第1讲 集合及其运算

第1讲集合及其运算[最新考纲]1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.知识梳理1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．2．集合间的基本关系3.集合的基本运算辨析感悟1．元素与集合的辨别(1)若{,2x1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√)(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(×)2．对集合基本运算的辨别(4)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )总成立．(√)(5)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝{x |－4≤x ≤1}．(×) (6)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M ＝{x |x ＞1，或x ＜－1}．(√)考点一 集合的基本概念【例1】(1)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )． A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4(2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．9解析 (1)由ax 2＋ax ＋1＝0只有一个实数解，可得当a ＝0时，方程无实数解； 当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4(a ＝0不合题意舍去)． (2)x －y ∈{－2，－1,0,1,2}． 答案 (1)A (2)C【训练1】已知a ∈R ，b ∈R ，若{}a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a2 014＋b 2 014＝________.解析 由已知得ba ＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 014＋b 2 014＝1. 答案 1考点二 集合间的基本关系【例2】(1)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． (2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，求m 的值． 解 (1)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.【训练2】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )． A ．{－1} B ．{1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1}解析 (1)由题意知：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又A ⊆C ⊆B ，则集合C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)a ＝0时，B ＝{x |1≠0}＝∅⊆A ；a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－1a ⊆A ，则－1a ＝－1或－1a ＝1，故a ＝0或a ＝1或－1.答案 (1)D (2)D考点三 集合的基本运算 【例3】(1)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪()12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )．A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2，或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2，或x ≥4}(2)若集合M ＝{y |y ＝3x }，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是( )． A ．M ∪S ＝M B ．M ∪S ＝S C ．M ＝S D ．M ∩S ＝∅ 解析 (1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |()12x≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以∁RB ＝{x |x ＜2，或x ＞4}，此时A ∩∁RB ＝{x |0≤x ＜2，或x ＞4}．(2)M ＝{y |y ＞0}，S ＝{x |x ＞1}，故选A. 答案 (1)C (2)A【训练3】(1)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4}(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)＜1}，则A ∩(∁U B )＝________. 解析 (1)∁U A ＝{0,4}，∴(∁U A )∪B ＝{0,2,4}．(2)由log 2(x －2)＜1，得0＜x －2＜2,2＜x ＜4，所以B ＝{x |2＜x ＜4}．故∁U B ＝{x |x ≤2，或x ≥4}，从而A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤2}．答案 (1)C (2){x |－1≤x ≤2}创新突破1——与集合有关的新概念问题【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．A．3 B．6 C．8 D．10解析法一(列表法)因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：由题意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D.答案 D【自主体验】1．设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()．A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉SB．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈SC．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈SD．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S解析题目中x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满足题意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．答案 B2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()．A．6个B．12个C．9个D．5个解析依题意，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．答案 A基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2，或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R.答案 B2．设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()．A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．答案 A3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()．A．2个B．4个C．6个D．8个解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．答案 B4．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()．A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]解析0＜log4x＜1，即log41＜log4x＜log44，∴1＜x＜4，∴集合A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．答案 D5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为()．A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2}C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}解析阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以A∩∁R B＝{x|1≤x＜2}．答案 D二、填空题6．集合{－1,0,1}共有________个子集． 解析 所给集合的子集个数为23＝8个． 答案 87．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________． 解析 根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4,16}，故只能是a ＝4. 答案 48．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析 由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案 －3三、解答题9．已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B . 解 由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2，1}，A ∩B ＝{1，－3}． 故a ＝0舍去．②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}．10．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}， (1)若B ⊆A ，求a 的值； (2)若A ⊆B ，求a 的值． 