新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.1.3集合的基本运算学案(1)新人教B版必修第一册

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3 集合的基本运算【素养目标】1．能从教材实例中抽象出两个集合并集和交集、全集和补集的含义．(数学抽象）2．准确翻译和使用补集符号和Venn图．（数学抽象）3．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集、交集与补集运算．(数学运算）4．能用Venn图表示两个集合的并集和交集．（直观想象）5．能根据集合间的运算结果判断两个集合之间的关系．（逻辑推理)6．能根据两个集合的运算结果求参数的取值范围．(逻辑推理）7．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)【学法解读】1．在本节学习中,学生应依据老师创设合适的问题情境，加深对“并集”“交集”“补集"“全集”等概念含义的认识，特别是对概念中“或”“且”的理解，尽量以义务教育阶段所学过的数学内容或现实生活中的实际情境为载体创设相关问题，帮助理解．2．要注意结合实例，运用数轴、Venn图等表示集合进行运算,从而更直观、清晰地解决有关集合的运算问题．第1课时并集与交集必备知识·探新知基础知识知识点1并集自然语言一般地，由__所有属于集合A或属于集合B__的元素组成的集合，称为集合A与B的并集（union set)，记作__A∪B__（读作“A并B")．符号语言__A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}__图形语言(3）A B(4)B A (5）A＝B说明：由上述五个图形可知，无论集合A，B是何种关系，A∪B恒有意义，图中阴影部分表示并集。

思考1：并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？提示：并集概念中的“或”与生活用语中的“或"的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A且x∈B．知识点2交集自然语言一般地，由__所有属于集合A且属于集合B的元素__组成的集合，称为A 与B的交集（intersection set）,记作__A∩B__(读作“A交B”）符号语言__A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}__图形语言(1)A与B相交(有公共元素，相互不包含)（2)A与B相离(没有公共元素，A∩B＝∅)（3）A B，则A∩B＝A（4）B A,则A∩B＝B（5)A＝B，A∩B＝B＝A思考2:集合运算中的“且”与生活用语中的“且"相同吗？提示：集合运算中的“且"与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义,即“x∈A,且x∈B"表示元素x属于集合A，同时属于集合B．知识点3并集与交集的性质(1）__A∩A＝A__，A∩∅＝∅.（2)__A∪A＝A__，A∪∅＝A．思考3：（1)对于任意两个集合A，B，A∩B与A有什么关系？A∪B与A有什么关系?(2）设A，B是两个集合，若已知A∩B＝A，A∪B＝B，则它们之间有何关系？集合A与B呢？提示：(1)(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．（2）A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔A⊆B．基础自测1．（2019·全国卷Ⅲ理，1）已知集合A＝{－1,0,1，2｝，B＝｛x|x2≤1},则A∩B＝（A）A．｛－1,0，1｝B．{0,1}C．｛－1,1｝D．{0，1,2}[解析]∵B＝｛x｜x2≤1}＝{x｜－1≤x≤1｝，∴A∩B＝{－1，0，1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0，1｝，故选A．2．（2019·江苏宿迁市高一期末测试）设集合M＝｛0,1，2}，N＝{2,4},则M∪N＝(D)A．｛0,1,2} B．｛2｝C．｛2，4｝D．{0,1，2，4｝[解析］M∪N＝{0，1,2}∪{2,4}＝{0,1，2,4}．3．已知集合M＝{x｜－5〈x<3},N＝{x|－4〈x<5｝，则M∩N ＝(A)A．｛x｜－4〈x<3}B．{x|－5<x〈－4｝C．{x｜3〈x<5｝D．｛x｜－5〈x〈5｝[解析］M∩N＝｛x｜－5<x<3｝∩{x｜－4<x<5｝＝｛x｜－4<x<3}，故选A．4．（2019·江苏,1）已知集合A＝｛－1，0，1,6｝，B＝｛x｜x>0，x∈R｝，则A∩B＝__{1,6｝__。

（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。

【新教材】人教统编版高中数学必修一A版第一章教案教学设计1.1《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，⋯⋯；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④π的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a，则a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．（b）不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的．（4）元素与集合的关系；（a）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（b）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A例如：A表示方程x2＝1 的解．2∉A，1∈A（5）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．（a）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列表法．如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；思考2，引入描述法答案：（1）1~9内所有偶数组成的集合（2）不能，因为集合中元素的个数是无穷多个．说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．（b）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．如：{x|x-3>2}，{（x，y）|y=x2+1}，{直角三角形}，…；思考3：描述法表示集合应注意集合的代表元素{（x，y）|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z．（6）常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．如果写{实数}是正确的．说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．