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北师大版数学必修四课件：1.3弧度制

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高中数学 北师大必修四 1.1.弧度制

高中数学 北师大必修四 1.1.弧度制

②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
用“弧度”与“度”去度量每一个 角时，除了零角以外，所得到的量数都 是不同的，但它们既然是度量同一个角 的结果，二者就可以相互换算．
复习引入
角度制
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来 度量角，1°的角是如何定义的？
周角的 1 叫做1度角,记为1°
360
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制， 在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度 量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
新授内容
B
r
1 rad
o
r
A
1.弧度制:
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角
1
rad
180
弧
度 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实
制数集R之间建立了一一对应关系
的
一一对应
意
正实
义
正角
数
零角
0
负角
负实
数
任意角的集合 实数集R
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R
2S 1R2
2
3 S 1 lR
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角, S是扇形面积.
④第四象限角对应的集合为
2k
3
2
2k
2，k
Z
终边相同的角
与 终边相同的角的集合为 2k , k Z
叫做1弧度的角

2020-2021学年北师大版数学必修4课件：1.3 弧度制

2020-2021学年北师大版数学必修4课件：1.3 弧度制

12 3
3
答案: { | 2k 2，k Z}
3
课堂检测·素养达标
1.下列说法中,错误的是( ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对圆心角的大小是1弧度 【解析】选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确.
【解题策略】
角度与弧度互化的策略
(1)原则:牢记180°=π
rad,充分利用1°=
180
rad和1
rad=（180 )
进行换
算.
(2)方法:设一个角的弧度数为α,角度数为n,则α rad=α·（180) ;
n°=n· rad.
180
(3)注意点:①用“弧度”为单位度量角时,“弧度”二字或“rad”可以省略
(3)“角度”与“弧度”可以按照“180° =π rad”这一等量关系进行相互 转化.
【跟踪训练】
1.集合 { | k k ，k Z} 所表示的角的范围(用阴影表示)是
4
2
()
2.用弧度制表示:(1)终边在x轴上的角的集合.
(2)终边在y轴上的角的集合.
(3)终边在坐标轴上的角的集合.
(组)求解.
(3)弧长、面积的最值问题:利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利
用函数知识求最值,一般多利用二次函数的最值求解.
【补偿训练】 1.若两个圆心角相同的扇形,半径之比为a,则面积之比为多少呢?
【解析】设
r1 r2
=a.则
S1
1 2
|
|
r12
S2
1 2
|
|
r22
=a2,可得面积之比为a2.

2020-2021学年数学北师大版必修4教学课件：1.3 弧度制 (18张)

2020-2021学年数学北师大版必修4教学课件：1.3 弧度制 (18张)
学中的角，是否也有多种不同的度量制呢？ 学完本节内容你就明白了．
1．度量角的单位制
(1)角度制
规定周角的
1 360
为1度的角，用度作为单位来度量角的单位
制叫角度制．
(2)弧度制
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角，
称为_1_弧_度__的_角____，它的单位符号是_r_ad___，读作__弧__度____．这
• [思路分析] 正确理解“角度”与“弧度”的 概念，从而进行正确的判断．
• [答案] D
[规范解答] “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度
量单位，A正确；1度的角是周角的
1 360
，1弧度的角是周角的
1 2π
，B正确；根据弧度的定义，180°一定等于π弧度，C正确；
根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度
量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和角的比
值有关，所以D错误．
• [规律总结] 对于概念类的题目，要从定义入 手，仔细分析每一句话，并注意题中的叙述 与定义的异同点，从而把握住各种叙述的实 质．
• 下列叙述中，正确的是( ) • A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 • B．1弧度是长度等于半径的弧 • C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 • D．1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆
规律总结对于概念类的题目要从定义入手仔细分析每一句话并注意题中的叙述与定义的异同点从而把握住各种叙述的实d1弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角弧度是角的一种度量单位解析根据弧度定义知选d
第一章 三角函数
第一章 §3 弧度制
课前自主预习
• 节是航海速度单位，舰船每小时航程1海里为 1节，用代号“kn”表示．国际上承认的标准 海里是1 852米，我国也承认这个标准，海里 的代号为“M”．而汽车的时速单位是千米/时， 用代号“km/h”表示．由此看来，同样是速度 问题，有两种不同的单位计量方法．那么数

