函数的表示法(一)

函数的表示法（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容函数的表示法.2.内容解析在“对应关系”说的基础上建立了函数概念之后，随即而来的任务就是研究函数本身.而函数的呈现形式就是“函数的表示”问题.学习函数的表示，不仅是研究函数本身和应用函数解决实际问题所必须的，而且是加深理解函数概念，以及向学生渗透数形结合方法的过程.函数的表示法是在已有函数概念的基础上进行学习的，是对函数知识的深化.这部分内容也是函数内容的重要基础.本节的主要内容是在初中已经接触过函数的三种表示法——解析法、列表法和图象法的基础上，明确三种表示法各自的优点及适用对象；通过函数y=|x|引出分段函数的概念，并通过具体实例（例6）熟悉分段函数概念，掌握研究分段函数的一般思想和方法.基于以上分析，确定本节课的教学重点：使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析法、列表法、图象法）表示函数；掌握分段函数概念.二、目标和目标解析1.目标（1）了解解析法、列表法、图象法各自的优点及适用对象；使学生面对数学问题时，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.（2）了解分段函数的概念，明确分段函数是一个函数，掌握研究分段函数的一般思想和方法.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生通过教科书第67页例4，以及之前的学习经验，能自主总结出解析法、列表法、图象法各自的特点；能举出具体实例说明三种表示法的适用情况.（2）学生能理解绝对值函数向分段函数的转化过程，通过具体实例体会分段函数是一个函数而不是几个函数.三、教学问题诊断分析学生在初中学习函数概念时，接触过函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，但是对其并没有深入研究.尤其是在高中阶段“对应关系”说意义下重新建立了函数概念的基础上，函数的三种表示法又有怎样的特点呢？这就是本节课第一个教学问题.针对这一问题，教科书引入了一个实际问题，其本质为离散的一次函数模型，此问题三种表示法均适用，进而可直观地比较出三种表示法各自的特点.而后可根据不同表示法各自的适用范围，选择恰当的方法表示函数.三种表示法各自的特点清楚了，那么它们在研究具体函数问题时，是如何起到相应的作用的呢？于是教科书中举出了绝对值函数的例子（例5），从而引出了高中阶段非常重要的、实际问题中广泛应用的一类函数——分段函数.这是本节课第二个教学问题.通过例5、例6的学习，可让学生体会解析法、图象法在处理连续函数问题时的威力，同时也体现出研究函数的一个非常重要思想——数形结合.正所谓“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合研究函数是贯穿整个高中的思想方法.四、教学支持条件分析在研究绝对值函数（分段函数，例5）和最大值函数（例6）的过程中，可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具画出函数图象，观察得出结论，体现信息技术在数学教学和学习过程中的辅助探究与检验作用.五、教学过程设计引导语：我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题1，2.列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题4.图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如3.1.1的问题3.这三种方法是常用的函数表示法.（一）函数的表示法问题1：某种笔记本的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）个笔记本需要y 元.（1）你能用函数的三种表示法分别表示函数y=f（x）吗？（2）比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？（3）所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明.师生活动：教师给出问题（1）后，让每位学生自己写出函数表达式、列表格、画图象，注意再次强调“研究函数，先看定义域”.之后让同桌互相核对结果，尤其注意函数图象是否为五个离散的点.然后出示问题（2），小组讨论，总结归纳三种表示法各自的优点，最后与教师一起总结出结论（可用PPT展示）：出示问题（3），找学生代表回答，例如可回答：不是，3.1.1的问题3、问题4就不能用解析法表示；3.1.1的问题1不能用列表法表示；3.1.1的问题4不能用图象法表示.答案均可从教科书中找到，如果学生理解了3.1.1的知识，回答此问题并不困难.设计意图：问题（1）是让学生回忆并熟悉三种表示法的具体呈现过程，并再次强调定义域的决定作用；问题（2）是为了让学生总结归纳三种表示法各自的优点，明确特征，方可合理运用；问题（3）是突出三种方法各自的局限性，从而在处理实际问题挑选方法时合理回避不需要的表示法.问题2：（教科书第69页练习1）如图，把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：cm2），你能把y表示为x的函数吗？师生活动：学生阅读题目后，自主从三种表示法中选择恰当可行的方法解决此问题. 之后教师可利用多媒体手段将答案进行呈现，与其他同学一起点评结果.设计意图：考察学生对三种表示法的特点的理解与把握，以及在实际问题中选择恰当的表示法解决问题的能力.（二）分段函数问题3：（1）你了解函数y=|x|吗？（2）你会画函数y=|x|的图象吗？师生活动：教师出示问题（1），先让学生独立思考，之后可引导学生对不熟悉的绝对值函数y=|x|进行变形，去掉绝对值，转化成熟悉的一次函数，然后规范写法，写成分段函数形式.之后出示问题（2），学生即可很自然地画出相应图象.最后教师引入分段函数概念，强调分段函数是一个函数，而不是几个函数，并介绍其普遍性与应用价值；并总结思路：绝对值函数可转化为分段函数进行研究；对于分段函数的图象，只需分别画出每段的函数图象，并注意端点的开闭即可.教科书中对分段函数给出的是描述性定义，学生只需能判断什么样的函数是分段函数即可，不必纠结于分段函数的确切定义.追问：（教科书第69页练习2）有了问题3的基础，你会画函数y=|x-2|的图象吗？教师让学生自主研究，然后利用多媒体手段将典型作答图象投到屏幕上，叫同学回答解题过程，寻找问题所在，纠正错误，落实正确解题思路.对于中上等水平的班级，可根据时间情况，适当借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具，设计参数a，制作动态演示课件，介绍函数y=|x-a|的图象变化情况.设计意图：问题（1）是让学生从解析式入手，转化成熟悉的函数，为问题（2）解决画函数图象问题做铺垫，体现了转化与化归思想；问题（2）则是考查学生对图象法表示函数的掌握程度.追问是对问题3举一反三，考查学生的理解、掌握程度.师生活动：给学生充分画图的时间，有初中的基础，学生基本都可画出图3.1-4，然后对最大值函数M（x）做适当解读：当x每取一个值时，f（x）与g （x）各有唯一一个函数值与之对应，而M（x）对应的则是两个函数值中的较大者，由函数定义可知，M（x）是x的函数.当最大值函数解释清楚后，学生可很自然地对图3.1-4进行处理，得到图3.1-5所示的函数M（x）的图象；利用图象和解方程知识，学生一般可顺利求出M（x）的解析式.追问：你能用其他方法求出M（x）的解析式吗？先小组讨论，然后找有想法的同学分享思路，最终达成共识.设计意图：问题4是训练学生同时研究两个函数的能力，以及对新概念的分析理解能力，感受分段函数的另一种构造方式及其图象和解析式的求法，加深对分段函数的理解与运用.追问是引导学生从不同的角度分析问题，解决问题，进一步加深对分段函数的理解.问题5：（教科书第69页练习3）给定函数f（x）=-x+1, g（x）=（x-a）2,x ∈R（1）你能画出函数f（x）,g（x）的图象吗？师生活动：学生自主完成练习，然后找代表分享思路与结果.有了问题4的铺垫，学生对最小值函数的理解应比较到位，解决此问题会相对顺利.设计意图：创设熟悉的情境，提出类似的问题，对学生的知识与解题技能进行再巩固.（三）课堂小结、布置作业教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题：（1）函数的三种表示法分别是什么？其各自的特点是什么？（2）什么样的函数称为分段函数？分段函数是几个函数还是一个函数？（3）如何画分段函数的图象？师生活动：教师出示问题后，先由学生思考后再进行全班交流，最后教师再进行总结。

