5.1 函数与它的表示法(1、2)

示范教案（函数的表示法）第一章：函数的概念与定义1.1 函数的引入介绍函数的概念理解函数的定义：函数是一种关系，使得每个输入值都唯一对应一个输出值。

1.2 函数的表示方法解析式表示法：例如f(x) = ax + b图像表示法：绘制函数的图像来表示其输出值。

第二章：函数的图像2.1 图像的基本特征了解图像的横轴和纵轴的含义学习如何读取图像上的点2.2 常见函数的图像绘制和识别y = x, y = -x, y = 2x等基本函数的图像。

第三章：函数的性质3.1 单调性学习函数的单调性概念判断函数的单调递增或单调递减。

3.2 奇偶性理解奇函数和偶函数的定义判断给定函数的奇偶性。

第四章：函数的变换4.1 平移学习如何通过平移改变函数的图像掌握平移的规则：左加右减，上加下减。

4.2 缩放学习如何通过缩放改变函数的图像掌握缩放的规则：横轴缩放（左扩右缩），纵轴缩放（下扩上缩）。

第五章：函数的表示法综合应用5.1 实际问题与函数表示将实际问题转化为函数问题选择合适的函数表示法来解决实际问题。

5.2 综合练习练习判断给定函数的表示方法练习解决实际问题，应用函数的表示法。

第六章：反函数的概念与性质6.1 反函数的定义介绍反函数的概念：如果一个函数f将x映射到y，它的反函数将y映射回x。

理解反函数的性质：如果f是双射（一一对应），则存在唯一的反函数f^-1。

6.2 反函数的求法学习如何求一个给定函数的反函数。

掌握反函数的求法：交换x和y的位置，解出y，解出x。

第七章：反函数的图像7.1 反函数图像的特点理解反函数图像与原函数图像的关系：反函数图像关于直线y=x对称。

掌握反函数图像的画法：通过对原函数图像进行对称得到。

7.2 实际问题中反函数的应用将实际问题转化为求反函数的问题应用反函数解决实际问题。

第八章：复合函数的概念与性质8.1 复合函数的定义理解复合函数的概念：一个函数的输出作为另一个函数的输入。

掌握复合函数的表示法：f(g(x)) 或g(f(x))。

5.1 函数（2）教案班级姓名学号学习目标1．能根据图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

2．能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求函数值。

学习难点根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数自变量取值范围。

教学过程一、自主预习：1．自学课本142～144页，知道“函数的三种表示方法、函数的图象”。

2那么弹簧总长y(㎝)与所挂物体质量x(㎏)之间的函数关系式为。

3．等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式是，自变量x的取值范围是。

4．小王于上午8时从甲地出发去相距50千米的乙地．下图中，折线OABC是表示小王离开甲地的时间t（时）与路程S（千米）之间的函数关系的图象．根据图象给出的信息，下列判断中，错误的是（）A．小王11时到达乙地B．小王在途中停了半小时C．与8:00－9:30相比，小王在10:00－11:00前进的速度较慢D．出发后1小时，小王走的路程少于25千米二、合作研讨：1．问题情境：以小丽乘车旅游为情境，体验函数的三种常用表示法，并给出“函数关系式”和的“函数图象”的名称。

知识点：（1）通常，表示2个变量之间的关系可用3种方法：、、。

（2）通常称为函数关系式。

2．例题讲解：例1：温度的变化，是人们经常谈论的话题，请你根据下图，与同伴交流讨论某地某天的温度变化的情况。

（1）上午9时的温度是多少？12时呢？（2）这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度是多少？（3）这一天的的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？（4）在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？（5）图中的A 点表示的是什么？B 点呢？你能预测次是凌晨1时的温度吗？说说你的理由.例2、求下列函数的自变量取值范围：①y=13x -4；②y=21-x ；③y=3+y ；例3、求下列函数当x =3时的函数值： ①y=6x -4； ②y= -5x 2； ③y=361+x3．自主练习：P144练习1、2、3、4 4．自主小结：（1）这一节课你学到了什么？ （2）你还存在哪些疑问？。