高中数学北师大版必修四课件集弧度制

高中数学北师大版必修四课件集弧度制

S扇 = 360
2、弧度制下的弧长公式 l = r
弧度制制下的扇形面积公式
S扇
=
1 lr 2
=
1 2
| | r2
l [例4]．求图中公路弯道处弧 的长
（精确到 1m ，图中长度单位：m）．
例5 已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的圆心角.
分析:要求圆心角,根据公式| |= l ,需求弧长l及半径R.
R
当R=4时,l=2cm时, = l = 1
R2 1
∴所求扇形的圆心角的弧度数为
2
1、已知扇形周长为6cm，面积为2cm2，则扇形
圆心角的弧度数为 C
A、1
B、4
C、1或4 D、2或4
2、当圆心角α=-216o，弧长l =7πcm时，其半径
r=__3_5_c_m___
6
所对3、圆在弧半的径长为为3_0__的4_0_圆__中__，__圆心角为周角的
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z 它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
2k，k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
S = | = 2k , k Z
弧度 这个关键．
练习：填表
度 30 45 60 90 180 270 360

弧度 6

4

3

2


3
2

2
弧度 度
弧度 度




0
12
6
4
3

北师大版数学必修四：第一章《三角函数》章节归纳梳理ppt课件

北师大版数学必修四：第一章《三角函数》章节归纳梳理ppt课件

2sin 2 sin 2sin cos cos 2sin 2 sin 2sin 1 cos 1 2sin 1 sin tan
若 17 ，
6 1 1 则 f ( 17 ) 17 6 tan( ) tan(3 ) 6 6 1 1 3. 3 tan 6 3
三角函数的图像
对三角函数的图像的几点认识 本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，
主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等.
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的 方法化简求值.
【规范解答】f 2sin cos cos
2sin 2 sin( )

2sin cos cos
正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用
(1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
4
小的θ 值是( (A)
3 4
) (B)
4
(C)
4
(D)
3 4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中 绝对值最小的角α 是_______. 【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与

高中数学北师大版必修4第一章《弧度制》ppt课件2

高中数学北师大版必修4第一章《弧度制》ppt课件2

2
2
D． 2k 1与 3k，k Ζ
小结
（1） 180 弧度；
（ 2）“角化弧”时，将n 乘以 ；“弧化角”时，
将 乘以 180 ；
180

（3）弧长公式：l r
扇形面积公式：S 1 lr 1 r 2（其中 l为圆心角 所
22
r 对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
例1 把 6730 化成弧度．
解：∵
6730


67
1


2
∴ 6730 rad 67 1 3 rad
180
28
例2 把 4 rad 化成度． 5
解：4 rad 4 180 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180
弧度这个关键．
r是圆的半径。
角度制与弧度制的换算
1 把角度换成弧度
2 把弧度换成角度
360 2 rad
2 rad=360。
180 rad
1 rad 0.01745rad
180
rad=180。
1rad

180


57.30
57 18'
写出一些特殊角的弧度数
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是 多少？若弧是一个整圆呢？
为什么可以用弧长与其半径的比值来度 量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小无关呢？
一般地有：正角的弧度数是一个正数，负角
的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角
的弧度数的绝对值
| | l
r
其中 l是以角 作为圆心角时所对的弧长，

【数学】1.3《弧度制》课件(北师大版必修4)


