2022届高考数学一轮复习讲义：第一章 1.1集合及其运算学生版

集合与常用逻辑用语一、集合1、集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A 、B 、C 、…来表示。

2、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a 、b 、c 、…来表示。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点(元素)，用大写字母表示点(元素)的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合，应注意区别。

3、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。

4、元素与集合的关系：之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；(2)不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉。

5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例：集合},1{a A =，则a 不能等于1。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例：}2,1,0{有}1,2,0{、}2,0,1{、}0,2,1{、}1,0,2{、}0,1,2{等六种表示方法。

6、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合。

(2)无限集：含有无限个元素的集合。

(3)空集：不含任何元素的集合。

7、常见的特殊集合：(1)正整数集*N 或+N ；(2)非负整数集N (即自然数集，包括零)；(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)；(4)有理数集Q (包括整数集Z 和分数集→正负有限小数或无限循环小数)；(5)实数集R (包括所有的有理数和无理数)；注意：①}{整数=Z (√)；}{全体整数=Z (×)；②},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈=⋅表示坐标轴上的点集；③},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈>⋅表示第一、三象限的点集；④},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈<⋅表示第二、四象限的点集；⑤对方程组解的集合应是点集，例：⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合)}1,2{(；例1-1．判断下列说法是否正确，并说明理由。

第01节 集合的概念及其基本运算【考纲解读】 命题角度考 纲 内 容5 年 统 计命 题 分 析 预 测1．集合的表示、集合间的基本关系1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．2018课标II ，2 2017课标III ，1 1.分析预测 从近五年的全国卷的考查情况来看,本讲是全国卷的必考内容,题目稳定,难度较低,主要考查集合的含义和基本运算,一般在试卷第1题或第2题的位置,分值5分.预计2019年高考命题方式和考查内容不会有太大变化. 2.学科素养 本讲主要以函数、方程、不等式等为载体,以集合的语言和符号为表现形式,考查考生的分类讨论思想和数学运算能力.2．集合的基本运算 1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．2018课标I ，2；III ，12017课标I ，1；II ，22016课标I ，III ，1；II ，22015课标Ⅱ，1 2014课标I ，II ，1【知识清单】 1．元素与集合（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）常见数集及其符号表示数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集符号N N *或N ＋Z Q R对点练习：【2018高考北京文8】设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则 （ ）A ．对任意实数(),2,1a A ∈B ．对任意实数(),2,1a A ∉C ．当且仅当0a <时，()2,1A ∉D ．当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 【答案】D【名师点睛】本题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断． 设{}{}(),()A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式． 2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为A B ⊆或B A ⊇． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n个，真子集个数为21n-． 对点练习：【2018山东二模】若集合， 则下列结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 3．集合的运算（1）三种基本运算的概念及表示 运自然语言符号语言Venn 图算 交集 由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }补集由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }（2）三种运算的常见性质A A A =， A ∅=∅ ， AB BA = ， A A A =， A A ∅=， AB B A =．(C A)A U U C =，U C U =∅，U C U ∅=．A B A A B =⇔⊆， A B A B A =⇔⊆， ()U U U C A B C A C B =，()U U U C A B C A C B =．对点练习：【2018高考全国I 文1】已知集合{}0,2A =，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}1,2 C ．{}0D ．{}2,1,0,1,2--【考点】考查集合的基本运算． 【答案】A【解析】试题分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合A B 中的元素，最后求得结果．试题解析：根据集合交集中元素的特征，可以求得{}0,2AB =，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果． 【拓展、技巧与警示】集合运算是高考常考的，甚至必考的考点，属于基础题，也可以把其它知识渗透到集合中来，例如方程、不等式、向量、三角函数等，解决这类题目主要是直接法，或特值法． 集合问题主要要考虑元素的属性、运算等． 【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【重点难点突破】 考点1 集合的概念【1-1】【2018山西一模】已知单元素集合(){}2|210A x x a x =-++=，则a =（ ） A ．0 B ．-4 C ．-4或1 D ．-4或0 【答案】D【解析】由于只有一个元素，故判别式为零，即()222440,0,4a a a a a +-=+===-，故选D ．【1-2】【2018豫南九校期末考】已知集合{}1,2A =，则集合(){,|,}B x y x A y A =∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D【解析】集合B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4个．故选D ． 【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集． （2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【触类旁通】【变式一】【上海黄浦二模】已知集合，若，则非零实数的数值是_________． 【答案】 【解析】由题，若则 此时B 集合不符合元素互异性，故 若则符合题意；若则不符合题意．故答案为2．【变式二】【2018江西二模】设集合，，，则中的元素个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可．详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：2 3 41 2 3 42 4 6 83 6 9 12观察可得：，据此可知中的元素个数为．本题选择C选项．【名师点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．考点2 集合间的基本关系【2-1】【2018福建莆田模拟】已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，再由，可求出实数的取值范围．详解：集合，或，，，实数的取值范围是，故选D．【名师点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇．【2-2】【2018安徽江南十校二模】设集合，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【名师点睛】集合问题中首要任务是确定集合的元素，对描述法表示的集合，其代表元的形式是什么很重要，这个代表元是实数，还是有序实数对（点）？是实数时，表示函数的定义域还是函数的值域？只有确定了代表元的意义，才能确定正确的求解方法，确定出集合．本题还考查的集合间的关系，掌握补集运算与包含关系是解题关键．