函数的表示方法(一)1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.3、如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法4、讨论分别用a x -，a y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？5、讨论分别用x -，y -分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？6、讨论分别用ax ，by 分别替换函数)(x f y =中的x ，y 以后函数的图像会发生哪些变化？7、讨论分别用||x ，|)(|x f 分别替换函数)(x f y =中的x ，)(x f 以后函数的图像会发生哪些变化？8、试作出下列函数的图像： （1）43-+=x x y （2）11-=x y11、若)3()3(x f x f +=-，那么函数)(x f 的图像有何性质？ 12、)3(x f y -=与)3(x f +的图像之间有何关系函数的表示方法(二)1．例题：例1．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ； （3）已知二次函数()F x ，其图象的顶点是(1,2)-，且经过原点，()F x ．例2．（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +； （2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．函数在闭区间[1,2]-例4．某人开汽车以60/km h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50/km h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路程()x km 表示为时间()t h （从A 地出发是开始）的函数，并画出函数的图象；再把车速v /km h 表示为时间()t h 的函数，并画出函数的图象．例5．已知一个函数的解析式为22y x x =-，它的值域为[1,3]-，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．2．练习：（1）练习：（1）已知2(3)21f x x =-，求()f x ； （答案：22()19f x x =-）（2）已知2211()1f x x xx-=++，求()f x ．（答案：2()3f x x =+）3．小结：1．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法；它的基本步骤是：设出函数的一般式（或顶点式等），代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数； 2．已知()f x 的解析式，求[()]f g x 时，把x 用()g x 代替；已知[()]f g x 的解析式，求()f x 时，常用配凑法或换元法；3．在解决实际问题时，求出函数解析式后，一定要写出定义域。

2023函数的表示法contents •函数的基本概念•函数的图像表示法•函数的表格表示法•函数的解析表示法•三种表示法的比较目录01函数的基本概念1函数的定义23函数是一种特殊的关系，它把输入值（或自变量）映射到输出值（或因变量）。

函数是一种关系函数定义了输入值和对应的输出值，即函数确定了输入值所对应的输出值。

函数定义了输入和输出函数通常由数学表达式表示，可以用于解决各种数学问题。

函数是数学表达式的组成部分符号表示法使用函数符号来表示函数，例如 $f(x) = x^2$ 表示一个函数，其中 $f$ 是函数符号，$x$ 是自变量，$x^2$ 是因变量。

表格表示法使用表格来表示函数，表格中列出输入值和对应的输出值。

图表示法使用图形来表示函数，图形的纵坐标表示输出值，横坐标表示自变量。

函数的表示方法函数的基本性质对于任意一个自变量，函数都有唯一确定的输出值与之对应。

确定性函数的输出值必须在一定范围内，即函数的值域是有界的。

有界性函数在一定区间内单调递增或单调递减，即因变量随自变量的增大（或减小）而增大（或减小）。

单调性对于任意两个自变量，如果它们的和也是自变量，那么函数的和等于两个自变量的和分别带入函数求得的结果的和。

可加性02函数的图像表示法首先确定函数的定义域，即自变量的取值范围。

函数图像的绘制确定函数定义域根据函数解析式，在坐标系中描点、连线，画出函数的图像。

画出函数图像检查所画图像是否符合函数解析式，确保准确性。

检查图像准确性图像的平移与伸缩图像的平移根据平移规则，将函数图像沿x轴或y轴方向移动一定距离。

图像的伸缩根据伸缩规则，将函数图像沿x轴或y轴方向放大或缩小一定倍数。

平移与伸缩的结合根据需要，可以将图像先平移再伸缩，或先伸缩再平移。

函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性根据奇偶性定义，判断函数图像关于原点对称还是关于y轴对称。

函数的周期性根据周期性定义，判断函数图像是否具有重复出现的规律。

函数性质的应用了解函数具有的性质对解题和应用的帮助。