解 (1)A ＝{0，－4}，①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)＜0，解得a ＜－1； ②当B 为单元素集时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意； ③当B ＝A 时，由根与系数的关系得： ⎩⎨⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1. 综上可知：a ≤－1或a ＝1.(2)若A ⊆B ，必有A ＝B ，由(1)知a ＝1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2解析当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．答案 C2．设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg(x2－1)}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩(∁U M)＝()．A．{x|－2≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|x＜1}解析M＝{x|y＝lg(x2－1)}＝{x|x2－1＞0}＝{x|x＞1，或x＜－1}，所以∁U M＝{x|－1≤x≤1}，结合数轴易得N∩(∁U M)＝{x|0＜x≤1}．答案 B二、填空题3．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析A＝{x|－5<x<1}，因为A∩B＝{x|－1<x<n}，B＝{x|(x－m)(x－2)<0}，所以m＝－1，n＝1.答案－1 1三、解答题4．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)． (1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎨⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1).。

第1讲 集合的概念和运算必记考点1．集合的基本概念(1)集合元素的三个特征： 、 、 ． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号 或 表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．(4)常用数集： N ； N *(或N ＋) ； Z ；Q ； R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、 . 2．集合间的基本关系(1)子集： ，则A ⊆B (或B ⊇A )． (2)真子集： 则A B (或B A )．若集合A 中含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的真子集有2n －1个．(3)空集：空集是 的子集，是 的真子集．即∅⊆A ，∅B (B ≠∅)．(4)集合相等：若 ，则A ＝B . 3．集合的基本运算及其性质(1)并集：A ∪B ＝ ． (2)交集：A ∩B ＝ ．(3)补集：∁U A ＝ ，U 为全集，∁U A 表示A 相对于全集U 的补集． (4)集合的运算性质①A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ； ②A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅； ③A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ；④A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋b 2 014＝________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( )．考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ＝{x |0<x ≤4}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )．A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}(3)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{1,2,4}，B ＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为( )．A ．{5}B ．{4}C．{1,2} D．{3,5}基础演练1.已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()．A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅2．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(∁U Q)＝()．A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}3．设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M＝()．A．{1,4} B．{1,5}C．{2,3} D．{3,4}4.若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则(∁R A)∩B＝()．A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅5．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 6．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．7．若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，求实数a，b.第2讲函数及其表示必记考点1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作.2．函数的三要素函数由、、三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：．(2)值域：．(3)两个函数就相同: .3．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是()．2．下列各组函数表示相同函数的是()．A．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2B．f(x)＝1，g(x)＝x2C．f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x，x≥0，－x，x<0，g(t)＝|t|D．f(x)＝x＋1，g(x)＝x2－1x－1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y ＝x ＋1x 的定义域为________．(2)函数y ＝x －3x ＋1的值域为________．(3) 设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，实数a ＝________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )．A.15 B ．3 C.23D.139(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )．A ．1B ．0C ．－1D ．π(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )．A.12 B.45 C ．2 D ．9基础演练1．函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )．A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)2.下列各组函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．函数f (x )＝lg 1－x 2的定义域为________．5．(2013·皖南八校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 6.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若 ，则f (x )在区间D 上是增函数；②若 ，则f (x )在区间D 上是减函数．(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ，则区间D 叫做f (x )的单调区间．(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数．如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称．考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )．A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝x ＋1x(2)函数y ＝－x 2＋2x －3(x <0)的单调增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1]C ．(－∞，0)D ．(－∞，－1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝________. (2) 函数y ＝f(x)在R 上为增函数，且f(2m)>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－2x ；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝(x －1)－ 1＋x1－x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.(2) 设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝ ．基础演练1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数2．函数y ＝f (x )在R 上为减函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是 .3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－2x ＋14．已知f (x )＝x 2－2mx ＋6在(－∞，－1]上是减函数，则m 的范围为________．5．已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________． 