【2-3】【2018豫南九校模拟】已知集合{|12}A x k x k =+≤≤， {|14}B x x =≤≤，则能使A B A =成立的实数k 的取值范围是__________．【答案】(],2-∞【解析】集合A={x|k+1≤x≤2k}，B={x|1≤x≤3}，∵A∩B=A，∴A ⊆B ．当A= φ时，满足题意，此时k+1＞2k ，解得k ＜1．当A≠φ时，要使A ⊆B 成立，则11{ 24k k +≥≤，解得： 02k ≤≤ ，综上可得：实数k 的取值范围(],2-∞． 【领悟技法】1．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析． 【触类旁通】【变式1】设集合10{|}P m m <<＝－，24{4|0Q m mx mx <＝＋－对任意实数x 恒成立，且}m R ∈，则下列关系中成立的是( )A ．P Q ⊂≠B ．Q P ⊂≠C ．P Q ＝D ．PQ ∅＝【答案】A【解析】10{|}P m m <<＝－，20,:16160,m Q m m <⎧⎨∆=+<⎩或0m ＝． ∴10m <≤－．∴10{|}Q m m <≤＝－．∴P Q ⊂≠．【变式2】已知集合,44k M x x k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,84k N x x k Z ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则( ) A ．M N =∅ B ．M N ⊆ C ．N M ⊆ D ．MN N =【答案】B【解析】(22)2,,8484k n M x x k Z x x k Z ππππ⎧+⎫⎧⎫==-∈==-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，284k N x x ππ⎧==-⎨⎩或(21),84k k Z ππ-⎫-∈⎬⎭，所以M N ⊆． 考点3 集合的基本运算本考点是高考的热点，主要有以下两个命题角度： 命题角度一 集合的交、并、补运算 【3-1】【2018河南郑州模拟】设集合，，则的真子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，利用对数不等式的解法化简集合，根据交集的定义可得结果． 详解：，，，其真子集个数为，故选C ．【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合．命题角度二 利用集合的运算求参数值或取值范围【3-2】【2017课标II 】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，{}1,3B =，故选C ．【3-3】已知集合27{|}A x x =-≤≤， 121{|}B x m x m =+<<- ，且B ≠∅，若A B A =，则实数m 的取值范围是( )A ．34m -≤≤B ．34m -<<C ．24m <<D ．24m <≤ 【答案】D【解析】由于A B A =，所以B A ⊆，又因为B ≠∅，所以有12,217,121,m m m m +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+<-⎩解得24m <≤，故选D ． 【领悟技法】1．集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用．2．涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究 其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． 【触类旁通】【变式一】【2018河南洛阳三模】设集合，，则的子集个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．32 【答案】C【解析】分析：求出集合A ，B ，得到，可求的子集个数．详解：，的子集个数为故选C ．【名师点睛】本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题． 【变式2】【2018福建三明一中二模】设全集，集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【名师点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性．研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合．【易混易错】易错典例1：设集合{|}1||A x x a x R <∈＝－，，1{}5|B x x x R <<∈＝，，若A B ⊂≠，则a 的取值范围为________． 易错分析：忽视端点．正确解析：由||1x a <－得11x a <<－－，∴11a x a <<－＋，由A B ⊂≠得1115a a ->⎧⎨+<⎩，∴24a <<．又当2a ＝时，{}13|x x <<＝满足A B ⊂≠，4a ＝时，{}35|A x x <<＝也满足A B ⊂≠，∴24a ≤≤．温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．易错典例2：设集合{}{}2|,|2A x x a B x x =<=<，若A B A =，则实数a 的取值范围是_______．易错分析：遗忘空集． 正确解析：由AB A =⇔A B ⊆，所以当A =∅时，满足A B ⊆，此时不等式2x a <无解，所以0a ≤，当A ≠∅即0a >时，{}|,0A x a x a a =-<<>，由A B ⊆可知204a a ≤⇒<≤，综上可知实数a 的取值范围是4a ≤．温馨提示：在A B AB B A B A A B ⊆===∅,,,中容易忽视集合A ≠∅这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．【学科素养提升之思想方法篇】 化抽象为具体——数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面： （1）利用Venn 图，直观地判断集合的包含或相等关系． （2）利用Venn 图，求解有限集合的交、并、补运算．（3）借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．【典例】已知集合{}23A x x =∈+<R ，集合()(){}20B x x m x =∈--<R ，且()1,A B n =-，则m =________，n =________．【答案】 1- 1【解析】 由题意，知{}51A x x =-<<．()1,A B n =-，()(){}20B x x m x =∈--<R ，结合数轴（如图），得1,1m n =-=．。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念及其运算授课提示：对应学生用书第1页[基础梳理]1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈，不属于，记为∉．(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋或N*Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素相同A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B或B A空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3.集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．两个防范(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性．[四基自测]1．(基础点：元素与集合的关系)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下面结论中正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案：D2．(基础点：补集运算)已知集合A＝{x|x2－16＜0}，则∁R A＝( )A．{x|x≥±4} B．{x|－4＜x＜4}C．{x|－4≤x≤4} D．{x|x≥4}∪{x|x≤－4}答案：D3．(易错点：定义不透)已知集合A＝{0，1，2}，集合B满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B有________个．答案：84．(易错点：交集运算)已知集合M＝{x∈N|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N ＝________．答案：{0，1}授课提示：对应学生用书第2页考点一集合的概念挖掘1 求集合元素的个数/ 自主练透[例1] (1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8C．5 D．4[解析] 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，共有9个．故选A.[答案] A(2)设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] a ∈{1，2，3}，b ∈{4，5}，则M ＝{5，6，7，8}，即M 中元素的个数为4，故选B. [答案] B[破题技法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)注意元素的三个特性，特别是互异性． 挖掘2 利用元素特性求参数/ 互动探究[例2] 设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A ，3∉A ，则实数a 的取值范围为________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2<1，（3－a ）2≥1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ≤2或a ≥4. 