高三数学一轮复习 第7篇 第5节 直线、平面垂直的判定与性质课件 理

(2)线面角θ的范围:
0,
π 2
.
3.二面角、平面与平面垂直 (1)二面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角 的棱.这两个半平面叫做二面角的面. 如图,记作:二面角α l β或二面角α AB β或二面角 P AB Q. ②二面角的平面角:在二面角α l β的棱 l 上任 取一点 O,以点 O 为垂足,在半平面α和β内分别 作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构 成的∠AOB 叫做二面角的平面角.
3.(2015天津市新华中学质检)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,
则a⊥b的一个充分条件是( C )
(A)a⊥α,b∥β,α⊥β (B)a⊥α,b⊥β,α∥β
(C)a⊂α,b⊥β,α∥β
(D)a⊂α,b∥β,α⊥β
解析:若 b⊥β,α∥β,所以 b⊥α,又 a α,所以 b⊥a,即 a⊥b.
证明:(1)连接 AC、AN、BN, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥AC.
在 Rt△PAC 中,
∵N 为 PC 的中点,∴AN= 1 PC. 2
∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BC.
又 BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PB. 从而在 Rt△PBC 中,
BN 为斜边 PC 上的中线,∴BN= 1 PC, 2
符号语言
l l
⇒
α⊥β
l
I
a
la
⇒ l⊥α
质疑探究1:若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则 α⊥β吗?
(提示:不一定,若这无数条直线都平行,则得不到α内的这条直线垂直 于β,从而得不到α⊥β)
质疑探究2:若α⊥β,则α内的任意直线都与β垂直吗?
(提示:不一定,平面α内只有垂直于交线的直线才与β垂直)
4.在三棱柱 ABC A1B1C1 中 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( C ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
解析:如图所示,取 BC 的中点 E,连接 AE、DE,可知 AE⊥侧面 BB1C1C.∠ADE 就是 AD 与侧面 BB1C1C 所成 的角.设各棱长为 a,则在 Rt△AED
(2)平面与平面的垂直 ①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角, 就说这两个平面互相垂直.
②平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两 定理 个平面垂直
性质 定理
两个平面互相垂直,则一个平面内垂直 于交线的直线垂直于另一个 平面
图形语言
基础自测
1.(2014高考浙江卷)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的 平面( C ) (A)若m⊥n,n∥α,则m⊥α (B)若m∥β,β⊥α,则m⊥α (C)若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α (D)若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α 解析:选项A,B,D中m与平面α可能平行、相交或m在平面内α;对 于C,若m⊥β,n⊥β,则m∥n,而n⊥α,所以m⊥α.
第5节 直线、平面垂直的判定与 性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理 为出发点,认识和理解空间中线面 垂直的有关性质与判定定理.
2.能运用公理、定理和已获 得的结论证明一些空间垂 直关系的简单命题.
编写意图 直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质是立体 几何的基础,也是高考重点考查的内容之一,难度不大.本节重点突 破了线面垂直、面面垂直判定及性质定理的应用,以及线面角、二 面角传统的求解方法.选题中图形样式丰富,注意了对翻折问题与探 索问题的探讨,突出转化与化归思想的应用.
定 直
理
性 质
垂直于同一个平面的两条直线平行 定 理
符号语言
a,b
aI
b
O
⇒
l
la
l b
⊥α
a b
⇒
a∥b
2.直线与平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的 射影 所成的 锐角 ,叫做这条直线 和这个平面所成的角. 如图, ∠PAO 就是斜线AP与平面α所成的角.
2.(2014咸阳模拟)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出 下列说法: ①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β; ③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β. 其中说法正确的个数为( A ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0
解析:对于①②,l β或 l∥β;对于③,若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β,正确; 对于④,若 l∥α,α⊥β,则 l β或 l∥β或 l⊥β或 l 与β斜交,错误.
中,ED= 1 a,AE= 3 a,tan ∠ADE= 3 ,所以
2
2
∠ADE=60°.故选 C.
5.(2014 合肥模拟)如图,PA⊥☉O 所在平面,AB 是☉O 的直径,C 是
☉O 上除 A、B 外的一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;
②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC,其中真命题的序号
是
.
解析:由题意知BC⊥AC,又PA⊥BC,所以 BC⊥平面PAC,故BC⊥AE.又AE⊥PC,所以 AE⊥平面PBC,故PB⊥AE,又AF⊥PB,所以 PB⊥平面AEF,故EF⊥PB.故真命题序号为① ②④.
答案:①②④
考点突破
剖典例 找规律
考点一 直线与平面垂直的判断与性质
【例1】 如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面 PCD.
∴AN=BN.
∴△ABN 为等腰三角形.又 M 为底边 AB 的中点,∴MN⊥AB. 又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
(2)连接 PM、CM, ∵∠PDA=45°,PA⊥AD, ∴AP=AD. ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AD=BC,∴PA=BC. 又∵M 为 AB 的中点, ∴AM=BM,而∠PAM=∠CBM=90°, ∴△PAM≌△CBM,∴PM=CM. 又∵N 为 PC 的中点, ∴MN⊥PC. 由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C, ∴MN⊥平面 PCD.
夯基固本
考点突破
思想方法
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的 任意一条 直线都垂直,就说直线l与平面α互 相 垂直 .
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言
图形语言
判 一条直线与一个平面内的两条相交
定 直线都垂直,则该直线与此平面垂