6.下列函数是偶函数的是( )．A ．y ＝xB ．y ＝2x 2－3C ．y ＝1xD ．y ＝x 2，x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________.9．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________． 10．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0.(1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．第4讲 指数与指数函数必记考点1．指数与指数运算 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫 ，.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．即x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a (当n 为奇数且n ∈N *时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n ＝ .②当n 为奇数时，na n＝ ；当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．负分数指数幂a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．(4)幂指数的运算性质a r ·a s ＝ rs aa= (a r )s ＝ (ab )r ＝2．指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式： (1)[(0.06415)－2.5]23－ 3338－π0；(2) 2132a b ·(－31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x －2＋x ＝0的解的个数是________． (2) 下列各式比较大小正确的是( )． A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，①讨论f (x )的奇偶性；②讨论f (x )的单调性．⎝⎛⎭⎫21412－⎝⎛⎭⎫－350－⎝⎛⎭⎫827－13＝________. 已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )．函数y ＝1－3x 的定义域为________。

答案与解析二 配套精练第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算1. D 解析： M ＝{x |0≤x <16}，N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥13，则M ∩N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13≤x <16. 2. A 解析： 因为U ＝{x ∈N |x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，∁U (A ∩B )＝{0,2,3}，所以A ∩B ＝{1,4}，即1∈A 且4∈A .又A ＝{1，m }，所以m ＝4.3. C 解析： 由题意，非空且互不相等的集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝A ，可得B ⊆A .又因为B ∩C ＝C ，可得C ⊆B ，所以C ⊆A ，所以A ∩C ＝C .4. C 解析： 由题可知A ＝{－1,0,1}，所以A ∩B ＝{0,1}，所以其子集分别是∅，{1}，{0}，{0,1}，共有4个子集．5. C 解析： 因为集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，集合N ＝{y |y ＝4k ＋3，k ∈Z }＝{y |y ＝2(2k ＋1)＋1，k ∈Z }，且x ∈N 时，x ∈M 成立，所以M ∪N ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }．6. ABC 解析： 当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，即m <2，此时∁U B ＝R ，符合题意；当B ≠∅时，m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，得∁U B ＝{x |x <m ＋1或x >2m －1}．因为A ⊆∁U B ，所以m ＋1>7或2m －1<－2，可得m >6或m <－12.因为m ≥2，所以m >6.综上，实数m 的取值范围为{m |m <2或m >6}．7. BD 解析： 因为N ∩(∁R M )＝∅，所以N ⊆M .若N 是M 的真子集，则M ∩(∁R N )≠∅，故A 错误；由N ⊆M ，得M ∪(∁R N )＝R ，故B 正确；由N ⊆M ，得∁R N ⊇∁R M ，故C 错误，D 正确．8. BD 解析： 对于A ，由B －A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，知B －A ＝{3,8}，A 错误；对于B ，由A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A －B ＝∅，知A ⊆B ，B 正确；对于C ，由韦恩图知B －A 如图中阴影部分所示，则B －A ＝B ∩(∁U A )，C 错误；对于D ，∁U B ＝{x |x <－2或x ≥4}，则A －B ＝A ∩(∁U B )＝{x |x <－2或x ≥4}，D 正确．(第8题)9. (－∞，1] 解析： 由x －a ≥0，得x ≥a ，所以B ＝[a ，＋∞)．因为A＝[1,6]，且A ⊆B ，所以a ≤1，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．10. (－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0} 解析： 由题意，原问题转化为方程ax 2－2x ＋a ＝0至多只有一个根．当a ＝0时，方程为－2x ＝0，解得x ＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－2x ＋a ＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≤－1或a ≥1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．11. 15 解析： 因为1∈A ，11＝1∈A ；－1∈A ，1－1＝－1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ，所以所求集合即为由1，－1，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.12. 【解答】 (1) 当a ＝0时，A ＝{x |－1<x <1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，所以(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <4}．(2) 因为A ⊆B ，所以集合A 可以分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．当A ＝∅时，2a －1≥3a ＋1，即a ≤－2；当A ≠∅时，得⎩⎨⎧ 2a －1≥－1，3a ＋1≤4，2a －1<3a ＋1，即0≤a ≤1.综上，a ∈(－∞，－2]∪[0,1]．13. 【解答】 集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x －13≤1＝{x |1＜x ≤4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝1－x 2＋10x －16＝{x |2＜x ＜8}． (1) 因为集合C ＝{x |x ≤a }满足A ∩C ＝A ，所以A ⊆C ，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．(2) 因为A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜8}，所以集合D ＝{x |1＜x ≤2或4＜x ＜8}．14. 【解答】 (1) 因为集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，且A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，所以4－2a ＋a 2－19＝0，即a 2－2a －15＝0，解得a ＝－3或a ＝5.当a ＝－3时，A ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}，A ∩B ＝{2}，符合题意；当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，A ∩B ＝{2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为－3.(2) 因为A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，所以3∈A ，所以9－3a ＋a 2－19＝0，即a 2－3a －10＝0，解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}，满足题意；当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为－2.第2讲 充分条件、必要条件、充要条件1. B 解析： 若x <0，y ＝0满足x <y ，则(x －y )·y 2＝0，即(x －y )·y 2<0不成立；若(x －y )·y 2<0，则有y ≠0，必有y 2>0，从而得x －y <0，即x <y 成立．所以“x <y ”是“(x －y )·y 2<0”成立的必要不充分条件．2. D 解析： 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．3. B4. A 解析： 因为x <z ，y <z ，所以x ＋y <2z ，故充分性成立；当x ＝3，y ＝1，z ＝2.5时，满足x ＋y <2z ，但不满足x <y <z ，故必要性不成立．5. C 解析： x －1x >0⇒x 2－1x >0⇒x (x ＋1)(x －1)>0⇒x >1或－1<x <0.