2πR •α 0 360
零 负都是以度数形式给出的。 都是以度数形式给出的。
弧度制的定义:用弧度做单位来度量 弧度制的定义
角的制度叫做 弧度制
1.定义：把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角 用符号 弧度的角.用符号 表示。 弧度的角 用符号rad表示。 表示
2.任一已知角 的弧度数的绝对值 任一已知角α的弧度数的绝对值 任一已知角
π
正角 负角 零角 任意角的集合
正数 负数 0 实数集R 实数集
6.正角的弧度数 正角的弧度数 负角的弧度数 零角的弧度数
正数 负数 零
二、例题： 例题： 例题1. 化成弧度； 例题 1) 把67°30′化成弧度； ° 化成弧度 3π 2) 把 rad化成度数； 化成度数； 化成度数 5 3) 用弧度表示图中阴影部分角的集合。 用弧度表示图中阴影部分角的集合。
┄∪{x｜ 解∵A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Ζ}=┄∪ ｜ ∈ ┄∪ -2π≤x≤-π}∪ {x｜0≤x≤π} ∪{x｜ ∪ ｜ ｜ 2π≤x≤2π+π}∪┄， ∪┄， ∪┄ B={x｜-6≤x≤6}, ｜ ∴A∩B={x｜-6≤x≤-π或0≤x≤π} ｜ 或
思考： 思考：弧度数
与实数是一一 对应的
π
12
2．已知扇形OAB的圆心角为 ．已知扇形 的圆心角为120°， 的圆心角为 ° 半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积。 半径为 ，求扇形弧长及所含弓形的面积。 思考：钟表分针和时针在3点到 点40分 点到5点 分 思考：钟表分针和时针在 点到 这段时间里 分针转过_______弧度的角， 弧度的角， 分针转过 弧度的角 时针转过___弧度的角。 弧度的角。 时针转过 弧度的角 若时针转过3cm,则时针转过的弧长是 若时针转过 则时针转过的弧长是 _________

数学：第一章《弧度制》课件(北师大版必修4)


4 π (3) 5
5π o o (4)-150 (4) 6 (3)-144
1、对于一些特殊角的度数与弧度数 注：
之间的换算要熟记。
45 °
度 弧 度
0° 30 °
60 ° 90 ° 180 ° 270° 360°
0
π
6
π 4
π 3
π 2
π
3 π 2π 2
2、用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。
解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , ,然 2 ( )的形式 一般是将其化成 后再根据 所在象限予以判断 .
( 2 1) ( ) 注意: 不能写成 的形式 . 10 例 3 不 能写 成 3 3 的 形 式, 4 而 应写 成 2 3
例3、把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式： 16 11 （1 ） ；（2） 315 ；（3） ．( 4) 8 3 7 16 4 （1）： 4 3 3 7 0 315 2
（2）:
4
4
11 3 （3）： 2 7 7
|
( ) ( ) ( )
( )
； 上海策划公司 上海创意设计公司 上海公关策划公司 上海广告公司 上海广告 有限公司 上海广告制作公司 ；
比の上煞气の毒/这壹句话让众人愣咯愣/但很快它们就明白咯/只见马开手臂甩动之间/有着壹条巨大の螣蛇煞暴动而出/很旧很慢比较/)螣蛇煞舞动之间/煞气喷涌/直接冲击在漫滴の毒物之上/螣蛇煞何其恐怖/它确定拥有法则の东西/冲击之间/顿时腐蚀壹片片毒物/不管确定七彩蝙蝠/还确

弧度制(第二课时)

§1.3弧度制（二）【教材版本】北师大版【教材分析】本节内容主要是弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及灵活运用，它是在前一节弧度制概念基础上的巩固和深化，是熟练掌握角度弧度的换算，运用弧度制解决具体的问题的体现。

通过弧度制下的弧长公式、扇形面积公式的推导和运用，可以使学生对弧度制的理解更加具体透彻，对角度弧度的换算更加游刃有余，对弧度制统一角度单位和长度单位，从而大大简化了有关公式及运算的优越性体会的更加深刻。

【学情分析】初中，学生已经熟悉角度制下的弧长公式、扇形面积公式，并会运用公式解决相关问题。

高中，在引入弧度制后，任意角都可以用实数表示，很自然的想法就是以前的公式能不能有新的表示形式？把熟悉的公式和新学的概念结合起来，引导学生推导弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，发现公式的表示形式更加简洁、直观、好用。