结合数轴得1<a ≤2. [答案] (1，2][破题技法] 1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．1．将例1(1)改为已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 答案：B2．将例2改为集合{x |x 2＋ax ＝0}有两个元素0和1.则a 的值为________． 解析：0和1为方程x 2＋ax ＝0的两根． ∴0＋1＝－a ，∴a ＝－1. 答案：－1考点二 集合间的基本关系挖掘1 判断集合间的关系/ 自主练透[例1] 已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝N [解析] 由题意可知，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝（2k ＋4）8π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2n π8－π4，n ∈Z ， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＝2k π8－π4或x ＝（2k －1）8π－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B. [答案] B[破题技法] 求集合间关系的常用方法技巧挖掘 [例2] (1)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N ＋}，则集合A 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16[解析] A ＝{x |(x －3)(x ＋1)≤0，x ∈N ＋}＝{1，2，3}， 真子集个数为23－1＝7，故选A. [答案] A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] 因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.[答案] (－∞，3][破题技法] 1.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．若将例2(2)中的集合A 改为A ＝{x |x ＜－2或x ＞5}，如何求解？ 解析：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1＜m ＋1时， m ＜2，符合题意． ②当B ≠∅时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1＜－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＞4，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＜－12，即m ＞4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．考点三 集合的运算挖掘1 集合的基本运算/ 自主练透[例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅰ) 已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3} [解析] 由x 2－x －6＜0，得(x －3)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜3，即N ＝{x |－2＜x ＜3}，∴M ∩N ＝{x |－2＜x ＜2}．故选C. [答案] C(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝( ) A ．{1，6} B ．{1，7} C ．{6，7} D ．{1，6，7}[解析] ∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，∴∁U A ＝{1，6，7}．又B ＝{2，3，6，7}，∴B ∩∁U A ＝{6，7}． 故选C. [答案] C[破题技法] 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 挖掘2 利用集合运算求参数/ 互动探究[例2] (1)已知A ＝{1，2，3，4}，B ＝{a ＋1，2a }．若A ∩B ＝{4}，则a ＝( ) A ．3 B ．2C ．2或3D ．3或1[解析] ∵A ∩B ＝{4}，∴a ＋1＝4或2a ＝4，若a ＋1＝4，则a ＝3，此时B ＝{4，6}，符合题意；若2a ＝4，则a ＝2，此时B ＝{3，4}，不符合题意，综上，a ＝3，故选A. [答案] A(2)(2020·广州模拟)已知x ∈R ，集合A ＝{0，1，2，4，5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，若A ∩B ＝{0，2}，则x ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2[解析] 因为A ＝{0，1，2，4，5}，B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0，2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0x ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋2＝2，当x ＝2时，B ＝{0，2，4}，A ∩B ＝{0，2，4}(舍)；当x ＝0时，B ＝{－2，0，2}，A ∩B ＝{0，2}． 综上，x ＝0.故选B. [答案] B[破题技法] 根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( ) A.13或－12 B ．－13或12 C.13或－12或0 D ．－13或12或0 答案：D2．已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1，2) B ．[－1，3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞) 解析：由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2.综上，m的取值范围为[－1，＋∞)．答案：D考点四集合的创新问题挖掘1 集合思想与方法的应用/ 互动探究[例1] (1)(2019·高考全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8[解析] 法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x＋80－60＝90，解得x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.法二：用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图：易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.[答案] C(2)某店统计了两天的售出商品的情况．第一天售出19种商品，第二天售出了13种商品．这两天都售出的商品有3种．①第一天售出，但第二天未售出的商品有________种；②这两天共售出________种商品．[解析] 如图，设第一天售出的商品为集合A，则A中有19个元素，第二天售出的商品为集合B，则B中有13个元素，则A∩B中共有3个元素．①第一天售出，第二天未售出的共有19－3＝16种．②这两天共售出的种数为19＋13－3＝29种．[答案] ①16②29[破题技法] 将文字语言转换为符号语言，即集合语言，借助于图形语言，即Venn图解决实际问题．挖掘2 集合的新定义/ 互动探究[例2] (2020·中原名校联考)当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A ＝{－1，12，1}，B ＝{x |ax 2＝1，a ≥0}，若A 与B 构成“全食”或构成“偏食”，则a 的取值集合为________．[解析] 当a ＝0时，B 为空集，满足B ⊆A ，此时A 与B 构成“全食”；当a ＞0时，B＝{1a ，－1a }，由题意知1a ＝1或1a ＝12，解得a ＝1或a ＝4.故a 的取值集合为{0，1，4}．[答案] {0，1，4}[破题技法] 解决集合新定义问题的着手点(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3＜x ≤4} B ．{x |3≤x ≤4} C ．{x |3＜x ＜4} D ．{x |2≤x ≤4}解析：A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知，B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}． 答案：B。