因为{x |－1<x <0}{x |x >1或－1<x <0}，所以不等式x －1x >0成立的一个充分条件是－1<x <0.6. BC 解析： x 2>x 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．对于A ，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A 不符合；对于B ，因为2x 2>2x 等价于x 2>x ，解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B 符合；对于C ，1x <1即为x (x －1)>0，解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C 符合；对于D ，|x (x －1)|＝x (x －1)即为x (x －1)≥0，解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D 不符合．7. AC 解析： 对于p ：|2x －1|<3，解得x ∈A ＝{x |－1<x <2}．对于q ：2x 2－ax －a 2≤0，得(2x ＋a )(x －a )≤0，当a ≥0时，解得x ∈B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－a 2≤x ≤a ；当a <0时，解得x ∈B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≤x ≤－a 2.因为p 是q 的一个必要不充分条件，所以B A .当a ≥0时，⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2>－1，a <2，解得0≤a <2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >－1，－a 2<2，解得－1<a <0.综上，可得－1<a <2.故只要实数a 的取值集合是集合{a |－1<a <2}的真子集即可．8. BCD 解析： 对于A ，方程为x 2＋3＝0，方程没有实数根，所以A 错误；对于B ，如果方程没有实数根，则Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9<0，所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以B 正确；对于C ，因为方程有两个正根，所以⎩⎨⎧ Δ＝m 2－10m ＋9≥0，－(m －3)>0，m >0，所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以C 正确；对于D ，如果方程有一个正根和一个负根，则⎩⎨⎧Δ＝m 2－10m ＋9>0，m <0，所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以D 正确．9. [1，＋∞) 解析： 由不等式|x ＋1|>2，可得x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又由綈q ：x ≤a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知a ≥1，所以实数a 的取值范围为[1，＋∞)．10. m ＝1(答案不唯一) 解析： 当x ∈(2,3)时，易知x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14∈(2,6)．又∃x ∈(2,3)，mx 2－mx －3>0⇔∃x ∈(2,3)，m >3x 2－x ⇔m >⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x min ，x ∈(2,3)⇔m ≥12.显然m ＝1⇒m ≥12，m ≥12D ⇒/m ＝1，故“m ＝1”是命题“∃x ∈(2,3)，mx 2－mx －3>0”成立的充分不必要条件．11. [1,2] 解析： 由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1.因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取得，即⎩⎨⎧a ≤2，a ≥1，解得1≤a ≤2. 12. 【解答】 (1) 当m ＝2时，A ＝{x |1<x <5}，B ＝{x |－2<x <2}，所以A ∪B ＝{x |－2<x <5}，A ∩B ＝{x |1<x <2}．(2) 由“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，得A B .当A ＝∅，即m－1≥m 2＋1时，m 无解，所以A ≠∅，所以⎩⎨⎧m －1≥－2，m 2＋1≤2且等号不能同时取得，解得－1≤m ≤1.当m ＝－1时，A ＝B ＝(－2,2)，不成立．故实数m 的取值范围为{m |－1<m ≤1}．13. 【解答】 (1) 不存在，理由如下：由|4x －3|≤1，得－1≤4x －3≤1，故12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1.假设存在a ，使得p 是q 的充要条件，则不等式x 2－4ax ＋3a －1≤0的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1，所以x 1＝12，x 2＝1是方程x 2－4ax ＋3a －1＝0的两个根，故⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋1＝4a ，12×1＝3a －1，此方程组无解，故假设不成立，所以不存在实数a ，使得p 是q 的充要条件．(2) 若p 是q 的充分不必要条件，则集合{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1为不等式x 2－4ax ＋3a －1≤0的解集的真子集．令f (x )＝x 2－4ax ＋3a －1，则由二次函数的图象性质可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4a ×12＋3a －1≤0，1－4a ＋3a －1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤34，a ≥0，故0≤a ≤34.当a ＝0时，x 2－4ax ＋3a －1≤0⇒x 2－1≤0，解得－1≤x ≤1，满足题意；当a ＝34时，x 2－4ax ＋3a －1≤0⇒x 2－3x ＋54≤0，解得12≤x ≤52，满足题意．所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 14. 【解答】 必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根，当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，符合题意；当a <0时，Δ＝4－4a >0，设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根；当a >0时，由Δ＝4－4a ≥0，可得0<a ≤1，设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝1a >0，x 1＋x 2＝－2a <0，则x 1，x 2均为负数．由题意可知Δ＝0，可得a ＝1，符合题意．所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根”⇒“a ≤0或a ＝1”．充分性：当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，原方程只有一个负数根；当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，原方程只有一个负数根；当a <0时，对于原方程，Δ＝4－4a >0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有两根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根．所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根”⇐“a ≤0或a ＝1”．综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.第3讲 全称量词和存在量词1. C 解析： 因为集合M ，N 满足M ∩N ≠∅，所以根据交集的定义可得∃x ∈M ，x ∈N .2. A 解析： 命题“∀x ∈R,2x >0”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x ∈R,2x ≤0”．3. A 解析： 由题意，①若甲说的是真话，则甲不会证明，乙会证明，丙不会证明，丁不会证明，此时丁说的也是真话，与题意矛盾；②若乙说的是真话，则丙会证明，甲和丁均会证明，与题意矛盾；③若丙说的是真话，则丁会证明，甲和丁均会证明，与题意矛盾；④若丁说的是真话，则丁不会证明，甲会证明，丙不会证明，满足题意．4. A 解析： 若p 为真，则Δ1＝4－4a ≤0，解得a ≥1.若q 为真，则Δ2＝4a 2－4(2－a )<0，解得－2<a <1.若p 真q 假，则a ≥1；若p 假q 真，则－2<a <1.综上所述，若p ，q 一真一假，则实数a 的取值范围为(－2，＋∞)．5. A 解析： 若不等式(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，则有①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式显然成立；②当m ＋1>0时，Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)<0，解得－1<m <3；③当m ＋1<0时，不等式(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 显然不恒成立，舍去．综上①②③可知，不等式(m ＋1)x 2＋(m＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，则－1≤m <3，所以当“∀x ∈R ，(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0”是假命题时，m ∈(－∞，－1)∪[3，＋∞)．6. AB 解析： 由条件可知∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0是真命题，即λ≤2x 2＋1x ＝2x ＋1x ，即λ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.