河南省中原名校2019-2020学年上期高三期末联考-理数试题及答案

河南省19-20学年高三上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.如果复数(1+i)(2−ai)(a∈R)为纯虚数，则a=()A. 2B. 1C. 0D. −22.己知集合A={x|x≤−1}，B={x|x>0}，则∁R(A∪B)=()A. {x|x>−1}B. {x|x≤0}C. {x|−1≤x<0}D. {x|−1<x≤0}3.已知向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，则a⃗⋅b⃗ 等于()A. 2√3B. 3C. √6D. √34.若双曲线x2−y2=1的一条渐近线为x−2y=0，则实数m=()mA. 2B. 4C. 6D. 85.底面是等腰直角三角形的三棱锥P−ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则()A. PA，PB，PC两两垂直B. 三棱锥P−ABC的体积为83C. |PA|=|PB|=|PC|=√6D. 三棱锥P−ABC的侧面积为3√56.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，且P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，若μ=4，σ=1，则P(5<X<6)=()A. 0.1358B. 0.1359C. 0.2716D. 0.27187. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( )A. 32B. 3C. 92D. 68. 函数f(x)=ln|x|+1x 的图象大致为( )A.B.C.D.9. 设不等式组{x +y ≥0,x −√3y ≤0表示的平面区域为Ω，若从圆C ：x 2+y 2=4的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为( )A. 524B. 724C. 1124D. 172410. 函数f(x)=log 2x +3x −1的零点所在的区间是( )A. (0,14)B. (14,12)C. (12,34)D. (34,1)11. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，若|MN|=8，则|PF|=( )A. √2B. √3C. 2D. 2√212. 数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n =4n −2(1≤n ≤100,n ∈N ∗)，b n =6n −4(n ∈N ∗)，由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{c n }，数列{c n }的各项之和为( )A. 6788B. 6812C. 6800D. 6824二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 如果(3x −√x 23n 的展开式中各项系数之和为256，则展开式中1x2的系数是________．14. 函数f(x)=x +√2x −1的值域为______ ．15. 在数列{a n }中，a 1=1，a n ≠0，曲线y =x 3在点(a n ,a n 3)处的切线经过点(a n+1,0)，下列四个结论：①a 2=23；②a 3=13；③∑a i 4i=1=6527；④数列{a n }是等比数列． 其中所有正确结论的编号是_________．16. 在平行四边形ABCD 中，∠ABD =90°，且AB =1，BD =√2，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A −BDC 的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC 的面积为accosB ，BC 的中点为D ．(Ⅰ)求cosB 的值；(Ⅱ)若c =2，asinA =5csinC ，求AD 的长．18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB//CD ，∠BAD =π3，AB =2，CD =3，M 为PC 上一点，PM =2MC ． (Ⅰ)证明：BM//平面PAD ；(Ⅱ)若AD =2，PD =3，求二面角D −MB −C 的正弦值．19.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向．为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数(AQI)的检测数据，结果统计如下：AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数属于[0,50]，(50,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；(2)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y={0,0≤x≤100,220,100<x≤250,1480,250<x≤300,试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√63，坐标原点到直线l：y=bx+2的距离为√2，(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C、D两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点E(−1,0)？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤−34a−2．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|2x+1|，记不等式f(x)<4的解集为M．(1)求M；(2)设a，b∈M，证明：|ab|−|a|−|b|+1>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了复数的四则运算，属于基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．解：(1+i)(2−ai)=2+a+(2−a)i，因为(1+i)(2−ai)为纯虚数，所以2+a=0，解得a=−2．故选D．2.答案：D解析：解：A∪B={x|x≤−1，或x>0}；∴∁R(A∪B)={x|−1<x≤0}．故选：D．进行并集、补集的运算即可．考查描述法的定义，以及并集、补集的运算．3.答案：B解析：解：根据题意，向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，且|a⃗|=√3，|b⃗ |=2，=3，则a⃗⋅b⃗ =|a⃗|×|b⃗ |×cos30°=√3×2×√32故选：B．根据题意，由向量数量积的计算公式直接计算即可得答案．本题考查向量数量积的运算，关键是掌握向量数量积的计算公式．4.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线的渐近线方程，转化求解m即可．解：若双曲线x2m−y2=1的一条渐近线为x−2y=0，可得1√m =12，解得m=4，故选：B．5.答案：C解析：解：根据三视图，可得三棱锥P−ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P−ABC的体积为13×12×2×2×2=43，|PA|=|PB|=|PC|=√6，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P−ABC的侧面积为2√5+2√2．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步对选项进行分析从而确定结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题型．6.答案：B解析：解：∵随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，μ=4，σ=1，∴P(2<X≤6)=0.9544，P(3<X≤5)=0.6826，∴P(2<X≤6)−P(3<X≤5)=0.9544−0.6826=0.2718，∴P(5<X<6)=12×0.2718=0.1359．故选：B．根据变量符合正态分布，和所给的μ和σ的值，根据3σ原则，得到P(2<X≤6)=0.9544，P(3<X≤5)=0.6826，两个式子相减，根据对称性得到结果．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，本题是一个基础题．7.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．8.答案：A解析：解：当x→−∞时，f(x)=ln|x|+1x→+∞，由此排除C，D；当x>0时，f(x)=lnx+1x ，f′(x)=1x−1x2=x−1x2，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．∴图象A符合．故选：A．由x→−∞时，f(x)=ln|x|+1x→+∞，排除C，D；再由导数研究函数的单调性即可求得答案．本题考查函数的图象，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．9.答案：B解析：本题主要考查几何概型以及线性规划，属于基础题目． 