河南省名校联考2021届高三联考(四)数学(文)试题

2020-2021学年河南省天一大联考高三（下）阶段性数学试卷（文科）（四）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.复数的共轭复数对应的点在复平面内的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖大小忽略不计，则飞镖落到阴影部分内的概率为A.B.C.D.4.已知命题p：，使得；命题q：若x，，且，则，下列命题为真命题的是A. B. C. D.5.已知非零向量，的夹角为，且满足，，则A. B. C. D.6.已知，且，则A. B. C. D.7.若函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，则在A. B. C. D.8.一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，如图所示，E、F是所在边的中点，则该多面体的表面积为A.B.C.D.9.已知双曲线的右焦点为F，直线l过F点与一条渐近线垂直，原点到l的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为A. B. C. D.10.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点c，使得为的导函数，则函数在上这样的c点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 411.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为A. B. C. D.12.已知抛物没C：的焦点为F，准线为l，M，N为抛物线上的两点与坐标原点不重合，于A，于B，已知MN的中点D的坐标为，与的面积比为2：1，则p的值为A. 4B. 3C. 1D. 1或14.执行如图所示的程序框图，输出的______ .15.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______ .16.在平面四边形PACB中，已知，，，沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为______ .17.已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列.求数列的通项公式；设的前n项和为，令，设数列的前n项和为，证明：18.为提高空气质量，缓解交通压力，某市政府推行汽车尾号单双号限行.交通管理部门推出两个时间限行方案，方案A：早晨六点到夜晚八点半限号；方案B：早晨七点到夜晚九点限号.现利用手机问卷对600名有车族进行民意考察，考察其对A，B 方案的认可度，并按年龄段统计，岁为青年人，岁为中年人，人数分布表如下：年龄段人数180********现利用分层抽样从上述抽取的600人中再抽取30人，进行深入调查.若抽取的青年人与中年人中分别有12人和5人同意执行B方案；其余人同意执行A方案，完成下列列联表；并判断能否有的把握认为年龄层与是否同意执行方案A有关；同意执行A方案同意执行B方案总计青年12中年5总计30若从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人进行访谈，求抽取的3人中青、中年都有的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，O为BE上一点，证明：；求C到平面的距离.20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为求椭圆C的标准方程.已知直线与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为，向：是否存在k，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；当时，证明：对任意，恒成立.22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为其中t为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于O，M两点.写出当时l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；在的条件下，若射线与直线l交于点N，求的取值范围.23.已知函数在的条件下，对任意a，，若，求的最小值.答案和解析【答案】1. D2. A3. B4. B5. D6. D7. C8. B9. B10. A11. C12. C13.14. 2515.16.17. 解：公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．，，成等比数列，，10，成等差数列．，，，，解得：，证明：，数列的前n项和为……，18. 解：因为参与调查的600人中，青年人所占的概率为，中年人所占的概率为，所以抽取的30人中，青年人有人，中年人有人，补充完整的列联表如下，同意执行A方案同意执行B方案总计青年61218中年7512总计131730所以，从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人，共有种可能结果，抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年，有种；②2个青年，1个中年，有种，记C为事件“抽取的3人中青中年都有“，则19. 证明：，，，，则，在直三棱柱中，平面平面，平面平面，，平面ABC，则平面，可得，为的中点，且，可得，而，，得，又，平面BEC，而平面BEC，可得；解：由，同可证得平面，又平面，到平面的距离等于A到平面的距离等于1，，，，，可得，则，设C到平面的距离为h，由，得，解得：到平面的距离为20. 解：设椭圆C 的半焦距为由题意可知，即，代人，得所以又，所以，，故椭圆C的标准方程为直线与椭圆方程联立方程组得消去y 得，设，，则，是方程的两根，，所以故不存在k，使得21. 解：，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，所以所以a的取值范围证明：因为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以，即22. 解：当时l的参数方程为：，普通方程为，所以l的极坐标方程为；C的极坐标方程为，，所以曲线C的参数方程为：因为，所以，，，，所以的取值范围为23. 解：当时，原不等式可转化为，即，解得舍；当时，原不等式可转化为，即，解得，所以；当时，原不等式可转化为，即，，所以综上所述，不等式的解集为所以不等式的最小整数解由得a，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为【解析】1. 解：，，故选：可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，二次函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：复数的共轭复数对应的点在复平面内的第一象限，故选：利用复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：因为圆盘的三条直径把圆分成六部分，其中阴影部分与空白部分的面积相等，故飞镖落到阴影部分内的概率为故选：根据几何概型的公式，即求解阴影部分面积占圆盘面积的比例，求解即可，本题考查了几何概型的求解，解题的几何概型问题一般会转化为求解长度之比、面积之比、体积之比，属于基础题．4. 解：根据题意，对于命题p，，都有，则恒成立，而，故不存在x，使得成立，p是假命题，对于q，若x，，且，则，必有，q是真命题，则、、都是假命题，是真命题，故选：根据题意，分析命题p和q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称命题、特称命题真假的判断，属于基础题．5. 解：因为，，所以，所以，所以，解得，，则故选：由已知结合向量垂直的条件可求，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量数量积的定义及性质的应用，属于基础题．6. 解：因为，可得，即，解得，或舍去，又因为，所以故选：利用二倍角公式化简已知等式可得，解方程可得的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．7. 解：函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，，结合五点法作图可得，求得，令，求得，可得函数的增区间为，则在上的单调递增区间为，故选：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出的解析式，进而求出它在上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥体构成；如图所示：故，，所以，所以故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9. 解：双曲线的渐近线方程为：，右焦点坐标，则焦点到直线的距离为：，原点到l的距离等于虚轴的长，可得，可得，即，解得故选：利用已知条件推出c，b关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．10. 解：函数，则，由题意可知，存在点，使得，即，所以，，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象只有一个交点，所以，只有一个解，即函数在上c点的个数为1个．故选：利用已知定义得到存在点，使得，转化为研究函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于中档题．11. 【分析】本题主要考查解三角形的应用，运用了角化边的思想，熟练掌握正弦定理、正弦面积公式、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．根据二倍角公式和正弦定理可得，再结合余弦定理可求得b的值，从而得，最后由，得解．【解答】解：，，由正弦定理知，，，即由余弦定理知，，解得，，，，的面积故选：12. 解：设MN交x轴于点R，l交x轴于点S，由与的面积比为2：1，则，由于M，N不是原点，则，又MN的中点D的坐标为，则直线MN的斜率存在，设MN方程为，，，联立，即，，，又，，代入得，故选：由题意可将与的面积表示出来，再用等量关系即可解出p的值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线相交，属于基础题．13. 解：函数，则当时，根据，可得它的最大值当时，根据，综上，可得的最大值为，故答案为：由题意利用分段函数的单调性，求出它的最大值．本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性和最值，属于中档题．第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故答案为：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：把目标函数变形为，则直线经过点A时z取得最小值，经过点B 时z取得最大值，由，解得，由，解得，所以，所以的取值范围是故答案为：画出不等式组表示的可行域，把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求出取值范围．本题考查利用线性规划求函数的最值问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．，作，垂足为E，所以，，因为，，所以，即，设P到平面ABC的距离为h，AP与平面ABC的夹角为，则，当h最大时，取得最大值，设O为外接球球心，O到平面ABC的距离d，，所以O在过外心且垂足于面ABC的直线上，外心为AC的中点，，解得，，故答案为：由题意先确定外接球的球心位置，然后结合球的性质求出满足题意的外接球半径，即可求解．本题主要考查了四面体的外接球的半径求解，解题的关键是确定外接球的球心及半径，属于中档题．17. 公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．可得，，利用通项公式可得：，，解得，d，即可得出由可得可得，利用裂项求和方法即可得出数列的前n项和为，进而证明结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 先补充完整列联表，再计算K的观测值，并与附表对照，即可得出结论；抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年；②2个青年，1个中年，再结合组合数与古典概型，即可得解．本题考查了独立性检验、古典概型和组合数的应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19. 由已知求解三角形证明，进一步得到，求解三角形证明，可得平面BEC，可得；证明E到平面的距离等于A到平面的距离等于1，求出三角形的面积，然后利用等体积法求C到平面的距离．本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求得到平面的距离，是中档题．20. 根据题意建立两个关于a，b，c的方程，进而解出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；联立直线与椭圆C，结合韦达定理求出即可得答案．本题主要考查椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系．属于中档题．21. 对求导得，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，即可解得a的取值范围．先分析的单调性，由，推出，得，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．22. 根据参数方程和极坐标方程基本概念求解；首先用表示和，再用三角函数值域确定取值范围．本题考查了参数方程化极坐标方程，考查了极坐标方程化参数方程，属于中档题．23. 零点分段求解不等式，即可得m的值；由，，利用乘“1”法及基本不等式即可求得W的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。