（7）集合的分类问题2：我们看这样一个集合：{ x |x 2＋x ＋1＝0}，它有什么特征？显然这个集合没有元素．我们把这样的集合叫做空集，记作∅．练习：（1） 0 ∅ （填∈或∉）（2）{ 0 } ∅ （填＝或≠）集合的分类：（1）按元素多少分类：有限集、无限集；（2）按元素种类分类：数集、点集等（三）例题讲解例1．用集合表示：①x 2－3＝0的解集；②所有大于0小于10的奇数；③不等式2x －1＞3的解．例2．已知集合S 满足：1S ∉，且当a S ∈时11S a ∈-，若2S ∈，试判断12是否属于S ，说明你的理由．例3．设由4的整数倍加2的所有实数构成的集合为A ，由4的整数倍再加3的所有实数构成的集合为B ，若,x A y B ∈∈，试推断x +y 和x -y 与集合B 的关系．（四）归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法．1.2《集合间的基本关系》教案教材分析类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义．本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础．因此本节内容起着承上启下的重要作用．教学目标【知识与能力目标】1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2．理解子集、真子集的概念；3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．【过程与方法目标】让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义．【情感态度价值观目标】感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义．教学重难点【教学重点】集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念．【教学难点】属于关系与包含关系的区别．课前准备学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系．教学过程（一）创设情景，揭示课题复习回顾：1．集合有哪两种表示方法？2．元素与集合有哪几种关系？问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？（二）研探新知问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？让学生自由发言，教师不要急于做出判断．而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==；（2）设A 为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合；（3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形（4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==．组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系：①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集．记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 含于B （或B 包含A ）．②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等．教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解．并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图．图1 图2投影问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论教师引导学生通过类比，思考得出结论： 若,,A B B A A B ⊆⊆=且则． 问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn 图表示．学生主动发言，教师给予评价．（三）学生自主学习，阅读理解然后教师引导学生阅读教材的相关内容，并思考回答下例问题：（1）集合A 是集合B 的真子集的含义是什么?什么叫空集?（2）集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别? （3）0，{0}与∅三者之间有什么关系?（4）包含关系{}a A ⊆与属于关系a A ∈之间有什么区别?试结合实例作出解释．（5）空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?（6）能否说任何一人集合是它本身的子集，即A A ⊆?（7）对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，B ⊆C ，那么集合A 与C 有什么关系? 教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程，然后让学生发表对上述问题看法．（四）巩固深化，发展思维1．学生在教师的引导启发下完成下列两道例题：例1．某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品，B 表示质量合格的产品的集合，C 表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？,,,A B B A A C C A ⊆⊆⊆⊆试用Venn 图表示这三个集合的关系．例2．写出集合{0，1，2）的所有子集，并指出哪些是它的真子集．2．学生做教材习题，教师及时检查反馈．强调能确定是真子集关系的最好写真子集，而不写子集．（五）归纳整理，整体认识1． 请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些，所涉及到的主要数学思想方法又那些．2．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出．1.3《集合的基本运算》教案教材分析集合的基本运算是人教版普通高中课程标准实验教科书，数学必修1第一章第三节的内容. 在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础. 本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用. 本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点.教学目标与核心素养课程目标1. 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集；2. 理解全集和补集的含义，能求给定集合的补集；3. 能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算.数学学科素养1.数学抽象：并集、交集、全集、补集含义的理解；2.逻辑推理：并集、交集及补集的性质的推导；3.数学运算：求两个集合的并集、交集及补集，已知并集、交集及补集的性质求参数（参数的范围）；4.数据分析：通过并集、交集及补集的性质列不等式组，此过程中重点关注端点是否含“=”及∅问题；5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。

