数学苏教版必修4 第1章1.1.2弧度制 作业 含解析

1．1.2弧度制(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解1弧度的角及弧度的定义；(2)掌握角度与弧度的换算公式；(3)熟练进行角度与弧度的换算；(4)理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；(5)理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．2．过程与方法通过类比角度制的概念引入弧度制的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度．3．情感、态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质．●重点难点重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用．难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．(教师用书独具)●教学建议1．弧度制的概念关于弧度制的概念的教学，建议教师在教学过程中，首先讲清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的关键，并且让学生具体操作验证，老师通过多媒体演示，在此直观印象基础上，引导学生证明以弧度为单位的角是一个与半径无关的定值．2．角度制与弧度制的换算关于角度制与弧度制的换算的教学，建议教师教学过程中，讲清“180°＝π”这个等式的意义，抓住这一关键，两种度量制的换算就迎刃而解了．3．弧长公式关于弧长公式的教学，建议教师在教学中让学生先通过自己的活动解决，明确角的度量单位是弧度，而且圆心角是在一定范围中，从而熟练用弧度制表示角，并能应用公式．●教学流程创设问题情境，引出弧度制的概念，使学生认识到弧度制的优越性.⇒引导学生探究角度制与弧度制的换算，理解用弧度制表示角与实数一一对应关系.⇒引导学生探究弧度制下的扇形弧长和面积公式，并理解公式应用的前提是用弧度制表示扇形圆心角的大小.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握弧度与角度的互化方法，使学生逐步养成用弧度表示角的习惯.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用弧度表示区域角的方法和注意事项.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用弧长和扇形面积公式解决有关问题的方法，总结求弧长及扇形面积的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解弧度制．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)弧度制的概念1．在初中学习角的运算采用十进制还是六十进制？【提示】六十进制．2．我们平时常用运算大多都是六十进制吗？【提示】我们常用的是十进制．(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：|α|＝lr.角度与弧度的互化【问题导思】根据弧度制的定义，周角360°所对应的弧度数是多少？ 【提示】 由2πrr ＝2π得，周角对应弧度数为2π.(1)360°＝2π rad ， (2)1°＝π180rad ≈0.017_45 rad ， 1 rad ＝(180π)°≈57.30°.扇形的弧长及面积公式1．已知扇形圆心角α，半径为r ，如何求弧长l? 【提示】 由|α|＝lr可得：弧长l ＝|α|r .2．能否用扇形的弧长l 与半径表示扇形的面积S? 【提示】 设扇形圆心角为α，则扇形面积S ＝|α|2π·πr 2＝12rl .图1－1－4(1)弧度制下的弧长公式如图1－1－4，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|. (2)扇形面积公式在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12|α|r 2＝12lr .弧度和角度的互化 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－13π3. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有的角． 【思路探究】 将角度化为弧度，可运用公式1°＝π180弧度；而将弧度化为角度，则可运用公式1弧度＝(180π)°.【自主解答】 (1)∵α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，而－19π6＝－2×2π＋5π6，∴α1＝－2×2π＋5π6，∴α1的终边在第二象限．∵α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6，∴α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k ·360°＋108°(k ∈Z )，∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k ·360°＋108°＜0°，k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1. ∴－720°～0°之间与β1终边相同的角是－612°角和－252°角．β2＝－13π3＝－133×180°＝－780°＝－2×360°－60°，设γ＝k ·360°－60°(k ∈Z )．∵－720°≤γ＜0°，∴－720°≤k ·360°－60°＜0°，k ∈Z ，∴k ＝－1或k ＝0. ∴－720°～0°之间与β2终边相同的角是－420°角和－60°角．1．特殊角的弧度数与角度数的对应值应熟记，并逐步养成用弧度数表示角的习惯． 2．在进行角度制与弧度制换算时，关系式π rad ＝180°是关键，由它得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9＜2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．用弧度表示区域角用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图1－1－5所示(不包括边界)．图1－1－5【思路探究】 求出阴影部分边界角的弧度数，结合区域角的旋转方向及终边相同角的表示方法写出区域角的范围．【自主解答】 (1)如图①，以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12rad ， ∴所求集合为{θ|2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z }．(2)如图②，以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4rad ，∴所求集合为{θ|2k π－3π4＜θ＜2k π＋3π4，k ∈Z }．1．用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一．2．在表示角的集合时，可以先写出一个周期的范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .3．在进行区间的合并时，注意归纳总结，一定要做到准确无误．一般地，若某角的终边落在某一直线上，则可用k π(或k ·180°)加上已知角来表示该角，其中k ∈Z .图1－1－6求出终边在图1－1－6中所示阴影区域(包括边界)的角的集合．【解】 由于－23π＋2π＝43π，即角－23π与角43π的终边相同，因此图中所示阴影区域的角的集合为{α|π4＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z }．弧长与扇形面积公式的应用一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【思路探究】设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值【自主解答】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则l ＝αr ，依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20， ∴α＝20－2rr.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)． ∴当r ＝5时，S 扇形max ＝25. 此时l ＝10，α＝2，故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．本例中条件不变，再增加一个条件：扇形面积S ＝24，如何求这个扇形的弧长和圆心角？【解】 (1)∵l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r 且0<r <10. ∴S 扇形＝12lr ＝(10－r )r ＝24，∴r 2－10r ＋24＝0，解得r ＝4或r ＝6.∴当r ＝4时，l ＝20－2×4＝12，α＝lr ＝3 rad ，当r ＝6时，l ＝20－2×6＝8，α＝l r ＝43rad.角度制与弧度制混用致误把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________． 【错解1】 －690°＝－(690×π180)＝－236π，∴－690°＝－3π－56π.【答案】 －3π－56π【错解2】 －690°＝－2×360°＋30°， ∴－690°＝－4π＋30°. 【答案】 －4π＋30°【错因分析】 错解1中－3π不是2k π的形式，不符合题目要求． 错解2中不符合“在同一表达式中角度与弧度不能混用”这一原则．【防范措施】 (1)在解题时要注意结果的规范要求．(2)在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原则和规范性．【正解】 法一 －690°＝－(690×π180)＝－236π，∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二 －690°＝－2×360°＋30°， ∴－690°＝－4π＋π6.【答案】 －4π＋π61．准确理解弧度制 (1)弧度制引入的必要性把角的概念推广到任意角后，角的集合和实数集之间建立起一一对应关系． (2)弧度制引入的合理性当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关． 2．求扇形的弧长和面积的解题技巧求扇形的面积关键是明确弧度制下扇形的面积公式S ＝12αr 2＝12lr (0＜α＜2π)，其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r 是扇形的半径，三个量中知道任意两个量即可求解.1．下列说法中，正确的序号是________． ①1弧度是长度为半径的弧；②大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大； ③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角； ④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等； ⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．【解析】 由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确；∵弧长l ＝α·r ，∴当α＝1时，l 扇＝r (半径)． ∴④不正确． 【答案】 ③2．