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对函数及其表示法的认识函数是研究变化规律的一个数学模型，它是初中阶段数学的一个重要的内容，通过函数概念学习，使学生初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力．一、变量和函数1、变量和常量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值始终不变，我们称之为常量．注意：①常量和变量是相对的，是针对某个过程而言的，有时还可以相互转化；②常量与变量并不一定都是量，也可以是常数或变数．例如：S=3v＋2其中，S、v是变量，3、2是常量．2、函数的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就是说，x是自变量，y是x的函数．注意：①有两个变量；②一个量的变化随着另一个量的变化而变化；③自变量每确定一个值，函数就有一个并且只有一个与之相对应；④函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系．3、函数关系式：用来表示函数关系的等式，叫做函数关系式，也称为函数解析式．注意：①函数关系式是等式；②一般等式的右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数；③解析式法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．4、自变量的取值范围(1)自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义．①使分母不为零，如：y＝23－x解不等式3－x≠0，得x≠3．②开平方时被开方数为非负，如：y＝4－2x ,解不等式4－2x ≥0,得x≤2。
③为整式时其自变量的取值范围为全体实数．（2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义．5、函数值（1）对于自变量在取值范围内，自变量的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，叫做x＝a时的函数值；（2）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（3）在已知函数解析式，又给出了函数值，欲求相应的自变量的取值范围时，就是解方程；（4）当给定函数值的一个取值范围，欲求相应的自变量的的值时，就是解不等式．注意：函数值是唯一的，但对应的自变量可以是多个．二、函数图像及表示方法1、函数图像及画法把函数的自变量和对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图像．画图像的步骤：①列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；②描点：以表中每对对应值为坐标，在直角坐标系内描出相应的点；③连线:按照自变量从小到大的顺序，把所有的点用平滑的曲线连接起来．注意：①函数图像上的任意点P（x，y）中的x、y满足函数关系式；②满足函数关系式的任意一对（x，y）的值，所对应的点都一定在函数的图像上．2、函数的表示方法函数的表示方法有三种：①列表法，这种方法一目了然不需要计算可直接查出对应的函数值，使用方便，但是由于列表个数有限，不容易看出其间的规律．②解析式法，该法简单明了能准确的反映出变化过程中的对应关系，但是对于求值还需经过复杂的计算．③图像法．该法可以形象的反映出函数的变化趋势，但是由图像只能观察出近似的数量关系．注意：要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面的认识问题，需要几种方法同时使用．。
4.1 函数和它的表示法教学设计1教学目标1、理解常量与变量的意义，掌握函数的概念。
能用函数的观点分析简单实际问题中的数量关系和变化规律。
2、借助简单的实例，引领学生参与变量和函数的概念形成过程，体会函数概念的核心并准确判断两个变量之间是否存在函数关系。
3、体验“发现、创造”数学知识的乐趣，感知数学是有用、有趣的学科。
加强数学与生活实际的联系。
2学情分析学生层次不是很高，变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学认识上的又一大飞跃.“变量与函数”对学生在认知上和思维上都有较高要求，入门会有一定困难。
学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领学生认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的互相依存关系和变化规律，借助生活实例，认识“由哪一个变量确定另一个变量？唯一确定的含义是什么？”，初步理解函数的概念。
.3重点难点教学重点：借助简单的实例，从两个变量间的特殊关系抽象出函数的概念教学难点：怎样理解“唯一对应”4教学过程4.1 第一学时教学活动活动1【讲授】《变量与函数》教学过程教学过程：一、创设情境，导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。
