河南省郑州市名校联考2021届新高三第一次调研考试数学(理科)试题卷
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河南省名校联考高三物理上学期联考试题四页数:12
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【详解】
解：设 与 的等比中项是 ．
由等比数列 的性质可得 ， ．
与 的等比中项 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
4．B
【分析】
题意说明圆锥的轴截面是边长为2的正三解形，此圆锥的内切球的半径就是三角形内切圆半径，由此可得．
【详解】
据题意圆锥的轴截面是边长为2的正三解形，正三角形内切圆半径为 ，即为圆锥内切球半径，球表面积为 ．
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则该双曲线的离心率等于（）
A． B． C． D．
12．若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x） 在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（）
A．4B． C． D．e
二、填空题
13．已知函数 为奇函数，若 ，则 ．
14．已知实数， 满足约束条件 ，则 的最大值_______．
22．在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长来自百度文库单位相同的极坐标系中,曲线 的极坐标方程是 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设点 .若直 与曲线 相交于两点 ,求 的值.
23．已知 .
（1）求使得 的 的取值集合 ；
A．23B．21C．35D．32
8．在空间中，a､b､c是三条不同的直线， ､ 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
9．抛物线 上的一点 到焦点的距离为1，则点 的纵坐标是（）
A． B． C． D．
10．甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）
6．C
【分析】
根据程序框图，模拟计算即可求解.
【详解】
第一次执行程序， ,
第二次执行程序， ，
第三次执行程序， ，
由以上可知，第3个输出的数为5，
3．等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项是
A． B．4C． D．
4．罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一.它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,高约33米.如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面相同的倒立的两个圆锥，正方向投影过去，其平面几何图形形状为一个角为60°，边长为2的菱形.现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与母线、底面相切，则该球球的表面积为（）
故选：B．
【点睛】
本题考查圆锥的性质，考查球的表面积，考查数学文化，解题关键是弄懂题意，从题中抽象出对应的数学知识．
5．A
【分析】
用诱导公式化为同名函数，同时 的系数不变，然后再由平移变换得结论．
【详解】
，
∴只要把 的图像向右平移 个单位即得．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，解题时应用诱导公式化函数为同名函数（不改变自变量 的系数），然后再由平移变换求得结论．也可以对各选项进行代入验证．
河南省郑州市名校联考2021届新高三第一次调研考试数学（理科）试题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是关于 的方程 （ ）的一个根，则
A． B． C． D．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求 与平面 所成的角的正弦值.
18．如图，考虑点 ， ， ， ，从这个图出发.
（1）推导公式： ；
（2）利用（1）的结果证明： ，并计算 的值.
19．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.
（2）求证：对任意实数 ， ，当 时， 恒成立.
参考答案
1．C
【分析】
先求出集合 ，再求 .
【详解】
由 得 或 .
所以 ，又
所以
故选：C
【点睛】
本题考查解二次方程和集合的交集，属于基础题.
2．A
【解析】
实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以 为方程两根， ，选A.
3．A
【分析】
利用等比数列 的性质可得 ，即可得出．
（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
15．在棱长为3的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，过 ， ， 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面 作投影，则投影图形的面积为______．
三、双空题
16．设数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过x的最大整数，①求 _______；②则 ___________.
四、解答题
17．如图，在菱形 中， ， ，对角线 与 交于点 ，点 ， 分别在 ， 上，满足 ， 交 于点 .将 沿 折到 的位置， .
A． B． C． D．
5．要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（）
A．向右平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向左平移 个单位
6．按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是（）
A．3B．4C．5D．6
7．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
20．已知函数 ，在 处的切线与直线 垂直，函数 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）设 ，是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值．
21．已知椭圆方程为 ．
（1）设椭圆的左右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上运动，求 的值；
（2）设直线 和圆 相切，和椭圆交于 、 两点， 为原点，线段 、 分别和圆 交于 、 两点，设 、 的面积分别为 、 ，求 的取值范围．
解：设 与 的等比中项是 ．
由等比数列 的性质可得 ， ．
与 的等比中项 ．
故选： ．
【点睛】
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
4．B
【分析】
题意说明圆锥的轴截面是边长为2的正三解形，此圆锥的内切球的半径就是三角形内切圆半径，由此可得．
【详解】
据题意圆锥的轴截面是边长为2的正三解形，正三角形内切圆半径为 ，即为圆锥内切球半径，球表面积为 ．
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则该双曲线的离心率等于（）
A． B． C． D．
12．若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x） 在公共点处有共同的切线，则实数a的值为（）
A．4B． C． D．e
二、填空题
13．已知函数 为奇函数，若 ，则 ．
14．已知实数， 满足约束条件 ，则 的最大值_______．
22．在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长来自百度文库单位相同的极坐标系中,曲线 的极坐标方程是 .