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 【解析】5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以④错． 【答案】 ④3．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 【解析】 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.【答案】 254．已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？【解】 设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是l R ＝2(π－1) rad ，扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.一、填空题1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)2π15＝________；(2)－6π5＝________； (3)920°＝________；(4)－72°＝________. 【解析】 (1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°. (3)920°＝720°＋200°＝2π＋π＋20×π180＝3π＋π9＝289π.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5.【答案】 (1)24° (2)－216° (3)289π (4)－2π52．α＝－2 rad ，则α的终边在________．【解析】 －2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°，∴α为第三象限角． 【答案】 第三象限3．在单位圆(注：半径为1的圆)中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为________． 【解析】 由S ＝12αr 2＝12α×12＝α2＝1.∴α＝2 (rad)． 【答案】 24．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________.【解析】 分别取k ＝－1,0,1,2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.【答案】 {－5π6，－π3，π6，2π3}5．(2013·温州高一检测)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(图1－1－7阴影部分)是________．图1－1－7【解析】 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z . 因此，③正确．【答案】 ③6．已知角α的终边与π3的终边相同，在0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________． 【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )，故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )， 又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时，有α3＝π9，79π，139π满足． 【答案】 π9，79π，139π 7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.【答案】 28．(2013·泰州高一检测)已知角α，β的终边关于x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则β＝________.【解析】 如图：－π3角的终边关于y ＝－x 对称的射线的对应角为 －π4＋π12＝－π6，∴β＝－π6＋2k π，k ∈Z . 【答案】 2k π－π6，k ∈Z 二、解答题9．已知扇形的周长是8 cm ，圆心角为2 rad ，求该扇形的弧长和面积．【解】 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则有{ 2r ＋l ＝8，l ＝2r ，解得{r ＝2，l ＝4.故S ＝12l ·r ＝4(cm 2)．所以该扇形的弧长是4 cm ，面积是4 cm 2. 10．若角α与角－2π3的终边垂直，试表示满足条件的角α的集合，并探究其终边有何位置关系？【解】 在－π～π范围内，与角－2π3的终边垂直的角为5π6，－π6，与这两个角终边相同的角可分别表示为2k π＋5π6，2k π－π6，k ∈Z ，即{α|α＝2k π＋5π6，或α＝2k π－π6，k ∈Z }＝{α|α＝k π－π6，k ∈Z }． 所以它们的终边在同一条直线上．11．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．【解】 (1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.(教师用书独具)为什么要引入弧度制为什么要引入弧度制，要考虑以下两个问题：第一：建立弧度制的合理性，即建立弧度制的依据是什么？18世纪以前，人们一直用线段的长来定义三角函数，著名数学家欧拉1748年提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径之比，欧拉在这篇著作的第八章中提出弧度制的思想，他认为如果把半径作为一个单位长度，那么半圆的长就是π，所对应的圆心角的弧度数也是π.这时可用平面上一条射线绕其顶点旋转时，射线上不同两点的旋转过程中所形成的两段弧的长度与其半径之比为常数来说明这个比值与半径的大小无关，仅与角的大小有关．因此，我们可用圆弧的长与半径的比值来度量这个圆弧所对的圆心角，即用等于半径的圆弧所对的圆心角作为度量角的单位，叫做1弧度的角，弧度制就是建立在上述基础上的．第二：弧度制有什么优越性？①弧度数可以使角的大小用实数来表示，建立起角的集合与实数集合之间的一一对应关系，使三角函数可以看成是自变量为实数的函数，看成是实数与实数之间的映射关系，也就是说，三角函数也是数集与数集之间的映射，使三角函数也符合现代函数的定义，这就使三角函数脱离单独针对角的具体性、直观性和局限性，变得更抽象、更一般．因而可以给出更多的解释，使之应用研究更广泛．②引用弧度制以后，使得许多公式变得很简单．如弧长公式l ＝α·r ，扇形的面积公式S ＝12lr ，并且在基础理论中采用弧度制可以得到很多简单的公式．③作三角函数图象，若用角度制，则横轴上的角是六十进制，而纵轴上的三角函数值是十进制，两者的进制不同，不便于取统一的单位，就会使画出的三角函数图象没有统一标准，采用弧度制，就解决了这个问题．。

1.1.2 弧度制1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点)3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题.1.角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大.()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度.()【★答案★】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容，完成下列问题.1.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2π rad＝360°180°＝πradπ rad＝180°角度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2角度120°135°150°180°270°360°弧度2π33π45π6π3π22π正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)3π5＝________；(2)－π6＝________；(3)－120°＝________rad；(4)210°＝________rad.【解析】(1)3π5＝35×180°＝108°；(2)－π6＝－16×180°＝－30°；(3)－120°＝－120×π180＝－23π；(4)210°＝210×π180＝7π6.【★答案★】(1)108°(2)－30°(3)－2π3(4)7π6教材整理3扇形的弧长公式及面积公式阅读教材P9的全部内容，完成下列问题.1.弧度制下的弧长公式：如图1-1-7，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr ，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.图1-1-72.扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .若扇形的圆心角为π6，半径r ＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________.【解析】 ∵α＝π6，r ＝1， ∴弧长l ＝α·r ＝π6×1＝π6， 面积S ＝12lr ＝12×π6×1＝π12. 【★答案★】 π6 π12[小组合作型]角度制与弧度制的互化(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【精彩点拨】 利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化. 【自主解答】 (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10rad＝π10×180°π＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180°π＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.[再练一题]1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.【解】(1)72°＝72×π180rad＝2π5rad；(2)－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad；(3)2 rad＝2×180°π＝360°π≈114.60°；(4)－2π9rad＝－2π9×180°π＝－40°.用弧度制表示角的集合阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1-1-8所示). 【导学号：48582006】图1-1-8【精彩点拨】 先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合. 【自主解答】 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°，(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.[再练一题]2.如图1-1-9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).① ②图1-1-9【解】 (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为(2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，所以阴影部分内的角的集合为[探究共研型]扇形的弧长及面积问题探究1公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？【提示】公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角.探究2在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明.