5.1 函数与它的表示法
1.请你说一说
下列各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
①②
图1 图2 ③
2.请你想一想：
下列各题中，哪些是函数关系，哪些不是函数关系：
（1）在一定的时间内，匀速运动所走的路程和速度.
（2）在平静的湖面上，投入一粒石子，泛起的波纹的周长与半径.
（3）x+3与x.
（4）三角形的面积一定，它的一边和这边上的高.
（5）正方形的面积和梯形的面积.
（6）水管中水流的速度和水管的长度.
（7）圆的面积和它的周长.
（8）底是定长的等腰三角形的周长与底边上的高.
3. 请你答一答
图3是弹簧挂上重物后，弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）之间的变化关系图.根据图象，回答问题：
图3
（1）不挂重物时，弹簧长多少厘米？
（2）当所挂物体的质量分别为5千克，10千克，15千克，20千克时弹簧的长度分别是多少厘米？
（3）当物体的质量x取0千克至20千克之间任一确定的值时，相应的弹簧的长度y能确定吗？反过来，弹簧的长度y是15~25之间一个确定的值，你能确定所挂重物的质量是多少吗？
（4）弹簧长度y可以看成是物体质量x的函数吗？。

5.1函数与它的表示法(1)教材分析：函数的三种表示方法有利于学生理解作函数图象的三个步骤．此外，在图象法的认识中，学生初步学习了从图象中获得信息，为后面的学习做了准备．学生分析：函数的初步知识学生在七年级已经学过，本节课在此基础上继续引导学生进一步认识函数的三种表示方法．学习目标：知识与技能：1、通过实例了解函数的三种表示法.2、能根据三种表示方法的优缺点确定不同的表示方法.过程与方法：经历探索函数的三种表示方法，进一步发展学生的观察、归纳能力；让学生接触并解决一些现实生活中的问题．情感态度和价值观：通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣，操作活动中，培养学生的合作精神．学习重难点：重点：函数的三种表示方法.难点：根据具体情境确定简单的函数表示方法.课前准备教具准备 PPT课件教学过程：情景导入：同学们，你还记得什么是函数吗?在现实生活中，函数关系是处处存在的．你知道表示函数关系的方法有哪几种吗?你能举出一些例子吗?【设计意图】：教师启发学生说出现实生活中遇到的函数的例子，鼓励学生多发言，使学生意识到函数其实在我们的生活中是处处存在的．知识回顾:1．在某一问题中，保持的量叫常量，可以取的量，叫做变量．2．函数：在同一变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每—个值，y都有______与之对应，我们就把y叫做x的函数，其中x叫做自变量.如果自变量x取a时，y的值是b，就把b叫做x=a时的函数值．【设计意图】：回顾七年级所学函数的初步知识有利于本节课的学习．合作探究一: 函数的三种表示方法阅读课本第4－5页，“观察与思考”讨论：函数的三种表示方法是什么?归纳：函数的三种表示方法是图象法、列表法、解析法．【设计意图】：学生观察例子后可以小组合作，试着用语言总结函数的表示方法，活动中要注意学生是否积极参与，培养学生的参与意识．合作探究二: 函数不同表示方法的特点小组合作交流，各抒己见，只要有道理，都要给予肯定，这样可以锻炼学生的发散思维．归纳：图象法的优点是直观，能够形象地反映出当自变量的值变化时函数值的变化趋势，所以常用来研究函数的性质和变化趋势．不足之处是不能准确地由已知自变量的值求出函值．列表法的优点是已知表中给出的部分自变量的值时，可以不通过计算直接查出对应的函数值．不足之处是只能表示出自变量的有限个离散值及其函数值．解析法的优点是全面、准确、方便，对于自变量在可以取值的范围内任取一个确定的值，都可以通过表达式计算求出它的函数值．不足之处是不够形象直观，而且不是每一个函数都可以写出它的表达式．当堂检测：1．小明今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分；再用10分赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（）2．李华和弟弟进行百米赛跑，李华比弟弟跑得快，如果两人同时起跑，李华肯定赢．现在李华让弟弟先跑若干米，图中，分别表示两人的路程与李华追赶弟弟的时间的关系，由图中信息可知，下列结论中正确的是（）A．李华先到达终点B．弟弟的速度是8米／秒C．弟弟先跑了10米D．弟弟的速度是10米／秒3．甲，乙两同学骑自行车从Ａ地沿同一条路到Ｂ地，已知乙比甲先出发．他们离出发地的距离s／km和骑行时间t/h之间的函数关系如图所示，给出下列说法：A.他们都骑了２０km；B.乙在途中停留了０.５h；C.甲和乙两人同时到达目的地；D.相遇后，甲的速度小于乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的是4．给出下列说法：①学校到景点的路程为55 km；②甲组在途中停留了5 min；③甲、乙两组同时到达景点；④相遇后，乙组的速度小于甲组的速度．根据图象信息，以上说法正确的有．5．观察这条曲线，思考下列问题：（1）从放水开始到放水10s时，饮料瓶内水面下降的高度是多少？从放水后10s到放水后20s呢？（2）随着放水时间t的逐渐增大，饮料瓶内水面下降的高度L的变化趋势是怎样的？（3）t每增大10s，L的变化情况相同吗（4）估计当t=55s，L的值是多少？你是怎样估计的？（5）你发现在水面下降高度L和放水时间t的变化过程中,L是t的函数吗？哪一个变量是自变量？它们之间的函数关系是如何表达的？6．小亮步行从家去书店，用一段时间选择自己需要的书籍，然后回家.小亮和家的距离与他离开家之后的时间之间的函数关系如图所示，根据图像回答下列问题：（1）小亮用多少时间走到书店？小亮家距书店多远？（2）小亮在书店停留多长时间？回家用了多长时间？（3）小亮去书店和回家的步行速度各是多少？（4）小亮从家里走出10分钟离家多远？走出50 分钟离家多远？课堂小结:本节课学习了1. 函数的三种表示法.2. 三种表示方法的优缺点作业:课本 P.6第1题板书设计:5.1函数与它的表示法(1)函数的三种表示方法1图象法2列表法3解析法三种表示方法的优缺点。

