 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】香港聖公會數學競賽 【解析】 方法一：連接PQ ．由於12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =，1126BPQ BCQ ABC S S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===， 所以441226 2.455255ABXABPABCABCS S S S ==⨯==⨯=． 方法二：連接CX 設1CPX S =△份，根據燕尾定理標出其他部分面積， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△ 【答案】2.4【巩固】 兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示， 三個三角形的面積 分別是3，7，7，則陰影四邊形的面積是多少？【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：遇到沒有標注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標注字母，方便後面的計算.再看這道題，出現兩個面積相等且共底的三角形．設三角形為ABC，BE和CD交於F，則BF FE=，再連結DE．所以三角形DEF的面積為3.設三角形ADE的面積為x，則()():33:10:10x AD DB x+==+，所以15x=，四邊形的面積為18．方法二：設ADFS x=△，根據燕尾定理::ABF BFC AFE EFCS S S S=△△△△,得到3AEFS x=+△，再根據向右下飛的燕子，有(37):7:3x x++=，解得7.5x=四邊形的面積為7.57.5318++=【答案】18【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是1，2BD DC=，2CE AE=，AD與BE相交於點F，請寫出這4部分的面積各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】連接CF，設1AEFS=△份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標出如圖所示，所以121AEFS=△,62217ABFS==△,821BDFS=△,242217FDCES+==【答案】27【鞏固】如圖，E在AC上，D在BC上，且:2:3AE EC=,:1:2BD DC=，AD與BE交於點F．四邊形DFEC的面積等於222cm，則三角形ABC的面積．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空【解析】 連接CF,根據燕尾定理，12ABFACFS BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 設1BDF S =△份，則2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如圖所標,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△【答案】45【鞏固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那麼三角形AMN (陰影部分)的面積為多少？A【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 連接BN ．ABC △的面積為3223⨯÷=根據燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△設AMN △面積為1份，則MNB △的面積也是1份，所以ANB △的面積是112+=份，而ACN △的面積就是224⨯=份，CBN △也是4份，這樣ABC △的面積為441110+++=份，所以AMN △的面積為31010.3÷⨯=． 【答案】0.3【例 4】如圖所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中點，那麼:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 連接CD ．由於:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根據燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△． 【答案】3:4【鞏固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =，:3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE OABCDE O【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 連接OC ．因為:3:2BD DC =，根據燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．則3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==． 【答案】2:1【鞏固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =，:1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積比來做橋樑，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應該通過面積比而得到邊長的比．本題的圖形一看就聯想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以第一步要連接OC ．連接OC ．A B CDE O因為:2:1BD DC =，根據燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．則2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】如圖9，三角形BAC 的面積是1，E 是AC 的中點，點D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 與BE 交於點F ，則四邊形DEFC 的面積等於 。

完整版)小学奥数几何(燕尾模型)燕尾定理是一个关于三角形内部相交线段和三角形面积比的定理。

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么，S△下面通过一个例题来证明燕尾定理：如图，D是BC上任意一点，请你说明：解析：三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC 为底，所以有另外，还有一个关于四边形面积的例题：如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且解析：方法一：连接CF，根据燕尾定理，△ABF/△ACF=BD/DC=1/2，设△BDF的面积为1份，则△DCF的面积为2份，△ABF的面积为3份，△AEF的面积和△XXX的面积都为3份。

所以四边形DFEC的面积为11/12.方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD=S△ABC=1/3，S△ADE=S△ADC=(1/3)×S△ABC。

所以S△DEF=(1/2)×S△DEB=(1/2)×(2/3)×S△BEC=(1/3)×S△ABC=1 /3.而S△CDE=(1/3)×S△ABC。

所以四边形DFEC的面积为1−1/3−1/3=1/3.已知BD=3DC，EC=2AE，可以发现三角形ABC被分成的四个部分是三角形ABO、三角形AEO、三角形BDC和四边形BCOE。

因为BD=3DC，所以三角形BDC的底边BC上的高是三角形ABO的底边AO上的高的3倍，所以三角形BDC的面积是三角形ABO的面积的3倍。

同理，因为EC=2AE，所以三角形AEO的底边AE上的高是三角形ABO 的底边AO上的高的2倍，所以三角形AEO的面积是三角形ABO的面积的2倍。

因此，四个部分分别占据三角形ABO面积的1/6、1/3、3/10和2/15.解析】连接CF，设S△ABF=1份，则S△ACF=2份，S△CBF=3份，S△BDF=4份，S△DCF=8份。