第一章 第一节 集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法2.集合的基本关系⎪⎩⎪⎨⎧⊂⊄⊆=⊆⊆⊆≠),,(),,()()1(B A A B B A B A A B B A B A 则若真包含则若相等包含其中，若B A ⊆，则称A 是B 的子集，若B A ≠⊂，则称A 是B 的真子集.(2)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为φ.规定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.(3)集合中元素个数与子集个数的关系：若有限集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ,真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2. 3．集合的基本运算(1)并集的常考性质A ⊆A ∪B,B ⊆A ∪B.A ⊆B ⇔A ∪B=B. A ∪B=∅⇔A=B=∅. (2)交集的常考性质A ∩B ⊆A,A ∩B ⊆B.A ⊆B ⇔A ∩B=A. A ∩B=A ∪B ⇔A=B. (3)补集的常考性质A ∪(∁U A)=U A ∩(∁U A)=∅∁U (∁U A)=A∁U (A ∩B)=(∁U A)∪(∁U B)∁U (A ∪B)=(∁U A)∩(∁U B).考点1 集合的含义与表示1．已知集合A ={0，1，2}，则集合B =中元素的个数是( ) A ．1 B ．3C ．5D ．92．若集合A ={−1,1}，B ={0,2}，则集合{z|z =x +y,x ∈A,y ∈B}中的元素的个数为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．23．已知集合A ={1，2，3，4，5}，B ={(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x −y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．104．已知集合A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，则A ∩B 中元素的个数为() A ．2 B ．3C ．4D ．65．已知集合A ={(x,y)│x 2+y 2=1}，B ={(x,y)│y =x}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．已知集合A ={(x ， y)|x 2+y 2≤3 ， x ∈Z ， y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．47．已知集合A ={(x,y)|x,y 为实数，且x 2+y 2=1}，B ={(x,y)|x,y 为实数，且x +y =1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1{}|,x y x A y A -∈∈8.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=.9.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( )A.4B.2C.0D.0或410.已知集合A={x|ax=1},B={x|x2-1=0},若A⊆B,则a的取值构成的集合是( )A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}11.已知M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，则实数a的值为( )(A)1 (B)-1 (C)1或-1 (D)0或1或-112.设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为________.考点2 集合间关系1．若P={x|x<1},Q={x|x>−1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆P C．C R P⊆Q D．Q⊆C R P2．已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x||x−2|≤5｝，则( )A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B3．已知集合P={x|x2≤1}，M={a}．若P∪M=P，则a的取值范围是( ) A．(−∞，−1] B．[1，+∞) C．[−1，1] D．(−∞，−1] ∪[1，+∞)4．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，4，5}，P=M∩N，则P的真子集共有( ) (A)2个(B)4个(C)6个(D)7个5．已知集合A={x|x2−3x+2=0,x∈R}，B={x|0<x<5,x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46．已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=( ) A．∅B．S C．T D．Z∪B=A,则m= .7.已知集合8.若集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A∪B=A∩B,则实数a的取值集合是.9.已知a ∈R,b ∈R,若{ a,ln(b+1),1}={a 2,a+b,0},则a2018+b2018=________.考点3 集合间的基本运算1．已知集合A=｛1，2，3，4｝，2{|,}B x x n n A ==∈，则A ∩B= ( )(A)｛1，4｝ (B)｛2，3｝ (C){9，16}(D)｛1，2}2．已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( )(A) 5 (B)4 (C)3 (D)23．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则C U A ∩B =（ ） A. {}1- B. {}0,1 C. {}1,2,3- D. {}1,0,1,3-4．已知全集U =R,A ={x|x ≤0},B ={x|x ≥1}，则集合C U (A ∪B)=( ) A ．{x|x ≥0} B ．{x|x ≤1} C ．{x|0≤x ≤1} D ．{x|0<x <1}5．已知集合P ={x |x 2−2x ≥0},Q ={x |1<x ≤2}，则(∁R P)∩Q =( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]6．设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，C ={x ∈R|1⩽x <3} ，则()A C B =( )A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}7．已知集合均为全集的子集，且C U (AUB )={4}，，则A ∩C U B =( )A.{3} B ．{4}C ．{3，4}D ．8．若全集U ={1,2,3,4,5,6},M ={2,3},N ={1,4}，则集合{5,6}等于( ) A ．M ∪N B ．M ∩N C ．(C n M )∪(C n N ) D ．(C n M )∩(C n N )B A 、}4,3,2,1{=U {1,2}B =∅9．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩C I M =∅，则M ∪N =( )A ．MB ．NC ．ID ．∅10．设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =() A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．411．已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =()A ．∅B ．{–3，–2，2，3)C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}12．设集合A ＝{x ∈Z||x+1|≤3}，B ={x|32x≤1}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣4，﹣3，﹣2，0，2}B ．{2}C ．{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，2}D ．{1，2}13.已知集合104x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2230B x x x =--≥，则A B 等于（ ）A ．(-1，1]B ．(](),11,-∞-+∞C ．[3，4)D ．(][),13,-∞-+∞14．已知集合02xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，集合{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}2x x >-C ．{}0x x ≥D ．{}0x x >15．已知全集为，集合，，则( )A ．B ．{x|2≤x ≤4}C ．D ．16．设集合 则=( )A ．B ．C ．D ．17.设全集U=R,集合A={x|2x-x 2>0},B={y|y=e x +1},则A ∪B 等于( ) A.{x|x<2}B.{x|1<x<2}C.{x|x>1}D.{x|x>0}R 112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}2|680B x x x =-+≤R A C B ={}|0x x ≤{}|024x x x ≤<>或{}|024x x x <≤≥或2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R AB (1,1)-(0,1)(1,)-+∞(0,)+∞18．设集合A ={x||x −1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A ．[0，2]B ．(1，3)C ．[1，3)D ．(1，4)19．设集合M ={x|x 2=x}，N ={x|lg x ≤0}，则M ∪N =( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(−∞,1]20.已知全集为R,集合A={x|lgx ≤1},B={x|x 2-6x+8≤0},则A ∩(∁R B)=.21.已知U={y|y=log 2x,x>1}, P={y|y =1x ,x >2},则∁U P= ( )11A.[) B.(0,)221C.(0,)D. (,0][,)2+∞ +∞ -∞⋃+∞，22．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |e x-2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣∞，4） B ．（1，4）C ．（1，2）D ．（1，2]。