5.1直函数与它的表示法班级姓名组号学习目标1．理解并掌握函数的三种表示法，并能理解它们之间的联系；2．正确理解函数的三种表示法所体现的实际意义。

学习重点：函数三种表示法之间的联系学习难点：函数图像的信息表达【课前预习学案】（时间：15分钟）等级一、旧知回顾：1.什么叫做函数？举例说明。

2.已知变量x 与 y 有如下关系：y=x，y=|x|，|y|=x，y=x2，y2=x，其中y是x的函数的有____个3.某城市居民用的天然气，1 m3收费2.88元，使用x m3天然气应交纳的费用为y元，用含x的式子表示y为其中，是常量，是变量，是自变量，是的函数4、下列说法中，不正确的是（）A、函数不是数，而是一种关系B、矩形的周长是18 cm ,它的长ycm是宽x cm的函数C、一天中时间是温度的函数D、一天中温度是时间的函数5.用描点法画函数的图像有几个步骤，在直角坐标系中如何找到图像上的点？画函数y=2x+1的图像二、教材助读（要求：认真阅读教材P4-5,对每个概念和例题形成自己的见解。

如果有疑问随时记录，待课堂上小组交流解决。

）表达函数关系的方法有几种？自学后完成下表。

三、自我检测（自测题体现一定的基础，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”）四、预习反思—请你将预习中未能解决的问题和疑惑写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。

【课内探究学案】一、自主学习（千里之行，始于足下，相信自己，你能行）要求：5分钟独立完成以下题目，小组交流3分钟，体会总结图像法和列表法、解析法的优势和缺点1.小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的至少两条信息。

2.2011年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率（如下表）y ()3.一辆校车在宽阔的公路上以每小时50公里的速度匀速行驶，该车行驶的路程s与行驶时间t之间的函数关系式为以上三个题目表示函数关系的方法分别为、、。