【提示】已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝12lr；又如已知S，α，可利用S＝12|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【自主解答】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10).∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.[再练一题]3.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积.【解】∵α＝120×π180＝2π3.又r＝6，∴弧长l＝αr＝2π3×6＝4π.面积S＝12lr＝12×4π×6＝12π.1.将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5rad.【★答案★】 (1)24° (2)－216° (3)469π rad (4)－2π5 rad2.半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________. 【解析】 S ＝12lr ＝12r 2·α＝12×4×2＝4. 【★答案★】 43.圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍.【解析】 设圆最初半径为r 1，圆心角为α1，弧长为l ，圆变化后的半径为r 2，圆心角为α2，则α1＝l r 1，α2＝l r 2.又r 2＝3r 1，∴α2α1＝r 1r 2＝r 13r 1＝13.【★答案★】 134.用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______. 【解析】 若角α的终边落在x 轴的上方， 则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z . 【★答案★】{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z5.设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角.【导学号：48582007】【解】 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6 ＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限. (2)β1＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。

1.1.2 弧度制一、填空题1．－300°化为弧度是________．2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．3．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．4．若2π<α<4π，且角α的终边与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 5．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B ＝________.6．已知α为第二象限的角，则π－α2所在的象限是第________象限． 7．扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为________． 8．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________. 二、解答题9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．10．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ(0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.三、探究与拓展12．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？答案1．－53π 2.2sin 1 3.25 4.7π3或10π35．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}6．二或四7．2∶38．－11π3，－5π3，π3，7π39．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z . (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z . 10．解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ， 扇形面积的最大值是2254cm 2， 这时α＝l r＝2 rad. ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2. 11．解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )， 则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4， 又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7， 从而π2<n π7<3π4，即72<n <214， 所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7. 12．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10， ∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×2×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R·R 2 ＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216.。

[学业水平训练] 1．将5 rad 化为角度是________．解析：∵1 rad ＝(180π)°， ∴5 rad ＝5·(180π)°＝(900π)°≈286°. ★答案★：286°2．α＝－2 rad ，则α的终边在第________象限．解析：－2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°， ∴α为第三象限角．★答案★：三3．用弧度制表示终边落在第三象限的角的集合为________．解析：若角α终边落在第三象限，则{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z }． ★答案★：{α|2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z } 4．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________． 解析：分别取k ＝－1，0，1，2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3. ★答案★：{－5π6，－π3，π6，2π3} 5．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③5π8rad ＝115°. 解析：5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以③错． ★答案★：③6．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为2π3，所以由l ＝αr ， 得r ＝l α＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m. ★答案★：0.57．(2014·济南高一质检)一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ，即l ＝(π－2)r .∵|α|＝l r＝π－2，∴α的弧度数是π－2， 从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2. 8．设集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }，B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B .解：由集合A ＝{x |k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z }，可知A ＝…∪[－9π4，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4] ∪[7π4，9π4]∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如下图．可得集合A ∩B ＝[－6，－7π4]∪[－5π4，－3π4]∪[－π4，π4]∪[3π4，5π4]∪[7π4，6]． [高考水平训练]1．在(－4π，4π)内与－58π7角的终边相同的角是________． 解析：首先写出与－587π角的终边相同的角的集合{α|α＝2k π－587π，k ∈Z }．然后再写出(－4π，4π)内的角α.★答案★：－16π7，－2π7，12π7，26π72．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．解析：设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.★答案★： 23．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求(1)AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点) ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.4．将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B ，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B 的位置向上提升100 cm ，那么需要多长时间才能完成？解：如图，设将物体向上提升100 cm ，需要的时间为t s.当BB ′＝100 cm 时，AA ′︵的长是100 cm ，AA ′︵所对的圆心角∠AOA ′＝10040＝52(rad)． 因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过6×2π60＝π5(rad)．于是t s 转过π5t rad ，所以π5t ＝52，得t ＝252π≈4(s)．。

