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集合与元素的关系：属于或不属于.
︵。︵
2
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。
集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
︵。︵
n0
N , 使x
1
1 n0
, 故x
( n0
1 ,
n0
n0 1),即x n0
(
n1
n0 1 n0
,
n0 n0
1 ).
又对任意n N, 恒有 n 1 1 n 1,即1 ( n 1, n 1),
n
n
nn
故
(
n
1
,
n
1)
{1}.综上可知命题成立.
n1 n
n
︵。︵
8
4. 并运算
A B {x; x A 或 x B}
特别地，若 C B ( ), 则C B .
（4） （A B） ( A ) ( B ).
(5) A ( B ) (A B ).
︵。︵
14
证明 （2）由并集的定义，若 x A ,
则存在 ,使x A. 而 A B , 所以有x B.
从而 x B ,
故 A B .
称为A的余集，简记为 CA或Ac.
余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A Bc
定理5
（1） S C , C S.
（2） A AC S, A AC .
(3) ( AC )C A.
︵。︵
16
5．差运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合， 称为A减B的差集，记作A-B。即
A B {x; x A, x B}.
注 (A B) B未必等于 A.
6. 余集
若已知 A B 则 A B 称为B 相对于A
的余集，记为 CAB.
︵。︵
17
特别地，若考虑的一切集合都是某一给 定集合S的子集，集合A相对于S的余集
（5）若 A ( B ) ,任取x A ( B ),
由交的定义，x A且x B.
再由并的定义可知存在 使x B.
︵。︵
15
于是 x A B.
从而 x (A B ).
所以 A ( B ) (A B ).
再证 (A B ) A ( B ).
略
(6) A ( B ) (A B ).
x A B当且仅当x A或x B.
一簇集合 {A } ，可类似定义其并集，即
A {x;存在 ,使x A }
︵。︵
9
例1
若
An
{x;1
1 n
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An (1,1). n1
例2 若 A {x; 1 x }, R,
则 A (,). R
︵。︵
10
第一章 集合及其基数
第一节 集合及其运算
集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数 学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的 基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有 部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分 割地联系在一起。
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1
集合的定义
集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体， 通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集 合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来， 我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元 素。
集合族：设是一集合，对于每一 ，都相应地给定了
一个集合A，这样得到许多集合，它们的总体称为集合族，
记为{A ; }或{A } ,其中称为指标集.
对于集合族 {A } , 若对任意
, , ,都有A A ,
则称该集合族是互不相交的或两两不交的.
︵。︵
6
类似定义其交集，即
A {x | 对每一 ,有x A}
例3
设An
{x
: 1
1 n
x
1
1 n
},
n
N,
(
(
-2 -1-1/n -1
]
)
0 1-1/n 1
n1
An
[1,0]
n1
An
(2,1)
︵。︵
11
练习：
若An
{x; 1 n
x
1}, n
1,2,,则 An n1
答案： An (0,1) n1
证明：对任意n N,有An
(1 ,1) n
(0,1),
2.集合的真子集 如果B A，B A，即B是A的子集，但B还不等于A， 则说B是A的真子集.
定理1 A B 的充要条件是 A B 且 B A.
︵。︵
5
定理2 若 A B ，B C ,则 A C .
3.集合的交运算 设A, B是两个给定的集合，将它们所共有的元素 拿来构成一个新的集合，则称为A和B的交， 记为A B或AB，因此A B {x; x A且x B}.
3
如果E是一个事先给定了的集合，则E[x; p(x)]便表示E中所有使 条件p(x)满足的x所构成的集合，即{x; x E, p(x)}.
例如当f (x)是一个给定的实函数且a是一个常数时， E[x; f (x) a]就是E中那些使f (x)大于a的x所构成的集合.
︵。︵
4
集合的运算
1.集合的子集 设A, B是两个集合，如果属于A的元素都属于B， 则说A包含于B或A是B的子集，记为A B.
A (B C) (A B) C;
（3）分配律 A (B C) (A B) (A C)
（4）幂等律 A A A, A A A
︵。︵
13
定理4
（1） A B A A B.
（2） 若 A B , ( ),则 A B .
特别地，若 A C( ), 则 A C.
（3） 若 A B , ( ),则 A B .
例1
若
An
{x;0
x
1
1},n n
1,2,3,,
则 An {0 x 1}. n1
例2 若 是全体实数构成的集合，
A {x; x }, ,
则 A
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7
练习：
若An
{x; n 1 n
x
n 1}, n n
1,2,,则 An n1
答案： An {1} n1
证明：设x {1},即x 1.若x 1,则有
故 An (0,1). n1
又对x (0,1),存在n0
N,使 1 n0
x
1,即
x
( 1 n0
,1)
An0
,于是
(
1
n n0 1 0
,1)
(
1
n1 n
,1)
(0,1).
︵。︵
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定理3 （1）交换律 A B B A; A B B A （2）结合律 A (B C) (A B) C;