再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及变化，那么我们用什么来刻画这种变化关系呢？二、合作探究，解疑释难1、自主学习（1）阅读教材P110-111内容，完成动脑筋的三个题目。
（2）ppt对答案2、引导观察思考：动脑筋三个问题分别涉及哪些量？哪些量是变化的哪些量是不变的？学生从实际例子中感受并归纳出变量与常量的概念。
变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量。
变量与函数一、教材分析《4.1.1变量与函数》是义务教育课程湘教版八年级下册第四章第一节第1课时.函数的概念是数与代数的重要内容，是学生难以建立的一个抽象的数学概念，让学生准确而深刻地理解函数概念是学好与函数相关内容的关键所在，是后续学习一次函数、反比例函数、二次函数的奠基工程，是高中阶段学习其他函数的必要准备，同时也是培养学生用运动变化的观点分析问题和解决问题的有效载体.本节课是函数知识板块的起始课，首先，针对函数是一个抽象概括程度很高的概念，教学中选取了贴近学生生活的例子，注重联系实际，丰富学生的感性认识，重视函数的图象作用，渗透数形结合思想，注重学生主体作用，加大探索性学习力度；其次，注重把数学文化融入到章节起始课中；最后，结合中考，展望函数的后续学习.二、学情分析变量与函数的概念把学生由常量数学学习引入变量数学学习中，这是学生数学学习的一次大飞跃.“变量与函数”的学习对学生的认知和思维有较高的要求，入门会有一定的困难，学生难以理解定义中的“唯一确定”的准确含义；另一方面，学生在日常生活中接触过两个变量关系的生活实例，因此本节教学设计中，试图从学生较为熟悉的现实情景入手，引领认识变量和函数的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律，初步理解函数的概念.三、教学目标1.通过简单实例，了解常量与变量的意义.2.初步理解函数意义，学会建立简单的函数模型.3.学会用函数观点分析与解决生活中的简单问题，体会数学的应用价值，提高数学的学习兴趣.四、教学重点、难点教学重点函数概念的形成过程.教学难点理解函数概念中的对应关系.xy 2=231x y =五、教学方法问题探究教学法、合作讨论教学法.六、课堂流程设计七、教学过程 （一）创设情境周末超市购物，请观察电子秤显示的数据，哪些变？哪些不变？ 板书课题：4.1.1变量与函数（P 110-112）（二）概念建构1.自主学习，并思考下列问题： （1）什么叫变量？什么叫常量？（2）什么叫函数？什么叫自变量与因变量？ （3）什么叫函数值？ 2.概念初识：（1）取值会发生变化的量称为变量.取值固定不变的量称为常量.（2）在一个变化过程中，有变量x 和 y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，并且对于x 的每一个取值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称y 是x 的函数，记作y=f (x ).这时把x 叫作自变量，把y 叫作因变量．对于自变量x 取的每一个值a ，因变量y 的对应值称为函数值，记作f (a ) .3.深化理解：根据如图所示的程序，当输入x =3时，求输出y 的值，并判断y 是不是x 的函数.（1）当x =3时，在 y =2x -1中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？ （2）当x =3时，在 中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？ （3）当x =3时，在中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？AB BC S4.00厘米10.42厘米41.69 厘米2BC = 10.42厘米AB = 4.00厘米动画B12+=x y y（4）当x =3时，在 中，y 的值为多少？y 是不是x 的函数？ 归纳： 判断y 是x 的函数的核心：对于每一个自变量x ，y 都有唯一确定的值与之对应.（三）问题探究1. 汽油的单价为5.4元/升，加油x 升，共付费y 元，则y = ，其中 是常量,y 随x 变化而变化， 是自变量， 是因变量， 是 的函数..2.矩形的一边长为4cm ，另一边长为x cm,面积为S cm 2，则S = ，S 是x 的 ，其中常量是 ，变量是 .3.某地某一天的温度曲线， 是自变量， 是 的函数.（四）巩固提高1.学校购买一些铅笔，单价3元/支，则购买总价y （元）与铅笔x （支）的关系式为y = ，其中常量是 ，变量是 .2.一辆汽车以80km/h 的速度匀速行驶，行驶t （h ）与所走的路程s （km ）2y x =xy 2=A B =6cmBA2x y =满足关系式s = ，其中常量是 ，变量是 .3.圆的半径r 和圆的周长C 满足r c π2=，常量是 ，变量是 .4.下列四个选项中，y 不是x 的函数为 .A.72-=x yB.C.D （五）例题讲解如图，已知圆柱的高是4cm ，底面半径是r （cm ），当圆柱的底面半径r 由小变大时，圆柱的体积v （ cm 3）是r 的函数.（1）用含r 的代数式来表示圆柱的体积v ，指出自变量r 的取值范围.（2）当r =5时，v 是多少（结果保留π）？（六）合作探究请同学们模仿例1及结合今天所学知识补充下题，小组合作完成.已知：△ABC 中，AB =6cm ，D 是AB 边上的一个定点，在垂直于AB 的射线DE 上有一个动点C （点C 与点D 不重合），设△ABC 的高为h ，面积为S ，则S 是h 的函数.(1) .(2) .（七）课堂小结及课堂作业 （八）拓展延伸及学习展望起始课的数学文化渗透、后续学习简介. （九）板书设计4.1.1变量与函数（p 110-112）取值会发生变化的量称为变量.取值固定不变的量称为常量.4cm ()y f x =输入一个x 只能输出一个y（十）教学反思。