2021届河南省部分重点高中高三阶段性考试（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-++≥，{}20B x x =-<，则A B =（ ）A ．3,2B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2-【答案】C【分析】分别求出集合A ，B ，再按交集的定义运算即可.【详解】由2230x x -++≥，得13x -≤≤，所以[]1,3A =-，又(),2B =-∞， 所以[)1,2A B =-．故选：C2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240【答案】B【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=．故选：B3．“31x -<”是“311x >-”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求得两不等式的解，根据充分、必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】因为31x -<，解得24x <<，因为311x >-，所以3101x ->-，即401x x ->- 解得14x <<．因为()()2,41,4，所以“31x -<”是“311x >-”的充分不必要条件． 故选：C4．函数()25xf x e x =-+的图像在点()()0,0f 处的切线方程是（ ）A ．60x y +-=B ．60x y --=C ．60x y ++=D ．60x y -+=【答案】A【分析】求导()e 2xf x '=-，再分别求得()0f '，()0f ，由点斜式写出切线方程.【详解】由题意可得()e 2xf x '=-，则()0121f '=-=-．因为()e 25xf x x =-+，所以()0156f =+=，则所求切线方程是6y x -=-，即60x y +-=． 故选：A5．已知πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．-C D ． 【答案】B【分析】设π6βα=-，则π6αβ=+，然后利用诱导公式求解即可. 【详解】设π6βα=-，则π6αβ=+，故4π4π3πsin sin sin cos 3362παβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：B6．已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【分析】根据命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，由()242a x x x≥>-恒成立求解【详解】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立． 因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A7．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ） A ．32 B ．16C ．8D ．4【答案】C【分析】根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】因为12n n a a +=，所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，所以235328a a q ===． 故选：C8．已知函数()()23xf x x e =-的导函数为()f x '，若(){}0A x f x =>，(){}0B x f x ='>，则A B =（ ）A．((),3,-∞+∞B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()),3-∞-⋃+∞D ．((),1,-∞⋃+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，B ，再根据并集的定义即可求出.【详解】因为()()23x f x x e =-，所以()()223xf x x x e '=+-，令()()203xf x x e =->，解得x <x >{A x x =<x >，令()()2230xf x x x e '+->=，解得3x <-或1x >，则{3B x x =<-或}1x >，∴((),1,A B ⋃=-∞⋃+∞．故选：D.9．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．4 B ．9C ．8D ．13【答案】B【分析】由B ，D ，C 三点共线得到1m n +=，再利用基本不等式中“1”的替换求得最小值.【详解】因为点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），所以()01BD tBC t =<<， 则AD AB BD AB =+=+()()1tBC AB t AC AB t AB t AC =+-=-+， 因为AD mAB nAC =+，所以1m t =-，n t =，所以1m n +=．因为01t <<， 所以0m >，0n >，则()141445459m nm n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m =，23n =时，等号成立．故选：B【点睛】关键点睛：注意当A ，B ，C 三点共线时，若OA OB OC λμ=+，则必有1λμ+=成立.10．已知函数()()2log 25a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围为（ ） A ．[)1,12,3⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]1,11,23⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．[)11,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．(]11,1,293⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】对底数a 分01a <<和1a >两种情况讨论，结合复合函数单调性即“同增异减”，列出方程组，解方程组即可.【详解】当01a <<时，由复合函数单调性知函数225u ax x =-+在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且0>u 恒成立，所以01,13,9650a aa <<⎧⎪⎪≥⎨⎪-+≥⎪⎩解得1193a ≤≤；当1a >时，由复合函数单调性知函数225u ax x =-+在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增且0>u 恒成立，所以111,211504a a a ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-+≥⎪⎩解得2a ≥综上，a 的取值范围为1193a ≤≤或2a ≥． 故选：C【点睛】关键点睛：本题解题关键1.对底数a 分类讨论；2.利用复合函数的单调性即“同增异减”；3.真数不要忘记大于0.11．已知3π2πcos 263m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π2πcos 263m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则()cos αβ+=（ ）A． BC ．12-D ．12【答案】D【分析】将已知等式变形为3ππsin 266m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππsin 266m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()3sin f x x x =+，通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.【详解】设()3sin f x x x =+，则()'23cos fx x x =+，易知()f x '是偶函数．当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，所以()'0f x >；当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，所以()'0f x >．所以()'0f x >恒成立，即()f x 在定义域内单调递增．因为()()3sin f x x x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，从而()f x 的图象关于点()0,0对称，因为2ππππcos cos sin 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以3π6α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭32πππcos sin 2366m ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33πππππcos sin 262666m ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则ππ066f f αβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而ππ066αβ-+-=，即π3αβ+=，故()π1cos cos 32αβ+==． 故选：D【点睛】关键点睛：本题解题关键是构造函数()3sin f x x x =+，将已知条件转化为ππ066f f αβ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用函数()f x 的单调性及奇偶性解决.12．已知函数()2ln f x x mx x =++，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为（ ） A ．ln 221,4+⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．ln 22,4+⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C ．ln 22ln 33,46++⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．ln 22ln 33,46++⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【答案】A【分析】由()0f x ≥，转化为ln 1x mx x +≥-，令()ln =-xg x x，用导数法作出其图象，()0f x ≥的解集中恰有一个整数，再由1y mx =+过定点（0，1）求解. 【详解】()0f x ≥，即2ln 0x mx x ++≥，即2ln mx x x +≥-， 因为0x >，所以ln 1xmx x+≥-．令()ln =-xg xx，则()21ln xg xx-'=-．当1ex<<时，()0g x'<；当ex>时，()0g x'>．所以()g x在()1,e上单调递减，在()e,+∞上单调递增．画出()g x的大致图象，如图所示．当直线1y mx=+与()g x图象相切时，设切点为0ln,xxx⎛⎫-⎪⎝⎭，则000220000ln11ln ln1xx x xmx x x x---=-==--，解得01x=，故1m=-．当直线1y mx=+过点ln22,2B⎛⎫-⎪⎝⎭时，ln21ln22224m--+==-，故m的取值范围为ln221,4+⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．二、填空题13．已知向量()2,5a=-，()2,b m=，若a b⊥，则m=______．【答案】45【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式运算即可.【详解】由题意可得2250m-⨯+=，则45m=．故答案为：4514．已知实数x，y满足不等式组3,20,4,x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩则2z x y=+的最小值是______．【答案】5【分析】画出可行域，结合图形可得答案. 【详解】画出可行域如下：当直线2z x y =+经过点()2,1时，z 取得最小值，且最小值是5． 故答案为：515．在ABC 中，6AB =，1sin 3A =，cos sinBC =，则ABC 的面积为______． 【答案】32【分析】根据cos sin B C =，利用诱导公式，可得π2B C =-，即可求出sinB ，cosB 的值，利用正弦定理及面积公式，即可求得答案. 【详解】因为cos sin B C =，所以πcos cos 2B C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,(0,)B C π∈，所以π2B C =-或π2B C =-． 当π2B C =-，即π2B C +=时，π2A =，这与2sin 3A =矛盾． 当π2BC =-，即π2C B -=时，π22B A =-，从而1cos 2sin 3B A ==， 所以1cos 23sin 23B B -==，则6cos 3=B ， 故6sin cos 3C B ==．由正弦定理可得sin sin AB AC C B =，所以sin 32sin AB BAC C⋅==， 故ABC 的面积为111sin 32632223S AC AB A =⋅=⨯⨯⨯=．故答案为：3216．已知函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩，，若函数()()()241g x f x f x m =-++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m 的最小值是______． 【答案】2【分析】设()f x t =，因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得2410t t m -++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t +=-+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m ≤+<，即可求得结果．【详解】画出函数()2ln ,043,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t =，由()()()2410g x f x f x m =-++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m -++=.因为()g x 有8个零点，所以方程()f x t =有4个不同的实根，结合()f x 的图像可得在(]03t ∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m -++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=-+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故答案为：2【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．已知:p 1<，:q 2221x x a -<-(0a >) （1）当2a =时，若p 和q 均为真命题，求x 的取值范围： （2）若p 和q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）[2,3)；（2）[2,)+∞．【分析】（1）由对数函数的性质求出命题p 为真时的x 取值范围，再解出一元二次不等式得出命题q 为真时的x 取值范围，即可得出结果； （2）由题可得[2,3) (1,1)a a -+，则列出式子即可求出.【详解】对于命题:p 1<，所以20log (1)1x ≤-<，解得23x ≤<， 对于命题:q 因为2221x x a -<-，所以22210x x a -+-<解得11a x a -<<+， （1）当2a =时，:13q x -<< 因为p 和q 均为真命题，所以2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩，解得23x ≤<，故x 的取值范围为[2,3)； （2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[2,3) (1,1)a a -+，即1213a a -<⎧⎨+≥⎩，解得2a ≥，故a 的取值范围为[2,)+∞.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin cos 0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，()2BC AD =，求sin 2B ．【答案】（1）3π4A =；（2）2. 【分析】（1）由()sin cos 0b a C C +-=可得()sin sin sin cos 0B A C C +-=，然后结合()sin =sin B A C +化简可得tan 1A =-；（2）由条件结合三角形的面积公式可得(22a bc =+，然后结合2222cos a b c bc A =+-推出b c =即可.【详解】（1）因为()sin cos 0b a C C +-=，所以()sin sin sin cos 0B A C C +-=， 所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=．因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以sin cos 0A A +=，则tan 1A =-． 因为0πC <<，所以3π4A =．（2）因为AD BC ⊥，所以11sin 22BC S bc A a AD ∆==⋅△a AD =⋅，因为()2BC AD =，所以AD =，所以(22a bc =．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，则(222bc b c =++， 整理得()20b c -=，即b c =，故B C =．因为3π4A =，所以π8B =，所以πsin 2sin 4B ==19．已知函数()()2cos 4cos 0f x x x x ωωωω->=，且()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,m 上的最小值．【答案】（1）()π4sin 226f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）()min2π4,0,3π2π5π4sin 22,,6365π6,.6m f x m m m ⎧-<<⎪⎪⎪⎛⎫=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎪⎩.【分析】（1）利用二倍角公式将()f x 化简，再结合两条相邻的对称轴之间的距离为π2可得周期为π，从而求得()f x 的解析式； （2）由题得到ππ2[,2]666x m π-∈--，对26m π-分26m π-π7π,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭与26m π-7π3π[,)62∈及26m π-3π[,)2∈+∞三种情况讨论即可. 【详解】解：（1）()2cos 4cos 22cos22fx x x x x x ωωωωω=-=--π4sin 226x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．因为()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，所以π2π2T =⨯=，则1ω=．故()π4sin 226f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（2）因为0x m ≤≤，所以πππ22666x m -≤-≤-． 当ππ7π2666m -<-<，即2π03m <<时，()min π(0)4sin 246f x f ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭； 当7ππ3π2662m ≤-<，即2π5π36m ≤<时，()()minπ4sin 226f x f m m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； 当π3π262m -≥，即5π6m ≥时，()min 5π5ππ4sin 226666f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 综上，()min2π4,0,3π2π5π4sin 22,,6365π6,.6m f x m m m ⎧-<<⎪⎪⎪⎛⎫=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎪⎩【点睛】关键点睛：本题第二问解题关键在于对26m π-分三类情况讨论，即26m π-π7π,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭与26m π-7π3π[,)62∈及26m π-3π[,)2∈+∞，考查了学生的分类讨论思想.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()32n n S n a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设22n n n n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）()1n a n n =+；（2）n T ()1112nn =-+⋅.【分析】（1）当2n ≥时，由()32n n S n a =+得到()1131n n S n a --=+，两式相减，然后再利用累积法求解. （2）由（1）得()()1211212212n n n n n b n n n n +⎡⎤+==-⎢⎥+⋅⋅+⋅⎣⎦，然后利用裂项相消法求解.【详解】（1）当2n ≥时，()1131n n S n a --=+， 则()()1133321n n n n n a S S n a n a --=-=+-+， 整理得111n n a n a n -+=-． 故()()122112311132121231n n n n n n n a a a a n n n a a n n n a a a a n n n -----+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+≥---． 当1n =时，12a =满足上式，故()1n a n n =+．（2）()()1211212212n n n n n b n n n n +⎡⎤+==-⎢⎥+⋅⋅+⋅⎣⎦，()223111111122222232212n n n T n n +⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⨯⨯⨯⋅+⎣⎦，()1112n n =-+⋅．【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 21．已知函数()()2222log 2log f x x x a =-+．（1）若对任意()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）设1m ，若对任意[)2,x ∈+∞，不等式()()()22441xxxx f m f ---<+-恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）()(),11,-∞-+∞；（2）2411,60⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）令2log t x =，则222y t t a =-+，将问题转化为2202t t a ->+在R 上恒成立，利用判别式小于0即可得到答案；（2）利用符合函数的单调性易得()f x 在[)2,x ∈+∞上单调递增，利用单调性将问题转化为44122x x x xm --+-<-恒成立，求出44122x x x x --+--的最小值即可. 【详解】解：令2log t x =，则222y t t a =-+．（1）因为()0,x ∈+∞，所以t ∈R ，则对任意()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立等价于对任意t ∈R ，0y >恒成立.故2440a ∆=-<，解得1a <-或1a >，即a 的取值范围为()(),11,-∞-+∞，（2）因为[)2,x ∈+∞，所以[)1,t ∈+∞，因为222y t t a =-+图象的对称轴为1t =，所以222y t t a =-+在[)1,+∞上单调递增，即()f x 在[)2,+∞上单调递增． 因为2x ≥，所以152224xx--≥>，4412x x -+->． 因为1m ，所以()222xxm -->．因为()()()22441x xxx f m f ---<+-，所以()22441x x x x m ---<+-，即44122x x xxm --+-<-． 因为()2441221x x x x --+-=-+，所以12222x x x xm --<-+-．因为15224xx--≥，所以1154241222241560x xx x---+≥+=-，故24160m <． 因为1m ，所以m 的取值范围是2411,60⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．22．已知函数21()ln 2f x a x ax =+. (1)若()f x 只有一个极值点，求a 的取值范围.(2)若函数2()()(0)g x f x x =>存在两个极值点12,x x ，记过点1122(,()),(,())P x g x Q x g x 的直线的斜率为k ，证明：1211k x x +>. 【答案】（1）0a <；（2）证明见解析.【分析】（1n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，解不等式组0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩即得解； （2）只需证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，设12(01)x t t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，证明121()0()2m t x x >>-即得证.【详解】(1)解：222'()222a a ax a f x x x x-=+-=，(0,)x ∈+∞n =，则0n >.令22()2n an n a φ=-+，要使函数()f x 只有一个极值点，则需满足0,(0)0,a φ<⎧⎨>⎩，即0a <；(2)证明：因为2221()()2ln 2g x f x a x ax x ==+-， 所以22222'()1a ax x a g x ax x x-+=+-=， 因为()g x 存在两个极值点，所以30,180,a a >⎧⎨->⎩即102a << 不妨假设120x x <<，则121x x a+=要证1211k x x +>，即要证121212()()11g x g x x x x x -+>-，只需证121212121221()()()()x x x x x x g x g x x x x x -+->=-，只需证221112121212222111()[()2]2()222x x x x x x a x x a ln x x a ln x x x x -+-+=--+>-， 即证21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-设12(01)x t t x =<<，函数21()2ln m t a t t t =-+，22221'()t a t m t t -+=- 因为102a <<，故4440a -<，所以22210t a t -+>，即'()0m t <， 故()m t 在(0,1)上单调递减，则()(1)0m t m >=又因为121()02x x -<，所以121()0()2m t x x >>-，即21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-，从而1211k x x +>得证. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明21121222112ln ()2x x x a x x x x x -+>-.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.。