求出符合条件的区域面积，比上总面积即为所求概率． 解：作出Ω中在圆C 内部的区域，如图所示，因为直线x +y =0，x −√3y =0的倾斜角分别为3π4，π6， 所以由图可得P 取自Ω的概率为3π4−π62π=724，故选B ．10.答案：C解析：本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题． 确定函数的单调性，再由f(12)f(34)<0求得结果．解：f(x)=log 2x +3x −1显然是增函数，最多有一个零点， 又因为f(12)=−1+√3−1=√3−2<0，，f(12)f(34)<0，所以零点所在的区间是(12,34)， 故选C ．解析：根据抛物线方程可求得准线方程，进而根据抛物线的定义可知|MN|=x 1+x 2+p ，求解P 的坐标，利用距离公式求解即可．本题主要考查抛物线的应用，抛物线的简单性质以及两点间的距离公式的应用，属中档题． 解：依题意可知p =2，焦点坐标为(1,0)，过F 的直线l 设为y =k(x −1)．准线方程为x =−1，根据抛物线的定义，可知|MN|=x 1+1+x 2+1=8，可得x 1+x 2=6，所以线段MN 的中点P 的横坐标为3，由{y =k(x −1)y 2=4x，可得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 可得x 1+x 2=6=2k 2+4k 2，解得k =±1，则P 的纵坐标±2，则|PF|=√(32+(±2)2=2√2．故选：D ．12.答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，解答此题的关键是分析出数列{a n }和{b n }的公共项是以2为首项，12为公差的等差数列，然后求其前n 项和即可．解：数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n =4n −2(1≤n ≤100,n ∈N ∗)，b n =6n −4(n ∈N ∗)， 则数列{a n }的首项为2，公差为4，数列{b n }的首项为2，公差为6，则数列{a n }和{b n }的公共项是以2为首项，12为公差的等差数列，则c n =12n −10，且c n ≤398⇒n ≤34，则数列{c n }的各项之和为2×34+34×332×12=6800，故选C ．解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 由题意利用二项式系数的性质求得n =8，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中1x 2的系数． 解：令x =1，可得(3x √x 23)n 的展开式中各项系数之和为2n =256，∴n =8， ∴(3x √x 23)n =(3x √x 23)8，它的展开式的通项公式为T r+1=C 8r ⋅(−1)r ⋅38−r ⋅x 8−5r 3， 令8−5r3=−2，可得r =6，则展开式中1x 的系数为C 86⋅32=252，故答案为：252．14.答案：[12,+∞)解析：解：由2x −1≥0可得x ≥12，∴函数的定义域为：[12,+∞)，又可得函数f(x)=√2x −1+x 在[12,+∞)上单调递增， ∴当x =12时，函数取最小值f(12)=12，∴函数f(x)的值域为：[12,+∞)，故答案为：[12,+∞)．可得函数的定义域为[12,+∞)，函数单调递增，进而可得函数的最小值，可得值域．本题考查函数的值域，得出函数的单调性是解决问题的关键，属基础题． 15.答案：①③④解析：本题考查数列与函数综合应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 利用已知条件推出数列的递推关系式，得到{a n }是首项为1，公比为23的等比数列，然后求解判断即可．解：∵y′=3x 2，∴曲线y =x 3在点(a n ,a n 3)处的切线方程为y −a n 3=3a n 2(x −a n )，则−a n 3=3a n 2(a n+1−a n ).∵a n ≠0，∴a n+1=23a n ， 则{a n }是首项为1，公比为23的等比数列，从而a 2=23，a 3=49，∑a i 4i=1=1−(23)41−23=6527，故所有正确结论的编号是①③④，故答案为：①③④．16.答案：4π解析：解：由已知：平面ABD ⊥平面BCD ，CD//AB ，∠ABD =90°得：CD ⊥BD ，故CD ⊥平面ABD ，由AB =1，BD =√2，得：三棱锥A −BDC 是一个以CD =1为高，以平面ABD 为底面的棱锥，故球心到底面的距离d =12CD =12，底面外接圆半径r =12AD =√32， 故三棱锥A −BDC 的外接球的表面积S =4π(d 2+r 2)=4π，故答案为：4π由已知可得三棱锥A −BDC 是一个以CD =1为高，以平面ABD 为底面的棱锥，求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，代入外接球的表面积公式S =4π(d 2+r 2)，可得答案．本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知求出球心到底面的距离及底面外接圆半径，是解答的关键．17.答案：解：(Ⅰ) 由题意，△ABC 的面积为S △ABC =12acsinB =accosB ，得sinB =2cosB ，①∵0<B <π，∴sinB >0，∴cosB >0，又sin 2B +cos 2B =1，②①代入②得cos 2B =15，∴cosB =√5=√55；(Ⅱ)由asinA =5csinC 及正弦定理得a 2=5c 2，∵c =2，∴a =2√5， BD =12a =√5， 在△ABD 中，由余弦定理得：AD 2=c 2+BD 2−2BD ⋅c ⋅cosB =4+5−2√5×2×1√5=5，∴AD =√5．解析：(Ⅰ) 由△ABC 的面积公式，利用同角的三角函数关系，即可求出cos B 的值；(Ⅱ)由题意，利用正弦、余弦定理，即可求出AD 的值．本题考查了三角函数求值以及正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：证明：(Ⅰ)在DC 上取点E ，使DE =2，则DE//AB ，DE =AB ，则四边形ABED 是平行四边形，则EB//AD ，∵PMMC =DEEC =2，∴PD//ME ，则平面PAD//平面MBE ，∵BM ⊂平面MBE ，BM ⊄平面PAD ，∴BM//平面PAD(Ⅱ)△ABD 是正三角形，建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系如图：则B(√3,1，0)，P(0,0，3)，C(0,3，0)，M(0,2，1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，设平面DBM 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则由m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y =0，m ⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +z =0，得{y =−√3x z =−2y， 令x =1，则y =−√3，z =2√3则m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2√3)，设平面MBC 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,2，0)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)， 则n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +2y =0，n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −z =0，令x =2，则y =√3，z =√3，即n ⃗ =(2,√3,√3)，则cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4×√10=4√10=√108， 则二面角D −MB −C 的正弦值sinα=√1−(√108)2=3√68．解析：(Ⅰ)根据线面平行的判定定理即可证明BM//平面PAD ；(Ⅱ)若AD =2，PD =3，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D −MB −C 的正弦值本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解二面角的常用方法．19.答案：解：(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数.则P (ξ≥2)=P (ξ=2)+P (ξ=3)=C 62C 141C 203+C 63C 140C 203=23114；(2)任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，P(X =0)=P(0≤x ≤100)=20100=15，P(X =220)=P(100<x ≤250)=70100=710，P(X =1480)=P(250<x ≤300)=10100=110，所以E(X)=0×15+220×710+1480×110=302(元)，故该企业一个月的经济损失的数学期望为30E(X)=9060(元)．解析：本题考查了古典概型以及随机变量的分布列和数学期望，是一般题．(1)设ξ为选取的3天中空气质量为优的天数.