第1课时并集与交集(教师独具内容) 课程标准：1.理解两个集合并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.2.能使用Venn图直观地表达两个集合的并集与交集，体会图形对理解抽象概念的作用．教学重点：1.并集与交集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.求两个集合的并集与交集．教学难点：1.并集中“或”、交集中“且”的正确理解.2.准确地找出并集、交集中的元素，并能恰当地加以表示.【知识导学】知识点一并集自然语言符号语言Venn图表示一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∪B＝□01B∪□02A，A⊆A∪B，A∪A＝□03A，A∪∅＝□04A，A∪B＝B⇔□05A⊆□06B.知识点二交集自然语言符号语言Venn图表示一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}A∩B＝□01B∩□02A，A∩B⊆A，A∩A＝□03A，A∩∅＝□04∅，A∩B＝A⇔□05A⊆□06B.【新知拓展】集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若A∩B＝∅，则A，B至少有一个是∅.( )(2)若A∪B＝∅，则A，B都是∅.( )(3)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∩B⊆A⊆A∪B.( )(4)对于任意集合A，B，下列式子总成立：A∪B＝B⇔A⊆B⇔A∩B＝A.( )(5)对于两个非空的有限集合A，B，A∪B中的元素一定多于A中的元素．( )答案(1)×(2)√(3)√(4)√(5)×2．做一做(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2(2)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}(3)已知集合A＝{1,2，x2}，B＝{2，x}，若A∪B＝A，则x＝________.答案(1)D (2)A (3)0题型一求两个集合的交集与并集例1 已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|－2≤x<1}，求A∩B，A∪B.[解] 把集合A与B在数轴上表示出来，如图所示．由上图可得，A∩B＝{x|－1<x<1}，A∪B＝{x|－2≤x≤2}．金版点睛集合A与B的“交”“并”运算，实质上就是对集合A与B中元素的“求同”“合并”：(1)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.(2)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的.“x ∈A 或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合.[跟踪训练1] 已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |－2≤x <0}，求A ∩B ，A ∪B . 解 A ∩B ＝{x |－1≤x <0}，A ∪B ＝{x |x ≥－2}.题型二 简单的含参问题例2 已知集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x －1)(x －a )＝0}．求A ∩B ，A ∪B .[解] 集合B 是方程(x －1)(x －a )＝0的解集，它可能只有一个元素1(a ＝1)，也可能有两个元素1，a (a ≠1)．(1)当a ＝1时，A ∩B ＝{1}，A ∪B ＝{0,1}； (2)当a ＝0时，A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{0,1}； (3)当a ≠0且a ≠1时，A ∩B ＝{1}，A ∪B ＝{0,1，a }． 金版点睛由于参数a 的变化，集合B 中的元素也在变化，即集合B 是变化的集合，因此需要分类讨论；特别注意，不能把集合B 写成{1，a }(因为当a ＝1时，不满足元素的互异性)；对于两集合的“交”“并”运算，应当首先弄清两集合中的元素是什么，之后再根据集合“交”“并”运算的概念求解．[跟踪训练2] 已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |x ≤1或x ≥2}，且A ∩B ＝A ，求a 的取值范围．解 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ， ∴分A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a ，∴a ≥2. ②若A ≠∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2.∴a ≤1.综上所述，a ≤1或a ≥2.题型三 类似于“交”“并”运算的一些新定义型问题例3 设M ，P 是两个非空集合，规定M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，根据这一规定，M －(M－P)等于( )A．M B．PC．M∪P D．M∩P[解析] 当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M，且x∉M}＝∅＝M∩P，故选D.[答案] D金版点睛题目给出了两个集合的一种运算“M－P”，其运算法则是：M－P是由所有属于M且不属于P的元素组成的集合，弄清法则便可以进行运算，特别是借助Venn图，使问题简捷明了.[跟踪训练3]设A，B是两个非空集合，规定A*B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A＝{0,1,2,4}，B＝{1,2,3}，求A*B.解∵A∪B＝{0,1,2,3,4}，A∩B＝{1,2}，∴A*B＝{0,3,4}．1．已知集合A＝{x|x是不大于8的正奇数}，B＝{x|x是9的正因数}，则A∩B＝________，A∪B＝________.答案{1,3} {1,3,5,7,9}解析由题意，知A＝{1,3,5,7}，B＝{1,3,9}，所以A∩B＝{1,3}，A∪B＝{1,3,5,7,9}．2．已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是矩形}，则A∩B＝________.答案{x|x是正方形}解析菱形的四条边相等，矩形的四个角均为90°，四条边相等并且四个角均为90°的四边形为正方形，所以A∩B＝{x|x既是菱形，又是矩形}＝{x|x是正方形}．