1．1.2 弧度制1.了解弧度制的意义．2.能正确的将弧度与角度互化．3.掌握弧长公式和扇形面积公式．1．角度制规定周角的1360为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制(1)长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度数①正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．②角α的弧度数的绝对值|α|＝lr (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．3．角度与弧度之间的互化及关系(1)度化弧度：360°＝2π rad ，180°＝π rad ，1°＝π180 rad ≈0.017 45 rad.(2)弧度化度：2π rad ＝360°，π rad ＝180°，1 rad ＝180°π≈57.30°.4．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l|α|.(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝12|α|·r 2，S 扇形＝12l 2|α|(α为扇形圆心角的弧度数)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( )解析：(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)正确．若弧长为π，半径为2，则|α|＝π2，故其圆心角是直角．★答案★：(1)× (2)√ 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°★答案★：C3．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π3★答案★：C4．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．★答案★：(1)π10(2)54°角度与弧度的互化(1)将下列各角度化成弧度： ①1 080°，②－750°； (2)将下列各弧度化成角度： ①－7π9，②512.【解】 (1)①1 080°＝1 080×π180 rad ＝6π rad ，②－750°＝－750×π180 rad ＝－25π6 rad.(2)①－7π9 rad ＝－7π9×180°π＝－140°，②512 rad ＝512×180°π＝75°π.角度制与弧度制的互化原则(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×180°π＝360°π.1.将下列角度与弧度进行互化．①20°＝________； ②－15°＝________； ③－115π＝________．解析：①20°＝20×π180＝π9.②－15°＝－15×π180＝－π12.③－115π＝－115π×180°π＝－396°.★答案★：π9 －π12－396°终边相同的角和区域角的弧度制表示(1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3 是不是第二象限角．【解】 (1)因为－570°＝－19π6＝－4π＋5π6， 750°＝25π6＝4π＋π6.所以α1在第二象限，α2在第一象限． (2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以终边落在第二象限的所有角可表示为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π， 所以－10π3是第二象限角．熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k 值．[注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2k π－60°(k ∈Z )这种写法是不正确的．2.(1)在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A ．π5B ．2π5C ．4π5D ．6π5(2)①把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与2π5角终边相同的角．解：(1)选D ．因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D ．(2)①因为－1 480°＝－1 480×π180 rad＝－749π rad ，又－749π＝－10π＋169π，其中α＝169π，所以－1 480°＝169π－10π.②终边与2π5角相同的角为θ＝2π5＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝2π5；当k ＝1时，θ＝12π5，所以在[0，4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.弧长与扇形面积公式的应用已知一扇形的圆心角是α，半径是r .(1)若α＝60°，r ＝10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 【解】 (1)设弧长为l ，弓形的面积为S 弓． 因为α＝60°＝π3，r ＝10 cm ，所以l ＝αr ＝103π(cm)，所以S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－34×102＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm2)．(2)由已知2r＋l＝c，所以r＝c－l2(l<c)，所以S＝12rl＝12·c－l2·l＝14(cl－l2)＝－14⎝⎛⎭⎫l－c22＋c216，所以当l＝c2时，S max＝c216，此时α＝lr＝c2c－c22＝2，所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值c216.(1)求扇形的弧长和面积①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．(2)扇形周长及面积的最值问题①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.3.(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝lr＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S＝12lr＝12×18×12＝108(cm2)．(2)设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，所以l ＝40－2r ，所以S＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.“度”与“弧度”的区别与联系 区别(1)定义不同 (2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制 联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关 (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1 cm 时，l ＝8 cm ， 此时θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当r ＝4 cm 时，l ＝2 cm ， 此时θ＝24＝12(rad)．有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．1．1 920°转化为弧度数为( )A ．163B ．323C ．163πD ．323π解析：选D ．因为1°＝π180，所以1 920°＝1 920·π180＝32π3.2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm解析：选A ．根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．3．一钟表的分针长为5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm. 解析：经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×π3＝－43π，则l ＝|α|r ＝5×43π＝203π(cm)．★答案★：203π[学生用书P79(单独成册)])[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C ．由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°， 所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C ．2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析：选D ．150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A ．π2B ．π3C ． 2D ． 3解析：选C ．设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C ．4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A ．143 πB ．－143πC ．718πD ．－718π解析：选B ．显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形的圆心角大小不变 B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍 D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A ．设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7， 所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.★答案★：π5，π3，7π157．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为________ m.解析：因为分针20 min 转过的角为－2π3，所以由l ＝|α|r ，得r ＝l|α|＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m.★答案★：0.58．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，10 s 内转过的弧度为________．解析：10 s 内列车转过的圆形弧长为103 600×30＝112(km)．转过的角α＝1122＝124(弧度)．★答案★：1249．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形面积是多少？解：设弧长为l ，所对圆心角为α，则l ＋2r ＝πr ， 即l ＝(π－2)r . 因为|α|＝lr ＝π－2，所以α的弧度数是π－2， 从而S 扇形＝12lr ＝12(π－2)r 2.10．设集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ， B ＝{x |x 2≤36}，试求集合A ∩B ． 解：由集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，可知A ＝…∪⎣⎡⎦⎤－9π4，－7π4∪⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4 ∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪ ⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，9π4∪….由B ＝{x |x 2≤36}，可得B ＝{x |－6≤x ≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．可得集合A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－6，－7π4∪ ⎣⎡⎦⎤－5π4，－3π4∪⎣⎡⎦⎤－π4，π4∪⎣⎡⎦⎤3π4，5π4∪⎣⎡⎦⎤7π4，6.[B 能力提升]1．设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边的角的集合是( )A ．{β|β＝k ·2π＋α，k ∈Z }B ．