由于S四边形DFEC=22，所以S△AFC+S△BDF+S△DCF=22.代入可得8份+4份+2份=22，因此S△ABC=3份。

燕尾模型又称燕尾定理，是指在一个三角形中分别从三个角点向所对的边做三条直线并相交于一点。

如图：S△ABO：S△ACO=BD：DC证明：在△ABC中△ABD与△ACD的高相等，故S△ABD：S△ACD=BD：DC；又因为△OBD与△OCD的高也相等，故S△OBD：S△OCD=BD：DC，那么（S△ABD-S△OBD）：（S△ACD- S△OCD ）= S△ABO：S△ACO=BD：DC同理可得：S△ABO：S△BCO=AE：EC；S△BCO：S△ACO=BF：FA【例题1】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD：DC=1：2，AD与BE交于点F，求四边形DFEC的面积？【解题思路】连接FC做辅助线【例题2】如图，三角形ABC的面积是8平方厘米，AF=FD，BD=2/3BC，AD与BE交于点F，求阴影面积？【解题思路】连接FC做辅助线；【例题3】如图，长方形ABCD的面积为120平方厘米，AB=3AE，BD=4FD，求阴影部分面积？【解题思路】连接BG，连接AD做辅助线；【例题4】如图，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12平方厘米，求平行四边形BODC的面积？【解题思路】连接AO，连接BD做辅助线；设S△BEO的面积为1份；S△BEO：S△AEO=BE：EA=1：2，故S△AEO的面积为2份；根据燕尾定理,S△ABO：S△BDO=AF：FD=1：2，故S△BDO的面积为6份；S△ADO：S△BDO=AE：EB=2：1，故S△ADO的面积为12份；S△AFO：S△DFO= AF：FD=1：2，故S△AFO的面积为12÷3=4份，S△AFO的面积为12÷3×2=8份；四边形AEOF面积为6份与三角形BDO面积相等，故平行四边行BODC的面积=12×2=24平方厘米。

下面给学生们留一道练习题，你们可以做一下。

燕尾定理公式燕尾定理（也称为莱斯特定理或拉普拉斯定理）是一种用于描述随机变量和概率密度函数之间关系的定理。

它指出，在满足一定条件下，当随机变量的标准差趋于无穷大时，随机变量的概率密度函数在某些区间上近似等于标准正态分布的概率密度函数。

燕尾定理的表述如下：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，期望值为μ，方差为σ²。

当σ趋于无穷大时，对于任意的实数a和b（a < μ < b），有如下近似：P(a ≤ X ≤ b) ≈ Φ(b) - Φ(a)其中，Φ(x)表示标准正态分布的累积分布函数，即Φ(x) = ∫[负无穷，x] exp(-t²/2) dt。

燕尾定理的应用十分广泛，特别是在统计学和概率论中。

它通常被用于计算一些极端情况下的概率，例如极端值分布和极值理论。

燕尾定理的主要观点是，在一定条件下，当随机变量的标准差趋于无穷大时，其概率分布函数将逐渐趋于标准正态分布。

这个定理的证明可以比较复杂且涉及到一些高级数学知识，例如泰勒展开和一致收敛。

虽然定理本身的表述很简洁，但其背后的数学推导并不容易掌握。

因此，这里不会深入展开定理的证明过程。

燕尾定理的应用非常广泛，它可以用于统计学和概率论中的众多问题。

例如，在极值理论中，燕尾定理可以用于计算极端值的概率，例如极大值和极小值。

另外，燕尾定理也可以用于计算信号处理中的一些极端情况，例如信号噪声比的计算。

需要注意的是，在应用燕尾定理时，要关注给定问题是否满足所需的条件。

燕尾定理的适用条件包括随机变量的期望和方差存在，并且方差趋于无穷大。

如果这些条件没有满足，那么燕尾定理可能不适用，或者需要额外的修正。

总结起来，燕尾定理是一种用于描述随机变量和概率密度函数之间关系的重要定理。

它通过近似将随机变量的概率密度函数与标准正态分布的概率密度函数联系起来。

燕尾定理的应用广泛，特别是在统计学和概率论中。

然而，在应用燕尾定理时需要注意适用条件，并且确认问题是否满足这些条件。

燕尾定理公式
一般来说，在计算某些随机变量的分布函数时，常常需要考虑其尾部的概率分布。

当
随机变量的概率分布函数无法通过常规方法确定其尾部概率时，就需要使用燕尾定理来估计。

燕尾定理公式的一般形式如下：
$P(|X|>x) \sim \frac{\bar{F}(x)}{x}$
$X$ 是一个随机变量，$\bar{F}(x)$ 是其概率分布的补函数，即
$\bar{F}(x) = P(X > x)$
而 $P(|X|>x)$ 则表示 $X$ 的绝对值大于 $x$ 的概率。