则P (ξ≥2)=P (ξ=2)+P (ξ=3)根据排列组合算出结(2)任选一天，设该天的经济损失为X 元，则X 的可能取值为0，220，1480，求取这些值的概率，根据定义求出随机变量的期望．20.答案：解：(1)直线l ：y =bx +2，坐标原点到直线l 的距离为√2． ∴2√b 2+1=√2 ∴b =1∵椭圆的离心率e =√63 ∴a 2−1a 2=(√63)2，∴a 2=3 ∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k 1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k 1+3k 2)+5=0 解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E ．解析：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求21.答案：(1)解：因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，且f(x)的定义域为{x|x>0}，所以f′(x)=1x+2ax+(2a+1)=2ax2+(2a+1)x+1x=(2ax+1)(x+1)x，①当a=0时，f′(x)=1x+1>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；②当a>0，由于x>0，所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；③当a<0时，令f′(x)=0，解得：x=−12a或x=−1(舍)，当x∈(0,−12a )时f′(x)>0；当x∈(−12a,+∞)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；综上可知：当a≥0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；(2)证明：由(1)可知：当a<0时，f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减，所以当x=−12a 时，函数f(x)取最大值，f(x)max=f(−12a)=−1−ln2−14a+ln(−1a)，从而要证f(x)≤−34a −2，即证f(−12a)≤−34a−2，即证−1−ln2−14a +ln(−1a)≤−34a−2，即证−12(−1a)+ln(−1a)≤−1+ln2；令t=−1a ，则t>0，即证：−12t+lnt≤−1+ln2，(∗)令g(t)=−12t+lnt，t>0，则g′(t)=−12+1t，令g′(t)=0，可知t=2，则当0<t<2时，g′(t)>0，当t>2时，g′(t)<0，所以g(t)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，即g(t)≤g(2)=−12×2+ln2=−1+ln2，则(∗)式成立，所以当a <0时，f(x)≤−34a −2成立．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论的思想，属于较难题．(1)可知f ′(x)=(2ax+1)(x+1)x (x >0)，分a =0、a >0、a <0三种情况讨论，可得结论；(2)通过(1)可知f(x)max =f(−12a )=−1−ln2−14a +ln(−1a )，将问题转化为−12(−1a )+ln(−1a )≤−1+ln2，令t =−1a ，t >0，构造函数g(t)=−12t +lnt ，只需证明g(t)≤−1+ln2即可．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3+5cosθy =−4+5sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x −3)2+(y +4)2=25，转换为极坐标方程为ρ2+8ρsinθ−6ρcosθ=0，化简为ρ=6cosθ−8sinθ．(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l ，整理得参数方程为{x =2+√22t y =√22t (t 为参数)，把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得：t 2+3√2t −8=0，所以t 1+t 2=−3√2，t 1t 2=−8，所以1|PM|+1|PN|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=√18+328=5√28．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|+|2x +1|，可得x ≥12时，f(x)<4即2x −1+2x +1<4，解得12≤x <1；当x ≤−12时，f(x)<4即1−2x −2x −1<4，解得−1<x ≤−12；当−12<x <12时，f(x)<4即1−2x +2x +1<4，解得−12<x <12；则M =(−1,1)；(2)证明：要证|ab|−|a|−|b|+1>0，即证(|a|−1)(|b|−1)>0，由a ，b ∈M ，即−1<a <1，−1<b <1，可得|a|<1，|b|<1，即|a|−1<0，|b|−1<0，可得(|a|−1)(|b|−1)>0，故|ab|−|a|−|b|+1>0成立．解析：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．(1)由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M；(2)运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．。

2019-2020学年河南省中原名校高三（上）第二次质检数学试卷（理科）（9月份）一.选择题：1. 已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2−2x−3<0}，则A∩B=()A.(−1, 0)B.(0, 3)C.(−∞, 0)∪(3, +∞)D.(−1, 3)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可．【解答】解：集合A={x|y=lgx}={x|x>0}，B={x|x2−2x−3<0}={x|−1<x<3}，则A∩B=(0, 3).故选B.2. 若(x−i)i＝y+2i，其中x，y是实数，i为虚数单位，则复数x+yi＝（）A.−2+iB.2+iC.1−2iD.1+2i．【答案】B【考点】复数的运算【解析】把等式左边变形，再由复数相等的条件列式求得x，y值，则答案可求．【解答】由(x−i)i＝1+xi＝y+2i，得y＝1，x＝2．∴复数x+yi＝2+i．3. 命题p:x，y∈R，x2+y2<2，命题q:x，y∈R，|x|+|y|<2，则p是q的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】作出不等式对应的图象，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论． 【解答】 如图示：命题“x 2+y 2<2”对应的图象为半径为√2的圆的内部， 命题“|x|+|y|<2”对应的图象为正方形的内部， 则p 是q 的充分不必要条件，4. 已知函数f(x)={log 12x,x >12+36x ,x ≤1，则f[f(12)]=( )A.3B.4C.−3D.38 【答案】 C【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】推导出f(12)＝2+3612=8，从而f[f(12)]=f(8)=log 128，由此能求出结果．【解答】 ∵ 函数f(x)={log 12x,x >12+36x ,x ≤1，∴ f(12)＝2+3612=8，∴ f[f(12)]=f(8)=log 128=−3．5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( )cm 3．A.4+23π B.4+32πC.6+23πD.6+32π【答案】 D【考点】由三视图求体积 【解析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案． 【解答】解：由三视图还原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1cm，高为3cm，直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2cm），高为3cm，∴V=12×2×2×3+12×π×12×3=(6+3π2)cm3．故选D.6. 定义域为R的偶函数f(x)在(−∞, 0]上递减，f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集是（）A.(2, +∞)B.(0,12)∪(2,+∞)C.(0,√22)∪(√2,+∞)D.(√2,+∞)【答案】B【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由题意首先确定函数在区间[0, +∞)上的单调性，然后结合偶函数的性质整理计算即可求得最终结果．【解答】结合函数的奇偶性和函数的单调性可得函数在区间[0, +∞)上单调递增，则不等式即：f(|log2x|)>f(1)，∴|log2x|>1，求解对数不等式可得不等式的解集为：(0,12)∪(2,+∞)．故选：B．7. 