初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.1函数与它的表示法教学设计第三课时教学目标1.理解分段函数的概念，会求不同取值范围内的函数的解析式.2.会用分段函数解决实际问题.3.通过对实例的分析，进一步理解函数的建模思想，并在学习过程中体验成功的喜悦.教学重难点重点：会求不同取值范围内的函数的解析式.难点：会用分段函数解决实际问题.教学过程一、导入环节（一）导入新课，板书课题1.导入语：上一节课我们学习了函数的概念和表示方法，这节课我们一起来学习分段函数.同学们来看本节课的学习目标.2.教师板书课题.（二）出示学习目标1.理解分段函数的概念，会求不同取值范围内的函数的解析式.2.会用分段函数解决实际问题.3.通过对实例的分析，进一步理解函数的建模思想，并在学习过程中体验成功的喜悦.过渡语：让我们带着目标、带着问题进入自主学习环节.二、教学过程（一）出示自学指导自学课本9-10页例2上面的内容，仔细阅读，完成以下内容.1.分段函数的概念 .（二）自学检测反馈过渡语：请同学们结合自学情况完成下列练习，做题要细心、规范.1.如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y（元）与通话时间t（分钟）2.做课本11页练习1.点拨：1.2.4元；4.4元；1元；2.2天；y=12.5x(0≤x≤2)，y=6.25x+12.5（2＜x≤6);12.5m;6.25m解题时要看清题目，图意结合实际理解题意.（三）合作探究探究：某校住校生放学后到学校锅炉房水箱打水，每人接水2 L.开始时水箱中有水96 L，两个龙头同时放水，经过2min后，水箱内的余水量为80 L.此时其中一个龙头因故障而关闭.如果前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，水箱内的余水量y(L)与放水时间x(min)的函数图象如图所示.已知放水4min时，水箱中的余水量为72 L.（1）写出水箱的余水量y与放水时间x 之间的函数表达式；（2）前15位同学接水共用了多少时间？点拨：正确理解题意，利用分段函数结合实际解决问题。

主备人：备课组成员签名：课题：§5.1函数(2)教学目标1、知道函数的三种表示方法。

2、知道什么是函数的图象。

3、能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值。

教学过程：一、创设问题情境小丽乘汽车去旅游。

见书P181（3）汽车行使时间t（h）与路程s（km）可用图表示：问题：变量s是变量t的函数吗？为什么？二、新课讲解1、通常，表示2个变量之间的关系可用3种方法：、、。

2、通常称为函数关系式。

例1、书P182例1：3、叫做这个函数的图象。

例2、书P183例2：4、函数的自变量取值范围，函数值。

例题3：温度的变化，是人们经常谈论的话题，请你根据下图，与同伴交流讨论某地某天的温度变化的情况。

（1） 上午9时的温度是多少？12时呢？（2） 这一天的最高温度是多少？是在几时达到的？最低温度是多少？（3） 这一天的的温差是多少？从最低温度到最高温度经过了多少时间？（4） 在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？（5） 图中的A 点表示的是什么？B 点呢？你能预测次是凌晨1时的温度吗？说说你的理由例4、求下列函数的自变量取值范围：y=13x-4；21-x ；3+y ；351-a ；让学生总结：求函数自变量取值范围的两个方法：（1）要使函数的解析式有意义。

①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0。

④函数的解析式是三次根式时，自变量的取值应是一切实数。

（2）对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义。

例5、求下列函数当x=3时的函数值：（1）y=6x-4； （2）y=--5x 2； （3）y=361+x课堂小结：（1）表示两个变量间的关系的方法（2）从图象中获得信息并能用语言合理的表示，并能结合具体的情境理解图象上的点所表示的数学意义。

(3)能根据实际问题的意义以及函数关系式，确定函数的自变量取值范围，并会求出函数值。

青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》教学设计3一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》是本册教材的重要内容，主要让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等。

通过本节的学习，为学生进一步学习函数的性质、函数的图像等知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。

但是对于函数这一概念，可能还比较陌生，需要通过具体实例来理解和掌握。

同时，学生对于函数的表示方法可能也比较困惑，需要通过大量的练习来熟练掌握。

三. 教学目标1.让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法。

2.让学生能够运用函数的表示方法解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.函数的概念的理解。

2.函数的表示方法的掌握。

五. 教学方法采用讲授法、实例分析法、练习法等多种教学方法，通过具体的实例来引导学生理解函数的概念，通过大量的练习来让学生掌握函数的表示方法。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。