设f (x )＝2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，等号成立的条件是2x ＝1x ⇒x ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (x )的最小值是22，即λ≤22，满足条件的是AB.7. BC 解析： 当x ＝0时，1x 2＋1＝1，A 错误．当x ＝－1时，1x <x ＋1，B 正确．命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是命题“∀n ∈N ，n 2≤2n ”，C 正确．命题“∀n >4,2n >n 2”的否定是命题“∃n >4,2n ≤n 2”，D 错误．8. AD 解析： 函数f (x )＝x ＋4x 在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，f (x )min＝f (2)＝4，f (x )max ＝f (6)＝203.对任意a ，b ，c ∈[1,6]，不妨令f (a )≥f (b )≥f (c )，则f (b )＋f (c )≥2f (c )≥2f (x )min >f (x )max ≥f (a )，即f (a )，f (b )，f (c )均能作为一个三角形的三条边长，A 正确，B 错误；取a ＝b ＝2，c ＝22＋2，满足a ，b ，c ∈[1,6]，则f (a )＝f (b )＝4，f (c )＝42，显然有[f (a )]2＋[f (b )]2＝[f (c )]2，即以f (a )，f (b )，f (c )为边的三角形是直角三角形，C 错误，D 正确．9. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析： 因为∀x ∈[1,2]，x 2－ax ＋1≤0为真命题，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，x ∈[1,2]．因为y ＝x ＋1x 在区间[1,2]上单调递增，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝2＋12＝52，即a ≥52，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 10. (－∞，2] 解析： 设x 1，x 2是方程的两个负实数根，则⎩⎨⎧ Δ＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1x 2＝1＞0，即⎩⎨⎧m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，所以当綈p 是真命题时，m 的取值范围是(－∞，2]．11. ∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0 (－3，＋∞)解析： 綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.若綈p 是真命题，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则 ⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎨⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3，故满足题意的实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．12. 【解答】 (1) 因为命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2≥0为真命题，所以Δ＝a 2－4×1×2≤0，解得－22≤a ≤22，所以实数a 的取值范围为[－22，22]．(2) 因为命题q ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－12，x 2－ax ＋1＝0为真命题，所以a ＝x 2＋1x ＝x ＋1x ，又y ＝x ＋1x 在[－3，－1]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上单调递减，所以当x ＝－1时，a 取最大值－2.当x ＝－3时，a ＝－103；当x ＝－12时，a ＝－52.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－103，－2. 13. 【解答】 若命题p 为真命题，则Δ＝(m －2)2－4≥0，解得m ≤0或m ≥4.若命题q 为真命题，由a ，b ∈(0，＋∞)，知b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，则a (b －1)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a －1－1＝a ·a ＋1a －1＝(a －1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2a －1＝a －1＋2a －1＋3≥3＋22，m ＋22≤22＋3⇒m ≤3.当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎨⎧ m ≤0或m ≥4，m >3，解得m ≥4；当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎨⎧0<m <4，m ≤3，解得0<m ≤3.综上所述，实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3或m ≥4}．14. 【解答】 (1) 由题设知f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函数y ＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，则y max ＝－3，所以a ≥－3，所以a 的最小值为－3.(2) 由题可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f ′(x )max ≤g (x )max .因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a .而g ′(x )＝1－xe x ，由g ′(x )＞0，得x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，g (x )max ＝g (1)＝1e .由8＋a ≤1e ，得a ≤1e －8，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e －8. 第4讲 不等式的性质、基本不等式1. D 解析： 对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a <1b ，A 错误；对于B ，取a＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a <b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a )⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12a 2＋34a 2>0，所以a 3<b 3，D 正确．2. D 解析： 对于A ，当c ＝0时，显然不成立，故A 为假命题；对于B ，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但a 2<ab <b 2不满足，故B 为假命题；对于C ，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b＝12，不满足，故C 为假命题；对于D ，因为a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c，故D 为真命题． 3. B 解析： 由题知4b ＋1a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1a (a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4a b ＋b a ＋5≥12(4＋5)＝92，当且仅当4a b ＝b a 时等号成立．4. C 解析： 7＝(a ＋2b )2－ab ＝(a ＋2b )2－12a ·2b ≥(a ＋2b )2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝7(a ＋2b )28，则(a ＋2b )2≤8，当且仅当a ＝2b ＝2时等号成立，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以0<a ＋2b ≤22，当且仅当a ＝2b ＝2时等号成立，所以a ＋2b 的最大值为2 2.5. BCD 解析： 对于A ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故A 错误；对于B ，若ac 2>bc 2，则a >b ，故B 正确；对于C ，若a <b <0，则|a |>|b |，故C 正确；对于D ，若c >a >b >0，则0<c －a <c －b ，从而1c －a >1c －b，故D 正确． 6. AB 解析： 对于A ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故A 正确．对于B ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋a ＋b ＝2，故a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故B 正确．对于C ，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以1a ＋1b 有最小值4，故C 错误．对于D ，(a ＋b )2＝1⇒a 2＋2ab ＋b 2＝1≤a 2＋(a 2＋b 2)＋b 2，即a 2＋b 2≥12，故a 2＋b 2有最小值12，故D 错误．7. －1，－2，－3(答案不唯一) 解析： －1>－2>－3，(－1)＋(－2)＝－3>－3，矛盾，所以－1，－2，－3可验证该命题是假命题．8. 9 解析： 因为0<x <1，所以0<1－x <1，则1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [(1－x )＋x ]＝1＋4＋1－x x ＋4x 1－x ≥5＋21－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x，即x ＝13时，等号成立，故1x ＋41－x的最小值为9. 9. 6 解析： 设矩形空地的长为x m ，则宽为32x m ．