实际上，弧度制的概念不是一次就理解到位的，需要后续学习的逐步深化，而弧度制下的弧长公式和扇形面积公式正是巩固弧度制的理解、培养运用弧度制解决问题的意识和能力的好途径。

【教学目标】1．知识与技能巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式及其应用。

2．过程与方法培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力3．情感、态度与价值观通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的，而不是孤立、割裂的关系．【重点难点】1．教学重点：运用弧度制解决具体的问题2．教学难点：运用弧度制解决具体的问题【教学环境】1．多媒体教室 2．多媒体课件【教学思路】通过巩固复习弧度制和角度制下的弧长公式、扇形面积公式，启发引导学生将已有的知识综合起来，探究弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

并通过两种制度下的公式联系和对比，进一步体会角度与弧度换算的联系以及使用弧度制的好处，并在具体问题的解决中不停深化理解和提高。

【教学过程】一、导入新课问题1：什么叫1弧度的角？（1）长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2019_2020学年高中数学第1章三角函数3弧度制课件北师大版必修4


2．－72°化为弧度是( )
A．－3π
B．－25π
C．－56π
D．－57π
B [－72°＝－72×18π0＝－25π.]
3．－2132π 化为角度为________． －345° [－2132π＝－2132π×18π0°＝－345°.]
4．设集合 M＝αα＝k2π－π3，k∈Z
2．弧长公式与扇形面积公式
已知 r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α 为圆心角的
弧度数．
角度制
弧度制
弧长公式
l＝|1n8|π0r
l＝|α|r
扇形面积公式
S＝|n3|6π0r2
S＝12l·r＝_12_|α__|r_2
思考 2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [提示] 设扇形的半径为 r，弧长为 l，α 为其圆心角，则 S＝12lr， l＝αr.
1．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－151π. [解] (1)20°＝20×1π80 rad＝9π rad.
(2)－15°＝－15×1π80 rad＝－1π2 rad.
7 (3)12π
rad＝172×180°＝105°.
(4)－151π rad＝－151×180°＝－396°.
，N＝{α|－π＜α＜π}，则 M∩N

＝________.
－56π，－π3，π6，23π [由－π＜k2π－π3＜π，得－43＜k＜83.因为 k∈
Z，所以 k＝－1,0,1,2，所以 M∩N＝－56π，－π3，π6，23π.]
5．在扇形中，已知半径为 8，弧长为 12，则圆心角是________ 弧度，扇形面积是________．
[解] 设扇形的半径为 R，弧长为 l， 则 2R＋l＝4，∴l＝4－2R， 根据扇形面积公式 S＝12lR， 得 1＝12(4－2R)·R，∴R＝1， ∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为 2 rad.
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【规范解答】由已知得7θ=2kπ+θ，k∈Z,
即6θ=2kπ，∴ k ,
3
又∵0＜θ＜2π,∴ 0＜ k ＜2
3
∵k∈Z，∴k=1、2、3、4、5
2 4 5 ∴ 、 、、 、 . 3 3 3 3
【典例】(12分)已知一扇形的圆心角是α ，半径是R. (1)若α =60°，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长是一定值c(c＞0)，则当α 为多少弧度时， 该扇形的面积最大？
(2)-315°
(3)
11 7
(4)-8
【审题指导】(1)(3)(4)是用弧度制表示角，(2)是用角度
制表示角.判断某角是哪个象限的角时，要注意与 0、 、
2
π、
3 等特殊角进行比较. 2
【规范解答】 (1) 16 4 4 且 ＜ 4 ＜3 ,所以
3 3 3 2 4 16 与 终边相同是 3 3
第三象限的角.
(2)-315°=-360°+45°= 2
同是第一象限的角.
,所以-315°与 终边相 4 4
(3) 11 2 3 且 0＜3 ＜ ,所以
7 7 7 2
11 3 与 终边相同是 7 7
第一象限的角. (4)由π≈3.14得2π≈6.28，4π≈12.56
省去.
②度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度.
有些角的弧度数是π的倍数的形式，如无特
别要求，不必把π写成小数.
【例1】把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度.(不必求 近似值) (1)10° (2)-10°30′ (3)-210° (4)400°
(5)1.5rad
(6)
7 rad 12
【审题指导】(1)弓形面积可由相应的扇形面积减去三角形
面积得到；(2)求扇形面积的最大值，首先要建立扇形面积