{β|β＝(2k ＋1)·π＋α，k ∈Z }C ．{β|β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z }D ．{β|β＝k ·2π＋32π＋α，k ∈Z }解析：选C ．依题意，射线OP 1所对应的角γ满足α＋γ＝k 1·2π＋π，k 1∈Z ，① 射线OP 2所对应的角β满足γ＋β＝k 2·2π－π2，k 2∈Z ，②②－①得β－α＝(k 2－k 1)·2π－32π，即β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z .2．如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，则(1)P ，Q 第一次相遇时所用的时间为________． (2)P ，Q 点各自走过的弧长为________，________． 解析：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t 秒， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 解得t ＝4.所以第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆的交点位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆的交点位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π， 点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π. ★答案★：(1)4秒 (2)163π 83πRuize 3．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB ︵的长；(2)扇形所含弓形的面积．解：(1)因为120°＝120180π＝23π， 所以l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， 所以AB ︵的长为4π.(2)因为S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.(D 为AB 中点) 所以弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.4．(选做题)将一条绳索绕在半径为40 cm 的轮圈上，绳索的下端处悬挂着物体B ，如果轮子按逆时针方向每分钟旋转6圈，现将物体B 的位置向上提升100 cm ，那么需要多长时间才能完成？解：如图，设将物体向上提升100 cm ，需要的时间为t s.当BB ′＝100 cm 时，AA ′︵的长是100 cm ，AA ′︵所对的圆心角∠AOA ′＝10040＝52(rad)． 因为轮子每分钟匀速旋转6圈，所以每秒匀速转过6×2π60＝π5(rad)． 于是t s 转过π5t rad ， 所以π5t ＝52， 得t ＝252π≈4(s)．。

一、填空题1．下列命题中，正确的序号是________．①1弧度是长度为半径的弧②大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度解析：由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确； ∵弧长l ＝α·r ，∴当α＝1时，l 扇＝ r (半径)．∴④不正确．答案：③2．若α＝－4，则α是第________象限角．解析：∵－4×(180π)°≈－229°∴在第二象限． 答案：二3．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为________．解析：圆心角α＝l r ＝8π12＝2π3， ∴与α终边相同的角的集合为{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z}． 答案：{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z} 4．设0≤α<2π，将－1 485°表示成2k π＋α，k ∈Z 的形式是________．解析：∵－1485°＝－5×360°＋315°， 而315°＝7π4， ∴－1485°＝2×(－5)π＋7π4. 答案：2×(－5)π＋74π 5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.解析：如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．答案：[－4，－π]∪[0，π]二、解答题6．设角α＝－570°，β＝3π5. (1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 解：(1)∵180°＝π rad ，∴－570°＝－570×π180＝－19π6. ∴α＝－19π6＝－2×2π＋5π6. ∴α在第二象限．(2)∵β＝3π5＝3π5×180°π＝108°， 设θ＝k ·360°＋β(k ∈Z)．由－720°≤θ<0°，∴－720°≤k ·360°＋108°<0°.∴k ＝－2或k ＝－1.∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°.7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图(1)所示，以OB 为终边的角为330°，可看作－30°，∵－30°＝－π6，75°＝5π12， ∴{θ|－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z}． (1)如图(2)所示，以OB 为终边的角为225°，可看作－135°，∵－135°＝－3π4，135°＝3π4， ∴{θ|－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z}． (3)如图(3)所示，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|π6＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z}∪{θ|7π6＋2k π<θ<3π2＋2k π，k ∈Z}＝{θ|π6＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z}∪{θ|π6＋(2k ＋1)π<θ<π2＋(2k ＋1)π，k ∈Z} ＝{θ|π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z}． ∴{θ|π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z}即为所求． 8．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ，∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2 ＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．。

[学业水平训练]1．若角θ的终边过点P (－3，4)则sin θ＝________，cos θ＝________．解析：OP ＝（－3）2＋42＝5，∴sin θ＝45，cos θ＝－35.答案：45 －352．设θ是三角形的内角且θ≠π2，则下列各组数中均取正值的是________．(只填序号)①tan θ与cos θ；②cos θ与sin θ；③sin θ与tan θ；④tan θ2与sin θ.解析：∵θ是三角形的内角且θ≠π2，∴0＜θ＜π且θ≠π2，∴sin θ＞0，tan θ2＞0.答案：④3．若α＝5π6，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是________．解析：可设P 点坐标为(x ，y )，则sin α＝y r ＝y 1＝12，cos α＝x r ＝x 1＝－32.∴⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝12.答案：(－32，12)4．已知角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α＋cos α的值为________．解析：设角α的终边上任一点P (k ，－2k )(k ≠0)，则r ＝k2＋（－2k ）2＝5k2＝5|k |.当k >0时，r ＝5|k |＝5k ， 所以sin α＝y r ＝－2k 5k ＝－255，cos α＝x r ＝k 5k ＝55，所以sin α＋cos α＝－55； 当k <0时， r ＝5|k |＝－5k ， 所以sin α＝y r ＝－2k －5k ＝255，cos α＝x r ＝k －5k ＝－55，所以sin α＋cos α＝55. 综上所述，可得sin α＋cos α＝±55.答案：±555．下列说法中，正确的个数为________． ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②终边不同的角的同名三角函数值不全相等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且P (x ，y )是其终边上的一点，则cos α＝－xx2＋y2. 解析：三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系故①②都是正确的；当α的终边与y 轴的非负半轴重合时，sin α＝1＞0，故③是不正确的；无论α在第几象限，cos α＝xx2＋y2，故④也是不正确的．因此只有2个正确．答案：26．若A 是第三象限角，且|sin A 2|＝－sin A 2，则A2是第________象限角．解析：∵A 是第三象限角，∴2k π＋π＜A ＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋π2＜A 2＜k π＋3π4(k ∈Z )，∴A 2是第二、四象限角．又∵|sin A 2|＝－sin A 2， ∴sin A 2＜0，∴A2是第四象限角．答案：四7．已知角α的终边与函数y ＝32x 的图象重合，求α的正弦、余弦、正切值．解：函数y ＝32x 的图象是过原点和第一、三象限的直线，因此α的终边在第一或第三象限．当α的终边在第一象限时，在终边上取点P (2，3)，则r ＝22＋32＝13，于是sin α＝313＝31313，cos α＝213＝21313，tan α＝32；当α的终边在第三象限时，在终边上取点P ′(－2，－3)，则r ′＝（－2）2＋（－3）2＝13，于是sin α＝－313＝－31313，cos α＝－213＝－21313，tan α＝－3－2＝32.8．求下列函数的定义域：(1)y ＝tan x sin x；(2)y ＝sin x·tan x ；(3)y ＝lg(sin 2x )＋9－x2.解：(1)要使函数有意义，则tan x 有意义且sin x ≠0.由tan x 有意义，得x ≠π2＋k π(k ∈Z )，①由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z ), ②由①②，得x ≠kπ2(k ∈Z )．故原函数的定义域为{x |x ≠kπ2，k ∈Z }．(2)要使函数有意义，则sin x ·tan x ≥0，有sin x 和tan x 同号或sin x ＝0或tan x ＝0.当sin x 与tan x 同正，则x 为第一象限角，即2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )．当sin x 与tan x同负，则x 为第四象限角，即－π2＋2k π＜x ＜2k π(k ∈Z )．当sin x ＝0或tan x ＝0，则x ＝k π(k∈Z )．