2021年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科）（4月份）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知复数z满足，，则A. B. C. D.3.椭圆C：的离心率为A. B. C. D.4.2021年开始，我省将试行““的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5.已知，，，则A. B. C. D.6.已知是奇函数，当时，其中e为自然对数的底数，则A. B. 1 C. 3 D.7.已知正方体中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为A. 0B. 1C. 2D. 38.若，则A. B. 1 C. 或0 D. 或19.设曲线与有一条斜率为1的公切线，则A. B. C. D.10.已知双曲线C：的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，且，则的面积为A. 3B.C.D.11.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是A. 丙有可能没有选素描B. 丁有可能没有选素描C. 乙丁可能两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选素描12.如图，A，B，C，D，P是球O上5个点，ABCD为正方形，球心O在平面ABCD内，，，则PA与CD所成角的余弦值为A. B. C. D.13.已知，均为单位向量，若，则与的夹角为______ .14.若实数x，y满足约束条件则的最大值为______.15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则角C大小为______.16.如图，函数的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交的图象于点D，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则的面积为______ .17.已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.求数列，的通项公式；数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.18.如图，在边长为2的菱形ABCD中，，现将沿AC边折到的位置．求证：；求三棱锥体积的最大值．19.某保险公司有一款保险产品的历史收益率收益率=利润保费收入的频率分布直方图如图所示：试估计平均收益率；根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量万份与元有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组x与y的对应数据：元2530384552销售万册据此计算出的回归方程为求参数b的估计值；若把回归方程当作y与x的线性关系，用中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．20.已知抛物线C：的焦点为F，过F的所有弦中，最短弦长为求抛物线C的方程；在抛物线C上有异于顶点的两点A，B，过A，B分别做C的切线记两条切线交于点Q连接QF，AF，BF，求证：21.已知函数，对于，恒成立.求实数a的取值范围；证明：当时，22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线：上的动点，将OP绕点O顺时针旋转得到OQ，设点Q的轨迹为曲线以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线，的极坐标方程；在极坐标系中，点，射线与曲线，分别相交于异于极点O的A，B两点，求的面积.23.已知函数，其中若对任意，恒有，求的最小值；在的条件下，设的最小值为t，若正数m，n满足，求的最小值.答案和解析【答案】1. D2. C3. C4. C5. A6. A7. B8. D9. B10. C11. C12. D13.14. 415.16.17. 解：设等差数列的公差为d，由，，可得，解得，则；且，，是等比数列的前3项，可得，即有，解得，则等比数列的公比为，则；由可得，，当取数列的前24项时，包含数列的前4项，此时中包含20项，所以数列的前20项的和为18. 证明：如图取AC的中点为O，连接PO、OB，由菱形特点易得，，又，PO、平面POB，平面POB，又平面POB，解：在边长为2的菱形ABCD中，，则，，，则，当时，的最大值为19. 解：区间中值依次为：，，，，，，取值概率依次为：，，，，，，平均收益率为，所以设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元，当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元．20. 解：当过F的直线的斜率不存在时，此时弦长为2p，当过F的直线的斜率存在时，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，可得，可得弦长，所以最短弦长为，即，所以抛物线的方程为；证明：可设，，过A的切线AQ的方程为，与联立，可得，由，解得，所以切线AQ的方程为，同理可得切线BQ的方程为，联立可得Q的坐标为，于是，，所以21. 解：由恒成立，得对恒成立，令，，当，，单调递增，当，，单调减，，故所求实数a的取值范围为；证明：由得欲证，只需证即可，令，，令，则易知在单调递增，且，，故存在，使得；当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，又，，，故当时，22. 解：由题知点Q的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，所以曲线的方程为…………………………………………分，，，所以曲线的极坐标方程为，…………………………………………分曲线的极坐标方程为………………………………………………分在极坐标系中，设点A，B的极径分别为，，所以，………………………分点到射线的距离为，…………………分故的面积………………………分23. 解：，，对任意，恒有，解得或，又，故，所以的最小值为由得，，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为【解析】1. 解：集合，，故选：求出集合A，B，由此能求出本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2. 解：设，依题意得，，解得，，所以故选：设，依题意得，，，解得a，b，即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：椭圆C：，可知，，，所以椭圆的离心率为故选：利用椭圆方程，求解a，b，推出c，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查离心率的求法，是基础题．4. 【分析】本题考查对图表数据的分析，进行判断，属于基础题．根据图表进行选项判断，可知C错误．【解答】解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物物理，C选项错，故选：5. 解：，，，，，，，故选：利用对数函数和指数函数的单调性，通过与中间量1和0比较即可．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6. 解：是奇函数，当时，，则故选：由是奇函数可得，则，代入已知可求本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础试题7. 解：①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；②中，由于，而平面BDE，平面BDE，故平面；③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；故选：平移直线，判断平移后的直线：在平面上则平面，与平面交于一点则不平行，即可得解．本题主要考查了线面平行的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．8. 【分析】本题考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，进而根据二倍角公式即可求解．【解答】解：由题设得，所以，或所以，或故选：9. 解：设与曲线相切的切点为，的导数为，由切线的斜率为1，可得，即，则切点为，切线的方程为，与联立，可得，由，解得，故选：设与曲线相切的切点为，求得的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，与联立，运用相切的条件，解方程可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10. 解：设双曲线的左焦点为，连接，，由双曲线的定义知，，，由双曲线的对称性知，，，即，，，在中，由余弦定理知，，，，的面积故选：设双曲线的左焦点为，连接，，由双曲线的对称性，可得，再在中，结合双曲线的定义和余弦定理，推出，然后由，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11. 解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：情形一：甲乙丙丁素描√√摄影√√情形二：甲乙丙丁素描√√摄影√√由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确．故选：甲选择了素描，乙必定没选素描．假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描；不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况，列表讨论可知，乙与丁必有一门课程不相同．本题考查命题真假的判断，考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养，考查推理论证能力，是中档题．12. 解：ABCD为正方形，故，所以即为所求异面直线所成角，设球O的半径为R，由题意可得，又，可得，，，所以故选：由，可得即为所求异面直线所成角，设O的半径为R，根据球的性质可求得三边的长，利用余弦定理即可求解．本题主要考查异面直线及其所成的角，考查球的性质，属于中档题．13. 解：根据题意，设与的夹角为，，均为单位向量，若，则，变形可得：，又由，则，故答案为：根据题意，设与的夹角为，由数量积的运行性质可得，变形可得：，结合的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，14. 解：作出可行域如图所示，则当直线过点A时直线的截距最大，z取最大值．由；，z取最大值：故答案为：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养．利用数形结合是解决本题的关键．15. 解：因为，所以，所以，所以，因为，，所以，则，所以，又，则，因为，所以，故故答案为：利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出．本题主要考查正弦定理、和差公式、诱导公式，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．属于中档题．16. 解：因为O为的重心，，所以，所以，所以，所以，因为，所以，又，所以，所以，于是，故的面积为故答案为：根据三角函数的对称性以及重心性质，求出C的坐标，结合五点对应法求出的值，可得函数解析式，求解OB的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了重心性质和三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了函数思想，属于中档题．17. 设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到；再由等比数列的中项性质和等比数列的通项公式，可得；由题意可得当取数列的前24项时，包含数列的前4项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18. 本题考查直线与直线垂直的证明，三棱锥的体积的最值问题，属于基础题.取AC的中点为O，连接PO、OB，证明，，推出平面POB，然后得到利用结合三角形的面积公式求解即可．19. 求出区间中值，取值概率，即可估计平均收益率；利用公式，求参数b的估计值；设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元，，即可得出结论．本题考查回归方程，考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20. 分别讨论当过F的直线的斜率不存在和存在时，设出直线方程与抛物线的方程，联立，运用韦达定理和弦长公式，可得最短弦长，解得p，可得抛物线的方程；可设，，设出A的切线AQ的方程，与抛物线的方程联立，由判别式为0，可得切线的斜率，进而得到切线的方程，同理可得切线BQ的方程，联立，求得Q的坐标，再由两点的距离公式和抛物线的定义，即可得证．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21. 问题转化为对恒成立，令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的取值范围即可；问题转化为只需证即可，令，根据函数的单调性求出的最大值，证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．22. 通过极坐标与直角坐标方程的互化求解曲线的极坐标方程；求出曲线的普通方程，然后转化为极坐标方程．设点A，B的极径分别为，，利用求出点到射线的距离，然后求解的面积．本题考查普通方程与极坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23. 对任意，恒有，得，再用绝对值不等式的性质求得的最小值代入可求得的最小值，由知，，则，再变形后用基本不等式可求解．本题考查了绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值问题，属中档题．。

河南省名校联考高三数学联考试题（四）文（含解析）数学（文科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后求两个集合的交集.【详解】依题意，故，故选B.【点睛】本小题主要考查补集、交集的概念和运算，属于基础题.2.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.若函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得切点坐标，然后利用导数求得斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，，由点斜式得，即切线方程为，故选A.【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于基础题.5.将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，所得函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得变换后函数的解析，然后求得函数的单调减区间.【详解】图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，变为，由，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数单调减区间的求法，属于基础题.6.若双曲线：的两条渐近线分别与直线：交于，两点，且（为坐标原点）的面积为4，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得渐近线的方程，令求得交点的坐标，利用三角形的面积建立方程，求得的值，进而求得离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，令，解得，不妨设，所以，所以，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查两条直线交点的坐标，考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法，属于中档题.7.函数的零点个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】【分析】令，转化为两个函数图像的交点个数来求零点个数.【详解】令得，画出的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有两个交点，也即有两个零点，故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点个数的分析方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.8.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.9.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.10.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.11.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.12.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查三角形面积的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为_______．【答案】2【解析】【分析】画出可行域，通过向下平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15.叶子标本模型是一类常见的图形.绘制叶子标本模型的过程一般分为两步：首先取正方形的两个顶点，，分别以，为圆心，线段的长度为半径作圆，得到图（1）所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏可以得到图（2）所示的叶子标本模型.若往正方形中任意投掷一点，则该点落在叶子上（图（2）中阴影区域）的概率为_______．【答案】【解析】【分析】阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，利用几何概型概率计算公式求得所求概率.【详解】设正方形边长为，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积减去正方形的面积，即阴影部分面积为，故所求概率为.【点睛】本小题主要考查曲边图形面积的求法，考查几何概型概率计算公式，属于基础题.16.已知的内角，，的对边分别为，，，且满足.若，则当取得最小值时，的外接圆的半径为__________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求得的关系，利用余弦定理和基本不等式求得的最小值，根据正弦定理求得三角形外接圆的半径.【详解】由正弦定理得，由余弦定理得，即当时，取得最小值为，此时，设外接圆半径为，由正弦定理得，解得.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用基本不等式求最小值，考查利用正弦定理求外接圆的半径，考查利用同角三角函数的基本关系式求三角函数值，考查运算求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，，，，，点为的中点，求平面切割三棱锥得到的上下两个几何体的体积之比.【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）取的中点，连接，.利用等腰三角形证得，，由此证得平面，从而证得.（Ⅱ）取的中点，连接，，利用线线平行得到点，，，共面.计算出的长，证明平面，根据，计算出所求的体积比.【详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.∵，∴，∵，∴.∵，∴，∵，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（Ⅱ）取的中点，连接，，易知，故点，，，共面.过作于.设，故，解得.又，，，∴平面.∴，.∴，∴.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查四点共面的证明，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（1）求得分在上的频率；（2）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400 60050岁及50岁以下800 200根据上述数据，计算是否有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.附：，其中.0.100 0.050 0.010 0.0012.7063.841 6.635 10.828【答案】（1）0.3（2）70.5分（3）见解析【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得上的频率.（2）利用中点值乘以频率，然后相加，求得平均分的估计值.（3）计算出的值，由此判断出有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【详解】（1）依题意，所求频率.（2）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：中间值45 55 65 75 85 95频率0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1∴，即问卷调查的平均得分的估计值为70.5分.（3）依题意，.因为，故有的把握认为居民的学习态度与年龄相关.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查频率分布直方图估计平均数，考查列联表独立性检验，属于中档题.20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故令导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立. 【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故. 构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值. 【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（2）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是. 【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知.. 因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。

一、单选题二、多选题1.已知集合，，则（ ）A．B．C．D．2.已知集合，，则A．B．C．D．3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4. 若复数z满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ）A．B．C．D．6. 设等差数列的公差为，则“”是“为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7. 等差数列中，若，则的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．178. 已知，是一个随机试验中的两个事件，若，，则等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69. 如图，A ，B 是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A 在（1，0）处，质点B 在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（）A ．经过1后，扇形AOB的面积为B ．经过2后，劣弧的长为C ．经过6后，质点B的坐标为D ．经过后，质点A ，B 在单位圆上第一次相遇10. 若展开式所有项的系数之和与二项式系数之和均为32，则下面结论正确的是（ ）A．B ．展开式中含的系数为270河南省顶级名校2021-2022学年高三下学期阶段性联考四理科数学试题(1)河南省顶级名校2021-2022学年高三下学期阶段性联考四理科数学试题(1)三、填空题四、解答题C ．展开式的第4项为D ．展开式中含有常数项11.已知正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，点为侧棱含端点上的动点，若平面与直线垂直，则下列说法正确的有（ ）A ．直线与平面不可能平行B．直线与平面不可能垂直C ．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是D ．若且，则平面截正四棱柱所得截面多边形的面积为12. 已知定义在R 上的奇函数在上单调递增，则“对于任意的，不等式恒成立”的充分不必要条件可以是（ ）A．B．C．D．13. 平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．14. ，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为__________，四面体体积最大时球的表面积为___________．15.设表示不超x 的最大整数，（如）．对于给定的,定义则________;当时，函数的值域是_________________________．16.已知双曲线的右焦点，离心率为，过F 的直线交于点两点，过与垂直的直线交于两点.(1)当直线的倾斜角为时，求由四点围成的四边形的面积；(2)直线分别交于点，若为的中点，证明：为的中点.17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，当的面积取得最大值时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，其中．设点，关于轴的对称点分别为，，当四边形的面积为时，求直线的方程．18. 在各项均不相等的数列中，若对任意的正整数，都有，为非零常数，则称数列为“级迭代数列”，其中叫“迭代基底”.（1）若“级迭代数列”是公差为的等差数列，求的值；（2）若数列是“级迭代数列”，“迭代基底”为，且数列是等比数列，.①求数列的通项公式；②设，数列的前项和为，是否存在正整数和，使得成立？若存在，求满足条件的正整数和；否则，请说明理由.19. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．(1)判断集合是否具有性质？说明理由；(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；(3)若集合具有性质，证明：．20.已知函数.（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）设函数，当时，若是的唯一极值点，求.21. 已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．(1)求的方程．(2)过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：①直线，的斜率之积为定值；②．。

河南省名校联盟2020～2021学年高三9月质量检测语文考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4．本卷命题范围：高考范围。

一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

关于美育观念的当下认知，我们和远古时代的审美态度发生了很大的变化。

简言之，传统的审美着眼于时间性的体悟和内涵感知，可以称为“静观审美”。

网络时代逐渐产生的审美走向强调能在变化中抓人眼球，否则就难以得到关注，我们叫“流观审美”。

静观审美在观念形态上与古代的仕女画、花鸟画、宫廷画以及春秋战国时期产生的韶乐艺术相适应，创作期待的是能够察之表现的意味，创作自身的情趣融入作品之中而自得。

作品培育的是人的一种静的心态，摒弃万物的嘈杂来静默地感知美。

而我们长期熏陶或受教于这种审美观念，形成的就是对审美主要形态、主要态度和主要的观赏方式的意识。

在网络时代，AI智能的时代，不仅是虚拟世界的意识到来，就是此前兴起的二次元的年轻人意识时代，审美感知也发生了很大的变化。

流观审美在年轻一代中培育出只信赖取悦的对象，理论家推波助澜地加以眼球注意力的解释，经济取悦于这一习俗偏斜到助力的程度，绘画书法变成了拍卖确定高低，音乐以点击率多少确定走红，电视借参与之名为一些上口的通俗作品开传播之风，电影把小鲜肉当成了卖座的不二法门，纸质媒体和网络媒体将娱乐明星出位离婚作为取悦受众的关注新闻。