与扇形弧长l(或半径R)的函数关系式.
【规范解答】(1)设弧长为l，弓形的面积为S弓 ∵α=60°= ∴l=αR=
，R=10 cm. 3
10 (cm),„„„„„„„„„„„„„„„„2分 3
3 所以π＜12-8＜4π-8＜ 2
又-8=-4π+(4π-8) 所以-8是第三象限的角.
用弧度表示终边相同的角
1.用弧度制表示终边相同的角 所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，构成的集合用
弧度可表示为｛β ｜β =2kπ +α ，k∈Z｝,这里α 应为弧度
数.
2.在某个区间内寻找与α 终边相同的角β
(1)首先表示β 的一般形式.
(2)然后根据区间范围讨论k的值. (3)最后把k的值代入β 的一般形式求出.
【例3】已知角α =2 005°
(1)将α 改写成β +2kπ (k∈Z，0≤β ＜2π )的形式，并指
出α 是第几象限的角；
(2)在区间[-5π ,0)上找出与α 终边相同的角.
【审题指导】(1)可将α改写成β+2kπ(k∈Z，0≤β＜2π) 的形式，根据β与α终边相同判断. (2)关键在于由-5π≤β+2kπ＜0求出k的取值.
(7) rad
5
(8)
11 rad 36
【审题指导】注意到180°=πrad且1rad的角大于1°的角.
可以在“角化弧”时，将角度数乘以
时，将弧度数乘以 180 .

；“弧化角” 180
【规范解答】 (1)10°= 10 rad rad. (2)-10°30′=-10.5°= 21 rad 7 rad.
角度数与弧度数的换算
1.角度制与弧度制的比较 (1)弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制；角度制 是以“度”为单位来度量角的单位制. (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小； 而1度是圆周的
1 所对的圆心角的大小.1 rad的角大于 360
1°的角.
(3)角度制在度、分、秒上是60进位制，不便于计算；弧度
36 36
k=-1，k=-2，k=-3时,不等式成立. ∴在区间[-5π,0)上与α终边相同的角是
31 103 175 ， ， . 36 36 36
【例】已知0＜θ ＜2π ，且θ 与7θ 的终边相同，求θ . 【审题指导】θ与7θ的终边相同说明θ与7θ之差为2π的 整数倍，找出θ与7θ的关系后，依据0＜θ＜2π可求θ.
【规范解答】 (1)2 005°＝ 2 005 401 5 2 41 , 又 ＜ 41 ＜3 ，
36 180 36 36 2 所以α与 41 终边相同，是第三象限的角. 36
(2)∵与α终边相同的角为 2k 41 (k∈Z)
由 5 2k 41 ＜0 知
制是十进制的，给运算带来方便. (4)一定大小的圆心角α 的弧度数和度数，都是一个与半径 无关的定值.
2.角度数与弧度数的换算
(1)换算方法 由180°=π rad知：
“角化弧”时，将角度数乘以 数值变小； 180 “弧化角”时，将弧度数乘以 180 数值变大.
(2)要注意的问题 ①用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字或“rad” 可以省略不写；用度为单位表示角的大小时，度(°)不能
2 180 (3)-210°= 210 rad 7 rad. 180 6 (4)400°= 400 rad 20 rad. 180 9 (5)1.5rad= 1.5 (180 ) ( 270 ). (6) 7 rad 7 180 105. 12 12 (7) rad 1 180 36. 5 5 (8) 11 rad 11 180 55. 36 36 120 180 18
判断角的终边所在的位置
(1)终边落在x轴上的角β=kπ，k∈Z (2)终边落在y轴上的角 k ，k∈Z
2 (3)终边落在坐标轴上的角 k ，k∈Z 2
【例2】把下列各角化成2kπ +α (0≤α ＜2π ，k∈Z)的形 式，并判断此角是哪个象限的角？ (1)
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