故原函数的定义域为{x |－π2＋2k π＜x ＜π2＋2k π或x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z }．(3)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x ＞0，①9－x2≥0.②由①，得2k π＜2x ＜π＋2k π(k ∈Z )，即k π ＜x ＜π2＋k π(k ∈Z )．由②，得－3≤x ≤3.故原函数的定义域为{x |－3≤x ＜－π2或0＜x ＜π2}．[高考水平训练]1．已知MP ，OM ，AT 分别为60°角的正弦线、余弦线和正切线，则一定有________．(只填序号)①MP ＜OM ＜AT ；②OM ＜MP ＜AT ； ③AT ＜OM ＜MP ；④OM ＜AT ＜MP .解析：sin 60°＝32，cos 60°＝12，tan 60°＝3.答案：②2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴角α的终边在第二象限．答案：二3．张明做作业时，遇到了这样的一道题：“若已知角θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，问能否求出sin θ，cosθ的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由．”他对此题，百思不得其解．同学们，你们能帮张明求解吗？解：由题意，得r ＝OP ＝x2＋9，则cos θ＝x r＝xx2＋9 .∵cos θ＝1010x ， ∴x x2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，点P 的坐标为(1，3)，角θ为第一象限角， 此时，sin θ＝310＝31010，cos θ＝1010；当x ＝－1时，点P 的坐标为(－1，3)，角θ为第二象限角，此时，sin θ＝31010，cos θ＝－1010.4．若0<α<β<π2，试比较β－sin β与α－sin α的大小．解：如图，在单位圆中，sin α＝MP ，sin β＝NQ ，弧AP ︵的长为α，弧AQ ︵的长为β，则弧PQ ︵的长为β－α. 过P 作P R ⊥QN 于R ，连结PQ ，则MP ＝N R. 所以R Q ＝sin β－sin α<PQ <PQ ︵＝β－α. 所以β－sin β>α－sin α.。

第1课时如图∠AOB.问题1：∠AOB能否看成射线OA绕O点旋转到OB而成的呢？提示：可以．问题2：射线OA按顺时针方向、逆时针方向都能转到OB吗？提示：都可以转到OB.问题3：两者所得到的角相同吗？提示：不相同．1．角的概念一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．2．角的分类(1)正角——按逆时针方向旋转所形成的角；(2)负角——按顺时针方向旋转所形成的角；(3)零角——射线没有作任何旋转所形成的角.若∠AOB的顶点O为坐标原点，始边OA在x轴的正半轴上，则∠AOB分别等于300°，－300°，－160°，220°时，终边OB落在第几象限？∠AOB分别等于－90°，180°，0°，270°，90°，－180°时，终边又落在何处？提示：当∠AOB分别等于300°，－300°，－160°，220°时，终边OB分别落在第四、一、三、三象限；当∠AOB分别等于－90°，180°，0°，270°，90°时，终边OB分别落在y轴的负半轴、x轴的负半轴、x轴的正半轴、y轴的负半轴、y轴的正半轴上．1．象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．轴线角如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.如图，在同一坐标系中作出60°，420°角．问题1：两角的终边有何特点？提示：终边相同．问题2：两角的角度有什么等式关系？提示：420°＝60°＋360°.相差360°.问题3：－300°与60°的终边有何特点？两角的角度又有什么等式关系？提示：两角终边也相同，－300°＝60°－360°.相差－360°.问题4：试再写几个与60°终边相同的角，计算出它们与60°相差的角度，并观察这些角度有什么共同特点．提示：780°，1 140°，－660°等，与60°相差720°，1 080°，－720°，相差的角度都是360°的整数倍．终边相同的角一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．1．角的三要素：顶点、始边、终边．2．象限角及轴线角的前提：角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，否则不能判断该角为哪一个象限角．3．终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同，但是两角终边相同时，两角不一定相等，它们相差360°的整数倍．[例1] 下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．其中正确的结论是________(填序号)．[思路点拨] 根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．[精解详析] ①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．[答案] ②④[一点通] 解决此类问题的关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，另外需要掌握判断命题真假的技巧，判断命题为真，需要证明，而判断命题为假，只要举出反例即可．1.如图，则α＝________，β＝________. 答案：240° －120°2．经过2个小时，钟表上的时针旋转的角度为________．解析：钟表的时针旋转一周是－360°，其中每小时旋转－360°12＝－30°，所以经过2个小时应旋转－60°.答案：－60°3．下列命题正确的是________(填序号)． ①三角形的内角必是第一、二象限角 ②始边相同而终边不同的角一定不相等 ③第四象限角一定是负角 ④钝角比第三象限角小解析：只有②正确．对于①，如∠A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．答案：②[例2] 在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．(1)－736°；(2)904°18′.[思路点拨] 首先写出与α终边相同的角的集合，然后取适当的整数k即可求出满足条件的角．可利用0°～360°之间与该角终边相同的角来判断角的象限．[精解详析] (1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角．∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．(2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角．∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．[一点通] (1)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行；负角除以360°，商是负数，其绝对值比被除数为其相反数时的商大1，使余数为正值．(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．4．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解：可设与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10 030°(k∈Z)．(1)由－360°＜k·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k·360°＜－10 030°，解得k＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k·360°＜－9 670°，解得k＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°＜k·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°＜k·360°＜－9 310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.5．已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S 1＝{}α|α＝30°＋k ·180°，k ∈Z ， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S 2＝{}α|α＝105°＋k ·180°，k ∈Z ，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{}α|30°＋k ·180°≤α＜105°＋k ·180°，k ∈Z .[例3] 已知α为第二象限角，问2α，α2分别是第几象限角？[思路点拨] 由角α为第二象限角，则α的范围为90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°，k ∈Z ，在此基础上可以写出2α，α2的范围，进而可以判断出它们所在的象限．[精解详析] ∵α是第二象限角， ∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°. ∴180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°.∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角． 同理45°＋k 2 ·360°＜α2＜90°＋k2·360°.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．[一点通] 已知角α终边所在象限，(1)确定nα终边所在的象限，直接转化为终边相同的角即可． (2)确定αn终边所在象限常用的步骤如下： ①求出αn的范围；②对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1； ③下结论．6．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角． 解析：∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z . ∴k ·360°－90°<180°－α<k ·360°，k ∈Z . ∴180°－α为第四象限角． 答案：四7．已知角2α的终边落在x 轴上方，那么α是第________象限角． 解析：：由题知k ·360°＜2α＜180°＋k ·360°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α＜90°＋k ·180°，k ∈Z .当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角，∴α为第一或第三象限角．答案：一或三8．已知α是第三象限角，求α2，2α终边所在的象限．解：因为α是第三象限角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z . 所以α2的范围为k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°，k ∈Z ，所以α2终边落在第二或第四象限．2α的范围为k ·720°＋360°<2α<k ·720°＋540°，k ∈Z ， 所以2α终边落在第一或第二象限或y 轴的正半轴．1．轴线角的集合角α终边位置 角α的集合 在x 轴非负半轴上 {α|α＝k ·360°，k ∈Z } 在x 轴非正半轴上{α|α＝k ·360°＋180°，k ∈Z }在y 轴非负半轴上{α|α＝k ·360°＋90°，k∈Z }在y 轴非正半轴上 {α|α＝k ·360°＋270°，k∈Z}在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}2．