已知α∈(0,π4),a=(sinα)sinα，b＝(cosα)sinα，c＝(sinα)cosα，则（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b【答案】D【考点】任意角的三角函数【解析】根据三角函数的定义，结合指数函数和幂函数的单调性即可得到结论【解答】因为α∈(0,π4)，所以0<sinα<√22<cosα<1，所以b ＝(cosα)sinα>(sinα)sinα>(sinα)cosα，所以b >a >c ；即c <a <b ；8. 点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB ＝BC =√6，∠ABC ＝90∘，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ） A.2π B.4π C.8π D.16π 【答案】 D【考点】球的体积和表面积 【解析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积 【解答】根据题意知，直角三角形△ABC 的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积S △ABC 不变，高最大时体积最大， 所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为为13S △ABC ×DQ ＝3，即13×3×DQ ＝3，∴ DQ ＝3，如图．设球心为O ，半径为R ，则在直角△AQO 中， OA 2＝AQ 2+OQ 2，即R 2＝(√3)2+(3−R)2，∴ R ＝2， 则这个球的表面积为：S ＝4π×22＝16π．9. 已知AB 为圆O ：(x −1)2+y 2＝1的直径，点P 为直线x −y +1＝0上任意一点，则PA →⋅PB →的最小值为（ ） A.1 B.√2 C.2D.2√2【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 直线与圆的位置关系 【解析】运用向量加减运算和数量积的性质，可得PA →⋅PB →=(PO →+OA →)⋅(PO →+OB →)＝|PO →|2−r 2，即为d 2−r 2，运用点到直线的距离公式，可得d 的最小值，进而得到结论． 【解答】由PA →⋅PB →=(PO →+OA →)⋅(PO →+OB →)=PO →2+PO →⋅(OA →+OB →)+OA →⋅OB →=|PO →|2−r 2，即为d 2−r 2，其中d 为圆外点到圆心的距离，r 为半径， 因此当d 取最小值时，PA →⋅PB →的取值最小， 可知d 的最小值为√2=√2，故PA →⋅PB →的最小值为2−1＝1．10. 若函数f(x)＝x(x −c)3在x ＝2处有极小值，则常数c 的值为（ ） A.−4 B.2或8 C.2 D.8 【答案】 D【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】求出函数的导数，根据f′(2)＝0，求出c 的值，检验即可． 【解答】f′(x)＝(x −c)3+3x(x −c)2，若函数f(x)＝x(x −c)3在x ＝2处有极小值， 则f′(2)＝0，解得：c ＝2或c ＝8， 经检验c ＝2不合题意，11. 倾斜角为15∘的直线l 经过原点且和双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右两支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A.(√6−√2,+∞) B.(√4−2√2, C.(1,√6−√2) D.(1,√4−2√2) 【答案】 A【考点】 双曲线的离心率 【解析】求得已知直线的斜率，由题意可得渐近线的斜率大于已知直线的斜率，结合离心率公式，计算即可得到所求范围． 【解答】经过原点的倾斜角为15∘的直线l 的方程为y ＝tan15∘⋅x ，即y ＝(2−√3)x ， 联立方程组{y =(2−√3)xx 2a 2−y 2b 2=1 ，消元得：[b 2−(7−4√3)a 2]x 2＝a 2b 2， ∵ 直线l 与双曲线交于A ，B 两点，∴ b 2>(7−4√3)a 2， 即c 2−a 2>(7−4√3)a 2， ∴ c 2>(8−4√3)a 2， ∴c 2a 2>8−4√3．∴ e >√8−4√3=√6−√2．12. 已知曲线f(x)=ke −x 在点x =0处的切线与直线x −2y −1=0垂直，若x 1，x 2是函数g(x)=f(x)−|lnx|的两个零点，则（ ） A. 1e 2<x 1x 2<1e B. 1e 2<x 1x 2<1 C.1e <x 1x 2<1D. e <x 1x 2<e 2【答案】B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数零点的判定定理【解析】求出f(x)的导数，求得在x=0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得k的值，令g(x)=0，则|lnx|=2e−x，作出y=|lnx|和y=2e−x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且|lnx1|>|lnx2|，再结合零点存在定理，可得结论．【解答】解：f(x)=ke−x在的导数为f′(x)=−ke−x，在点x=0处的切线斜率为−k，由切线与直线x−2y−1=0垂直，可得−k=−2，解得k=2，则f(x)=2e−x，令g(x)=0，则|lnx|=2e−x，作出y=|lnx|和y=2e−x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且|lnx1|>|lnx2|，0<x1<1，x2>1，故有1x1>x2，即x1x2<1．又g(1e2)=2e−1e2−2<0，g(1e)=2e−1e−1>0，可得1e2<x1<1e，即x1x2>1e，即有1e2<x1x2<1．故选B．二.填空题：设x，y满足约束条件{x+y−7≤0x−3y+1≤03x−y−5≥0，则z=2x−y的最大值为________．【答案】8【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）． 由z =2x −y 得y =2x −z ， 平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小， 此时z 最大．由{x +y −7=0x −3y +1=0 ，解得{x =5y =2 ，即A(5, 2) 将A 的坐标代入目标函数z =2x −y ，得z =2×5−2=8．即z =2x −y 的最大值为8．已知函数f(x)=asinx +bx +c,x ∈[−5π,0)∪(0,5π]，若f(1)+f(−1)＝4034，则c ＝________． 【答案】 2017 【考点】 求函数的值 函数的求值 【解析】求出f(1)＝asin1+b +c ，f(−1)＝−asin1−b +c ，从而f(1)+f(−1)＝2c ＝4034，由此能求出c 的值． 【解答】∵ 函数f(x)=asinx +bx +c,x ∈[−5π,0)∪(0,5π]，∴ f(1)＝asin1+b +c ， f(−1)＝−asin1−b +c ， ∵ f(1)+f(−1)＝4034，∴ f(1)+f(−1)＝2c ＝4034， 解得c ＝2017． 故答案为：2017．由曲线y =√x ，直线y ＝x −2及x 轴所围成的封闭图形的面积为________． 【答案】103【考点】微积分基本定理 定积分 【解析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y ＝x 2与直线y ＝6x 围成的封闭图形的面积，即可求得结论． 【解答】由{y =√xy =x −2，可得：{x =4y =2∴ 曲线y =√x ，直线y ＝x −2及x 轴所围成的图形的面积 S =∫ 4(√x −x +2)dx −∫ 42(x −2)dx=23x 32|04−12x 2|04+2x|04−(12x 2|24−2x|24) =103．定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足f(x)>0，f ′(x)为f(x)的导函数，且2f(x)<xf ′(x)<3f(x)对x ∈(0, +∞)恒成立，则f(2)f(3)的取值范围是________． 【答案】(827, 49) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】 分别构造函数g(x)=f(x)x 2，x ∈(0, +∞)，ℎ(x)=f(x)x 3，x ∈(0, +∞)，利用导数研究其单调性即可得出． 【解答】 令g(x)=f(x)x 2，x ∈(0, +∞)，g′(x)=xf ′(x)−2f(x)x 3，∵ ∀x ∈(0, +∞)，2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立， ∴ f(x)>0， 0<xf ′(x)−2f(x)x 3，∴ g′(x)>0，∴ 函数g(x)在x ∈(0, +∞)上单调递增， ∴ g(2)<g(3)，即f(2)4<f(3)9，∴ f(2)f(3)<49①， 令ℎ(x)=f(x)x 3，x ∈(0, +∞)，ℎ′(x)=xf ′(x)−3f(x)x 4，∵ ∀x ∈(0, +∞)，2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立， ∴ ℎ′(x)=xf ′(x)−3f(x)x 4<0，∴ 函数ℎ(x)在x ∈(0, +∞)上单调递减， ∴ ℎ(2)>g(3)，即f(2)8>f(3)27，∴ f(2)f(3)>827②，∴综合①②：827<f(2)f(3)<49，三.