所谓流观审美固然有需要取得受众的合理大众需求意味，但其实质首先是动感取悦而静不下来倾听观看，人们的某种兴趣需要造就差异的凸显才能获得关注，和需要吻合的就会成为捕捉对象。

河南省湘豫名校联盟2021-2022学年高三上学期11月联考文科数学试题一、单选题1. 已知集合 ， ，则 （ ）A ．B ．C ．D ．2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 z 的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．3. 如下表，根据变量 与 之间的对应数据可求出.其中.现从这 个样本点对应的残差中任取一个值，则残差不大于 的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 2021年7月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者需要进行了调查，调查部门随机抽取了名读者，所得情况统计如下表所示：满意程度学生族上班族退休族满意一般不满意记满分为 分，一般为 分，不满意为 分.设命题 ：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取 人，则退休族应抽取 人；命题 ：样本中上班族对数字媒体内容满意程度的方差为.则下列命题中为真命题的是（ ） A ． B ．C ．D ．5. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊的悬链线函数.其函数表达式为 ，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数 满足不等式，则 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 在上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7. 2021年，小李老师的亲戚准备购买一辆新的卡车用来跑运输，可选的车型主要有 种.分别为 ， ， ， ，现在有 个指标：维修期限 ，百升汽油里数，最大载重吨数，价格，可能性，灵敏性来衡量，其中可靠性和灵敏性为评分，如下表.为了统一标准用来分析比较，小李老师将数据做了以下处理：.（表示第 行第 列的原始数据， 表示第 行第 列的原始数据处理后的数据，表示第 列的原始数据）如果 用综合指标 来做标准，则的综合指标 为（ ） A ． B ． C ．D ．8. 如图，在直四棱柱中， ，，， ，点 ､ 分别为棱､的中点，则平面与直四棱柱各侧面矩形的交线所围成的图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9. 在中，是角的平分线，，且，则的面积为（）A．B．C．D．10. 已知函数的图象在点处的切线与圆相切，则圆的标准方程可以为（）A．B．C．D．11. 已知抛物线（）的焦点为，点为抛物线上一点，以为圆心的圆经过原点，且与抛物线的准线相切，切点为，线段交抛物线于点，则（）A．B．C．D．12. 已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题13. 写出一个与双曲线：的渐近线平行，且斜率为正数的直线方程为 ___________ .14. 已知平面向量，满足且.则单位向量在上的投影为 ___________ .15. 如图是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，外部正六边形的边长为，里面圆的圆心为正六边形的中心，半径为.若向正六边形剪纸窗花的内部投掷一点，则恰好落在圆的内部的概率为 ___________ .16. 2021年7月，某学校的学生到农村参加劳动实践，一部分学生学习编斗笠，一种用竹篾或苇蒿等材料制作外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”（如图），一部分学生学习制作泥塑几何体，现有一个棱长为的正方体形状泥块，其各面的中心分别为点，，，，，，将正方体削成正八面体形状泥块，若用正视图为正三角形的一个“灯罩斗笠”罩住该正八面体形状泥块，使得正八面体形状泥块可以在“灯罩斗笠”中任意转动，则该有底的“灯罩斗笠”的表面积的最小值为 ___________ .三、解答题17. 2021年某社区的服务人员在微信群中举办了“垃圾分类，从我做起”的生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量，同时调查人员调查了本小区某月每户家庭的日均垃圾分拣量（单位：斤），并得到如下的频率分布直方图.(1)若家庭日均垃圾分拣量在 斤的恰好有32户，则该小区共有住户约多少户？(2)假设该社区平均每户有 人，现对本社区全部居民是否了解垃圾分类进行调查，其中被调查的男性居民和女性居民人数相同，男性居民中不喜欢垃圾分类占男性居民的 ，女性居民中不喜欢垃圾分类占女性居民的 .问：在犯错误的概率不超过 的前提下，能否认为居民是否喜欢垃圾分类与性别有关？附：，.18. 已知公比大于 的等比数列 满足 ， ，定义 为不超过 的最大整数，例如， ，，，记在区间 （ ）上值域包含的元素个数为 . (1)求数列 和的通项公式； (2)求数列的前 项和 .19. 在如图所示的五面体中，已知矩形所在的平面与半圆弧所在的平面垂直， ， 是半圆弧上异于 ， 的点， ，，直线与所成角的余弦值为.(1)证明：平面平面；(2)求五面体的体积.20. 已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：，.21. 已知椭圆：（）内切于圆：，焦距为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，分别以，为切点的两条切线交于一点，求的最小值.附：椭圆：上一点处的切线方程为：.22. 在平面直角坐标系中，已知点和曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)若为上的动点，求的中点的轨迹的普通方程；(2)判断两曲线与的相交弦所在直线与直线的关系，若平行，求两平行线之间的距离；若相交，求出两直线交点的直角坐标.23. 已知函数.(1)求函数的最小值；(2)记函数的最小值为，若实数，，满足.证明.。