象限角的集合象限角象限角α的表示第一象限的角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限的角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限的角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限的角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}3．终边相同的角关于与角α终边相同的角的一般形式k·360°＋α应着重理解以下几点：(1)k∈Z.(2)α是任意角．(3)k·360°＋α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．课下能力提升(一)一、填空题1．射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，再顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝________.解析：根据角的定义∠AOC＝120°＋(－270°)＝－150°.答案：－150°2．－1 445°是第________象限角． 解析：∵－1 445°＝－5×360°＋355°， ∴－1 445°是第四象限角． 答案：四3．集合A ＝{}α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z ，B ＝{β|－180°＜β＜180°}，则A ∩B ＝________.解析：由－180°＜k ·90°－36°＜180°，k ∈Z ， 得－144°＜k ·90°＜216°，k ∈Z ，所以－14490＜k ＜21690，k ∈Z ，所以k ＝－1,0,1,2.所以A ∩B ＝{}－126°，－36°，54°，144°. 答案：{－126°，－36°，54°，144°}4．已知角α，β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析：∵角α，β的终边相同， ∴α＝k ·360°＋β，k ∈Z .作差α－β＝k ·360°＋β－β＝k ·360°，k ∈Z . ∴α－β的终边在x 轴的正半轴上． 答案：x 轴的正半轴上5．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________. 解析：7α＝2α＋k ·360°(k ∈Z )， ∴α＝k ·72°，又α为第二象限角， ∴在0°～360°内符合条件的角为144°， 故α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )． 答案：α＝k ·360°＋144°(k ∈Z ) 二、解答题6．已知α＝－1 910°，(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限的角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°. 解：(1)设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )， 则β＝－1 910°－k ·360°(k ∈Z )． 令－1 910°－k ·360°≥0， 解得k ≤－1 910360.所以k 的最大整数解为k ＝－6，求出相应的β＝250°， 于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角． (2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ＜0°的角： 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故θ＝－110°或－470°.7．已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，试写出角α的集合．解：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|270°＋k ·360°≤α≤315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|90°＋2k ·180°≤α≤135°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|90°＋(2k ＋1)·180°≤α≤135°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|90°＋n ·180°≤α≤135°＋n ·180°，n ∈Z }．8．已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断α3是第几象限角？解：与α终边相同的角的集合为 {α|α＝k ·360°＋150°，k ∈Z }， ∴α3＝k ·120°＋50°，k ∈Z .若k ＝3n (n ∈Z )，α3是第一象限角；若k ＝3n ＋1(n ∈Z )，α3是第二象限角；若k ＝3n ＋2(n ∈Z )，α3是第四象限角．故α3是第一、二、四象限角．第2课时 弧 度 制问题1：目前，我们度量角的单位是什么？是如何定义的？提示：度量角的单位是“度”，1度的角等于周角的1 360.问题2：下图是半径不等的两个圆，在每个圆上取长等于半径的一条弧，连接圆心与弧的两个端点，得到两个角，你认为这两个角是否相等？提示：相等．角的大小与半径无关．问题3：在半径为r的圆周上，长为l的圆弧所对的圆心角α为定值吗？说明什么问题？提示：是定值，因为l＝2πr·α360，∴α＝3602π·lr.说明圆心角只与它所对的弧与半径的比值有关系．1．角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，周角的1360为1度的角．2．弧度制(1)弧度制的定义：长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)任意角的弧度数与实数的对应关系：正角的弧度数是正数；负角的弧度数是负数；零角的弧度数为0. 3．角度制与弧度制的换算(1)角度与弧度的换算公式：角度化弧度弧度化角度360°＝2π rad2π rad＝360°180°＝π radπ rad＝180°1°＝π180rad≈0.01745 rad1 rad ＝180π度≈57.30°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系： 度0° 1° 30° 45° 60° 90°120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0π180π6π4π3π22π33π45π6π3π22π在角度制下，扇形的弧长公式和面积公式分别是l ＝n πr180，S ＝n πr 2360，根据角度制与弧度制的互换，能否用圆心角的弧度表示如图所示的扇形的弧长与面积？提示：弧长l ＝r |α|；S 扇形＝12|α|r 2.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l ＝απr 180l ＝αr 扇形的面积S ＝απ360r 2S ＝12lr ＝12αr 21．弧度制与角度制是两种不同的度量方法，弧度制为十进制，角度制为60进制.1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°是周角的1360. 2．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如：角α＝10就表示α是10弧度的角．[例1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300° (3)2；(4)－2π9.[思路点拨] 先看清题目中所给的角是用角度制表示的，还是用弧度制表示的，然后利用公式计算即可．[精解详析] (1)72°＝72×π180 rad ＝2π5rad ； (2)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3 rad ；(3)2 rad ＝2×180°π＝360°π≈114.59°；(4)－2π9 rad ＝－2π9×180°π＝－40°.[一点通] 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π＝180°是关键，由它可以得到：角度数乘以π180即为弧度数，弧度数乘以180°π即为角度数．1．把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10(3)－4π3；(4)112°30′解：(1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×180°π＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×180°π＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad.2．设三角形三内角之比为2∶5∶8，求各内角的度数，并化成弧度数． 解：∵三角形内角和为180°，∴三个内角分别为22＋5＋8×180°＝24°，52＋5＋8×180°＝60°，82＋5＋8×180°＝96°，又24°＝π180 rad×24＝2π15 rad ；60°＝60×π180 rad ＝π3 rad ；96°＝π180 rad×96＝8π15rad.[例2] (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π； (2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β. [思路点拨] 首先把角度化成弧度，再写成所要求的形式． [精解详析] (1)∵－1 480°＝－1 480π180 rad＝－74π9 rad ＝－10π＋16π9＝2×(－5)π＋16π9.∴－1 480°＝16π9＋2×(－5)π.(2)由(1)可知α＝16π9.∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0]，令k ＝－1， 则β＝－2π9；令k ＝－2，则β＝－20π9，∴β的值是－2π9，－20π9.[一点通] 表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°，(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角．3．把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________．解析：法一：－690°＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫690×π180 rad ＝－23π6 rad ， ∵－23π6＝－4π＋π6.即－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°， ∴－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π64．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为__________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方， 则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z )．答案：{α|2k π＜α＜2k π＋π，(k ∈Z )}5．