解答题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=√3bcosA （1）求角A的值；（2）若△ABC的面积为√3，△ABC的周长为6，求边长a．【答案】∵asinB=√3bcosA，∴由正弦定理得：sinAsinB=√3sinBcosA，∵0<B<π，∴sinB≠0．∴sinA=√3cosA，∴tanA=√3，∵0<A<π，∴A=π3；∵a+b+c＝6，△ABC的面积为√3=12bcsinA=√34bc，可得：bc＝4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=12．∴(6−a)2−8−a28=12，解得a＝2．【考点】正弦定理余弦定理【解析】（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知可得tanA=√3，结合范围0< A<π，可求A的值；（2）利用三角形面积公式可求bc＝4，利用周长及余弦定理可得(6−a)2−8−a28=12，即可解得a的值．【解答】∵asinB=√3bcosA，∴由正弦定理得：sinAsinB=√3sinBcosA，∵0<B<π，∴sinB≠0．∴sinA=√3cosA，∴tanA=√3，∵0<A<π，∴A=π3；∵a+b+c＝6，△ABC的面积为√3=12bcsinA=√34bc，可得：bc＝4，∴cosA=b2+c2−a22bc =(b+c)2−2bc−a22bc=12．∴(6−a)2−8−a28=12，解得a＝2．近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸，呼吸困难等心肺疾病，为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：（1）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由（2）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d下面的临界值表仅供参考．K2=50×(20×15−10×5)225×25×30×20=253≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关．ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)=C73C103=724，P(ξ＝1)=C31C72C103=2140，P(ξ＝2)=C32C71C103=740，P(ξ＝3)=C33C103=1120，∴ξ的分布列为：∴E(ξ)＝0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．【考点】独立性检验离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）计算观测值K2，与7.879比较大小即可得出结论；（2）利用超几何分布的概率公式计算分布列，从而得出数学期望．【解答】K2=50×(20×15−10×5)225×25×30×20=253≈8.333>7.879，∴有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关．ξ的可能取值为0，1，2，3，P(ξ＝0)=C 73C 103=724，P(ξ＝1)=C 31C 72C 103=2140，P(ξ＝2)=C 32C 71C 103=740，P(ξ＝3)=C 33C 103=1120， ∴ ξ的分布列为：∴ E(ξ)＝0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD // QA ，QA ＝AB =12PD ． (Ⅰ)证明：平面PQC ⊥平面DCQ(Ⅱ)求二面角Q −BP −C 的余弦值．【答案】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；（1）依题意有Q(1, 1, 0)，C(0, 0, 1)，P(0, 2, 0)； 则DQ →=(1, 1, 0)，DC →=(0, 0, 1)，PQ →=(1, −1, 0)， 所以PQ →⋅DQ →=0，PQ →⋅DC →=0；即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ， 故PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）依题意，有B(1, 0, 1)， CB →=(1, 0, 0)，BP →=(−1, 2, −1)； 设n →=(x, y, z)是平面的PBC 法向量， 则{n →⋅CB →=0n →⋅BP →=0 即{x =0−x +2y −z =0 ， 因此可取n →=(0, −1, −2)；设m →是平面PBQ 的法向量，则{m →⋅BP →=0m →⋅PQ →=0， 可取m →=(1, 1, 1)，所以cos <m →，n →>=−√155，故二面角角Q −BP −C 的余弦值为−√155．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系 平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】首先根据题意以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；(Ⅰ)根据坐标系，求出DQ →、DC →、PQ →的坐标，由向量积的运算易得PQ →⋅DQ →=0，PQ →⋅DC →=0；进而可得PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ，由面面垂直的判定方法，可得证明； (Ⅱ)依题意结合坐标系，可得B 、CB →、BP →的坐标，进而求出平面的PBC 的法向量n →与平面PBQ 法向量m →，进而求出cos <m →，n →>，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案． 【解答】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D −xyz ；（1）依题意有Q(1, 1, 0)，C(0, 0, 1)，P(0, 2, 0)； 则DQ →=(1, 1, 0)，DC →=(0, 0, 1)，PQ →=(1, −1, 0)， 所以PQ →⋅DQ →=0，PQ →⋅DC →=0；即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ， 故PQ ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）依题意，有B(1, 0, 1)， CB →=(1, 0, 0)，BP →=(−1, 2, −1)； 设n →=(x, y, z)是平面的PBC 法向量， 则{n →⋅CB →=0n →⋅BP →=0 即{x =0−x +2y −z =0 ， 因此可取n →=(0, −1, −2)；设m →是平面PBQ 的法向量，则{m →⋅BP →=0m →⋅PQ →=0，可取m →=(1, 1, 1)，所以cos <m →，n →>=−√155，故二面角角Q −BP −C 的余弦值为−√155．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x −y +√6=0相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P(4, 0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 【答案】由题意知e =ca =12，∴a 2−b 2a 2=14，即a 2=43b 2⋯又∵ 圆心(0, 0)到直线x −y +√6=0的距离为√6√1+1=√3，∴ b =√3．∴ a ＝2，故椭圆的方程为：x 24+y 23=1⋯由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k(x −4) 联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12＝0① 设点B(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则A(x 1, −y 1)，直线AE 的方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2)令y ＝0，得x =x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1，再将y 1＝k(x 1−4)，y 2＝k(x 2−4)代入 整理得x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 2+x 1−8②由①得x 1+x 2=32k 24k 2+3，x 1x 2=64k 2−124k 2+3，代入②整理得x ＝1，所以直线AE 与x 轴相交于定点(1, 0)． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）利用椭圆的离心率e ，以及圆心(0, 0)到直线x −y +√6=0的距离求出a ，b ，即可求解椭圆的方程．（2）设直线PB 的方程为y ＝k(x −4)联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1 ，设点B(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，通过韦达定理求出直线方程，即可求出定点坐标．