2021年湘豫名校联盟高考数学联考试卷（文科）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0，1，2}，B={x|y=ln(x−1)}，则A∩B=()A. {−1,0，1}B. {−1,0}C. {1,2}D. {2}2.已知复数z满足z+z−=8，z⋅z−=25，则z=()A. 3±4iB. ±3+4iC. 4±3iD. ±4+3i3.椭圆C：y23+x22=1的离心率为()A. 23B. √22C. √33D. √634.2021年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是()A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果5.已知a=log0.22，b=20.3，c=0.20.3，则()A. a<c<bB. a<b<cC. c<a<bD. b<c<a6.已知f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=e x−1(其中e为自然对数的底数)，则f(ln12)=()A. −1B. 1C. 3D. −37.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F//平面BD1E的图形个数为()A. 0B. 1C. 2D. 38.若tanα=2sin(α−π)，则cos2α=()A. −14B. 1 C. −12或0 D. −12或19.设曲线y=lnx与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线，则a=()A. −1B. −34C. 14D. 3410.已知双曲线C：x216−y29=1的右焦点为F，过原点O的直线与双曲线C交于A，B两点，且∠AFB=60°，则△ABF的面积为()A. 3B. 92C. 3√3D. 6√311.某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同课程．则以下说法错误的是()A. 丙有可能没有选素描B. 丁有可能没有选素描C. 乙丁可能两门课都相同D. 这四个人里恰有2个人选素描12.如图，A，B，C，D，P是球O上5个点，ABCD为正方形，球心O在平面ABCD内，PB=PD，PA=2PC，则PA与CD所成角的余弦值为()A. √33B. √55C. √63D. √105二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 均为单位向量，若|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |=√3，则e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为______ ．14.若实数x，y满足约束条件{y ≥ −2,2x−y+2 ≥ 0,x+y−1 ≤ 0,则z=2x+y的最大值为______．15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cosA(sinC−cosC)=cosB，a=2，c=√2，则角C大小为______．16.如图，函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A，B，C，直线BC交f(x)的图象于点D，O(坐标原点)为△ABD的重心(三条边中线的交点)，其中A(−π,0)，则△ABD的面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，a1=1，a4=10，且a1，a k(k∈N∗)，a6是等比数列{b n}的前3项．(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)数列{c n}是由数列{a n}的项删去数列{b n}的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{c n}的前20项的和．18.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ADC=60°，现将△ADC沿AC边折到△APC的位置．(1)求证：PB⊥AC；(2)求三棱锥P−ABC体积的最大值．19.某保险公司有一款保险产品的历史收益率(收益率=利润÷保费收入)的频率分布直方图如图所示：(Ⅰ)试估计平均收益率；(Ⅱ)根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加x元，对应的销量y(万份)与x(元)有较强线5组x与y的对应数据：x(元)2530384552销售y(万册)7.57.16.05.64.8据此计算出的回归方程为ŷ=10.0−bx．(i)求参数b的估计值；(ii)若把回归方程ŷ=10.0−bx当作y与x的线性关系，用(Ⅰ)中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F的所有弦中，最短弦长为4．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C上有异于顶点的两点A，B，过A，B分别做C的切线记两条切线交于点Q连接QF，AF，BF，求证：QF2=|AF|⋅|BF|．21.已知函数f(x)=e x−x−a，对于∀x∈R，f(x)≥0恒成立．(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当x∈[0,π4]时，cosx+tanx≤e x．22.在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1：x2+(y−2)2=4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)在极坐标系中，点M(3,π2)，射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．23.已知函数f(x)=|x−12|+|x−λ|，其中λ>0．(1)若对任意x∈R，恒有f(x)≥12，求λ的最小值；(2)在(1)的条件下，设λ的最小值为t，若正数m，n满足m+2n=tmn，求2m+n的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={−1,0，1，2}，B={x|y=ln(x−1)}={x|x>1}，∴A∩B={2}．故选：D．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：设z=a+bi(a,b∈R)，依题意得，2a=8，a2+b2=25．解得a=4，b=±3，所以z=4±3i．故选：C．设z=a+bi(a,b∈R)，依题意得，2a=8，a2+b2=25，解得a，b，即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：椭圆C：y23+x22=1，可知a=√3，b=√2，c=√3−2=1，所以椭圆的离心率为e=ca =√33．故选：C．利用椭圆方程，求解a，b，推出c，然后求解离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查离心率的求法，是基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查对图表数据的分析，进行判断，属于基础题．根据图表进行选项判断，可知C错误．【解答】解：甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物(物理)，C选项错，故选：C．5.【答案】A【解析】解：∵a=log0.22<log0.21=0，∴a<0，∵b=20.3>20=1，∴b>1，∵0<c=0.20.3<0.20=1，∴0<c<1，∴a<c<b，故选：A．利用对数函数和指数函数的单调性，通过与中间量1和0比较即可．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.【答案】A)=f(−ln2)【解析】解：∵f(ln12∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)∵当x≥0时，f(x)=e x−1，)=f(−ln2)=−f(ln2)=−(e ln2−1)=−1则f(ln12故选：A．)=f(−ln2)=−f(ln2)，代入已知可求由f(x)是奇函数可得f(−x)=−f(x)，则f(ln12本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的函数值，属于基础试题7.【答案】B【解析】解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；②中，由于AF//DE，而AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，故A 1F//平面BD1E；③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；故选：B．平移直线A1F，判断平移后的直线：在平面BD1E上则A1F//平面BD1E，与平面BD1E交于一点则不平行，即可得解．本题主要考查了线面平行的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，进而根据二倍角公式即可求解．【解答】=−2sinα，解：由题设得sinαcosα．所以sinα=0，或cosα=−12．所以cos2α=1−2sin2α=1，或cos2α=2cos2α−1=−129.【答案】B【解析】解：设与曲线y=lnx相切的切点为(m,n)，y=lnx的导数为y′=1x，由切线的斜率为1，可得1m=1，即m=1，则切点为(1,0)，切线的方程为y=x−1，与y=(x+a)2联立，可得x2+(2a−1)x+a2+1=0，由△=(2a−1)2−4(a2+1)=0，解得a=−34，故选：B．设与曲线y=lnx相切的切点为(m,n)，求得y=lnx的导数，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程，与y=(x+a)2联立，运用相切的条件，解方程可得所求值．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由双曲线的定义知，|BF1|−|BF|=2a=8，|F1F|=2c=10，由双曲线的对称性知，∠AFF1=∠BF1F，∵∠AFB=60°，即∠AFF1+∠BFF1=60°，∴∠BF1F+∠BFF1=60°，∴∠F1BF=120°，在△F1BF中，由余弦定理知，cos∠F1BF=|BF|2+|BF1|2−|FF1|22|BF|⋅|BF1|=(|BF1|−|BF|)2+2|BF|⋅|BF1|−|FF1|22|BF|⋅|BF1|，∴−12=64+2|BF|⋅|BF1|−1002|BF|⋅|BF1|，∴|BF|⋅|BF1|=12，∴△ABF的面积S=S△F1BF =12|BF|⋅|BF1|⋅sin∠F1BF=12×12×sin120°=3√3．故选：C．设双曲线的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由双曲线的对称性，可得∠F1BF=120°，再在△F1BF中，结合双曲线的定义和余弦定理，推出|BF|⋅|BF1|=12，然后由S△ABF=S△F1BF，得解．本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．【解析】解：因为甲选择了素描，所以乙必定没选素描．那么假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；若丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描，选项A，B，D判断正确不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况：情形一：情形二：由上表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此不正确．故选：C．甲选择了素描，乙必定没选素描．假设丙选择了素描，则丁一定没选素描；丙没选素描，则丁必定选择了素描．综上，必定有且只有2人选择素描；不妨设甲另一门选修为摄影，则乙素描与摄影均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情况，列表讨论可知，乙与丁必有一门课程不相同．本题考查命题真假的判断，考查创新意识，意在考查逻辑推理等数学核心素养，考查推理论证能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：ABCD为正方形，故AB//CD，所以∠PAB即为所求异面直线所成角，设球O的半径为R，由题意可得PA2+PC2=4R2，又PA=2PC，可得PA=√5，AB=√2R，PB=PD⇒PO⊥BD⇒PB=√2R，所以cos∠PAB=2R2+165R2−2R22⋅4R√5⋅√2R=√105．故选：D．由AB//CD，可得∠PAB即为所求异面直线所成角，设O的半径为R，根据球的性质可求得△PAB三边的长，利用余弦定理即可求解．本题主要考查异面直线及其所成的角，考查球的性质，属于中档题．13.【答案】2π3【解析】解：根据题意，设e1⃗⃗⃗ 与e2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 均为单位向量，若|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |=√3，则|e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |2=3，变形可得：cosθ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3，故答案为：2π3．根据题意，设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由数量积的运行性质可得|e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |2=3，变形可得：cosθ=−12，结合θ的范围分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算， 14.【答案】4【解析】解：作出可行域如图所示，则当直线z =2x +y 过点A 时直线的截距最大，z 取最大值． 由{y =−2x +y −1=0⇒{x =3y =−2；∴A(3,−2)，z 取最大值：2×3−2=4．故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．本题主要考查简单的线性规划问题等基础知识，意在考查直观想象与数学运算等数学核心素养．利用数形结合是解决本题的关键．15.【答案】π6【解析】解：因为cosA(sinC −cosC)=cosB ，所以cosA(sinC −cosC)=−cos(A +C)， 所以cosAsinC =sinAsinC ，所以sinC(cosA −sinA)=0，因为C ∈(0,π)，∴sinC ≠0，所以cosA =sinA ，则tanA =1，所以A =π4， 又a sinA=√2sinC，则sinC =12，因为c <a ，所以0<C <π4，故C =π6．故答案为：π6．利用正弦定理、和差公式、诱导公式即可得出． 本题主要考查正弦定理、和差公式、诱导公式，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养．属于中档题．16.【答案】3√3π2【解析】解：因为O 为△ABD 的重心，A(−π,0)， 所以OA =23AC =π， 所以AC =32π， 所以C(π2,0)，所以πω=T2=3π2，ω=23．因为23×(−π)+φ=kπ，所以φ=kπ+2π3，又0<φ<π，所以φ=2π3，所以f(x)=2sin(23x+2π3)，于是|OB|=f(0)=2sin(23×0+2π3)=√3，故△ABD的面积为S=2×12×3π2×√3=3√3π2．故答案为：3√3π2．根据三角函数的对称性以及重心性质，求出C的坐标，结合五点对应法求出φ的值，可得函数解析式，求解OB的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了重心性质和三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了函数思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由a1=1，a4=10，可得1+3d=10，解得d=3，则a n=1+3(n−1)=3n−2；且a1，a k(k∈N∗)，a6是等比数列{b n}的前3项，可得a k2=a1a6，即有(3k−2)2=16，解得k=2，则等比数列{b n}的公比为a2a1=4，则b n=4n−1；(2)由(1)可得a n=3n−2，b n=4n−1，当取数列{a n}的前24项时，包含数列{b n}的前4项，此时{c n}中包含20项，所以数列{c n}的前20项的和为24×1+12×24×23×3−(1+4+16+64)=767．【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得d，进而得到a n；再由等比数列的中项性质和等比数列的通项公式，可得b n；(2)由题意可得当取数列{a n}的前24项时，包含数列{b n}的前4项，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：如图取AC的中点为O，连接PO、OB，由菱形特点易得AC⊥PO，AC⊥OB，又PO∩OB=O，PO、OB⊂平面POB，∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．(2)解：在边长为2的菱形ABCD中，∠ADC=60°，则PO=BO=√3，AC=2，S△POB=12·PO·BO·sin∠POB=32sin∠POB，则V P−ABC=V A−POB+V C−POB=13AC⋅S△POB=sin∠POB，当∠POB=90°时，V P−ABC的最大值为1．【解析】本题考查直线与直线垂直的证明，三棱锥的体积的最值问题，属于基础题．(1)取AC的中点为O，连接PO、OB，证明AC⊥PO，AC⊥OB，推出AC⊥平面POB，然后得到AC⊥PB．(2)利用V P−ABC=V A−POB+V C−POB结合三角形的面积公式求解即可．19.【答案】解：(Ⅰ)区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均收益率为0.05×0.10+0.15×0.20+0.25×0.25+0.35×0.30+0.45×0.10+0.55×0.05=1104(50+300+625+1050+450+275)=0.275．(Ⅱ)(i)x−=25+30+38+45+525=1905=38，y−=7.5+7.1+6.0+5.6+4.85=315=6.2所以b=10.0−6.238=0.10(ii)设每份保单的保费为20+x元，则销量为y=10−0.1x，则保费收入为f(x)=(20+x)(10−0.1x)万元，f(x)=200+8x−0.1x2=360−0.1(x−40)2当x=40元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为360×0.275=99万元．【解析】(Ⅰ)求出区间中值，取值概率，即可估计平均收益率；(Ⅱ)(i)利用公式，求参数b的估计值；(ii)设每份保单的保费为20+x元，则销量为y=10−0.1x，则保费收入为f(x)=(20+x)(10−0.1x)万元，f(x)=200+8x−0.1x2=360−0.1(x−40)2，即可得出结论．本题考查回归方程，考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)当过F的直线的斜率不存在时，此时弦长为2p，当过F的直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k(x−p2)，与抛物线的方程y2=2px联立，可得k2x2−p(k2+2)x+p2k24=0，可得弦长l=x1+x2+p=p+2pk2+p=2p+2pk2>2p，所以最短弦长为2p=4，即p=2，所以抛物线的方程为y2=4x；(2)证明：可设A(y124,y1)，B(y224,y2)，过A的切线AQ的方程为y=k1(x−y124)+y1，与y2=4x联立，可得k14y2−y−k1y124+y1=0，由△=1−k1(y1−k1y124)=0，解得k1y1=2，所以切线AQ的方程为y1y=2x+y122，同理可得切线BQ的方程为y2y=2x+y222，联立可得Q的坐标为(y1y24,y1+y24)，于是|AF|⋅|BF|=(1+y124)(1+y224)，|QF|2=(y1y24−1)2+(y1+y2)24=y12y2216+y124+y224+1=(1+y124)(1+y224)，所以|QF|2=|AF|⋅|BF|．【解析】(1)分别讨论当过F的直线的斜率不存在和存在时，设出直线方程与抛物线的方程，联立，运用韦达定理和弦长公式，可得最短弦长，解得p，可得抛物线的方程；(2)可设A(y124,y1)，B(y224,y2)，设出A的切线AQ的方程，与抛物线的方程联立，由判别式为0，可得切线的斜率，进而得到切线的方程，同理可得切线BQ的方程，联立，求得Q的坐标，再由两点的距离公式和抛物线的定义，即可得证．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由e x−x−a≥0恒成立，得a≤e x−x对∀x∈R恒成立，令g(x)=e x−x，g′(x)=e x−1，当x>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x<0，g′(x)<0，g(x)单调减，g(x)min=g(0)=1，故所求实数a的取值范围为(−∞,1]；(2)证明：由(1)得e x≥x+1．欲证cosx+tanx≤e x，只需证cosx+tanx≤x+1即可，令ℎ(x)=cosx+tanx−x−1，ℎ′(x)=−sinx+1cos2x −1=sinx(sinx−cos2x)cos2x=sinx(sinx+sin2x−1)cos2x，令F(x)=sinx+sin2x−1，则易知F(x)在[0,π4]单调递增，且F(0)<0，F(π4)>0，故存在x0∈(0,π4)，使得F(x0)=0；当x∈[0,x0)时，F(x)<0，ℎ′(x)≤0，ℎ(x)单调递减，当x∈(x0,π4]时，F(x)>0，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，又ℎ(0)=0，ℎ(π4)=√22−π4<0，ℎ(x)max=ℎ(0)=0，故当x∈[0,π4]时，cosx+tanx≤e x．【解析】(1)问题转化为a≤e x−x对∀x∈R恒成立，令g(x)=e x−x，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出a的取值范围即可；(2)问题转化为只需证cosx+tanx≤x+1即可，令ℎ(x)=cosx+tanx−x−1，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最大值，证明结论成立即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是中档题．22.【答案】解：(1)由题知点Q的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所以曲线C2的方程为(x−2)2+y2=4.…………………………………………(2分)∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，…………………………………………(4分)曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.………………………………………………(5分)(2)在极坐标系中，设点A，B的极径分别为ρ1，ρ2，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=4|sinπ3−cosπ3|=2(√3−1)，………………………(7分)点M(3,π2)到射线θ=π3(ρ≥0)的距离为ℎ=3sinπ6=32，…………………(8分)故△MAB的面积S=12|AB|ℎ=3(√3−1)2.………………………(10分)【解析】(1)通过极坐标与直角坐标方程的互化求解曲线C1的极坐标方程；求出曲线C2的普通方程，然后转化为极坐标方程．(2)设点A，B的极径分别为ρ1，ρ2，利用|AB|=|ρ1−ρ2|求出点M(3,π2)到射线θ=π3(ρ≥0)的距离，然后求解△MAB的面积．本题考查普通方程与极坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．23.【答案】解：∵f(x)=|x−12|+|x−λ|≥|(x−12)−(x−λ)|=|λ−12|，∴f(x)min=|λ−12|，对任意x∈R，恒有f(x)≥12⇔|λ−12|≥12，解得λ≥1或λ≤0，又∵λ>0，故λ≥1，所以λ的最小值为1．(2)由(1)得t=1，∴m+2n=mn，∴2m +1n=1，∴2m+n=(2m+n)(2m +1n)=2mn+2nm+5≥2√4+5=9，当且仅当2mn =2nm，即m=n=3时取等号，∴2m+n的最小值为9．【解析】(1)对任意x∈R，恒有f(x)≥12，得|λ−12|≥12，再用绝对值不等式的性质求得f(x)的最小值代入可求得λ的最小值，(2)由(1)知t=1，m+2n=mn，则2m +1n=1，再变形后用基本不等式可求解．本题考查了绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值问题，属中档题．。