由题意，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －0.5×2＝34－x －64x ≤34－2x ·64x ＝18，当且仅当x＝64x ，即x ＝8时，等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183＝6(m 2)．10. 【解答】 (1) 由不等式4a 2＋b 2≥4ab ，解得ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，所以ab 的最大值为12，此时a ＝12，b ＝1.(2) 由4a 2＋b 2＝2，得4a 2＋(1＋b 2)＝3.由4a 2＋(1＋b 2)≥24a 2·(1＋b 2)＝4a 1＋b 2，解得a 1＋b 2≤34，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝64，b ＝22时取等号，所以a 1＋b 2的最大值为34，此时a ＝64，b ＝22.11. 【解答】 (1) 因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，所以1a －1＋1b －2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2(a －1)(b －2)＝14[(b －2)＋(a －1)]≥14×2(b －2)(a －1)＝1，当且仅当⎩⎨⎧b －2＝a －1，(a －1)(b －2)＝4时，等号成立，解得a ＝3，b ＝4，所以1a －1＋1b －2的最小值为1，此时a ＝3，b ＝4.(2) 由2a ＋b ＝6，得2(a －1)＋(b －2)＝2，所以(a －1)＋b －22＝1，所以1a －1＋1b －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)＋b －22＝32＋a －1b －2＋b －22(a －1)≥3＋222，当且仅当⎩⎨⎧b －2＝2(a －1)，2(a －1)＋(b －2)＝2时，等号成立，解得a ＝3－2，b ＝22，所以1a －1＋1b －2的最小值为3＋222，此时a ＝3－2，b ＝2 2.(3) 因为b >2，由1a ＋1b ＝1，可得a ＝b b －1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋1b －2＝b －2＋1b －2＋1≥3，当且仅当a ＝32，b ＝3时，等号成立，所以1a －1＋1b －2的最小值为3，此时a ＝32，b ＝3.12. D 解析： 因为A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}，A ∪B ＝{0,1,2,3}，所以当x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B 时，z ＝0,1,2,3,4,6，所以A *B ＝{0,1,2,3,4,6}，所以∁(A *B )A ＝{0,4,6}．13. BC 解析： A 错误，当a <0时，显然有P <0.B 正确，当a >1时，P ＝a ＋2a ≥2a ·2a ＝22，故充分性成立，而P ≥22只需a >0即可．C 正确，P ＝a＋2a >3可得0<a <1或a >2，当a >2时，P >3成立．D 错误，当a >3时，a ＋2a >3＋23>3.14. 【解答】 (1) 当m ＝1时，B ＝{x |2<x <3}．因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，所以∁R A ＝{x |x <－1或x >2}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x <3}，(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3}．(2) 因为∅是A ∩B 的真子集，所以A ∩B ≠∅.因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |2m <x <3}，所以⎩⎨⎧2m <3，2m <2，解得m <1，即实数m 的取值范围为(－∞，1)．(3) 因为B ∩(∁R A )中只有一个整数，∁R A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |2m <x <3}，所以B ≠∅，且－3≤2m <－2，解得－32≤m <－1，所以实数m 的取值范围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤m <－1. 第5讲 一元二次不等式1. A 解析： 因为不等式x 2＋kx ＋1<0的解集为空集，所以Δ＝k 2－4≤0，解得－2≤k ≤2.2. D 解析： 当a ＝1时，不等式为－4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足⎩⎨⎧a －1<0，Δ<0，解得－3<a <1.综上，实数a 的取值范围是(－3,1]．3. C 解析： 由x ＋a x －b ＝(1－b )x ＋ax ≥0，可知⎩⎨⎧x [(b －1)x －a ]≤0，x ≠0的解集为[－1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1>0，ab －1＝－1，则b >1且a ＋b ＝1.4. C 解析： 因为关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |1<x <3}，所以1,3为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－ba ，1×3＝c a ，所以⎩⎨⎧c ＝3a ，b ＝－4a ，且a <0，则ax ＋b cx ＋a >0等价于x －43x ＋1>0，即(3x ＋1)(x －4)>0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(4，＋∞)．5. ACD 解析： 对于A ，ax 2>0(a >0)的解集为{x |x ≠0}，A 错误；对于B ，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以x 2＋x ＋1<0的解集为∅，B 正确；对于C ，若a <0，Δ＝0，则ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－b 2a ，C 错误；对于D ，x 2＋3x －4>0的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)，不等式组⎩⎨⎧x －1>0，x ＋4>0的解集为(1，＋∞)，D错误．6. BD 解析： 设x 小时后蓄水池中的水量为y t ，则y ＝400＋60x －1206x .设6x ＝u ，则u 2＝6x (u ∈[0,12])，所以y ＝400＋10u 2－120u ＝10(u －6)2＋40.因为u ∈[0,12]，故当u ＝6，即x ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6个小时时，蓄水池中的存水量最少，为40t ，所以A 错误，B 正确．令400＋10u 2－120u >80，即u 2－12u ＋32>0，解得u <4或u >8，所以0≤x <83或323<x ≤24，所以C 错误．由400＋10u 2－120u <80，得83<x <323，又323－83＝8，所以每天约有8小时蓄水池中水量少于80t ，所以D 正确．7. [1，＋∞) 解析： x －1x >0⇒x (x －1)>0⇒x >1或x <0，则当x >a 时，x －1x >0成立，所以a ≥1.8. (－1,2) 解析： 由表中二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值，得⎩⎨⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝2，a －b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以y ＝－x 2＋x ＋2.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0化为－x 2＋x ＋2＞0，即x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2，所以该不等式的解集为(－1,2)．9. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析： 由题意可知，不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，又由(x －a )(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.10. 【解答】 (1) 因为不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}，所以a <0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，所以⎩⎨⎧a ＋b －1＝0，4a ＋2b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32.(2) 由(1)知不等式ax ＋1bx －1≥0即为－12x ＋132x －1≥0⇔x －23x －2≤0⇔⎩⎨⎧3x －2≠0，(x －2)(3x －2)≤0，解得23<x ≤2，所以不等式的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23<x ≤2.11. 【解答】 (1) 由已知易得y ≥4＋2a 即为x 2－(a －2)x －2a ≥0.令x 2－(a －2)x －2a ＝0，可得x ＝－2或x ＝a ，所以，当a <－2时，原不等式的解集为{x |x ≤a 或x ≥－2}；当a ＝－2时，原不等式的解集为R ；当a >－2时，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥a }．(2) 由y －2a ＋14≥0，可得a (x ＋2)≤x 2＋2x ＋18.由1≤x ≤6，得x ＋2>0，所以a ≤x 2＋2x ＋18x ＋2.因为x 2＋2x ＋18x ＋2＝x ＋18x ＋2＝(x ＋2)＋18x ＋2－2≥218－2＝62－2，当且仅当x ＋2＝18x ＋2，即x ＝32－2时等号成立，所以a ≤62－2，所以a 的取值范围是{a |a ≤62－2}．12. C 解析： 因为B ＝{x ∈N *|x 2－x －2≤0}＝{x ∈N *|(x －2)(x ＋1)≤0}＝{1,2}，A ＝{－2，－1}，所以A ∪B ＝{－2，－1,1,2}．13. C 解析： 命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cos x 0>1”，A 正确．