【解答】由题意知e =ca =12，∴a 2−b 2a 2=14，即a 2=43b 2⋯又∵ 圆心(0, 0)到直线x −y +√6=0的距离为√6√1+1=√3，∴ b =√3．∴ a ＝2，故椭圆的方程为：x 24+y 23=1⋯由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k(x −4) 联立{y =k(x −4)x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2−32k 2x +64k 2−12＝0① 设点B(x 1, y 1)，E(x 2, y 2)，则A(x 1, −y 1)，直线AE 的方程为y −y 2=y 2+y1x 2−x 1(x −x 2)令y ＝0，得x =x 2−y 2(x 2−x 1)y 2+y 1，再将y 1＝k(x 1−4)，y 2＝k(x 2−4)代入 整理得x =2x 1x 2−4(x 1+x 2)x 2+x 1−8②由①得x 1+x 2=32k 24k +3，x 1x 2=64k 2−124k +3，代入②整理得x ＝1，所以直线AE 与x 轴相交于定点(1, 0)．已知函数f(x)＝lnx ，ℎ(x)＝ax(a ∈R)．(I)函数f(x)与ℎ(x)的图象无公共点，试求实数a 的取值范围；(Ⅱ)是否存在实数m ，使得对任意的x ∈(12, +∞)，都有函数y ＝f(x)+mx 的图象在g(x)=e x x的图象的下方？若存在，请求出最大整数m 的值；若不存在，请说理由．（参考数据：ln2＝0.6931，ln3＝1.0986，√e =1.6487，√e 3=1.3956）． 【答案】（I ）设y ＝kx 与f(x)的图象相切，切点为(x 0, y 0)，则{1x 0=klnx 0=y 0y 0=kx 0，解得x 0＝e ，k =1e ．∵ 函数f(x)与ℎ(x)的图象无公共点， ∴ a >1e ．(II)假设存在实数m 满足题意， 则不等式lnx +m x≤e x x在(12, +∞)上恒成立．即m <e x −xlnx 在(12, +∞)上恒成立． 令ℎ(x)＝e x −xlnx ，则ℎ′(x)＝e x −lnx −1， ℎ′′(x)＝e x −1x ，∵ ℎ′′(x)在(12, +∞)上单调递增，且ℎ′′(12)=√e −2<0，ℎ′′(1)＝e −1>0， ∴ 存在x 0∈(12, 1)，使得ℎ′′(x 0)＝0，即e x 0−1x 0=0，∴ x 0＝−lnx 0，∴ 当x ∈(12, x 0)时，ℎ′(x)单调递减；当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)单调递增， ∴ ℎ′(x)的最小值ℎ′(x 0)=e x 0−lnx 0−1＝x 0+1x 0−1≥2−1＝1>0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在区间(12, +∞)内单调递增． ∴ m ≤ℎ(12)=e 12−12ln 12=e 12+12ln2＝1.99525，∴ 存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1． 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（I ）利用导数的几何意义求出曲线f(x)过原点的切线斜率，结合函数图象得出a 的范围；(II)假设存在实数m 满足题意，则不等式lnx +m x≤e x x在(12, +∞)上恒成立．即m <e x −xlnx 在(12, +∞)上恒成立．令ℎ(x)＝e x −xlnx ，求出导数和二阶导数，运用零点存在性定理，结合基本不等式可得最值，进而得到m 的范围和最大整数． 【解答】（I ）设y ＝kx 与f(x)的图象相切，切点为(x 0, y 0)，则{1x 0=klnx 0=y 0y 0=kx 0，解得x 0＝e ，k =1e ．∵ 函数f(x)与ℎ(x)的图象无公共点， ∴ a >1e ．(II)假设存在实数m 满足题意， 则不等式lnx +m x≤e x x 在(12, +∞)上恒成立．即m <e x −xlnx 在(12, +∞)上恒成立． 令ℎ(x)＝e x −xlnx ，则ℎ′(x)＝e x −lnx −1， ℎ′′(x)＝e x −1x ，∵ ℎ′′(x)在(12, +∞)上单调递增，且ℎ′′(12)=√e −2<0，ℎ′′(1)＝e −1>0，∴ 存在x 0∈(12, 1)，使得ℎ′′(x 0)＝0，即e x 0−1x 0=0，∴ x 0＝−lnx 0，∴ 当x ∈(12, x 0)时，ℎ′(x)单调递减；当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)单调递增， ∴ ℎ′(x)的最小值ℎ′(x 0)=e x 0−lnx 0−1＝x 0+1x 0−1≥2−1＝1>0，∴ ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在区间(12, +∞)内单调递增． ∴ m ≤ℎ(12)=e 12−12ln 12=e 12+12ln2＝1.99525，∴ 存在实数m 满足题意，且最大整数m 的值为1．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ＝10，将曲线C 1:{x =cosαy =sinα （α为参数），经过伸缩变换{x ′=3xy ′=2y 后得到曲线C 2．（1）求曲线C 2的参数方程；（2）若点M 的曲线C 2上运动，试求出M 到直线C 的距离的最小值． 【答案】将曲线C 1:{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为：x 2+y 2＝1， 经过伸缩变换{x ′=3x y ′=2y 化为：{x =13x ′y =12y′，代入圆的方程转化为曲线C 2的参数方程为：{x =3cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ＝10，转化为直角坐标方程为：2y +x −10＝0， 则：点M(3cosα, 2sinα)到直线2y +x −10＝0的距离： d =5=5≥√5．所以：点M 到直线的最小距离为√5． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）首先将曲线C 1:{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为：x 2+y 2＝1，经过伸缩变换转化为参数方程为：{x =3cosαy =2sinα（α为参数），（2）曲线C 的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ＝10，转化为直角坐标方程为：2y +x −10＝0，最后利用点M(3cosα, 2sinα)到直线2y +x −10＝0的距离公式：d =√5=√5≥√5求的最小值．【解答】将曲线C 1:{x =cosαy =sinα （α为参数），转化为：x 2+y 2＝1，经过伸缩变换{x ′=3x y ′=2y 化为：{x =13x ′y =12y′，代入圆的方程转化为曲线C 2的参数方程为：{x =3cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ＝10，转化为直角坐标方程为：2y +x −10＝0， 则：点M(3cosα, 2sinα)到直线2y +x −10＝0的距离： d =√5=√5≥√5．所以：点M 到直线的最小距离为√5．已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0).(1)若不等式f(x)−f(x +m)≤1恒成立，求实数m 的最大值；(2)当a <12，函数g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，求实数a 的取值范围． 【答案】解：(1)∵ f(x)=|x −a|+12a ， ∴ f(x +m)=|x +m −a|+12a ，∴ f(x)−f(x +m)=|x −a|−|x +m −a|≤|m|， ∴ |m|≤1， ∴ −1≤m ≤1，∴ 实数m 的最大值为1；(2)当a <12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a ={−3x +a +12a +1,x <a,−x −a +12a +1,a ≤x ≤12,3x −a +12a −1,x >12,∵ g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，∴ g(x)在(−∞, 12)上单调递减，在(12, +∞)上单调递增． ∴ g(x)min =g(12)=12−a +12a=−2a 2+a+12a≤0，∴ {0<a <12,−2a 2+a +1≤0, 或{a <0,−2a 2+a +1≥0, 解得−12≤a <0，∴ 实数a 的取值范围是[−12,0)． 【考点】绝对值不等式 绝对值三角不等式函数零点的判定定理 【解析】（1）若不等式f(x)−f(x +m)≤1恒成立，利用f(x)−f(x +m)＝|x −a|−|x +m −a|≤|m|，求实数m 的最大值；（2）当a 12时，函数g(x)＝f(x)+|2x −1|有零点，g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a≤0，可得{0a12−2a 2+a +1≤0或{a0−2a 2+a +1≥0 ，即可求实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)∵ f(x)=|x −a|+12a ， ∴ f(x +m)=|x +m −a|+12a ，∴ f(x)−f(x +m)=|x −a|−|x +m −a|≤|m|， ∴ |m|≤1， ∴ −1≤m ≤1，∴ 实数m 的最大值为1；(2)当a <12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a ={−3x +a +12a +1,x <a,−x −a +12a +1,a ≤x ≤12,3x −a +12a −1,x >12,∵ g(x)=f(x)+|2x −1|有零点，∴ g(x)在(−∞, 12)上单调递减，在(12, +∞)上单调递增． ∴ g(x)min =g(12)=12−a +12a=−2a 2+a+12a≤0，∴ {0<a <12,−2a 2+a +1≤0, 或{a <0,−2a 2+a +1≥0, 解得−12≤a <0，∴ 实数a 的取值范围是[−12,0)．。