2021年河南省名校联盟高考数学联考试卷（文科）（二）（4月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x+1x−1≤0}，B={y|y=2x,x∈A}，则A∩B=()A. (0,1)B. (−1,2)C. (1,+∞)D. [12,1)2.已知复数z满足：(z−i)(1+2i)=i3(其中i为虚数单位)，复数z的虚部等于()A. −15B. −25C. 45D. 353.设圆C1：(x−1)2+(y−1)2=9和圆C2：(x+1)2+(y+2)2=4交于A，B两点，则线段AB所在直线的方程为()A. 2x+3y+4=0B. 3x−2y+1=0C. 2x+3y−3=0D. 3x−2y−1=04.某校高二年级为选拔参加物理竞赛的学生组织了一次考试，最后选出13名男生和7名女生，这20名学生的考试成绩如茎叶图所示(单位：分)，学校决定对成绩不低于134分的学生进行为期一周的集训，如果用分层抽样的方法从参加集训的学生中选取3人，则这3人中女生人数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.已知命题p：若α>0，则sinα<α；命题q函数f(x)=2x−x2有两个零点，则下列说法正确的是()①p∧q为真命题；②￢p∨￢q为真命题；③p∨q为真命题；④￢p∨q为真命题A. ①②B. ①④C. ②③D. ①③④6.函数f(x)=x2−1e x+1的图象大致为()A.B.C.D.7. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)上点P 处的切线与y 轴交于点Q ，F 为抛物线C 的焦点，则下列结论正确的是( )A. |QF|>|PF|B. |QF|=|PF|C. |QF|<|PF|D. 无法确定8. 设a =log 23，b =log 34，c =43，则( )A. c <a <bB. b <a <cC. a <c <bD. b <c <a9. 如图所示的直角坐标系中，角α(0<α<π2)、角β(−π2<β<0)的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为−513，且满足S △AOB =14，则sin α2(cos α2−√3sin α2)+√32的值为( )A. −513 B. −1213 C. 1213 D. 51310. 蹴鞠(如图所示)，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S −ABC 为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，侧棱SA =2，则该蹴鞠的表面积为( )A. 6πB. 12πC. 32πD. 36π11.已知若e x−y>lny−x，则()A. x>yB. x>lnyC. x<yD. x<lny12.已知P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)左支上一点，F1，F2为其左、右焦点，若|PF2|2|PF1|的最小值为11a，则双曲线的离心率为()A. 9−√332B. 9+√332C. 9±√332D. 92二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，若a⃗=(0,2)，|b⃗ |=1，则|a⃗+2b⃗ |=______．14.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2+c2=a2+bc，且cosB⋅cosC+cosA=sin2A，则△ABC的形状是______ ．15.已知函数g(x)满足g(x)=g′(1)e x−1−g(0)x+12x2，且存在正实数x0使得不等式2m−1≥g(x0)成立，则m的取值范围为______ ．16.已知区域D表示不在直线(1−m2)x+2my=2+2√3m(m∈R)上的点构成的集合，则区域D的面积为______ ，若在区域D内任取一点P(x,y)，则√x2+y2的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a na n+3(n∈N∗)．(1)求{a n}的通项公式a n；(2)数列{b n}满足b n=(3n−1)⋅n2n⋅a n，设T n为数列{b n}的前n项和，求使k>T n恒成立的最小的整数k．18.2020年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值k(60≤k<100)为衡量标准，质量指标的等级划分如表：质量指标值k 90≤k<10080≤k<9070≤k<8060≤k<70产品等级A B C D为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图，设频率组距=M，当k∈[10n,10n+10)(6≤n≤8,n∈N)时，满足M=2n−5200．(1)试估计样本质量指标值k的平均值m及方差n；(2)从样本质量指标值小于90的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件D级品的概率．19.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AD⊥DE，AD=4，DE=EF=2．(1)求证：平面ADE⊥平面CDEF；(2)设M是CF的中点，棱AB上是否存在点G，使得MG//平面ADE？若存在，求线段AG的长；若不存在，说明理由．20.如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1，离心率为√63，F1(−√2,0)，F2(√2,0)为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一动点，Q为△PF1F2的内心，连接PQ并延长交x轴于点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设△F1QM，△F2QP的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围．21. 已知函数f(x)=xe x +cosx −1(其中x ≥0)，f′(x)为f(x)的导数．(1)求函数f(x)在x =0处的切线方程；(2)若不等式f(x)≥ax 恒成立，求a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y −2=0，曲线C 2：{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)已知射线l ：θ=α(ρ≥0,0<α<π2)分别交曲线C 1，C 2于M ，N 两点，求|ON|+1|OM|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|2x −1|．(1)求f(x)≥−3的解集；(2)若存在a ，b ，使得关于x 的不等式|b +a|−|2b −a|≥|b|(|x +1|+|x −2m|)(b ≠0)有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了分式不等式的解法，指数函数的单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|−1≤x<1},B={y|12≤y<2}，∴A∩B=[12,1)．故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：(z−i)(1+2i)=i3(其中i为虚数单位)，∴z−i=−i1+2i=−i(1−2i)(1+2i)(1−2i)=−2−i5=−25−i5，∴z=−25+45i，∴复数z的虚部等于45，故选：C．3.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C1：(x−1)2+(y−1)2=9，即x2+y2−2x−2y−7=0，①圆C2：(x+1)2+(y+2)2=4，即x2+y2+2x+4y+1=0，②联立①②可得：2x+3y+4=0，则线段AB所在直线的方程为2x+3y+4=0；故选：A．根据题意，将两个圆的方程写出一般方程形式，联立两个圆的方程，变形可得答案．本题考查圆与圆相交的性质，涉及公共弦方程的计算，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：由茎叶图可知，成绩不低于134分的学生中男生有4名，女生有2名，=1(人)，所以用分层抽样的方法从参加集训的学生中选取3人，则这3人中女生人数为3×24+2故选：B．先根据茎叶图求出成绩不低于134分的学生中男生，女生的人数，再利用分层抽样的方法求解．本题主要考查了茎叶图的应用，考查了分层抽样方法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：根据题意，对于命题p，设f(x)=sinx−x，其导数f′(x)=cosx−1≤0，即f(x)在R上为减函数，则在区间(0,+∞)上，有f(x)<f(0)=0，即sinx<x，故若α>0，则sinα<α，p为真命题；对于q，函数f(x)=2x−x2有三个零点，一个在区间(−1,0)上，另外两个是x=2和x=4，q为假命题；依次分析四是说法：①p∧q为假命题，错误；②￢p∨￢q为真命题，正确；③p∨q为真命题，正确；④￢p∨q为假命题，错误；其正确的说法是②③；故选：C．根据题意，分析命题p、q的真假，由复合命题真假的判断方法分析题目的4个说法，分析选项即可得答案．本题考查复合命题真假的判断，涉及函数零点的判断，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：函数f(x)为非奇非偶函数，关于y 轴不对称，排除C ，D ， 当x >0且x →+∞，f(x)→0，排除B ， 故选：A ．根据函数不是偶函数，关于y 轴不对称，以及利用极限思想进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想进行排除是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】B【解析】解：设P(m,n)，则m 2=2pn ， x 2=2py 即y =x 22p 的导数是y′=xp ， 可得P 处的切线的斜率为mp ， 切线的方程为y −n =m p(x −m)，令x =0，可得y =n −m 2p=n −2n =−n ，即Q(0,−n)，F(0,p2)， 则|QF|=n +p2，由抛物线的准线方程为y =−p2， 而|PF|=n +p2， 所以|QF|=|PF|， 故选：B ．由导数的几何意义，求得切线的斜率，求得Q 的坐标，由抛物线的焦点坐标，可得|QF|，由抛物线的准线方程和定义，可得|PF|，即可得到结论．本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：3a =3log 23=log 227>log 216=4，3b =3log 34=log 364<4， 所以a >43，b <43，c =43， 则a >c >b ． 故选：D ．由已知结合对数函数的单调性即可比较大小．本题主要考查了对数函数的单调性在对数值大小比较中的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：∵由题意可得sinβ=−513，−π2<β<0， ∴cosβ=√1−sin 2β=1213，又∵S △OAB =14，可得：12×1×1×sin∠AOB =14，可得sin∠AOB =12， ∴∠AOB =π6，即α−β=π6，则α=β+π6． ∴sin α2(cos α2−√3sin α2)+√32=12sinα−√32(1−cosα)+√32=12sinα+√32cosα=sin(α+π3)=sin(β+π2)=cosβ=1213． 故选：C ．由题意可得sinβ的值，先由三角形的面积公式求得∠AOB ，可得α=β+π6，将所求利用三角函数恒等变换的应用化简即可求解．本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式，两角和差的三角函数以及二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：如图，取AC的中点N，连接BN，SN，∵N为AC的中点，SA=SC，∴AC⊥SN，同理AC⊥BN，∵SN∩BN=N，∴AC⊥平面SNB，则AC⊥SB，又AM⊥SB，且AM∩AC=A，AM、AC⊂平面SAC，∴SB⊥平面SAC，则正三棱锥S−ABC的三条侧棱两两互相垂直．把该三棱锥放置在正方体SF中，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，√22+22+22=√3．外接球的半径等于正方体的对角线长的一半为12∴该蹴鞠的表面积为4π×(√3)2=12π．故选：B．由题意画出图形，证明三棱锥的三条侧棱两两垂直，然后把正三棱锥放置在正方体中，求正方体的对角线长，可得外接球的半径，再由球的表面积公式求解．本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意知e x−y>lny−x，则e x+x>y+lny=e lny+lny，构造函数g(x)=e x+x，则g′(x)=e x+1>0，故g(x)在R递增，故g(x)>g(lny)，故x>lny，故选：B．根据e x+x>e lny+lny，构造函数g(x)=e x+x，根据函数的单调性由g(x)>g(lny)得到x>lny即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是中档题．12.【答案】B【解析】解：设|PF1|=x(x≥c−a)，由双曲线的定义可知|PF2|=2a+x，所以|PF2|2|PF1|=(2a+x)2x=x+4a2x+4a，由x+4a2x ≥2√x⋅4a2x=4a，当且仅当x=2a时，取得最小值8a≠11a，由c−a≥2a，即c≥3a，可得e=ca≥3，可得x+4a2x +4a≥c−a+4a2c−a+4a，即有c−a+4a2c−a+4a=11a，解得c2−9ac+12a2=0，即为e2−9e+12=0，解得e=9±√332，由于e≥3，可得e=9+√332．故选：B．设|PF1|=x(x≥c−a)，由双曲线的定义可得|PF2|=2a+x，|PF2|2|PF1|=(2a+x)2x=x+4a2x+4a，由基本不等式和对勾函数的单调性，可得最小值，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义和基本不等式的运用：求最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】2√3【解析】解：由题意得，|a⃗|=2，|b⃗ |=1，向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，∴a⃗⋅b⃗ =2×1×cos60°=1，∴|a⃗+2b⃗ |=√a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=√22+4×1+4×12=2√3．故答案为：2√3．根据平面向量数量积的定义，求出a⃗⋅b⃗ 的值，再求向量的模长即可．本题考查了平面向量数量积的定义以及向量模长的计算问题，是基础题目．14.【答案】等边三角形【解析】解：因为b2+c2=a2+bc，由余弦定理得，cosA=b2+c2−a22bc =12，因为A为三角形内角，A=60°，因为cosB⋅cosC+cosA=sin2A，所以cosB⋅cosC−cos(B+C)=sin2A，化简得，sinBsinC=sin2A，由正弦定理得bc=a2，代入b2+c2=a2+bc得b2+c2=2bc，所以b=c，又A=60°，则△ABC为等边三角形．故答案为：为等边三角形．由已知结合余弦定理可求A，然后结合诱导公式及和差角公式化简后结合正弦定理可转化为b，c的关系，进而可判断．本题主要考查了余弦定理，正弦定理及和差角公式在三角形形状判断中的应用，属于中档题．15.【答案】[1,+∞)【解析】解：g(x)=g′(1)e x−1−g(0)x+12x2，g′(x)=g′(1)e x−1−g(0)+x，令x=1，则g′(1)=g′(1)−g(0)+1，解得g(0)=1．∴1=g(0)=g′(1)e−1，解得g′(1)=e．∴g(x)=e x−x+12x2，g′(x)=e x−1+x，可得g′(x)在(0,+∞)上单调递增，∴g′(x)>g′(0)=0，∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴g(x)>g(0)=1．∵存在正实数x 0使得不等式2m −1≥g(x 0)成立， ∴2m −1≥g(x)min ， ∴2m −1>1，解得m ≥1． ∴m 的取值范围为[1,+∞)． 故答案为：[1,+∞)．分别求出g(0)，g′(1)，即可得出g(x).存在正实数x 0使得不等式2m −1≥g(x 0)成立，等价于2m −1≥g(x)min ，利用导数研究函数g(x)的单调性极值与最值即可得出m 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】π [1,√2]【解析】解：由(1−m 2)x +2my =2+2√3m ，得xm 2+(2√3−2y)m +(2−x)=0，∵区域D 表示不在直线(1−m 2)x +2my =2+2√3m(m ∈R)上的点构成的集合，∴方程xm 2+(2√3−2y)m +(2−x)=0无实数根，当x ≠0时，△=(2√3−2y)2−4x(2−x)<0，整理得(x −1)2+(y −√3)2<1，即P 在以(1,√3)为圆心，以1为半径的圆内，则区域D 的面积为π， 令A(1,1)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y ，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+y 2，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则cosθ=1√2⋅x+y√x 2+y 2， ∵θ∈[0,π4)，∴cosθ∈(√22,1]，则x+y√x 2+y 2∈(1,√2]；当x =0时，直线方程(2√3−2y)m +2=0，令2√3−2y =0，解得y =√3， 当y ≠√3时，m 必有取值，则当x =0时，只有(0,√3)不在直线(2√3−2y)m +2=0， 此时x+y√x 2+y 2=1，综上，x+y √x 2+y 2的取值范围是[1,√2].故答案为：π；[1,√2].把已知方程变形，化为关于m 的方程，结合已知分类利用判别式法可得P 的轨迹，从而求得区域D 的面积，再由数量积求夹角可得√x 2+y 2的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查化归与转化、方程思想的应用，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由a n+1=a n a n +3，可得1a n+1=3a n +1，即有1an+1+12=3(1a n+12)，即数列{1a n+12}是首项为32，公比为3的等比数列，则1a n+12=32×3n−1=3n 2，则a n =23n −1； (2)b n =(3n −1)⋅n 2n ⋅a n =(3n −1)⋅n 2n⋅23n −1=n 2n−1，则T n =11+22+34+48+...+n2n−1，12T n=12+24+38+416+...+n2n ， 两式相减可得12T n =1+12+14+18+...+12n−1−n2n =1−12n 1−12−n2n=2(1−12n )−n 2n ， 所以T n =4−n+22n−1<4， 由k >T n 恒成立，可得k ≥4， 则最小的整数k 为4．【解析】(1)将已知数列的递推式，两边取倒数，推得1a n+1+12=3(1a n+12)，由等比数列的定义和通项公式，可得所求；(2)求得b n =n2n−1，由数列的错位相减法求和，可得T n ，再由不等式恒成立思想，可得k 的最小值． 本题考查等比数列的定义和通项公式、数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)当n=6时，k∈[60,70)，M=1100，频率为p1=1100×10=0.1，当n=7时，k∈[70,80)，M=150，频率为p2=150×10=0.2，当n=8时，k∈[80,90)，M=125，解得p3=125×10=0.4，各产品等级的频率如下表所示，m=0.1×65+0.2×75+0.4×85+0.3×95=84，n=0.1×(65−84)2+0.2×(75−84)2+0.4×(85−84)2+0.3×(95−84)2=89；(2)所抽取的7件产品中，D级品的数量为7×0.101+0.2+0.4=1，记为D，C级品的数量为7×0.20.1+0.2+0.4=2，分别记为A1，A2，B级品的数量为4，分别记为B1，B2，B3，B4，从这7件产品中任取2件产品的基本事件有：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A1D，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，A2D，B1B2，B1B3，B1B4，B1D，B2B3，B2B4，B2D，B3B4，B3D，B4D，共21个基本事件，而“至少有1件D级品”的基本事件为6个，∴从这7件产品中任取2件产品，至少有1件D级品的概率为621=27．【解析】(1)根据题意，求得相应的频率，进而求出平均值及方差；(2)先求出7件产品中，B，C，D级品的数量，再写出所有的基本事件数，进而求得至少有1件D级品的概率．本题考查频率分布直方图，平均数，方差，古典概型等知识点，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥DC．又∴AD⊥DE，DE∩DC=D，∴AD⊥平面CDEF，AD⊂面ADE，∴平面ADE⊥平面CDEF．(2)存在．AB//CD，AB⊂面ABFE，CD⊂面CDEF，并且面ABFE∩面CDEF=EF，∴EF//CD．取CD中点H，HC中点P，取AB中点N，NB中点Q，连MP，PQ，MQ，可得EF//DH，且EF=DH，故四边形EFHD为平行四边形，∴ED//FH．又∵M为FC中点，∴在△CFH中，MP//FH，∵PQ//AD，PQ∩MP=P，面MPQ//面ADE，∵G在棱AB上，故当且仅当G与Q重合时，MG//面ADE，∴AG=34AB=3．【解析】由图，(1)中可以正方形为出发点，来进行分析．(2)可先找出经过M点的面与面ADE平行，再进行分析．本题考查了空间中线面平行的判定和性质．20.【答案】解：(1)∵离心率为√63，∴ca =√63，又∵F1(−√2,0),F2(√2,0)为椭圆的左右焦点，∴c=√2,a=√3,b=1，∴椭圆E的方程为x23+y2=1；(2)∵Q为△PF1F2的内心，∴Q为△PF1F2各内角平分线的交点，故根据角平分线定理可知，|PQ||QM|=|PF1||F1M|,|PQ||QM|=|PF2||F2M|，∴|PQ||QM|=|PF1||F1M|=|PF2||F2M|=|PF1|+|PF2||F1M|+|F2M|=2a2c=ac=√3√2，设△F1QM以QM为底边的高为ℎ1，△F2QP以PQ为底边的高为ℎ2，则S1S2=12|QM|ℎ112|PQ|ℎ2=|QM|ℎ1|PQ|ℎ2=√2ℎ1√3ℎ，∵ℎ1ℎ2=|F1M||F2M|=|PF1||PF2|，设P(x0,y0)，∴|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0，S1S2=√23√3+√23x0√3−√23x0=√23√2x03−√2x=√23(−13−√2x，∵P为椭圆上一动点，且与F1，F2构成三角形，故x0∈(−√3,√3)，∴S1S2∈(5√63−4,5√63+4)．【解析】(1)依题意求出a，c后可得椭圆方程；(2)设P(x0,y0)，根据角平分线的性质和焦半径公式可得S1S2=√23(−1+3−√2x)，从而可得所求的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=(x+1)e x−sinx，则f′(0)=1，又f(0)=0，∴函数f(x)在x=0处的切线方程为y=x；(2)令ℎ(x)=xe x+cosx−1−ax，则ℎ′(x)=(x+1)e x−sinx−a，∵ℎ′′(x)=(x+2)e x−cosx>0(x≥0)，∴ℎ′(x)在[0,+∞)上单增，①当a≤1时，ℎ′(x)≥1−a≥0，∴ℎ(x)为增函数，则ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，符合题意；②当a>1时，由ℎ′(x)在[0,+∞)上单增，且ℎ′(0)=1−a<0，ℎ′(lna)=alna+a−sin(lna)−a=alna−sin(lna)>lna−sin(lna)>0，故存在唯一x0∈(0,+∞)，使得ℎ′(x0)=0，则当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单减，ℎ(x)<ℎ(0)=0，此时与ℎ(x)≥0矛盾，不合题意．综上所述，实数a的取值范围为(−∞,1]．【解析】(1)求导，求得切线斜率，再根据点斜式得到切线方程；(2)令ℎ(x)=xe x+cosx−1−ax，对ℎ(x)求导后，根a≤1及a>1讨论即可得出结果．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)，曲线C 1：x +y −2=0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−2=0；、曲线C 2：{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(2)已知射线l ：θ=α(ρ≥0,0<α<π2)分别交曲线C 1，C 2于M ，N 两点， 所以{ρcosθ+ρsinθ−2=0θ=α，故ρM =2sinα+cosα，{ρ=2sinθθ=α，故ρN =2sinα，故求|ON|+1|OM|=2sinα+sinα+cosα2=52sinα+12cosα=√262sin(α+β)≤√262．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)|x +1|−|2x −1|≥−3等价为{x ≤−1−x −1−(1−2x)≥−3或{−1<x <12x +1−(1−2x)≥−3或{x ≥12x +1−(2x −1)≥−3，解得x =−1或−1<x <12或12≤x ≤5， 所以f(x)≥−3的解集是[−1,5]；(2)不等式|b +a|−|2b −a|≥|b|(|x +1|+|x −2m|)(b ≠0)等价为|x +1|+|x −2m|≤|b+a|−|2b−a||b|，由|b +a|−|2b −a|≤|b +a −(a −2b)|=|3b|，可得|b+a|−|2b−a||b|≤3|b||b|=3，由题意可得|x +1|+|x −2m|≤3有解，由|x +1|+|x −2m|≥|x +1−x +2m|=|1+2m|， 可得|2m +1|≤3，解得−2≤m ≤1，所以m的取值范围是[−2,1]．【解析】(1)由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)原不等式等价为|x+1|+|x−2m|≤|b+a|−|2b−a|，由绝对值不等式的性质和绝对值不等式的解法，可得|b|所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．第21页，共21页。