全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2～4个小题，选择题、填空题均可能出现.2.考查内容从考查内容看，集合主要考查两个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算．常用逻辑用语主要从四个方面考查，分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．不等式主要考查一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题.集合[考试要求]1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R提醒：根据元素的互异性可判断所求参数的值是否符合要求．2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B或B A集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B提醒：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A∁U A＝的所有元素组成的集合{x|x∈U且x∉A}1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材习题衍生1．若集合A＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[a＝22∉N，则a∉A，故选D.]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.(－2,1)(－∞，3)[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________.[答案]{x|x是直角}4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________．64[∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M ∪N ＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M ∪N 的子集有26＝64个．]考点一 集合的含义与表示解决与集合中的元素有关问题的一般思路1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1,0,1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.]2．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 021＋b 2 021＝________.－1 [由已知得a ≠0， 则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 021＋b 2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.]3．(2020·北京人大附中期中)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，若k －1∉A ，且k ＋1∉A ，则称k 是A 的一个“孤立元”．集合T ＝{1,2,3,5}，T 的“孤立元”是________；对给定集合S ＝{1,2,3,4,5,6}，由S 中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有________个．516[(1)依次判断每个元素是否为“孤立元”：对于1,2∈T，不是“孤立元”；对于2,1∈T,3∈T，不是“孤立元”；对于3,2∈T，不是“孤立元”；对于5,4∉T,6∉T，是“孤立元”．故T中的“孤立元”是5.(2)由S中的3个元素构成的所有集合有C36＝20(个)，不含“孤立元”的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，共4个，故含“孤立元”的集合有16个．] 考点二集合间的基本关系判断集合关系的三种方法[典例1](1)(多选)(2020·辽宁葫芦岛月考)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}, 则有() A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y＜3}(2)(2020·武汉模拟)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为()A．3B．4C．7D．8(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．(1)ACD(2)A(3)(－∞，2][(1)由题意得，集合A＝{0,2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0,2}，所以C，D正确，B错误．故选ACD.(2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集个数为3，故选A.(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，此时2－a≥1＋a，即a≤12.②若B ≠∅，由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜1＋a 2－a ≥－11＋a ≤3，解得12＜a ≤2.由①②知a 的取值范围为(－∞，2]．]点评：(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解．[跟进训练]1．(2020·北京模拟)已知集合M ＝{x ∈R |x ≥0}，N ⊆M ，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是( )A ．{0,1}B ．{x |x 2＝1}C ．{x |x 2＞0}D ．RA [因为0∈M,1∈M ，所以{0,1}⊆M ，故选A.]2．若集合A ＝{1，m }，B ＝{m 2，m ＋1}，且A ＝B ，则m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．0或1A [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝1m 2＝m ，解得m ＝0，故选A.]考点三 集合的基本运算集合运算三步骤集合的交、并、补运算[典例2－1](1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．6(2)(多选)(2020·河北邯郸市第一中学一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|2x＜1}，N＝{x|log2x＞1}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝M B．M∪N＝NC．M∩(∁U N)＝M D．(∁U M)∩N＝N(1)C(2)CD[(1)由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B 中元素的个数为4，选C.(2)由2x＜1，得x＜0，则M＝{x|x＜0}．由log2x＞1，得x＞2，则N＝{x|x＞2}．所以M∩N＝∅，故A不正确；M∪N＝{x|x＜0或x＞2}，故B不正确；M∩(∁N)＝{x|x＜0}∩{x|x≤2}＝M，故C正确；(∁U M)∩N＝{x|x≥0}∩{x|x＞2}＝N，故UD正确．]点评：解决集合中的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合．若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心．根据集合的运算结果求参数[典例2－2](1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4(2)(2020·秦皇岛模拟)若集合A ＝{x |x ≥3－2a }，B ＝{x |(x －a ＋1)(x －a )≥0}，A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，43 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞D ．(－∞，2](1)B (2)C [(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2.故选B.(2)B ＝{x |x ≥a 或x ≤a －1}，由A ∪B ＝R 得3－2a ≤a －1，解得a ≥43，故选C.][跟进训练]1．(2019·天津高考)设集合A ＝{－1,1,2,3,5}，B ＝{2,3,4}，C ＝{x ∈R |1≤x ＜3}，则(A ∩C )∪B ＝( )A ．{2}B ．{2,3}C ．{－1,2,3}D ．{1,2,3,4}D [由题意可知A ∩C ＝{1,2}，则(A ∩C )∪B ＝{1,2,3,4}，故选D.]2．(2021·全国统一考试模拟演练)已知M ，N 均为R 的子集，且∁R M ⊆N ，则M ∪(∁R N )＝( )A ．∅B ．MC ．ND ．RB [画韦恩图即可，注意最后求并集．]3．已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝[0,3a －1]，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．(1，＋∞)C [由A ∩B ≠∅得3a －1≥1，解得a ≥23，故选C.]。