3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则A ∩B ＝________. 答案 {(3,1)}解析 由题意，知A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4且x －y ＝2}＝{|(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A ∩B ＝{(3,1)}．4．已知A ＝{x |－4<x ≤2}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________. 答案 {x |－2≤x ≤2} {x |－4<x ≤3}解析 把集合A 与B 在数轴上表示出来，如图所示．由上图可知，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤2}，A ∪B ＝{x |－4<x ≤3}．5．已知A ＝{x |x >a }，B ＝{x |－1≤x ≤1}，若A ∪B ＝A ，则a 的取值范围是________． 答案 a <－1解析 A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，则a <－1，故a 的取值范围是a <－1.。

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的概念【学习目标】一．元素与集合的相关概念1.元素：一般地，把统称为元素，常用小写的拉丁字母表示．2.集合：一些组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母表示．3.集合相等：指构成两个集合的元素是的．4.集合中元素的特性：、和．二．元素与集合的关系1.属于：如果a是集合A的元素，就说，记作.2.不属于：如果a不是集合A中的元素，就说，记作.三．常见的数集及表示符号1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．()2、用“∈”或“∉”填空：1*；5____R.2____N；－3____Z；2____Q；0____N【经典例题】题型一集合的概念例1 下列所给的对象能构成集合的是________．①所有的正三角形；②比较接近1的数的全体；③某校高一年级所有16岁以下的学生；④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；⑥2的近似值的全体．【跟踪训练】1 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？(1)接近于2019的数；(2)大于2019的数；(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；(5)函数y＝x2图象上的点．题型二元素与集合的关系例2 -1给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Q，③0∉N，④4∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.其中正确命题的个数为()A．4B．3C．2 D．1例2-2集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．【跟踪训练】2用符号“∈”或“∉”填空．若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，(－1,1)______A.题型三集合中元素的特性例3 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．【跟踪训练】3已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可【当堂达标】1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1,2,3和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为() A．2 B．2或4 C．4 D．04．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2 C．3 D．45．给出下列关系：①13∈Z；②5∈R；③|－5|∉N＋；④|－32|∈Q；⑤π∈R.其中，正确的个数为________．6．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x.第2课时集合的表示【学习目标】1．列举法把集合的元素出来，并用括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法（1）定义：用集合所含元素的表示集合的方法称为描述法．（2）具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的及，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的.【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)集合0∈{x|x>1}．()(2)集合{x|x<5，x∈N}中有5个元素．()(3)集合{(1,2)}和{x|x2－3x＋2＝0}表示同一个集合．()2.大于4并且小于10的奇数组成的集合用列举法可表示为____ ____．【经典例题】题型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由120以内的所有质数组成的集合．【跟踪训练】1 用列举法表示下列集合：(1)绝对值小于5的偶数；(2)24与36的公约数；(3)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1的解集．题型二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．【跟踪训练】2 用描述法表示如图所示阴影部分(含边界)点的坐标的集合．题型三 列举法与描述法的综合运用 例3 下面三个集合：①{x |y ＝x 2＋1}；②{y |y ＝x 2＋1}；③{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． (1)它们各自的含义是什么？ (2)它们是不是相同的集合？【跟踪训练】3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k 的值组成的集合.【当堂达标】1．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0}2．下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的是( )A ．{x |x 是小于18的正奇数} B ．{x |x ＝4s ＋1，s ∈N ，且s <5} C ．{x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t <5} D ．