在△ABC 中，因为sin A ≥sin B ，所以由正弦定理可得a 2R ≥b2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，所以a ≥b ，则由大边对大角可得A ≥B ；反之，由A ≥B 可得a ≥b ，所以由正弦定理可得sin A ≥sin B .即为充要条件，B 正确．当a ＝b ＝0，c ≥0时，满足ax 2＋bx ＋c ≥0，但是得不到“a >0，且b 2－4ac ≤0”，即不是充要条件，C 错误．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题，D 正确．14. 【解答】 (1) 当a ＝1时，B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －51－x >0，因为x －51－x >0⇔(x －1)(x －5)<0⇒1<x <5，所以B ＝{x |1<x <5}．(2) 因为|x －1|<3⇒－3<x －1<3⇒－2<x <4，所以A ＝{x |－2<x <4}．因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，3a ＋2＝1，解得a ＝－13，满足题意；②当B ≠∅时，若3a ＋2>1，即a >－13，则B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －3a －21－x >0＝{x |1<x <3a ＋2}，故3a ＋2≤4，所以－13<a ≤23.若3a ＋2<1，即a <－13，则B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －3a －21－x >0＝{x |3a ＋2<x <1}，43≤a<－13.综上所述，a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23.故3a＋2≥－2，所以－。

第1讲 集合及其运算A 应知应会一、 选择题 1. (2019·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6>0}，B ＝{x |x －1<0}，则A ∩B 等于( ) A. (－∞，1) B. (－2，1) C. (－3，－1) D. (3，＋∞) 2. (2019·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B 等于( ) A. {－1，0，1} B. {0，1} C. {－1，1} D. {0，1，2} 3. (2019·宁德质检)已知集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |x 2－2x －3<0}，则A ∪B 等于( ) A. {x |1≤x <3} B. {x |x >－1} C. {x |1<x <3} D. {x |x ≥1}4. (多选)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值可以为( )A. 15B. 0C. 3D. 135. (多选)给出下列关系，其中正确的选项是( ) A. ∈{{}} B. ⊆{{}} C. ∈{} D. ⊆{}二、 解答题6. 已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a ，2，b 2}，且M ＝N ，求实数a ，b 的值．7. 若A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}． (1) 若A ＝B ，求a 的值；(2) 若B ∩A ≠，C ∩A ＝，求a 的值．∅∅∅∅∅∅∅∅∅∅B 巩固提升一、 填空题 1. (2018·南通模拟)已知集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1，0，1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________． 2. (2018·青岛模拟)设集合A ＝{x |(x ＋3)(x －6)≥0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x ≤14 ，则(∁R A )∩B ＝________． 3. (2019·张家口期末)已知全集U ＝Z ，A ＝{x |x ＝3n －1，n ∈Z}，B ＝{x ||x |>3，x ∈Z}，则A ∩(∁U B )中元素的个数为________．4. (2019·深圳调研)已知集合M ＝{x |x >0}，N ＝{x |x 2－4≥0}，则M ∪N ＝________． 二、 解答题5. 设集合U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|，2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值．6. 已知全集S ＝{1，3，x 3＋3x 2＋2x }，A ＝{1，|2x －1|}，如果∁S A ＝{0}，则这样的实数x 是否存在？若存在，请说明理由．第2讲 充分条件与必要条件A 应知应会一、 选择题1. 设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. (2019·淄博诊断)若a ，b ∈R ，则“|a |＋|b |>1”是“|a ＋b |>1”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知直线b 和平面α，则“b α”是b 与α平行的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. (2019·江西九校联考)已知命题p ：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －21－x ≤0 ，命题q ：B ＝{x |x －a <0}，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. (2，＋∞)B. [2，＋∞)C. (－∞，1)D. (－∞，1]5. “a ＝b ＝1”是“直线ax －y ＋1＝0与直线x －by －1＝0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. (2019·烟台一模)已知a ，b ∈R ，则“ab >0”是“b a ＋ab >2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. (2019·济宁一模)将函数f (x )＝sin (2x ＋φ)的图象向左平移π6 个单位长度后，得到函数g (x )的图象，则“φ＝π6”是“g (x )为偶函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. (2019·枣庄一模)设a ，b 都是不等于1的正数，则“0<b <a <1”是“log a 3<log b 3”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件二、 解答题9. 已知p ：(x －m )2>3(x －m )，q ：x 2＋3x －4<0.若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．⊂B巩固提升一、填空题1. (2019·合肥质检)若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．2. “|x|<3”是“x2－x－6<0”的________条件．3. 设a∈R ，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y＝0与直线l2 ：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．4. (2019·郴州三模)已知p：x2－3x－4≤0；q：x2－6x＋9－m2≤0，若非q是非p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．二、解答题5. (2020·江苏八校联考)已知集合A＝{x|y＝log2(－4x2＋15x－9)，x∈R}，B＝{x||x－m|≥1，x∈R}．(1) 求集合A；(2) 若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．6. 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n＋t(n∈N*).求证：数列{a n}是等比数列的充要条件是t＝－1.第3讲全称量词和存在量词A应知应会一、选择题1. (多选)下列命题中是全称命题并且是假命题的是()A. π是无理数B. 若2x为偶数，则任意x∈NC. 对任意x∈R，x2＋2x＋1>0D. 所有菱形的四条边都相等2. (2019·南昌调研)下列命题中的假命题是( ) A. 存在x 0∈R ，lg x 0＝1 B. 存在x 0∈R ，sin x 0＝0 C. 任意x ∈R ，x 3＞0 D. 任意x ∈R ，2x ＞03. 命题“任意n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A. 任意n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B. 任意n ∈N *，f (n )N *或f (n )＞n C. 存在n 0∈N *，f (n 0)N *且f (n 0)＞n 0 D. 存在n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)＞n 04. (2019·中原名校联盟)已知命题“x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14 ≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )A. (－∞，0)B. [0，4]C. [4，＋∞)D. (0，4)5. 若命题p ：x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4 ，sin 2x 0＋cos 2x 0<a 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A. (－∞，1]B. (－∞，2 ]C. [1，＋∞)D. [2 ，＋∞) 二、 解答题6. 判断下列命题的真假．(1) 已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c 或b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ； (2) ∀x ∈N ，x 3>x 2；(3) 若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4) 存在一个三角形没有外接圆．7. 