第1讲集合及其运算1．集合与元素(1)01确定性、02互异性、03无序性.(2)04属于或05不属于两种，用符号06∈或07∉表示．(3)08列举法、09描述法、10图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号11N12N*(或N＋)13Z14Q15R 表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素16相同17A⊆B且18B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素19A⊆B或B⊇A真子集集合A中任意一个元素都是集20A B或B A合B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素空集空集是21任何集合的子集，是22任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)3．集合的基本运算并集交集补集图形符号A∪B＝23{x|x∈A或x∈B}A∩B＝24{x|x∈A且x∈B}∁U A＝25{x|x∈U且x∉A}1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆A，A∩B⊆B．4．A∩B＝A∪B⇔A＝B．5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁U A)⊇(∁U B)⇔A∩(∁U B)＝∅.6．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A．7．(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)，(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)．8．如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩(∁U B)，B∩(∁U A)，∁U(A∪B)．9．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．1．(2021·湖北武汉月考)若集合P＝{x∈N|x≤2021}，a＝22，则() A．a∈P B．{a}∈PC ．{a }⊆PD ．a ∉P答案 D解析 依题意，因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于2021的自然数构成的集合，所以a ∉P ，只有D 项正确．故选D ．2．(2020·新高考卷Ⅰ)设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |2<x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3} C ．{x |1≤x <4} D ．{x |1<x <4}答案 C解析 A ∪B ＝[1,3]∪(2,4)＝[1,4)．故选C ．3．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．{(1,1)} B ．{(－2,4)} C ．{(1,1)，(－2,4)} D ．∅答案 C解析 由⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，y ＝x 2，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4，所以A ∩B ＝{(1,1)，(－2,4)}．4．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，A ∩(∁U B )＝{3}，则B ＝( )A ．{1,2}B ．{1,2,4}C ．{2,4}D ．∅ 答案 A解析 结合Venn 图(如图)可知B ＝{1,2}．故选A ．5．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 D解析 因为A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．6．已知集合A ＝{－1,2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12 答案 D解析 若B 为空集，则方程ax ＝1无解，解得a ＝0；若B 不为空集，则a ≠0，由ax ＝1解得x ＝1a ，所以1a ＝－1或1a ＝2，解得a ＝－1或a ＝12，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12.故选D ．考向一 集合的基本概念例1 (1)设集合M ＝{x |x ≥23}，a ＝11，则下列关系中正确的是( ) A ．a ∈M B ．a ∉M C ．{a }∈M D ．{a }∉M答案 B解析 符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，故C ，D 错误．∵a ＝11<23，∴a ∉M .故选B ．(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a ＋b 为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1答案 C解析 由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去．因此a ＝－1，故a ＋b ＝－1，故选C ．(3)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4答案 A解析 ∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3.∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1.当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1，综上，A 中元素共有9个，故选A ．解决集合概念问题的注意事项(1)解本例(1)时要注意，符号“∈”“∉”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系．a ∈M 与a ∉M 取决于a 是否是集合M 中的元素．(2)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(3)时要注意，集合A 是坐标满足x 2＋y 2≤3的整数点构成的集合．(3)本例(2)中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解．同时注意对元素互异性的检验．1．已知集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈AD ．－34∉A答案 C解析 当k ＝0时，x ＝－1，所以－1∈A ，所以A 错误；令－11＝3k －1，得k ＝－103∉Z ，所以－11∉A ，所以B 错误；令－34＝3k －1，得k ＝－11，所以－34∈A ，所以D 错误；因为k ∈Z ，所以k 2∈Z ，则3k 2－1∈A ，所以C 正确．2．(2020·海口市高考调研考试)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7}，集合M ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，则M ＝( )A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{5,6,7}D ．{3,4,5,6,7}答案 C解析 因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7}，集合M ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，所以集合M ＝{5,6,7}．故选C ．3．设集合A ＝{x |(x －a )2<1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围为________. 答案 (1,2]解析 A ＝{x |(x －a )2<1}＝{x ||x －a |<1}＝{x |a －1<x <a ＋1}． 因为2∈A,3∉A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1<2，a ＋1>2，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.故实数a 的取值范围是(1,2]． 考向二 集合间的基本关系例2 (1)(2020·山东省莱西一中、高密一中、枣庄三中模拟)集合{x |2x ＝x 2，x ∈R }的非空真子集的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 画出函数y ＝2x 和y ＝x 2的图象，根据图象知集合{x |2x ＝x 2，x ∈R }有3个元素，故集合{x |2x ＝x 2，x ∈R }的非空真子集的个数为23－2＝6.故选C ．(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________.答案 m <－2或0≤m ≤52解析 A ＝{x |－1≤x ≤6}，若B ⊆A ，则当B ＝∅时，有m －1>2m ＋1，即m <－2时，符合题意．当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.综上，实数m 的取值范围是m <－2或0≤m ≤52.(1)当集合中元素个数是有限个时，其子集、真子集个数为确定的．当元素个数为n 时，集合有2n 个子集，有(2n －1)个真子集，有(2n －1)个非空子集，有(2n －2)个非空真子集．(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．4．