{x |x ＝4s －3，s ∈N ，且s <6} 3．给出下列说法：①任意一个集合的正确表示方法是唯一的； ②集合P ＝{x |0≤x ≤1}是无限集； ③集合{x |x ∈N ，x <5}＝{0,1,2,3,4}； ④集合{(1,2)}与集合{(2,1)}表示同一集合．其中正确说法的序号是( )A ．①②B ．②③C ．②D ．①③④4．方程⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝5的解集用列举法表示为_______________________；用描述法表示为________________．5．若集合A ＝{－1,2}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，则a ＋b 的值为______． 6.已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R}，若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．1.2集合间的基本关系【学习目标】素养目标学科素养1. 理解子集、真子集、空集的概念；(重点)2. 能用符号和Venn图表示集合间的关系；(难点)3. 掌握列举有限集的所有子集的方法。

1.2集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课型：新授课教学目的：1.理解子集、集合相等、真子集的概念.2.能用符号和Venn 图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系.教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.教学过程：一、引入课题思考 如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？二、新课教学知识点一.子集梳理:一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的________元素都是集合B 中的元素，即若a A ∈，则a B ∈，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，称集合A 为集合B 的子集，记作________(或________)，读作“________”(或“________”).子集的有关性质：(1)∅是任何集合A 的子集，即A ∅⊆.(2)任何一个集合是它本身的子集，即________.(3)对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么________.(4)若A B ⊆，B A ⊆，则称集合A 与集合B 相等，记作A B =.知识点二.真子集思考:在知识点一里，我们知道集合A 是它本身的子集，那么如何刻画至少比A 少一个元素的A 的子集？梳理如果集合A B ⊆，但A B ≠，称集合A 是集合B 的真子集，记作：________(或________)，读作：________(或________).知识点三.Venn 图思考图中集合A ，B ，C 的关系用符号可表示为__________.梳理一般地，用平面上__________曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.Venn 图可以直观地表达集合间的关系.〖思考辨析判断正误〗1.若用“≤”类比“⊆”，则“”相当于“<”.( ) 2.空集可以用{}∅表示.( )3.若a A ∈，则{}a A ⊆.( )4.若a A ∈，则{}a A .( ) 三、题型探究类型一求集合的子集例1 (1)写出集合{,,,}a b c d 的所有子集；(2)若一个集合有()n n N ∈个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论.反思与感悟为了罗列时不重不漏，要讲究列举顺序，这个顺序有点类似于从1到100数数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等.跟踪训练1 适合条件{1}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 的个数是（）A.15B.16C.31D.32类型二判断集合间的关系命题角度1 概念间的包含关系例2 设集合{M =菱形}，{N =平行四边形}，{P =四边形}，{Q =正方形}，则这些集合之间的关系为（）A.P N M Q ⊆⊆⊆B.Q M N P ⊆⊆⊆C.P M N Q ⊆⊆⊆D.Q N M P ⊆⊆⊆反思与感悟 一个概念通常就是一个集合，要判断概念间的关系首先要准确理解概念的定义. 跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N ，Z ，Q ，R 表示，用符号表示N ，Z ，Q ，R 的关系为______________.命题角度2 数集间的包含关系例3 设集合{0,1}A =，集合{|2B x x =<或3}x >，则A 与B 的关系为（）A.A B ∈B.B A ∈C.A B ⊆D.B A ⊆反思与感悟判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或Venn 图.跟踪训练3 已知集合{|14}A x x =-<<，{|5}B x x =<，则（）A.A B ∈B.A BC.B AD.B A ⊆类型三由集合间的关系求参数（或参数范围）例4 已知集合2{|0}A x x x =-=，{|1}B x ax ==，且A B ⊇，求实数a 的值.反思与感悟集合A 的子集可分三类：∅，A 本身，A 的非空真子集，解题中易忽略∅.跟踪训练4 已知集合{|12}A x x =<<，{|232}B x a x a =-<<-，且A B ⊇，求实数a 的取值范围.四、布置作业。

1.1。

3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。

问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。

这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。

（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。