燕尾定理实际上是一种渐进关系，表示当 $x$ 很大时，$P(|X|>x)$ 与
$\frac{\bar{F}(x)}{x}$ 的比值会趋近于1。

简而言之，燕尾定理表明，随着 $x$ 的增大，分布函数的尾部概率与 $1/x$ 之间的联系愈加密切。

燕尾定理可以解决很多实际问题，例如在金融领域中，需要研究股票价格的长期波动
情况。

由于极端事件的可预期性较低，因此需要研究某只股票价格一年中可能出现的最大
跌幅。

这里可以通过燕尾定理来估计该事件的概率分布，以便做出相应的决策。

燕尾定理还具有重要的理论意义，在统计学中，可以应用燕尾定理来研究数据中所包
含的尾部异常值对整体数据分布的影响。

具体来说，可以通过比较实际分布函数与燕尾定
理预测的理论分布函数的偏差程度，来判断是否存在尾部异常值的影响。

燕尾定理是一个极为有用的数学工具，可以帮助人们有效地估计分布函数的尾部概率，并为广泛的应用场景提供了有效的数学模型和分析方法。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA.【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答例题精讲燕尾定理【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会数学竞赛 【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△例题精讲燕尾定理【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【答案】5:2【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【答案】315【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【答案】12.5【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+= 【答案】93【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会数学竞赛【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC SS =，1126BPQ BCQABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【答案】2.4【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【答案】18【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【答案】27【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【答案】45【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【答案】0.3【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【答案】3:4【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】2:1【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

三角形的燕尾定理公式（原创实用版）目录1.燕尾定理的定义2.燕尾定理的公式3.燕尾定理的证明4.燕尾定理的应用正文一、燕尾定理的定义燕尾定理，又称三角形的燕尾定理，是指在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的定理。

该定理是三角形稳定性的一个基本原理，广泛应用于各种几何问题的求解。

二、燕尾定理的公式燕尾定理的公式可以表述为：设三角形 ABC 的三边分别为 a、b、c，则有：a +b > ca + c > bb +c > a同时，有：|a - b| < c|a - c| < b|b - c| < a三、燕尾定理的证明为了证明燕尾定理，我们可以采用反证法。

假设三角形 ABC 中存在两边之和小于或等于第三边，即：a +b ≤ c或a + c ≤ b或b +c ≤ a将上述不等式两边同时减去 c，得：a +b -c ≤ 0或a + c -b ≤ 0或b +c - a ≤ 0这说明三角形 ABC 的任意两边之差都小于等于第三边，与三角形的稳定性相矛盾。

因此，原假设不成立，得证燕尾定理。

四、燕尾定理的应用燕尾定理在实际应用中具有重要意义，它可以帮助我们判断一个三角形是否存在，以及在给定三条边长下，能否构成一个三角形。

此外，燕尾定理在解决一些与三角形相关的几何问题时也起到关键作用，如计算三角形的面积、周长等。

总之，三角形的燕尾定理是几何学中的一个基本原理，它对于解决各种与三角形相关的问题具有重要意义。

小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)燕尾定理是一个有关于三角形的定理。

它表明在三角形ABC中，若有AD，BE，CF三条线段相交于同一点O，则可以得出以下关系：S△现在我们通过一道例题来证明燕尾定理。

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：解析】我们可以通过以下方法来证明燕尾定理。

首先，我们连接CF，然后根据燕尾定理，我们可以得到△ABF/△ACF=BD/DC=1/2.接着，我们可以得到△ABF=3份，△DCF=2份，△AEF=△EFC=3份。

因此，我们可以得到SDFEC=S△ABC/2=1/2.另外一种证明方法是连接DE。

根据题目条件，我们可以得到S△ABD=S△ABC=1/3，S△ADE=S△ADC=1/6.因此，我们可以得到S△DEF/S△DEB=S△ADE/S△ABD*S△BEC/S△ADC=1/2*1/3*2/1=2/3.同时，我们可以得到S△CDE/S△ABC=1/3.因此，我们可以得到SDFEC=S△ABC/2=1/2.综上所述，我们证明了燕尾定理。

已知BD=3DC，EC=2AE，可以得到连接OE，可以得到△OEC和△OEB的面积比为2:3，因此△ABC被分成的第一部分面积为2/5.连接OD，可以得到△OBD和△OCD的面积比为1:3，因此△ABC被分成的第二部分面积为3/20.连接AE，可以得到△ABE和△AEC的面积比为2:5，因此△ABC被分成的第三部分面积为5/20=1/4.连接BO和CO，可以得到△BOC和△BEO的面积比为3:2，因此△ABC被分成的第四部分面积为3/20.因此，△ABC被分成的四部分面积分别为2/5、3/20、1/4、3/20，即它们各占△ABC面积的40%、15%、25%、15%。

解析】连接CF，设S△ABF=1份，则S△ACF=2份，S△BDF=1份，S△DCF=2份，S△AEF=4份，S△EFC=4份。

根据燕尾定理，SDFEC=S△ACF+S△DCF+S△BDF=5份。