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）设点 .若直 与曲线 相交于两点 ,求 的值.
23．已知 .
（1）求使得 的 的取值集合 ；
A．23B．21C．35D．32
8．在空间中，a､b､c是三条不同的直线， ､ 是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ，则
9．抛物线 上的一点 到焦点的距离为1，则点 的纵坐标是（）
A． B． C． D．
10．甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）
6．C
【分析】
根据程序框图，模拟计算即可求解.
【详解】
第一次执行程序， ,
第二次执行程序， ，
第三次执行程序， ，
由以上可知，第3个输出的数为5，
3．等比数列 中， ， ，则 与 的等比中项是
A． B．4C． D．
4．罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一.它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像,高约33米.如图所示，太阳神赫利俄斯手中所持的几何体(含火焰)近似是一个底面相同的倒立的两个圆锥，正方向投影过去，其平面几何图形形状为一个角为60°，边长为2的菱形.现在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与母线、底面相切，则该球球的表面积为（）
故选：B．
【点睛】
本题考查圆锥的性质，考查球的表面积，考查数学文化，解题关键是弄懂题意，从题中抽象出对应的数学知识．
5．A
【分析】
用诱导公式化为同名函数，同时 的系数不变，然后再由平移变换得结论．
【详解】
，
∴只要把 的图像向右平移 个单位即得．
故选：A．
【点睛】
本题考查三角函数图象变换，解题时应用诱导公式化函数为同名函数（不改变自变量 的系数），然后再由平移变换求得结论．也可以对各选项进行代入验证．
河南省郑州市名校联考2021届新高三第一次调研考试数学（理科）试题卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是关于 的方程 （ ）的一个根，则
A． B． C． D．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求 与平面 所成的角的正弦值.
18．如图，考虑点 ， ， ， ，从这个图出发.
（1）推导公式： ；
（2）利用（1）的结果证明： ，并计算 的值.
19．为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0.8.鱼苗乙，丙的自然成活率均为0.9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.
（2）求证：对任意实数 ， ，当 时， 恒成立.
参考答案
1．C
【分析】
先求出集合 ，再求 .
【详解】
由 得 或 .
所以 ，又
所以
故选：C
【点睛】
本题考查解二次方程和集合的交集，属于基础题.
2．A
【解析】
实系数的一元二次方程虚根成对（互为共轭复数），所以 为方程两根， ，选A.
3．A
【分析】
利用等比数列 的性质可得 ，即可得出．
（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10元，不成活则亏损2元，且扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
15．在棱长为3的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点，过 ， ， 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面 作投影，则投影图形的面积为______．
三、双空题
16．设数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过x的最大整数，①求 _______；②则 ___________.
四、解答题
17．如图，在菱形 中， ， ，对角线 与 交于点 ，点 ， 分别在 ， 上，满足 ， 交 于点 .将 沿 折到 的位置， .
A． B． C． D．
5．要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（）
A．向右平移 个单位B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位D．向左平移 个单位
6．按照程序框图(如图)执行，第3个输出的数是（）
A．3B．4C．5D．6
7．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
20．已知函数 ，在 处的切线与直线 垂直，函数 ．
（Ⅰ）求实数 的值；
（Ⅱ）设 ，是函数 的两个极值点，若 ，求 的最小值．
21．已知椭圆方程为 ．
（1）设椭圆的左右焦点分别为 、 ，点 在椭圆上运动，求 的值；
（2）设直线 和圆 相切，和椭圆交于 、 两点， 为原点，线段 、 分别和圆 交于 、 两点，设 、 的面积分别为 、 ，求 的取值范围．