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1．1.2弧度制考点学习目标核心素养弧度制了解弧度制的概念数学抽象角度制与弧度制的换算能进行角度与弧度之间的互化数学运算扇形的弧长与面积公式理解弧度制下弧长与面积公式数学运算问题导学预习教材P6－P9，并思考下列问题：1．1弧度的角是如何定义的？2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1．度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的1360为1度角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1 rad(rad可省略不写)(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．2．弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化3．弧度制下的弧长与扇形面积公式公式度量制弧长公式扇形面积公式角度制l＝nπr180S＝nπr2360弧度制l＝|α|·r(0＜|α|＜2π)S＝12lr＝12|α|r2(0＜|α|＜2π)(1)在应用扇形面积公式S＝12|α|r2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)由α，r，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1弧度指的是1度的角．()(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．()(3)不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．()(4)1°的角是圆周的1360，1 rad的角是周角的12π.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案：C半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案：C(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．答案：(1)π10(2)54°角度制与弧度制的互化将下列角度与弧度进行互化： (1)37°30′；(2)－216°；(3)7π12；(4)－11π5.【解】 (1)37°30′＝37.5°＝⎝⎛⎭⎫752°＝752×π180＝5π24. (2)－216°＝－216×π180＝－6π5.(3)7π12＝⎝⎛⎭⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝⎛⎭⎫－115π×180π°＝－396°. 角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad.1．把下列角度化为弧度．(1)－1 500°＝________． (2)67°30′＝________．解析：(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－253π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3π8.答案：(1)－25π3 (2)3π82．把下列弧度化为角度． (1)23π6＝________．(2)－13π6＝________． 解析：(1)23π6＝⎝⎛⎭⎫23π6×180π°＝690°. (2)－13π6＝－⎝⎛⎭⎫13π6×180π°＝－390°. 答案：(1)690° (2)－390°用弧度制表示终边相同的角把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．[变设问]若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合． 解：与α终边相同的角为2k π＋169π(k ∈Z )．由－4π≤2k π＋169π<4π知k ＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－209π，－29π，169π，349π.用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍．(2)还要注意角度制与弧度制不能混用．1．在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A.π5B.2π5C.4π5D.6π5解析：选D.因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D.2．已知α＝1 690°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)． 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2518π.(2)因为θ与α终边相同， 所以θ＝2k π＋2518π(k ∈Z )，又θ∈(－4π，4π)，所以－4π<2k π＋2518π<4π(k ∈Z )．解得－9736<k <4736(k ∈Z )，所以k ＝－2，－1，0，1.所以θ的值是－4718π，－1118π，2518π，6118π.扇形的弧长与面积的计算(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________ cm 2. (2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 【解】 (1)设扇形弧长为l ， 因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)，所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)．所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(c m 2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解得R 1＝1，R 2＝4. 当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去． 当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________cm.解析：因为1°＝π180rad ，所以54°＝π180×54＝3π10，则扇形的弧长l ＝3π10×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.答案：(40＋6π)2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40， 所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.1．1 920°的角化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.163π D.323π 解析：选D.因为1°＝π180 rad ，所以1 920°＝1 920×π180 rad ＝323π rad.2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( )A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．3．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)64π3.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°， 所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1 725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C.由于1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°， 所以3π4＝34π×⎝⎛⎭⎫180π°＝135°，故选C.2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z 解析：选 D.150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z .3．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A.π2 B.π3 C. 2D. 3解析：选C.设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C.4．钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143 π B ．－143πC.718π D ．－718π解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的圆心角大小不变B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A.设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为__________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z }7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________． 解析：|α|＝l r ＝128＝32rad ，S ＝12lr ＝12×12×8＝48. 答案：32488．如图所示，用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为________．解析：由题图知，终边落在射线OA 上的角为2k π＋π4(k ∈Z )，终边落在射线OB 上的角为－π3＋2k π(k ∈Z )，即5π3＋2k π(k ∈Z )，所以终边落在题图中阴影部分的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z9．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 圆心角为α.则2r ＋l ＝4.根据扇形面积公式S ＝12lr ，得1＝12lr .联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝4，12lr ＝1.解得r ＝1，l ＝2，所以α＝l r ＝21＝2.故所求圆心角的弧度数为2.10．把下列角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式： (1)16π3；(2)－315°.解：(1)16π3＝4π＋4π3.因为0≤4π3＜2π，所以16π3＝4π＋4π3.(2)因为－315°＝－315×π180＝－7π4＝－2π＋π4.因为0≤π4＜2π，所以－315°＝－2π＋π4.[B 能力提升]11．(2019·重庆巴蜀中学月考)设角α的终边为射线OP ，射线OP 1与OP 关于y 轴对称，射线OP 2与OP 1关于直线y ＝－x 对称，则以OP 2为终边的角的集合是( )A ．{β|β＝k ·2π＋α，k ∈Z }B ．{β|β＝(2k ＋1)·π＋α，k ∈Z }C ．{β|β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z }D ．{β|β＝k ·2π＋32π＋α，k ∈Z }解析：选C.依题意，射线OP 1所对应的角γ满足α＋γ＝k 1·2π＋π，k 1∈Z ，① 射线OP 2所对应的角β满足γ＋β＝k 2·2π－π2，k 2∈Z ，② ②－①得β－α＝(k 2－k 1)·2π－32π，即β＝k ·2π＋π2＋α，k ∈Z . 12．如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝π6，则劣弧AB ︵的长为________．解析：连接AO ，OB ，因为∠ACB ＝π6，所以∠AOB ＝π3，又OA ＝OB ，所以△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝AB ＝4，劣弧AB ︵的长为π3×4＝4π3. 答案：4π313．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求该扇形的圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度．解：(1)设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2.所以圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23， 所以该扇形的圆心角的大小为23rad 或6 rad. (2)θ＝8－2r r， 所以S ＝12·r 2·8－2r r＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4， 所以当r ＝2，即θ＝8－42＝2时，S max ＝4 cm 2. 此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad ，弦AB 的长度为4sin 1 cm.14．(选做题)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 如题图(2)，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同， 因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .。
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