集合的概念[课程目标] 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号；3.能够选择适当的方法表示集合．知识点一集合的定义及元素的特征1．集合与元素的概念：一般地，我们把研究对象统称为__元素__，把一些元素__组成的总体__叫做集合，简称为__集__．2．符号表示：集合常用大写字母A，B，C，…表示，元素常用小写字母a，b，c，…表示．a属于集合A，记作__a∈A__，a∉A的意义是__元素a不属于集合A__．3．常用数集及其记法：自然数集记作__N__；正整数集记作__N*__或__N＋__；整数集记作__Z__；有理数集记作__Q__；实数集记作__R__．4．集合中元素的三个特性为__确定性__、__互异性__、__无序性__．[研读](1)“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明．(2)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等．【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)平面上到点O的距离等于1的点的全体可以组成一个集合．( √)(2)人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合．( ×)(3)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是同一个集合．( √)(4)某中学2021级高一年级20个班构成一个集合A，则高一(2)班的学生是集合A的元素．( ×)【解析】(1)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”是确定的，能够组成集合．(2)“人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组成集合．(3) 根据集合中元素的无序性知，这两个集合表示同一个集合．(4)因为集合A是由高一年级20个班组成的，所以高一(2)班是集合A中的元素，高一(2)班的学生不是集合A中的元素．知识点二集合的表示法1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．基本格式为： {a1，a2，…，a n}．2．描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有__共同特征P(x)__的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．[研读]列举法表示集合的三种情况：(1)集合的元素较少，如{1，2，3，4}．(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1，2，3，4，…，100}．(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“所有的正偶数”可以表示为{2，4，6，8，…}.【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合是{－2，1}．( √)(2)由直线y＝2x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合是{(x，y)|y＝2x ＋4，x∈N}．( √)(3)集合{x|3＜x＜8}是有限集．( ×)(4)集合A＝{x|x2－1＝0}与集合B＝{－1，1}表示同一个集合．( √)集合中元素的特征例1教材应用用符号“∈”或“∉”填空：(1)2 3 __∈__R，2 3 __∉__{x|x<11 }；(2)4__∉__{x|x＝n2＋1，n∈N＋}；(3)(1，1)__∉__{y|y ＝2x ＋1}，(1，1)__∈__{(x ，y)|y ＝2x －1}．【解析】 (1)2 3 ∈R，而2 3 ＝12 >11 ，所以2 3 ∉{x|x<11 }．(2)因为n 2＋1＝4，所以n ＝± 3 ∉N ＋.所以4∉{x|x ＝n 2＋1，n ∈N ＋}．(3)(1，1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y ＝2x ＋1}表示一次函数的函数值构成的集合，故(1，1)∉{y|y ＝2x ＋1}．集合{(x ，y)|y ＝2x －1}表示直线上的点构成的集合(点集)，且满足y ＝2x －1，所以(1，1)∈{(x，y)|y ＝2x －1}． 活学活用1．以方程x 2－2x －3＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有__3__个元素．【解析】 因为方程x 2－2x －3＝0的解是x 1＝－1，x 2＝3，方程x 2－x －2＝0的解是x 3＝－1，x 4＝2，所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素．2．已知集合M 含有两个元素a －3和2a ＋1，若－2∈M，则实数a 的值是__1或－32__． 【解析】 因为－2∈M，所以a －3＝－2或2a ＋1＝－2.若a －3＝－2，则a ＝1，此时集合M 中含有两个元素－2，3，符合题意；若2a ＋1＝－2，则a ＝－32 ，此时集合M 中含有两个元素－2，－92，符合题意． 所以实数a 的值是1或－32 . 用列举法表示集合例2 用列举法表示下列集合：(1)小于10的正偶数组成的集合；(2)方程x(x 2－1)＝0的所有实数根组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合； (4)满足不等式x 2＋y 2≤2的整数点(横坐标、纵坐标都是整数的点)组成的集合． 解：(1)小于10的正偶数有2，4，6，8，所求集合为{2，4，6，8}．(2)方程x(x 2－1)＝0的根为0，±1，所求集合为{0，－1，1}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2x －1 的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 所求集合为{(1，1)}． (4)满足不等式x 2＋y 2≤2的整数点组成的集合是{(－1，－1)，(1，－1)，(1，1)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(－1，0)}．[规律方法]用列举法表示集合时，注意以下三点：(1)元素之间用“，”隔开．(2)元素不重复、无顺序．(3)对含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号． 活学活用用列举法表示下列集合：(1)平方等于5的实数组成的集合为；(2)由|a|a ＋b |b|(a ，b ∈R ，且ab≠0)的所有值构成的集合为__{－2，0，2}__； (3)绝对值在3到7之间(不含3和7)的整数组成的集合为__{－4，－5，－6，4，5，6}__；(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y ＝0 的解组成的集合为__{(0，0)，(1，－1)}__． 【解析】 (1)因为(± 5 )2＝5，所以平方等于5的实数组成的集合为{－ 5 ， 5 }.(2)设x ＝|a|a ＋b |b|，当a ＞0，b ＞0时，x ＝2；当a ＜0，b ＜0时，x ＝－2；当a ，b 异号时，x ＝0.故用列举法表示为{－2，0，2}．(3)绝对值在3到7之间(不含3和7)的整数是－4，－5，－6，4，5，6，所以组成的集合为{－4，－5，－6，4，5，6}．(4)方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， 所以方程组的解组成的集合为{(0，0)，(1，－1)}.