2021届河南省罗山县四校联考高三上学期数学（文）试题一、单选题1．已知(){}2log 22A x Z x =∈-≤，{}2430B x x x =-+-<，则AB =（ ）A ．{|1x x <或}36x <≤B ．φC ．{}4,5,6D ．{}36x x <≤【答案】C【分析】求出集合{}3,4,5,6A =代入集合B 检验得解.【详解】{}{}263,4,5,6A x Zx =∈<≤=∣，代入B 满足不等式的为4，5，6. 故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及对数不等式、一元二次不等式解法，属于基础题.2．设,x y ∈R ，则“x y >”是“ln ln x y >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】由对数函数的单调性，可得0x y >>，进而可得充分性和必要性. 【详解】解：ln ln 0x y x y >⇔>>， 则“x y >”是“ln ln x y >” 的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，考查对数函数单调性的应用，是基础题.3．若x 、y 满足约束条件1215y y x x y ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．11D ．13【答案】C【分析】化直线方程为斜截式得3y x z =-，作出不等式组所表示的可行域，平移直线3y x z =-，找出使得该直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】化目标函数为直线的斜截式方程得3y x z =-，作出不等式组所表示的可行域如下图所示：联立150y x y =⎧⎨+-=⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩，即点()4,1A ，平移直线3y x z =-，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线3y x z =-在y 轴上的截距最小，此时z 取最大值，即max 34111z =⨯-=. 故选：C.【点睛】本题考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．已知函数()cos 2xf x x =-，则（ ）A ．(341log 233f f f⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．(3313log 23f f f⎛⎫->> ⎪⎝⎭C ．(36132log 5ff f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．35123log 4fff ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题可得()f x 为偶函数，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2xf x x =-单调递减，再利用单调性即可比较出大小.【详解】由已知得定义域为R ，又()()()cos 2cos 2xxf x x x f x --=--=-=，所以()f x 为偶函数，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos 2xf x x =-单调递减，因为4log 31,1<<4log 3<且(f f=，()441log log 33f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以(41log 3f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭．故选：A5．某产品的宣传费用x （万元）与销售额y （万元）的统计数据如下表所示：根据上表可得回归方程ˆ9.6 2.9yx =+则宣传费用为3万元时，对应的销售额a 为（ ） A ．36.5 B ．30C ．33D ．27【答案】D【分析】利用点(,)x y 满足回归直线方程，求出x ，进而得到y ，即可求解.【详解】回归方程1ˆ9.6 2.9,(4235) 3.54yx x =+=+++=， 由回归方程过点(),x y ，故36.5y =， 即1(452450)36.54y a =+++=，解得27a =． 故选：D.【点睛】本题考查线性回归方程，样本中心点在回归直线上是解题的关键，属于基础题. 6．已知等比数列{}n a 中，53a =，4745a a =，则7967a a a a --的值为（ ）A ．30B ．25C ．15D ．10【答案】A【分析】根据题意，设数列{}n a 的公比为q ，由等比中项的性质可得247465()45a a a a q a q ===，解可得q 的值，结合等比数列的通项公式有37967(1)1a a q q q q a a q--==+--，计算即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，设其公比为q ， 若53a =，4745a a =，则247465()45a a a a q a q ===，则5q =，则37967(1)301a a q q q q a a q --==+=--； 故选：A ．【点睛】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题． 7．如图，已知圆O 中，弦AB 的长为3，圆上的点C 满足0OA OB OC ++=，那么AC 在OA 方向上的投影为（ ）A ．12B ．12-C 3D ．32-【答案】D【分析】由0OA OB OC ++=得O 为ABC 的重心，A ，B ，C 三点均匀分布在圆周上，ABC 为正三角形，根据向量的投影的定义可得选项.【详解】解法一：连接BC ，由0OA OB OC ++=得O 为ABC 的重心，A ，B ，C 三点均匀分布在圆周上，ABC 为正三角形，所以30OAC ︒∠=，弦AB 3以AC 在OA 方向上的投影为33cos150322AC ︒⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭∣∣， 故选：D.解法二：由0OA OB OC ++=，得O 为ABC 的重心，A ，B ，C 三点均匀分布在圆周上，建立如图所示的直角坐标系，则()310,1,(0,0),2A O C ⎫-⎪⎪⎝⎭，所以33,2AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1OA =，所以()3330,1,22OA AC ⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以332cos ,213OA AC OA AC OA AC -⋅===-⨯⨯，所以AC 在OA 方向上的投影为33cos ,322AC OA AC ⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题考查向量的投影的定义和运算，关键在于由向量间的关系得出三角形的特殊性，属于中档题. 8．若实数,a b 满足122lg lg lg a b a b ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则ab 的最小值为（ ） A 2 B ．22C ．3lg 2D ．lg 2【答案】B 【分析】由122lg lg lg a b a b ⎛⎫+=+⎪⎝⎭可得12ab a b +=，利用基本不等式即可求出.【详解】由题意可知0,0a b >>， 因为122lg lg lg a b a b ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，所以12ab a b +=1212ab a b a b=+≥⋅22ab ≥ 当且仅当1212a bab a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩5422b a ==时，取等号.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求求值，属于基础题.9．已知函数()331xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020212021f f f f ''+-+--的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】求得可得()'f x 的解析式，求出()f x '-解析式，可得()f x '为偶函数，即可求出()()20212021f f ''--的值，再求()()3f x f x +-=，即可求得()()20202020f f +-的值，即可求得答案.【详解】()()22331xxe f x x e-'=++，()()()2222333()311xxxxe ef x x x ee----'-=+-=+++，所以()f x '为偶函数，所以()()202120210f f ''--=，因为()()33333331111x x x x x e f x f x x x e e e e -+-=++-=+=++++，所以()()202020203f f +-=，所以()()()()20202020202120213f f f f ''+-+--=． 故选：C ．10．函数()()cos ln 2x xf x x e e π-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D 选项，再判断原函数在()0,π及(),2ππ上的正负即可确定答案.【详解】因为()()()πcos ln sin ln 2x x x xf x x e e x e e --⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以()()()()()sin ln sin ln xx x x f x x x ee x e ef x ---=-+=-+=-，即函数()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D ，又因为2x x y e e -=+≥=，当且仅当0x =时取等号， 所以()ln ln2ln10x xe e-+≥>=，当[)0,πx ∈时，sin 0x ≥，当[)π,2πx ∈时，sin 0x ≤，所以，当[)0,πx ∈时，()0f x >，当[)π,2πx ∈时，()0f x ≤，故排除A 、B ， 故选：C ．【点睛】根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下： （1）先确定函数的定义域；（2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性；（3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负; （4）确定局部区间上的单调性. 11．已知()3ln 13f x x x ax =-，若对于1x ∀，[]21,2x ∈，12x x ≠，都有()()1212f x f x a x x ''->-恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】D【分析】首先求出函数的导函数，不妨设12x x >，则()()1212f x f x a x x ''->-等价于()()()1212f x f x a x x ''->-，即()()1122f x ax f x ax ''->-，设()2ln h x x a x ax a =---，即证明()20ah x x a x'=--≥在[]1,2上恒成立，参变分离可得221x a x ≤+，[]1,2x ∈，设1x t +=，221221x t x t ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭，再根据对勾函数的性质求出其最小值，即可得解；【详解】解：因为()3ln 13f x x x ax =-，所以()2ln f x x a x a '=--，不妨设12x x >，则()()1212f x f x a x x ''->-等价于()()()1212f x f x a x x ''->-，即()()1122f x ax f x ax ''->-，设()()2ln h x f x ax x a x ax a '=-=---，则证明()()12h x h x >，即证明()20a h x x a x '=--≥在[]1,2上恒成立，化简得221xa x≤+，[]1,2x ∈，设1x t +=，则()2221122t t a t tt -+⎛⎫≤=+- ⎪⎝⎭，[]2,3t ∈，因为()122m t t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在[]2,3上单调递增，所以()min 122212m t ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，所以()min 1a m t ≤=，故选：D .【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查转化思想，属于中档题.二、多选题12．声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ） A ．2π是()f x 的一个周期 B ．()f x 在0,2π上有3个零点 C ．()f x的最大值为4D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】ABC【分析】①分别计算sin y x =和1sin 22y x =的周期,再求其最小公倍数即可得到()f x 的周期.②令0f x即可求得零点.③对()f x 求导,令()'0f x =,判断单调性即可求得极值.④对()f x 求导,令()'0f x >,即可求出单调递增区间. 【详解】解：因为：()1sin sin 22f x x x =+ ①sin y x =的周期是2π,1sin 22y x =的周期是22ππ=,所以()1sin sin 22f x x x =+的周期是2π,故A 正确. ②当()1sin sin 202f x x x =+=,[]0,2x π∈时,sin sin cos 0x x x +=sin (1cos )0x x +=sin 0x =或1cos 0x +=解得0x =或32x π=或2x π=, 所以()f x 在0,2π上有3个零点,故B 正确. ③()1sin sin 22f x x x =+()sin sin cos f x x x x =+()'22cos cos sin f x x x x =+-22cos cos 1x x =+-令()'0f x =,求得1cos 2x =或cos 1x =-, 因为()f x 在11,2 单调递增,在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,所以1cos 2x =时取得最大值,则sin x =()max 12f x =+=,故C 正确. ④由③得()'22cos cos 1f x x x =+-, 要求增区间则()'0f x >, 即cos 1x <-（不成立）,或1cos 12x <≤, 所以0223k x k +≤<+πππ所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数是错误的,故D 错误.故选：ABC【点睛】本意考查正弦、余弦函数的周期性、零点、单调性、极值,利用导数法求单调性和极值会使计算简便.三、填空题13．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 2f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是__________．【答案】10x y ++=【分析】先根据函数的性质求出函数方程，再根据导函数求切线斜率，点斜式写出切线方程即可.【详解】令0x >，则0x -<，因为当0x <时，()()ln 2f x x x =-+，所以()ln 2-=-f x x x ，又()f x 为偶函数，所以()()ln 2=-=-f x f x x x ， 所以当0x >时，()ln 2f x x x =-，所以12f ，又()12f x x'=-，所以()11f '=-， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程是()21y x +=--，即10x y ++=. 故答案为：10x y ++=【点睛】本题主要考查函数的性质和切线方程，解题的关键是会利用导函数求切线斜率. 14．已知数列{}n a 的首项14a =，()121n n n a a n++=，则{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n n +⋅【分析】利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式. 【详解】14a =，()121n n n a a n++∴=，所以，13211212223242121n n n n a a a na a n a a a n +-⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-. 故答案为：12n n +⋅.【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行求解；（2）前n 项和法：根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b -=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 15．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若()sin sin sin sin b A B a A c C -=-，且ABC的面积为212c ，则b aa b +的值为______． 【答案】4【分析】由条件结合正弦定理可得222ab b a c =+-，再利用余弦定理以及角的范围可得π3C =，然后根据三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】由正弦定理及()sin sin sin sin b A B a A c C -=-，得222ab b a c =+-，所以2221 cos22b a cCab+-==①，又()0,πC∈，所以π3C=，由ABC的面积为23c，得231sin2c ab C=，即23c ab=，代入①，得224b a ab+=，所以224b a b aa b ab++==．故答案为：4【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 16．函数()()26cos3sin x302xf xωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且ABC为正三角形，则()180f的值为________．【答案】-3【分析】化简可得π()33f x xω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据ABC为正三角形，可求得BC的长，根据正弦型函数的图象与性质，可求得周期T，进而可求得ω的值，即可得()f x的解析式，代入数据，即可求得答案.【详解】函数()()26cos3sin331cos3sin32x xxf x xωωωω=-=++-3π3sin3cos23sin23s31in22x x x x xωωωωω⎫⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎪⎭⎭，∴2343BC==，∴28T BC==，即2ππ4Tω==，∴()ππ2343f x x⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴()ππππ318023sin18023sin45π23sin233 43332f⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：3-．四、解答题17．设集合{}{}222280,430A x x x B x x ax a =+-<=-+= （1）若x A ∈是x B ∈的必要条件，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使A B ϕ⋂≠成立？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）4233a -<<；（2）存在，42a -<<. 【分析】（1）x A ∈是x B ∈的必要条件可转化为B A ⊆，建立不等式求解即可； （2）假设A B ⋂≠∅，建立不等关系，有解则存在，无解则不存在. 【详解】{}42A x x =-<<，()(){}30B x x a x a =--= （1）由已知得：B A ⊆42432a a -<<⎧∴⎨-<<⎩ 4233a ⇒-<<，即实数a 的取值范围4233a -<<， （2）假设存在a 满足条件， 则42a -<<或432a -<<，42a ∴-<<即存在42a -<<使A B ⋂≠∅.【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查了必要条件，属于中档题.18．已知向量2cos,13sin ,cos 222x x x m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设函数()1f x m n =⋅+． （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，f （x ）=1，求x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c 且满足2cos 2b A c ≤-求()f B 的取值范围．【答案】（1）3π；（2）10,2⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得1()sin 62f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质即可得解；（2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得cos B ≥，进而可得0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由题意21cos ()13cos cos 1122222x x x xf x m n x +=⋅+=⋅-+=-+111cos sin 22262x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为()1f x =，所以sin 612x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以66x ππ-=即3x π=；（2）由2cos 2b A c ≤可得2sin cos 2sin B A C A ≤，因为()C A B π=-+，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以2sin cos 2(sin cos cos sin )B A A B A B A ≤+2sin cos A A B ≤，由(0,)A π∈可得sin 0A >，所以cos B ，所以0,6B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以,066B ππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，1sin ,062B π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以11()sin 0,622f B B π⎛⎫⎛⎤=-+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.19．为了更好地刺激经济复苏，增加就业岗位，多地政府出台支持“地摊经济”的举措．某市城管委对所在城市约6000个流动商贩进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品等，各类商贩所占比例如图1．（1）该市城管委为了更好地服务百姓，打算从流动商贩经营点中随机抽取100个进行政策问询．如果按照分层抽样的方式随机抽取，请问应抽取小吃类、果蔬类商贩各多少家？（2）为了更好地了解商户的收入情况，工作人员还对某果蔬经营点最近40天的日收入进行了统计（单位：元），所得频率分布直方图如图2．（ⅰ）请根据频率分布直方图估计该果蔬经营点的日平均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（ⅱ）若从该果蔬经营点的日收入超过200元的天数中随机抽取两天，求这两天的日收入至少有一天超过250元的概率．【答案】（1）40家，15家；（2）（ⅰ）152.5元；（ⅱ）3 5 .【分析】（1）先通过扇形统计图计算出小吃类所占的比例，然后根据百分比计算出小吃类和果蔬类商贩各多少家；（2）（i）根据频率分布直方图，利用每组数据区间的中间值乘以该组的频率求和得出平均数；（ii）根据频率分布直方图，计算出日收入超过200元的天数及日收入在200250-，250300-的天数，然后利用古典概型的计算方法计算概率.【详解】解：（1）由题意知，小吃类所占比例为：125%15%10%5%5%40%-----=，按照分层抽样的方式随机抽取，应抽取小吃类商贩：10040%40⨯=（家），果蔬类商贩10015%15⨯=（家）．（2）（ⅰ）该果蔬经营点的日平均收入为：()750.0021250.0091750.0062250.0022750.00150152.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（元）．（ⅱ）该果蔬经营点的日收入超过200元的天数为6，其中超过250元的有2天， 记日收入超过250元的2天为1a ，2a ，其余4天为1b ，2b ，3b ，4b ， 随机抽取两天的所有可能情况为：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()14,b b ，()23,b b ，()24,b b ，()31,b b ，共15种，其中至少有一天超过250元的所有可能情况为：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()14,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()24,a b ，共9种．所以这两天的日收入至少有一天超过250元的概率为93155P ==． 【点睛】本题考查频率分布直方图中的相关计算及古典概型的计算，解答方法如下： （1）利用频率分布直方图求解平均数时，注意平均数的估计值等于各小矩形面积乘以底边中点的横坐标之和；（2）计算古典概型时，确定基本事件的个数及所求事件所包含的基本事件个数是关键，一般采用列举法、树状图法、列表法进行求解. 20．数列{}n a 的前n 项和()2*4Nn S n n n =-∈，数列{}nb 的前n 项和nT ，满足()*210N n n T b n +-=∈.（1）求n a 及n b ；（2）设数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n A ，求n A 并证明：1n A ≤-. 【答案】（1）25n a n =-，13n n b =；（2）113nnn A -=--，证明见解析. 【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ，由210n n T b +-=可得11210n n T b --+-=，两式相减整理可得113n n b b -=，从而可得数列{}n b 是首项为113b =，公比13q =的等比数列，进而可求出n b ，（2）先利用错位相法求出n A ，再利用放缩法可证得结论 【详解】（1）当1n =时，113a S ==-；当2n ≥时，()()221414125n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-；13a =-符合上式，所以25n a n =-.当1n =时，11210T b +-=即1310b -=，所以113b =； 当2n ≥时，由210n n T b +-=可得11210n n T b --+-=，相减得120n n n b b b -+-=，即113n n b b -=， 所以数列{}n b 是首项为113b =，公比13q =的等比数列，所以13n n b =.（2）()1253n n na b n ⋅=-⋅， 所以()()()231111311253333n n A n =-⋅+-⋅+⋅++-⋅， 则()()()()2311111131272533333n n n A n n +=-⋅+-⋅++-⋅+-⋅， 相减得2312111112(25)33333n n n A n +⎛⎫=-+⨯+++--⋅ ⎪⎝⎭ ()21111113312251313n n n -+⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-+⨯--⋅-12125333n n n +-=---122233n n +-=--，所以113n n n A -=--. 因为*n ∈N ，所以103nn -≥，所以1n A ≤-. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法通常有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法21．已知函数()412ax xf x +=.（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）当4a <-时，若关于x 的方程()22432f x x a -+++=在[]1,2-上恰有两个不同的实数解，求a 的取值范围. 【答案】（1）1a =；（2）54a -<<-.【分析】（1）利用偶函数的定义，化简得出a 的值；（2）判断出函数()y f x =在R 上的单调性，关于x 的方程()22432f x x a -+++=在[]1,2-上恰有两个不同的实数解，即y a =与2243y x x =--在区间[]1,2-上恰有两个不同的交点，画出图象可得a 的取值范围． 【详解】（1）∵()f x 为偶函数∴()()f x f x -=∴414144222ax ax x ax x x x x---+++== 化简得()14144a x ax x -+=+，∴1a =.（2）∵()()2141222ax a xx xf x --+==+ ∵4a，∴()212a x y -=，2x y -=都在R 上单调递减所以函数()y f x =在R 上单调递减又()02f =，∴()()22430f x x a f -+++=∴22430x x a -+++= ∴2243a x x =--，[]1,2x ∈-由图像知，当53a -<≤-时，方程2243a x x =--在[]1,2-有两个不同的实根 即y a =与2243y x x =--在区间[]1,2-上恰有两个不同的交点∵4a ，∴54a -<<-.【点睛】本题考查函数的性质，考查奇偶性的应用，考查复合函数的单调性，考查函数与方程思想，属于中档题．22．已知函数()ln 2f x ax x x =+(a ∈R ). （1）讨论()f x 的极值；（2）若a ＝2，且当2e x -≥时，不等式2()(ln )4ln 2mf x x x ≥++恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）21e ⎡⎤⎣⎦，.【分析】(1)先写定义域求导，对a 分类讨论研究函数导数的正负，即确定函数的单调性和极值情况；(2) a ＝2时令ln x t =化简不等式得()22242t tm t e ett ⋅+≥++，讨论t 进行参数分离，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题，即得结果.【详解】解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()ln 2f x a x a '=++ ∴（i ）当a =0时，()20f x '=>恒成立，则()f x 在定义域上单调递增，此时无极值； （ii ）当a ≠0时，()2ln 1f x a x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭'，可令()0f x '=，解得21a x e --=， 所以①当0a >时，且当210a x e --<<时，此时()0f x '<，即()f x 单调递减； 当21ax e-->时，此时()0f x '>，即()f x 单调递增，则()f x 的极小值为21a f e --⎛⎫⎪⎝⎭=21aae---，无极大值；②当0a <时，且当210a x e --<<时，此时()0f x '>，即()f x 单调递增；当21ax e-->时，此时()0f x '<，即()f x 单调递减，则()f x 的极大值为21a f e --⎛⎫⎪⎝⎭=21aae---，无极小值；综上所述，当a =0时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值21a ae ---，无极大值；当0a <时，()f x 有极大值21a ae ---，无极小值.（2）若a ＝2，()2ln 2f x x x x =+，不等式化为()()22ln 2ln 4ln 2m x x x x x +≥++则令[)ln 2x t t =∈-+∞，，，则不等式化为()22242t tm t e e tt ⋅+≥++，所以①当21t -≤≤-时，参变分离得()2242422222t tt t t t t m t e e e t ++++≤=⋅++， 设()()24222t t t g t e t ++=+，()()()()()()22222242202221t t t e t t t t t g t e t e t +--'-+==>++， 则()g t 在[]21--，上单调递增，∴()()2min 2m g t g e ≤=-=. ②当1t =-时，不等式化为0>-1，显然成立.③当1t >-时，()24222t t t m e t ++≥+，则()()()22221t t t g t e t -+=+'，可令()0g t '=，解得0t =，且当10t -<<时，()0g t '>，即()g t 单调递增；当0t >时，()0g t '<，即()g t 单调递减，所以()()max 01g t g ==，所以()max 1m g t ≥=.综上所述，要使不等式恒成立，需实数m 的取值范围为21e ⎡⎤⎣⎦，.【点睛】利用导数研究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点. 解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。