已知命题“∀x ∈R ，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，求实数a 的取值范围．∉∉∉∃∃B 巩固提升一、 填空题1. 若命题p ：x ∈⎣⎡⎦⎤12，2 ，使得2x 2－λx ＋1<0成立，则非p 为_______________． 2. 若命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为________________． 3. 若命题“t ∈R, t 2－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1 ，存在x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的取值范围是________． 二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1).若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1，g (x )＝ax，其中a >0，x ≠0.(1) 对任意x ∈[1，2]，都有f (x )>g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(2) 对任意x 1∈[1，2]，x 2∈[2，4]，都有f (x 1)>g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．∃∃第4讲 不等式的性质、一元二次不等式一、 选择题1. (2019·南昌模拟)下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <cb (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >a b(a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( )A. 3B. 2C. 1D. 02. (多选)已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题中正确的是( )A. 若ab >0，bc －ad >0，则c a －db >0B. 若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0C. 若bc －ad >0，c a －db>0，则ab >0D. 若a >b >0，c >d >0，则ac >bd3. (多选)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)，下列判断正确的是( ) A. 若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，则k ＝－25B. 若不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠1k ，则k ＝66C. 若不等式的解集为R ，则k <－66 D. 若不等式的解集为，则k ≥664. (2019·黄冈联考)若关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)<0的解集是( )A. (－∞，1)∪(2，＋∞)B. (－1，2)C. (1，2)D. (－∞，－1)∪(2，＋∞)5. (2019·合肥模拟)若不等式2kx 2＋kx －38 <0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A. (－3，0)B. [－3，0)C. [－3，0]D. (－3，0] 二、 解答题6. 已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集．7. 若对于满足0≤p ≤3的任意实数p ，不等式x 2＋2px >4x ＋p －3恒成立，求x 的取值范围．∅B 巩固提升一、 填空题1. 不等式4x －2x ＋2>0的解集为________．2. 若关于x 的不等式kx 2－6kx ＋k ＋8<0的解集为空集，则实数k 的取值范围为________．3. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集为________．4. 已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R}，∃a ∈R ，使得集合A 中所有整数的元素和为28，则a 的取值范围是________．二、 解答题5. 若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <2 .(1) 求实数a 的值；(2) 求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集．6. 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．第5讲 基本不等式一、 选择题1. (多选)有下面四个不等式，其中恒成立的有( ) A.a ＋b2≥ab B. a (1－a )≤14C. a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋caD. b a ＋ab≥2 2. (多选)下列四个函数中，最小值为2的是( ) A. y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤π2 B. y ＝ln x ＋1ln x (x >0，x ≠1)C. y ＝x 2＋6x 2＋5D. y ＝4x ＋4－x3. 已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A. 9B. 12C. 18D. 244. (2019·豫南九校一联)若a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A. 2B. 12C. 4D. 145. (2019·济宁期末)已知圆C 1：x 2＋y 2－kx ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋ky －4＝0的公共弦所在直线恒过定点(a ，b )，且点P 在直线mx －ny －2＝0上，则mn 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，14B. ⎝⎛⎦⎤0，14C. ⎝⎛⎭⎫－∞，14D. ⎝⎛⎦⎤－∞，14 二、 解答题6. (2019·黄山质检)已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1 (x >0)，求f (x )的最小值．7. 已知lg 3x ＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1). (1) 求xy 的最小值； (2) 求x ＋y 的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. (2017·山东卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________．2. (2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．3. 若a ＞0，b ＞0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为________．4. 已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 2 ＋b 的最小值为________，a 24 －2a ＋b 2－1b的最小值为________．二、 解答题5. (1) 设x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值． (2) 若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝10，求lg a ·lg b 的最大值．6. 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30 m ，其中大圆弧所在圆的半径为10 m ．设小圆弧所在圆的半径为x m ，圆心角为θ(弧度).(1) 求y 关于x 的函数关系式；(2) 已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值．(第6题)微难点1 “三个二次”关系一、 选择题1. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( )A. (－∞，1)B. (1，＋∞)C. (－∞，1]D. [1，＋∞)2. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( )A. 在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增B. 在(－∞，3)上单调递增C. 在[1，3]上单调递增D. 单调性不能确定二、 填空题3. (2019·南昌质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围是________．4. 已知函数f (x )＝x 2＋abx ＋a ＋2b .若f (0)＝4，则f (1)的最大值为________．5. 已知二次函数f (x )＝ax 2－x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则c ＋2a ＋a ＋2c的最小值为________．6. 已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ，b ]，其中a <b ，值域为[3a ，3b ]，则满足条件的数组(a ，b )为________．三、 解答题7. 对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于零，求x 的取值范围．8. 已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的零点为－13 ，12. (1) 试求a ＋c 的值；(2) 解不等式－cx 2＋2x －a >0.9. 设a ∈R ，关于x 的一元二次方程7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0有两实数根x 1，x 2，且0<x 1<1<x 2<2，求a 的取值范围．10. 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R ．(1) 若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2) 在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．。