用描述法表示集合例3 用描述法表示下列集合： (1)使y ＝1x 2＋x －6有意义的实数x 组成的集合； (2)坐标平面上第一、三象限内的点组成的集合；(3)函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象上所有点组成的集合；(4)函数y ＝x 2－2x ＋2的函数值组成的集合．解：(1)要使y ＝1x 2＋x －6 有意义，则x 2＋x －6≠0，即x≠2且x≠－3，故可写成{x∈R|x≠2且x≠－3}．(2)第一、三象限内点的特征是横、纵坐标符号相同，因此可写成{(x ，y)|xy>0，x ∈R ，y ∈R}.(3)易知集合可写成{(x ，y)|y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，x ∈R}．(4)y ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1≥1，所以函数值组成的集合为{y|y≥1}．[规律方法]用描述法表示集合时，注意以下几点：(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号).(2)说明该集合中元素的特征．(3)不能出现未被说明的字母．(4)多层描述时，应当准确使用“或”“且”等．(5)所有描述的内容都要写在集合括号内．(6)用于描述法的语句力求简明、确切． 活学活用用描述法表示下列集合：(1)满足不等式3x ＋2＞2x ＋1的实数x 组成的集合为__{x|x>－1}__；(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合为__{(x ，y)|x<0，y ＞0，且x ，y ∈R}__；(3)所有正奇数组成的集合为__{x|x ＝2k －1，k ∈N *}__．【迁移探究】 设M ＝{a |a ＝x 2－y 2，x ，y ∈Z}，求证： (1)2k －1∈M，k ∈Z ；(2)4k －2∉M ，k ∈Z ；(3)若p∈M，q ∈M ，则pq∈M.证明：(1)由2k －1＝()2k －1 ×1＝()k ＋k －1 ·()k －k ＋1 ＝k 2－(k －1)2，且k ，k －1∈Z，从而2k －1∈M.(2)假设4k －2∈M，那么4k －2＝x 2－y 2，且x ，y ∈Z ．则(x －y)(x ＋y)＝2(2k －1).由于(x ＋y)与(x －y)具有相同的奇偶性，所以(x ＋y)(x －y)不可能是一奇一偶的乘积，所以4k －2∉M ，k ∈Z ．(3)设p ＝x 2－y 2，q ＝a 2－b 2，且x ，y ，a ，b ∈Z ，则pq ＝()x 2－y 2 ()a 2－b 2 ＝()ax －by 2 －()bx －ay 2∈M. 故pq∈M.1．下列对象能构成集合的是( C )A ．2021年高考数学试卷中所有的难题B ．平面直角坐标系中第一象限内的一些点C ．2021年北京大学的所有应届毕业生D ．杭州某校高一年级的尖子生【解析】 A 中难题标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；B 中“平面直角坐标系中第一象限内的一些点”，元素不明确，故不能构成一个集合；C 中的对象都是确定的而且是不同的，因而能构成集合；D 中尖子生标准不明确，不满足确定性，故不能构成集合．2．由a 2，2－a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是( C )A ．1B ．－2C ．6D ．2【解析】 因为A 中含有3个元素，即a 2，2－a ，4互不相等，将选项中的数值代入验证，知选C.3．已知集合A ＝{x|x(x －2)＝0}，下列正确的是( A )A ．0∈AB ．2∉AC ．－1∈AD ．0∉A【解析】 集合A 中有两个元素：0和2，所以0∈A.4．由10到20之间的质数组成的集合为__{11，13，17，19}__．【解析】 10到20之间的质数是11，13，17，19，所以组成的集合为{11，13，17，19}．5．集合{x|x ＝2m －3，m ∈N *，m ＜5}用列举法表示为__{－1，1，3，5}__．【解析】 集合中的元素满足x ＝2m －3，m ∈N *，m ＜5，则满足条件的x 的值为：m ＝1时，x ＝－1；m ＝2时，x ＝1；m ＝3时，x ＝3；m ＝4时，x ＝5.则集合为{－1，1，3，5}．6．试用适当的方法表示下列集合．(1)被3除余1的自然数集合：__{x|x ＝3n ＋1，n ∈N}__；(2)二次函数y ＝2x 2＋6的函数值组成的集合：__{}y |y≥6 __； (3)反比例函数y ＝－3x的图象上的点组成的集合： __⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ＝－3x __； (4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，x ＋2y ＝2 的解组成的集合：__⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫87，37 __； (5)不等式6x －2≥5x 的解集：__{}x|x≥2 __．【解析】 (1)被3整除的特征是可以表示成x ＝3n(n∈N)，所以被3除余1的自然数集合为{}x |x ＝3n ＋1，n ∈N. (2) 函数值组成的集合的代表元素是y ，所以集合为{}y |y≥6. (3)反比例函数y ＝－3x的图象上的点组成的集合应该是点集，故为⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ＝－3x . (4)由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝1，x ＋2y ＝2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝87，y ＝37，所以所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫87，37 . (5)解集可以表示为{}x|x≥2.温馨说明：课后请完成高效作业1。

1.1 集合的概念第1课时集合的含义学习任务核心素养1.通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的三个特性．(重点) 3．体会元素与集合的“属于”关系，记住常用数集的表示符号并会应用．(重点、易混点)1.通过集合概念的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合中元素的互异性的应用，培养逻辑推理素养.在生活与学习中，为了方便，我们要经常对事物进行分类．例如图书馆中的书是按照所属学科等分类摆放的(如图所示)；三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；到目前为止，我们学的数可以分为有理数和无理数，……你还可以举出一些数学中有关分类的实例吗？知识点1元素与集合的相关概念(1)元素：(2)集合：(3)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合？〖提示〗(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定．