2021年4月2021届河南省九师联盟高三下学期4月联考数学（文）试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝{－2，0，1}，B ＝{0，1，2}，则A ∪B ＝A.{0，1}B.{－2，0，1}C.{－2，0，1，2}D.{0，1，2}2.已知i 是虚数单位，则12i+14i ＝ A.13＋4i B.13－4i C.3＋14i D.3－14i3.若a ，b ，c ∈R ，则“a<b ”是“ac 2<bc 2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a ＝20.1，b ＝log 0.20.3，c ＝ln0.9，则A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a5.小王与小张二人参加某射击比赛，二人在选拔赛的五次测试的得分情况如图所示。

设小王与小张这五次射击成绩的平均数分别为A x 和B x ，方差分别为s A 2和s B 2，则A.A x <B x ，s A 2>s B 2B.A x <B x ，s A 2<s B 2C.A x >B x ，s A 2>s B 2D.A x >B x ，s A 2<s B 26.已知直线l 过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点且与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点关于直线x ＝1的对称点在C 的准线上，则|AB|＝A.12B.8C.4D.27.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是A.27B.48C.75D.1088.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A －3sin 2B ＝12sinAsinC ，则角C ＝ A.6π B.3π C.2π D.23π 9.设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与直线bx －ay ＝0在第一象限交于点A ，若tan ∠AF 2O ＝2，则双曲线C 的离心率为A.53B.32310.已知函数f(x)＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是A.函数f(x)在(－∞，0]上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)是偶函数11.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为2P 在面A 1B 1C 1D 1上，且A 1，C 到P 的距离分别为2，3CP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为。