2019届河南省原名校高三上学期第一次联考理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知，，则（）A ．_________ ___________B ．________________________C ．__________________________________________D ．2. 命题“ ，使”的否定是（）A ．，使________________________B ．不存在，使C ．，使________________________D ．，使3. 在中，若点满足，则（）A ． ____________________B ．_________C ．____________________________D ．4. 为了纪念抗日战争胜利周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为（）A ．______________________B ．______________C ．______________________ D ．5. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）6. 设，，，，，，则（）A ．______________B ． ___________________C ．______________ D ．7. 由曲线，直线，及轴所围成图形的面积是（）A ．______________B ．___________________C ．_________________ D ． [8. 已知集合，，从到的映射满足，那么映射的个数为（）A ．________________________B ．______________________C ．______________ D ．9. 若函数，分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则（）A ．B ．C ．D ．10. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A ．升______________B ．升________________________C ．升______________ D ． 1升11. 下列命题中是假命题的是（）A ．，使是幂函数，且在上递减B ．函数的值域为，则或C ．关于的方程至少有一个负根的充要条件是D ．函数与函数的图象关于直线对称12. 设，已知函数的定义域是，值域是，若函数有唯一的零点，则（）A ． 2________________________B ．________________________C ． 1 ___________________D ． 0二、填空题13. 已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为14. 若，且，则15. 已知点，，，，则向量在方向上的投影为．16. 已知函数，给出下列四个命题：① 存在实数，使得函数恰有2个不同的零点；② 存在实数，使得函数恰有4个不同的零点；③ 存在实数，使得函数恰有5个不同的零点；④ 存在实数，使得函数恰有8个不同的零点．其中真命题的序号是（把你认为正确的序号全写上）．三、解答题17. （本小题满分1 0 分）设命题函数的定义域为；命题不等式对一切正实数均成立．．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“ ”为真命题，且“ ”为假命题，求实数的取值范围．18. （本小题满分1 2 分）已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为．数列的前项和为，点均在函数的图象上．（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．19. （本小题满分1 2 分）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．20. （本小题满分1 2 分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为米，高米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为元（为圆周率）．（1）将表示成的函数，并求函数的定义域；（2）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大．21. （本小题满分1 2 分）已知是定义在上的奇函数，且，若，，时，有成立．（1）判断在上的单调性，并证明；（2）解不等式：；（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围．22. （本小题满分1 2 分）已知函数（）．（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，函数有零点，求实数的最大值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

中原名校2019-2020学年第二次质量考评高三数学（理）试题一.选择题：1.已知集合A=，则=（ ）A.(0,3)B.(-1,0)C.D.(-1,3)2.若(x-i)i=y+2i,其中x,y 是实数，i 为虚数单位，则复数x+yi=（ ） A.-2+i B.2+i3.1-2i D.1+2i3.命题p:,,命题q: ,,则p 是q 的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要4.已知函数，则=（ ）A.3B.4C.-3D.385.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积等于（ ） A. B. C. D.6.定义域为R 的偶函数f(x)在上递减，f(1)=2,则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 7.已知，，则a,b,c 的大小关系式（ ）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b 8.点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（ ）9.已知AB 是圆C ：的直径，点P 为直线x-y+1=0上任意一点，则的最小值是（ ）A.1B.010.若函数在x=2处有极小值，则常数c 的值为（ ） A.-4 B.2或8 C.2 D.811.倾斜角为15°的直线l 经过原点且和双曲线的左右两支交于A ，B 两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）2{|lg },{|230}A x y x B x x x ===--<A B (,0)(3,)-∞+∞,x y R ∈222x y +<,x y R ∈2x y +<12log ,1()236,1xx x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩1[()]2f f 243π+342π+263π+362π+(,0]-∞2(log )2f x >(2,)+∞1(0,)(2,)2+∞2(0,(2,)2+∞2,)+∞(0,)4πα∈sin sin cos (sin ),(cos ),(sin )a b c αααααα===6,AB BC ABC ==∠=22(1)1x y -+=.PA PB 2213()()f x x x c =-22221(0,0)x y a b a b-=>>A. B. C. D. 12.曲线在x=0处的切线与直线x-2y-1=0垂直，则是的两个零点，则（ ） A.B. C. D. 二.填空题：13.设x,y 满足，则z=2x-y 的最大值是_______________14.函数，若f(1)+f(-1)=4034,则c=_________ 15.由曲线，直线y=x-2及x 轴所围成的封闭图形的面积是_____________16.定义在上的函数f(x)>0,为f(x)的导函数，对任意的x>0恒成立，则的取值范围是_______________ 三.解答题：17.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c,且(1)求角A 的值（2）若△ABC ，△ABC 的周长为6，求边长a18.近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加剧。