(2021·海南省海南中学高三月考)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，那么()A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅答案 B解析 由题意可得M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，即45°的奇数倍构成的集合，又N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }，即45°的整数倍构成的集合，所以M ⊆N .故选B ．5．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}， (1)若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________； (2)若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为________. 答案 (1)a ≤－1或a ＝1 (2)a ＝1 解析 由题意，得A ＝{－4,0}．(1)∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{－4}或B ＝{0}或B ＝{－4，0}．当B ＝∅时，x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解，即Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8a ＋8<0，解得a <－1.当B ＝{－4}或B ＝{0}时，x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a ＋8＝0，∴a ＝－1，此时B ＝{0}，符合条件．当B ＝{－4,0}时，－4和0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝8a ＋8>0，－4＋0＝－2(a ＋1)，－4×0＝a 2－1，解得a ＝1.综上所述，a ≤－1或a ＝1.(2)∵A ⊆B ，∴B ＝{－4,0}．由(1)知a ＝1. 多角度探究突破 考向三 集合的基本运算 角度1 集合间的交、并、补运算例3 (1)(2020·德州二模)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,4}，N ＝{2,3,4}，则集合(∁U M )∪(∁U N )等于( )A ．{5,6}B ．{1,5,6}C ．{2,5,6}D ．{1,2,5,6}答案 D解析 因为U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,4}，N ＝{2,3,4}，所以∁U M ＝{2,5,6}，∁U N ＝{1,5,6}，所以(∁U M )∪(∁U N )＝{1,2,5,6}，故选D ．(2)(2020·烟台一模)已知集合M ＝{x |y ＝ln (x ＋1)}，N ＝{y |y ＝e x }，则M ∩N ＝( )A ．(－1,0)B ．(－1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．R答案 C解析 ∵M ＝{x |y ＝ln (x ＋1)}＝{x |x ＋1＞0}＝{x |x >－1}＝(－1，＋∞)，N ＝{y |y ＝e x }＝{y |y ＞0}＝(0，＋∞)，∴M ∩N ＝(0，＋∞)．(3)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＋1x －4>0，那么集合A ∩(∁U B )＝()A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x <－1}D ．{x |－1≤x ≤3}答案 D解析 依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}．故选D ．(1)集合基本运算的求解策略①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn 图运算；②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．(2)集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．6．2020·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x ∈Z}，则A∩B＝()A．∅B．{－3，－2,2,3}C．{－2,0,2} D．{－2,2}答案 D解析因为A＝{x||x|＜3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x||x|＞1，x∈Z}＝{x|x＞1或x＜－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}．故选D．7. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为()A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}答案 D解析依题意，得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁R A＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．故选D．8．(2021·新高考八省联考)已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪(∁R N)＝()A．∅B．MC．N D．R答案 B解析解法一：∵∁R M⊆N，∴M⊇∁R N，据此可得M∪(∁R N)＝M.故选B．解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合∁R M，矩形区域CDFG表示集合N，满足∁R M ⊆N，结合图形可得M∪(∁R N)＝M.故选B．角度2利用集合运算求参数例4(1)(2020·辽宁省辽南协作校一模)已知集合M＝{0，x2}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()A．{0，x2,1,2} B．{2,0,1,2}C．{0,1,2} D．{0,1，－2，2，2}答案 C解析集合M＝{0，x2}，N＝{1,2}，M∩N＝{2}，则2∈M，所以M＝{0,2}，则M∪N＝{0,1,2}．故选C．(2)设集合A＝{x|x(4－x)≥3}，B＝{x|x>a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．a≤1 B．a<1C．a≤3 D．a<3答案 B解析由x(4－x)≥3，解得1≤x≤3，即集合A＝{x|1≤x≤3}．因A∩B＝A，则A⊆B，而B＝{x|x>a}，所以a<1.故选B．将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．本例(2)易忽视a≠1，而误选A．9．已知集合A＝{x∈N|(x－3)(x－6)≤0}，B＝{3,6，m}，若A∪B＝A，则实数m的值为________.答案4或5解析由已知，得A＝{x∈N|3≤x≤6}＝{3,4,5,6}，因为A∪B＝A，所以B⊆A．又B＝{3,6，m}，所以m＝4或5.10．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.答案－5解析P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，∴－1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.集合的新定义问题1．(2020·青岛模拟)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝() A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1}答案 D解析因为P＝{x|20<2x<22}＝{x|0<x<2}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}＝{y|1≤y≤3}，根据P－Q的定义可得P－Q＝{x|0<x<1}．2．已知非空集合A，B满足以下两个条件：(1)A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝∅；(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则有序集合对(A，B)的个数为()A．1 B．2C．4 D．6答案 B解析若集合A中只有1个元素，则集合B中有3个元素，则1∉A，3∉B，即3∈A,1∈B，此时有1对；同理，若集合B只有1个元素，则集合A中有3个元素，有1对；若集合A中有2个元素，则集合B中有2个元素，2∉A，2∉B，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A，B)的个数为1＋1＝2，故选B．答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．对点训练1．如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}答案 D解析 ∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， ∴A ⊗B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．2．集合A ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n }(其中n ≥2)，如果A 中的元素满足a 1a 2…a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1＋52，－1－52是“复活集”； ②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2>4； ③若a 1，a 2∈N *，则{a 1，a 2}不可能是“复活集”． 