2.准备一些具体的函数实例。

3.准备一些练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的实例，引出函数的概念，让学生初步理解函数的含义。

2.呈现（10分钟）讲解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等，通过具体的例子让学生理解每种方法的含义和应用。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，运用函数的表示方法解决一些实际问题，比如计算一些函数的值，画出一些函数的图象等。

4.巩固（10分钟）讲解学生练习中出现的问题，再次强调函数的表示方法，让学生加深理解。

5.拓展（10分钟）让学生思考除了列表法、解析法、图象法之外，还有没有其他的表示方法，激发学生的创新思维。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确本节课的重点和难点。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。

5.1函数与它的表达式（第一课时）学习目标：1、通过实例，让学生进一步了解函数的三种方法。

2、能确定简单的函数解析式。

重点：函数的三种表示法难点根据具体情境确定简单的函数关系式教学过程：【温故知新】回顾函数的定义，以及初一学习的联系两个自变量的几种形式【创设情境】在现实生活中，函数关系处处存在，你能举例说明如何表示这些函数关系吗？【探索新知】交流与发现1）在图5-2中，河水水位与时间的函数关系是用什么方法表示的？在图5-2中，河水水位与时间的函数关系是用什么方法表示的？2）一根弹簧原长15cm，在弹性限度内，每增加10N的拉力，弹簧就伸长2cm，请你填（3）物体自由下落的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系是h=4.9t2h与t之间的函数关系是用什么方法表示的？当t=0(s)和t=1(s)时，对应的h值分别是多少？总结;表示函数关系的方法（1）用数学式子表示函数的方法叫做解析法（2）用表格表示函数关系的方法叫做列表（3）用图象表示函数关系的方法叫做图像法[巩固提升]1.一辆汽车在行驶中，速度v随时间t变化的情况如图所示.1）在这个问题中，速度y与时间t之间的函数关系是用哪种方法表示的？2）时间t的取值范围是什么？（3）当时间t为何值时，汽车行驶的速度最大？最大速度是多少？当时间t取何值时，速度为0？4)在哪一时间段汽车的行驶速度逐渐增加？在哪一时间段汽车的行驶速度逐渐减少？在那一时间段按匀速运动行驶?2.如图，正三角形ABC内接与圆O，设圆的半径为r。

试写出图中阴影部分的面积S与r的函数关系，它们之间的函数关系是用哪种方法表示的？【课堂小结】1.表示函数关系的方法共有三种：（1）解析法（2）列表法（3）图像法2、课本P8 A组 1、2题【达标检测】1、棱长为2x的立方体体积V与x之间的函数关系式是_ ，2、如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，求（１）．第3分时汽车的速度是多少？（２）．第９分时汽车的速度是多少？（３）．从第3分到第6分，汽车行驶了多少？/分O5.1函数与它的表达式（第二课时）学习目标：1.会根据实际问题构建数学模型并列出函数解析式；掌握根据函数自变量的值求对应的函数值，或是根据函数值求对应自变量的值；2.会在简单的情况下根据实际背景对自变量的限制求出自变量的取值范围.3.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；重点：求函数解析式是重点．难点：根据实际问题求自变量的取值范围并化归为解不等式(组)学生不易理解教学过程：【温故知新】：１．坐标平面内的点与_________________一一对应．２．根据点所在位置填表３．X轴上的点______坐标为0,y轴上的点______坐标为0.４．P(x,y)关于X轴对称的点坐标为___________,关于Y轴对称的点坐标为___________,关于原点对称的点坐标为___________.５．描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．６．函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．【创设情境】：问题：试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式．【探索新知】思考：因为三角形内角和是180°所以等腰三角形的底角的度数x不可能大于或等于90°在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围交流反思：1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义．(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．[巩固提升].分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：(1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形周长为y cm．求y和x间的关系式； (2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n封这样的信所需邮资y（元）与n间的函数关系式； (3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm时这个矩形的面积．【课堂小结】1.求函数自变量取值范围的两个依据：(1)要使函数的解析式有意义：①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0．(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．2.求函数值的方法：跟求代数式的值的方法一样就是把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．作业布置 P8习题5。