河南中原名校2019上高三第一次联考试-数学理理科数学试题考试时间：120分钟试卷总分值：150分【一】选择题〔每题5分，共60分〕 1、设集合{}6,5,4,3,2,1=U ,{}3,1=A 那么，=A C U〔〕A 、{}3,1B 、{}5,3,1C 、{}62,4,5， D 、{}6,4,2 2、函数m x m m x f )1()(2--=是幂函数，且在),0(+∞∈x 上为增函数，那么实数m 的值是〔〕A 、2B 、3C 、4D 、53、设10≠>a a 且，那么“函数xa y =在R 上是减函数”是“函数32)x -(a (x )=f 在R上为减函数”的〔〕A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要4、直线02--=by ax 与曲线3x y =在点)1,1(P 处的切线互相垂直，那么ba 为〔〕A 、31B 、32-C 、32D 、31- 5、方程4422=--+--x y y x 对应的曲线是〔〕623237、平面向量a 与b的夹角为 60，假设()0,2=1==+〔〕A 、3B 、32C 、4D 、128、当21x 0≤<时，xa xlog )41(<，那么a 的取值范围是〔〕 A 、)410(， B 、)1,41( C 、〔1,4〕 D 、(2,4)A★2012年9月29日8:00—10:009、函数⎩⎨⎧+--+=)1(62ln )(x x x x x f )0()0(≤>x x 的零点的个数〔〕A 、0B 、1C 、2D 、310、命题cos 2cos ,2,0:=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∃m x x x P π的否定为假命题，那么实数m 的取值范围是〔〕 A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-89-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-89- C 、[]21-， D 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-，8911、偶函数)(x f y =在区间[]0,1-上是增函数，且满足0)1()1(=++-x f x f ，以下判断中错误的选项是〔〕A 、0)5(=fB 、函数)(x f 在[]2,1上单调递减C 、函数)(x f 的图像关于直线1=x 对称D 、函数(x)f 的周期是4=T 12、假设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈22-ππβα，，且0sin sin >-ββαα.那么以下结论正确的选项是〔〕A 、βα>B 、0>+βαC 、βα<D 、22βα>【二】填空题〔每题5分，共20分〕.13、函数sin()y A x ωϕ=+〔,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>〕在闭区间[,0]π-上的图象如下图，那么ω=. 14、函数6)(2-+=x x x f 15、xe(x)=f ，dxf ⎰11- (x )=.16、设方程2013ln =x x 的解为α2013=x 的解为β，那么βα⋅的值为.【三】解答题〔共70分〕 17、〔此题10分〕集合{}121+<<-=a x a x A ，{}10<<=x x B ，假设φ=⋂B A ,求实数a 的取值范围。

中原名校2019-2020学年第一次质量考评高三数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．已知：如图，集合U 为全集，则图中阴影部分表示的集合是 A ．C U （A ∩B ）∩C B ．C U （B ∩C ）∩A C ．A ∩C U （B ∪C ） D ．C U （A ∪B ）∩C2．已知x ∈C ，若关于x 实系数一元二次方程＋bx ＋c ＝0（a ，b ，c ∈R ，a ≠0）有一根为1＋i ．则该方程的另一根为A ．－1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．13．已知函数f （x ）＝＋，则满足f （x －2）＜＋1的x 的取值范围是 A ．x ＜3 B ．0＜x ＜3 C ．1＜x ＜e D ．1＜x ＜3 4．己知数列{}为正项等比数列，且a 1a 3＋2a 3a 5＋a 5a 7＝4，则a 2＋a 6＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．市场调查发现，大约的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器。

经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为，而实体店里的家用小电器的合格率约为。

现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是A ．B ．C ．D ．6．已知：sin α＋cos β＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是 A ．[－2，2] B ．[－，2] C ．[－2，] D ．[－，] 7．某篮球运动员6场比赛得分如下表：（注：第n 场比赛得分为）2ax x e 1＋x e 1－e 2n a 451720910675645253232323232na这6个数据的平均数），则输出的s 的值是A ．B ．2C ．D ．8．已知：＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋ a 9（x －1）9，则a 6＝A ．－28B ．－448C ．112D ．4489．某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l ，则该多面体的外接球的表面积是A ．27πB ．π C ．9π D ．π 10．已知抛物线C ：＝4x ，过抛物线C 焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点（点A在第一象限），且交抛物线C 的准线于点E ．若＝2，则直线l 的斜率为 A ．3 B ．CD ．111．设r 是方程f （x ）＝0的根，选取x 0作为r 的初始近似值，过点（x 0，f （x 0））做曲线y＝f （x ）的切线l ，l 的方程为y ＝f （x 0）＋（x －x 0），求出l 与x 轴交点的横坐 标x 1＝x 0－，称x 1为r 的一次近似值。

2019～2020年度河南省高三上学年期末考试数学(理科)考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈X)为纯虚数，则z＝A.163i B.6i C.203i D.202.已知集合A＝{x∈N|x2<8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则(()AB C= A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6}C.{1，2，3，4，5，6} D，{1，3，4，5，6，7}3.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为120°，则|a－3b|＝A.11B.37C.210D.434.若双曲线C：221xym-=的一条渐近线方程为3x＋2y＝0，则m＝A.49B.94C.23D.325.已知底面是等腰直角三角形的三棱锥P－ABC的三视图如图所示，俯视图中的两个小三角形全等，则A.PA，PB，PC两两垂直B.三棱锥P－ABC的体积为8 3C.|PA|＝|PB|＝|PC|6D.三棱锥P－ABC的侧面积为56.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外。

据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位：mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90]内的概率为附：若X～N(µ，σ2)，则P(µ－σ<X≤µ＋σ)＝0.6826，P(µ－2σ<X≤µ＋2σ)＝0.9544。

A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.95447.已知函数y(x)＝2sin(ωx ＋φ)＋b(ω>0)，()()88f x f x ππ+=-，且/()58f π=，则b ＝ A.3 B.3或7 C.5 D.5或88.函数f(x)＝|x|－2ln x x的图象大致为9.设不等式组030x y x +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：x 2＋y 2＝4的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为A.524B.724C.1124D.172410.已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+->⎪⎩，则函数y ＝f(f(x))的零点所在区间为 A.(3，72) B.(－1，0) C.(72，4) D.(4，5) 11.已知直线y ＝k(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k(x －2)与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|－2|MN|，则A.λ<－16B.λ＝－16C.－12<λ<0D.λ＝－1212.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。