其中正确的结论是________.(填序号) 答案 ①③解析 ①－1＋52×－1－52＝－1＋52＋－1－52＝－1，故①正确；②不妨设a 1＋a 2＝a 1a 2＝t ，则由根与系数的关系知a 1，a 2是一元二次方程x 2－tx ＋t ＝0的两个根，由Δ＝(－t)2－4t>0，可得t<0或t>4，故②错误；③不妨设a1<a2<a3<…<a n，由a1a2…a n＝a1＋a2＋…＋a n<na n，得a1a2…a n－1<n，当n＝2时，有a1<2，又a1∈N*，∴a1＝1，于是由a1＋a2＝a1a2得1＋a2＝a2，无正整数解，即当a1，a2∈N*时，{a1，a2}不可能是“复活集”，故③正确．一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}答案 B解析由集合元素的无序性，易知{2,3}＝{3,2}．故选B．2．(2020·全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，则∁U(A∪B)＝()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}答案 A解析由题意，可得A∪B＝{－1,0,1,2}，则∁U(A∪B)＝{－2,3}．故选A．3．(2020·海南省海南中学高三月考)若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S的非空真子集个数是()A．62 B．32C．64 D．30答案 D解析因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S一共有5个元素，所以S的非空真子集的个数是25－2＝30个．故选D．4．已知集合A ＝{x |x 2－4x <5}，B ＝{x |x <2}，则下列判断正确的是( ) A ．－1.2∈A B ．15∉B C ．B ⊆A D ．A ⊆B答案 C解析 由x 2－4x －5<0得－1<x <5，所以－1.2∉A ，A 错误；由x <2得0≤x <4，所以15∈B ，B 错误；因为A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |0≤x <4}，所以B ⊆A ，C 正确，D 错误．故选C ．5．已知实数集R ，集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x }，则(∁R A )∩B ＝( )A ．[2,4]B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．[1,4]答案 B解析 由log 2x <1得0<x <2，则A ＝{x |0<x <2}．∴∁R A ＝{x |x ≤0或x ≥2}，由x 2－5x ＋4≤0得1≤x ≤4，则B ＝{1,2,3,4}，∴(∁R A )∩B ＝{2,3,4}．故选B ．6．(2020·江西九校联考)已知m ，n ∈R ，集合A ＝{2，log 7m }，集合B ＝{m ，n }，若A ∩B ＝{1}，则m ＋n ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 D解析 由A ∩B ＝{1}得log 7m ＝1，所以m ＝7，n ＝1，则m ＋n ＝8.故选D ． 7．(2020·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4答案 B 解析 ∵A ＝{x |x2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，∴－a2＝1，解得a ＝－2.故选B ．8．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 由题意，得A ∩B 中的元素满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *，由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以A ∩B 中的元素有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，共4个．故选C ．9．设集合P ＝{(x ，y )|y ＝k }，Q ＝{(x ，y )|y ＝2x }，已知P ∩Q ＝∅，那么k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0]D ．(1，＋∞)答案 C解析 由题意知y ＝k 与y ＝2x 的图象无交点，又y ＝2x >0，所以k ≤0.故选C ．10．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素．故选B ．二、多项选择题11．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝x ＋1x －2，B ＝{x |x >a }，则下列选项可能成立的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ∪(∁R B )＝R D ．A ⊆∁R B答案 ABC解析 由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －2≠0，得A ＝[－1,2)∪(2，＋∞)，B ＝(a ，＋∞)，∁R B ＝(－∞，a ]，选项A ，B ，C 都有可能成立，对于选项D ，不可能有A ⊆∁R B ．12．(2021·广东省湛江区域联考)若集合A 具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若{x ，y }⊆A ，则xy ，x ＋y ∈A ，且当x ≠0时，yx ∈A ，则称集合A 是“紧密集合”．以下说法正确的是( )A ．整数集是“紧密集合”B ．实数集是“紧密集合”C ．“紧密集合”可以是有限集D ．若集合A 是“紧密集合”，且x ，y ∈A ，则x －y ∈A 答案 BC解析 若x ＝2，y ＝1，而12∉Z ，故整数集不是“紧密集合”，A 错误；根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B 正确；集合{－1,0,1}是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C 正确；集合A ＝{－1,0,1}是“紧密集合”，当x ＝1，y ＝－1时，x －y ＝2∉A ，D 错误．三、填空题13．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2x ，y －1x ，1，B ＝{x 2，x ＋y,0}，若A ＝B ，则x ＋y ＝________. 答案 2解析 显然y ＝1，即A ＝{2x,0,1}，B ＝{x 2，x ＋1,0}．若x ＋1＝1，则x ＝0，集合A 中元素不满足互异性，舍去．∴x 2＝1，且2x ＝x ＋1，∴x ＝1，故x ＋y ＝2.14．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________.答案 {x |－3<x ≤－1}解析 由题意，知A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}，因为B ＝{x |－1<x ≤5}，所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．15．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋3a －5＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围为________.答案 [2,10)解析 由题意，可得A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ．(1)当B ＝∅时，方程x 2－ax ＋3a －5＝0无解，则Δ＝a 2－4(3a －5)<0，解得2<a <10，此时满足题意．(2)当B ≠∅时，若B ⊆A ，则B ＝{1}或{2}或{1,2}．①当B ＝{1}时，1－a ＋3a －5＝0，得a ＝2，此时B ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，满足题意；②当B ＝{2}时，4－2a ＋3a －5＝0，得a ＝1，此时B ＝{x |x 2－x －2＝0}＝{－1,2}，不满足题意，即a ≠1；③当B ＝{1,2}时，根据根与系数的关系可得⎩⎨⎧1＋2＝a ，1×2＝3a －5，此时无解．综上，实数a 的取值范围为[2,10)．16．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种． 答案 (1)16 (2)29解析 (1)如图1所示，第一天售出但第二天未售出的商品有19－3＝16(种)．(2)如图2所示，这三天售出的商品最少有19＋13－3＝29(种)． 四、解答题17．已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}． (1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围． 解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}， ∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x ＜4}．(2)当P ≠∅时，由P ∪Q ＝Q 得P ⊆Q ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1，解得0≤a ≤2；当P ＝∅，即2a ＋1<a ＋1时，有P ⊆Q ，得a <0. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．。