变量与函数教学目标知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。
学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
教学重难点重点:借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点:怎样理解“唯一对应”教学过程一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。
再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
二、合作交流、解读探究1、气温问题：上图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。
A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7……时，正方形的面积S分别是多少？3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。
教师根据学生的回答，在黑板上板书：时间－－－－气温正方形边长－－－－正方形面积天然气费用－－－－－－－－天然气体积学生们会得出：⎪⎩⎪⎨⎧只有一个值与之对应取一个确定值的时候，当的变化而变化随着都是变量都有两个变量y x x y y x ,师生对上述三个问题进行分析，找出它们的共性，归纳出函数的概念。
在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 总有唯一的值与它对应，我们就说x 是自变量，y 是x 的函数。
三、应用迁移、巩固提高例1 已知圆柱的高是4cm ，底面半径是rcm ，当圆柱的底面半径r 由小变大时，圆柱的体积Vcm 3是r 的函数。
（1）用含r 的代数式来表示圆柱的体积V ，指出自变量r 的取值范围；（2）当r=5,10时，V 是多少（结果保留π）？（1）r 的变化会引起圆柱中哪些量发生变化？这些变量是高r 的函数吗？（2）试求体积V 随r 变化的关系式，并指出其中的常量、变量与自变量。
课堂练习1.请同学们找出这些函数的常量、变量、自变量和函数：(1) y =3000-300x ；(2) y=x ；(3) S= 2r •π；解：(1)常量是3000，－300；变量是x ，y ；自变量是x ；y 是x 的函数。
(2)常量是1；变量是x ，y ；自变量是x ；y 是x 的函数。
(3)常量是π；变量是r ，s ；自变量是r ；s 是r 的函数。
2.根据所给的条件，写出y 与x 的函数关系式：① y 比 x 的1/3 少2。
② y 是 x 的倒数的4倍。
③ 矩形的周长是18 cm ,它的长是ycm ，宽是x cm 。
④ 等腰三角形的顶角度数y 与底角x 的关系。
练习 教材P112页 练习1、2题四、全课小结1．这一节课你有什么收获？还有什么疑问？你可以编一道题考一考同学，也可以向同学请教。
2．函数是一种“数”吗？五、作业：教材 P116页 A 组 1题课后反思：函数的表示法教学目标知识与技能：1、了解函数的三种表示法：(1)解析法(2)列表法(3)图象法;2、进一步理解函数值的概念;3、会在简单情况下，根据函数的表示式求函数的值。
过程与方法：1. 经历回顾思考，训练提高归纳总结能力。
2. 利用数形结合思想，根据具体情况选用适当方法解决问题的能力。
情感态度与价值观：积极参与活动，提高学习兴趣。
教学重难点重点: 认清函数的不同表示方法，知道各自的优缺点，能按具体情况选用适当的方法。
难点: 函数表示方法的应用教学过程一、创设情境问题1 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬按16元／时计算．设小明的哥哥这个月工作的时间为t 时，应得报酬为m 元，填写下表后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量16，变量t 、m ） （2）能用t 的代数式来表示m 的值吗？（能，m =16t ）教师指出：在这个变化过程中，有两个变量t ，m ，对t 的每一个确定的值，m 都有唯一确定的值与它对应．问题 2 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s (米)与助跑的速度v (米／秒)有关．根据经验，跳远的距离2085.0v s =(0<v <10.5) 然后回答下列问题：（1）在上述问题中，哪些是常量？哪些是变量？（常量0.085，变量v 、s ） (2)计算当v 分别为7.5，8，8.5时，相应的跳远距离s 是多少(结果保留3个有效数字)? (3)给定一个v 的值，你能求出相应的s 的值吗?