集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三个特性，则这组对象也就不能构成集合．1.思考辨析(正确的画√，错误的打×)(1)接近于0的数可以组成集合．()(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()〖答案〗(1)×(2)√(3)×知识点2元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A 的元素，就说a属于集合A，记作a∈A .(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.2.已知集合A中的元素x满足x<1，则下列各式正确的是()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1∉AC〖∵0<1，∴0是集合A中的元素，∴0∈A，故选C.〗知识点3常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R3.用“∈”或“∉”填空：12________N；－3________Z；2________Q；0________N*；5________R.〖答案〗∉∈∉∉∈类型1集合的基本概念〖例1〗(对接教材P2引例(1)～(6))2021年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中的全体同学；(2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm的同学；(4)班级中比较胖的同学；(5)班级中体重超过75 kg的同学；(6)学习成绩比较好的同学．〖解〗(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)因为“身高超过178 cm”是确定的，所以可以构成一个集合．(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．(5)“体重超过75 kg”是确定的，所以可以构成一个集合．(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．一组对象能组成集合的标准是什么？〖提示〗判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．[跟进训练]1．(多选)下列各组对象能组成集合的是()A．中国古典文学四大名著B．中国最美乡村C．清华大学2021年入校的全体学生D.3的近似值的全体AC〖B选项中“最美”的标准不明确，不符合确定性，不能组成集合，D选项中“3的近似值”的标准不确定，不能构成集合．故选AC.〗类型2元素与集合的关系〖例2〗(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②2∉Q；③0∈N*；④|－5|∉N*.A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B(2)B〖(1)①π是实数，所以π∈R正确；②2是无理数，所以2∉Q正确；③0不是正整数，所以0∈N*错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误．故选B.(2)集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.〗判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．[跟进训练]2．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．0,1,2〖∵63－x∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.〗类型3集合中元素的特性及应用〖例3〗已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．以集合中元素的确定性和互异性为切入点，思考求解a值的方法．〖解〗由题意可知，a＝1或a2＝a，(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．〖解〗由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.根据集合中元素的特性求值的3个步骤[跟进训练]3．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)若－2∈A，求实数x的值．〖解〗(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解得x≠－1且x≠0，x≠3.(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.1．(多选)下列给出的对象中，不能构成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．不小于3的自然数ABC 〖“很大”“好”“漂亮”等词没有严格的标准，故选项A 、B 、C 中的元素均不能构成集合，故选ABC.〗2．用“book ”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C 〖由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b ”“o ”“k ”三个元素．〗 3．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是( ) A ．3.14 B ．－5 C ．37D ．7D 〖由题意可知，a ∈R 且a ∉Q ，所以a 是无理数，故选D.〗4．若1∈A ，且集合A 与集合B 相等，则1________B (填“∈”或“∉”)． ∈ 〖由集合相等的定义可知，1∈B .〗5．已知集合A 由a 2－a ＋1，|a ＋1|两个元素构成，若3∈A ，则a 的值为________． －1或－4 〖∵3∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或|a ＋1|＝3. ①若a 2－a ＋1＝3，则a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，|a ＋1|＝3，此时集合A 中含有两个3，因此应舍去． 当a ＝－1时，|a ＋1|＝0≠3，满足题意． ②若|a ＋1|＝3，则a ＝－4或a ＝2(舍去)． 当a ＝－4时，a 2－a ＋1＝21≠3，满足题意． 综上可知a ＝－1或a ＝－4.〗回顾本节知识，自我完成以下问题：1．集合中的元素有哪些特性，判断一组对象能否构成集合的关键是什么？〖提示〗 集合中的元素有确定性、互异性和无序性，其中确定性是判断一组对象能否构成集合的关键．2．元素与集合间存在哪些关系？〖提示〗 元素与集合间只有“属于”和“不属于”两种关系．3．学习了哪些常用数集？如何用字母表示？〖提示〗自然数集(或非负整数集)(N)、正整数集(N*或N＋)、整数集(Z)，有理数集(Q)和实数集(R)．。