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的正半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k∈Z )．所以阴影部分内的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z(2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＜α＜π3＋2k π，或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .[例3] 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．[思路点拨] (1)将圆心角化为弧度数；(2)求出扇形的半径或弧长；(3)代入面积公式． [精解详析] 设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9，∴扇形的弧长为4π9r .由已知，4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2，∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.[一点通] (1)求扇形面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，相反，也可由扇形的面积结合其他条件求扇形的圆心角、半径、弧长．(2)注意弧长公式l ＝|α|·R 与扇形面积公式S ＝12|α|·R 2＝12l ·R 中的圆心角α的单位必须是弧度．6．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是________cm 2.解析：由已知得扇形的半径r ＝l α＝42＝2 cm ，所以扇形的面积S ＝12lr ＝12×4×2＝4 (cm)2.答案：47．若扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求扇形的圆心角的弧度数． 解：设弧长为l ，半径为r ， 由题意得12lr ＝1，①l ＋2r ＝4.②由①②解得l ＝2，r ＝1，所以α＝2.8．如图所示，扇形周长为a ，当扇形的圆心角α和半径r 各取何值时，扇形的面积最大．解：设扇形弧长为l ，面积为S ， 则S ＝12l ·r ，又∵l ＋2r ＝a ， ∴S ＝12(a －2r )·r＝－r 2＋12ar＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫r －a 42＋a 216，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216，由l ＝a －2r ＝a 2及α＝lr得α＝2 rad.1．用弧度表示终边相同的角(1)用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β＝2k π＋α，(k ∈Z )． 这些角所构成的集合为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }．(2)在同一个代数式中，弧度与角度两种单位制不能同时出现，如2k π＋30°(k ∈Z )或k ·360°＋π3(k ∈Z )的写法都是不正确的． 2．利用弧度制解决扇形的弧长及面积问题(1)在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及内在联系．在圆心角、半径、弧长、面积这些量中，已知其中的两个，就可以求出其他量．(2)在解决有关扇形、弓形的有关计算问题时，采用弧度制通常要比采用角度制更方便．课下能力提升(二)一、填空题1．－600°＝________弧度．解析：－600°＝－600×π180 rad ＝－10π3 rad答案：－10π32．若α＝－4，则α是第________象限角． 解析：∵－4×180°π≈－229°，∴在第二象限．答案：二3．圆弧长度等于其所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对的圆心角的弧度数是________． 解析：圆内接正三角形的边长等于半径的3倍． 答案： 34．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________________.解析：与α终边相同的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝2k π＋π3，k ∈Z .∵α∈(－4π，4π)， ∴－4π＜2k π＋π3＜4π，化简得：－136＜k ＜116.∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，∴α＝－11π3，－5π3，π3，7π3.答案：－11π3，－5π3，π3，7π35．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________. 解析：如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]． 答案：[－4，－π]∪[0，π] 二、解答题6．设角α＝－570°，β＝3π5. (1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 解：(1)∵180°＝π rad，∴－570°＝－570×π180＝－19π6.∴α＝－19π6＝－2×2π＋5π6.∴α在第二象限．(2)∵β＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝k ·360°＋β(k ∈Z )． 由－720°≤θ<0°，∴－720°≤k ·360°＋108°<0°. ∴k ＝－2或k ＝－1.∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°.7．一个扇形的周长等于所在圆的周长，那么这个扇形的圆心角是多少？如果半径等于3，那么，扇形的面积等于多少？解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，则2r ＋αr ＝2πr ， 故α＝2π－2，S 扇形＝12αr 2＝12×(2π－2)×3＝3π－3.8．已知α是第二象限的角，(1)指出α2所在的象限，并用图形表示其变化范围；(2)若α同时满足条件－6≤α≤2，求α的取值区间． 解：(1)依题意，2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ，∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z ，若k 为偶数，则α2是第一象限的角；若k 为奇数，则α2是第三象限的角；其变化范围如图中阴影部分所示(不含边界)．(2)又－6≤α≤2，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π∩[－6,2]，由图不难知道，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2.。

1-1-2弧度制一、选择题1．在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的( ) A ．弦长相等 B ．弧长相等C ．弦长等于所在圆的半径D ．弧长等于所在圆的半径 [答案] D2．下列各式正确的是( ) A.π2＝90 B.π18＝10° C ．3°＝60πD ．38°＝38π[答案] B3．α＝－2π3，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] C[解析] α＝－23π＝－(23π×180π＝－120°，则α的终边在第三象限．4．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是( ) A.π3 B ．－π3C.π6 D ．－π6[答案] C5．下列各对角中，终边相同的是( ) A.3π2和2k π－3π2(k ∈Z ) B ．－π5和22π5C ．－7π9和11π9D.203π和122π9[答案] C[解析] ∵－7π9－11π9＝－2π，∴选C.6．圆的半径是6cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2cm 2B.3π2cm 2C ．πcm 2D ．3πcm 2 [答案] B[解析] ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．7．(2011～2012·南昌高一检测)若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )A ．4cm 2B ．2cm 2C ．4πcm 2D ．2πcm 2 [答案] A8．在半径为2cm 的圆中，若有一条弧长为π3cm ，则它所对的圆心角为( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 [答案] A[解析] 设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.9．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 [答案] B[解析] 根据弧度的定义可知：圆心角的大小等于弧长对半径的比，故选B.10．已知集合M ＝{x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z }，集合N ＝{x |x ＝k π8－π4，k∈Z }，则( )A ．M ∩N ＝ØB ．N MC ．M ND ．M ∪N ＝N[答案] C[解析] M ＝{x |x ＝2(k ＋2)π8－π4，k ∈Z }＝{x |x ＝2n 8π－π4，n ∈Z }，又N ＝{x |x ＝2k π8－π4或2k －18π－π4，k ∈Z }，所以M N .二、填空题11．(2011～2012·淮安高一检测)把角25π6化成α＋2k π(0≤α<2π)的形式为________．[答案] π6＋4π12．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________． [答案] {α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z }[解析] 若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π，k ∈Z . 13．若三角形的三内角之比为1 2 3，则此三角形的最小内角的弧度数为________．[答案] π6[解析] 设最小内角为α，则α＋2α＋3α＝π，∴α＝π6.14．若α，β满足－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．[答案] (－π，0)[解析] 由题意，得－π2<α<π2，－π2<－β<π2，∴－π<α－β<β.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.三、解答题15．已知两角的和为1弧度，且两角的差为1°，试求这两个角各是多少弧度．[解析] 设两个角的弧度数分别为x 、y ，因为1°＝π180 rad.依题意得⎩⎨⎧x ＋y ＝1x －y ＝π180⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋π360y ＝12－π360，即所求两角的弧度数分别为12＋π360，12－π360.16．已知θ∈{α|α＝k π＋(－1)k·π4，k ∈Z }，判断θ所在的象限．[解析] (1)当k ＝2n ，n ∈Z 时，α＝2n π＋π4，α为第一象限角．(2)当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α＝2n π＋34π，α为第二象限角，∴θ为第一或第二象限角．。