教师指出：在这个变化过程中，有两个变量v ，s ，对v 的每一个确定的值，s 都有唯一确定的值与它对应．二、探究新知：函数的表示法：①解析法：问题1、2中，m =16t 和2085.0v s =这两个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫作函数解析式，简称函数式．用函数解析式表示函数的方法也叫解析法．②列表法：有时把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表．这种表示函数关系的方法是列表法．（如表教材P110页动脑筋问题2表示的是正方形面积与边长的函数关系） ③图象法: 我们还可以用法来表示函数，例如图中的图象就表示骑车时热量消耗W (焦)与身体质量x (千克)之间的函数关系．解析法、图象法和列表法是函数的三种常用的表示方法． 教师指出：（1）解析法、列表法、图象法是表示函数的三种方法，都很重要，不能有所偏颇．尤其是列表法、图象法在今后代数、统计领域的学习中经常用到，教学中应引起学生的重视．工作时间t （时）1 5 10 15 20 …… 报酬m （元）（2）对于列表法，图象法，如何表示两个变量之间的函数关系，学生可能不太容易理解，教学中可以用课本表7-2和图7-1来具体说明它们表示两个变量之间的函数关系的方法．（3）函数值概念：与自变量对应的值叫做函数值，它与自变量的取值有关，通常函数值随着自变量的变化而变化．若函数用解析法表示，只需把自变量的值代人函数式，就能得到相应的函数值．例如函数m=16t，当t=5时，把它代入函数解析式，得m=16×5=80(元)．m=80叫做当自变量t=5时的函数值．由于函数值的概念是由函数的概念派生出来，用列表法、图象法表示函数时同样存在函数值的概念，教学中也可以增加一些具体例子，来加深学生的印象．若函数用列表法表示．我们可以通过查表得到．例如正方形面积与边长的函数关系中，当x=2时，函数值S=4；当x=6时，函数值S=36．若函数用图象法表示．例如骑车时热量消耗W(焦)与身体质量x(千克)之间的函数关系中，对给定的自变量的值，怎样求它的函数值呢？如x=50，我们只要作一直线垂直于x轴，且垂足为点(50，0)，这条直线与图象的交点P(50，399)的纵坐标就是就是当函数值x=50时的函数值，即W=399(焦)．学生看书P113—114页自学动脑筋和例2内容并完成P115页练习。
三、应用迁移、巩固提高例1 等腰△ABC的周长为20，底边BC长为y，腰AB长为x，求：（1）y关于x的函数解析式；（2）当腰长AB=7时，底边的长；（3）当x=11和x=4时，函数值是多少？答案：（1）y=20-2x；（2）腰长AB=7，即x=7时，y=6，所以底边长为6；（3）当x=11和x=4时，函数值不再有意义．说明（1）第1问中的函数解析式不能写成20+xy的形式，一定要把y写成x的代数式，2=（2）实际问题中，自变量的取值范围往往受到条件的限制，本题的自变量的取值范围是5<x<10,具体的求法本节课不作介绍，放到下一节课中去完成，当x=11和x=4时，尽管可求出它对应的值，但自变量x的值都不在相应的取值范围内，因此当x=11和x=4时，函数值不再有意义．例2 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示:月用水量x(度) 0<x≤12 12<x≤18 x>18收费标准y2.00 2.503.00（元/度）（2）分别求当x=10,16,20时的函数值，并说明它的实际意义．答案：（1）是，根据函数的概念，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值；（2）当x=10时，y=2×10=20（元）．月用水量10度需交水费20（元）；当x=16时，y=2×12+4×2.50=34（元）．月用水量16度需交水费34（元）；当x=20时，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）．月用水量45度需交水费45（元）．说明本例安排的目的两个：①是让学生进一步巩固函数的概念；②让学生体会当函数用列表法给出时函数值的求法．本例教学时教师应向学生解释“收费实行阶梯水价”的含义，即月用水量不超过12度时每度2元，超过12度不超过18度时每度2.5元，超过18度时每度3元，如月用水量为38度时，应交水费y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）．例3 下图是小明放学回家的折线图，其中t表示时间，s表示离开学校的路程．请根据图象回答下面的问题：(1)这个折线图反映了哪两个变量之间的关系？路程s可以看成t的函数吗？(2)求当t=5分时的函数值？(3)当 10≤t≤15时对应的函数值是多少并说明它的实际意义？(4)学校离家有多远？小明放学骑自行车回家共用了几分钟？答案：（1）折线图反映了s、t两个变量之间的关系，路程s可以看成t的函数；（2）当t=5分时函数值为1km；（3）当 10≤t≤15时，对应的函数值是始终为2，它的实际意义是小明回家途中停留了5分钟；（4）学校离家有3.5km，放学骑自行车回家共用了20分钟．四、全课小结：1、我们认识了函数的三种不同的表示方法：(1)解析法(2)列表法(3)图象法。
