第1章第4讲 运动图像和追及与相遇问题

素养提升课一运动图像问题追及相遇问题提升点一运动学图像问题1．x-t图像与v-t图像的对比类型x-t图像v-t图像坐标轴纵轴表示位移x，横轴表示时间t纵轴表示速度v，横轴表示时间t 图线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度纵截距纵轴截距表示初位置纵轴截距表示初速度面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移交点表示物体相遇表示速度相等拐点表示速度方向改变表示加速度方向改变学生用书第13页2．三类非常规运动学图像的理解(1)a-t图像：如图甲所示，纵轴截距b表示初始加速度a0，由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度的变化量。

(2)x t -t图像：如图乙所示，由x＝v0t＋12at2可得xt＝v0＋12at，故纵轴截距b表示初速度v0，图像的斜率k表示12 a。

(3)v2-x图像：如图丙所示，由v2－v20＝2ax可知v2＝v20＋2ax，故纵轴截距b表示v20，图像斜率k表示2a。

考向1x-t图像A、B两质点在同一平面内同时向同一方向做直线运动，它们的位置—时间图像如图所示，其中A是顶点过原点的抛物线的一部分，B是过点(0，3)的一条直线，两图像相交于坐标为(3，9)的P点，则下列说法不正确的是()A．质点A做初速度为零、加速度为2m/s2的匀加速直线运动B．质点B以2m/s的速度做匀速直线运动C．在前3s内，质点A比B向前多前进了9mD ．在3s 前某时刻质点A 、B 速度相等【题眼点拨】(1)看到“质点A 的x -t 图像是抛物线”，想到“A 做匀变速直线运动”。

(2)看到“质点B 的x -t 图像是直线”，想到“B 做匀速直线运动”。

(3)看到“两图线交于P 点”，想到“P 处两质点相遇”。

答案：C解析：质点A 的运动方程为x ＝12at 2，又过点(3，9)，则初速度为零，加速度a ＝2m/s 2，故A正确；B 直线的斜率表示速度，故质点B 做匀速直线运动，质点B 的速度为v ＝ΔxΔt ＝2m/s ，故B 正确；在前3s 内，质点B 的位移为6m ，质点A 的位移为9m ，质点A 比B 向前多前进了3m ，故C 错误；t ＝1s 时刻，质点A 的速度为2m/s ，质点B 以v ＝2m/s 的速度做匀速直线运动，即t ＝1s 时，质点A 、B 速度相等，故D 正确。

高中物理讲义：运动图像追及和相遇问题一、运动图像[注1]1．x­t图像(1)物理意义：反映了物体做直线运动的位移随时间变化的规律。

(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时速度的大小,斜率正负表示物体速度的方向。

[注2]2．v­t图像(1)物理意义：反映了物体做直线运动的速度随时间变化的规律。

(2)斜率的意义：图线上某点切线斜率的大小表示物体此时加速度的大小,斜率正负表示物体加速度的方向。

(3)“面积”的意义①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内的位移。

②若面积在时间轴的上方,表示位移方向为正方向；若面积在时间轴的下方,表示位移方向为负方向。

二、追及和相遇问题1．追及问题的两类情况[注3](1)若后者能追上前者,追上时,两者处于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。

(2)若后者追不上前者,则当后者速度与前者速度相等时,两者相距最近。

2．相遇问题[注4]相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【注解释疑】[注1] 无论v­t图像还是x­t图像,描述的一定是直线运动。

[注2] 斜率是数学语言,表示直线的倾斜程度；斜率具有物理意义,可表示物体运动的速度或加速度。

[注3] 速度相等是判断追上或追不上的切入点。

[注4] 同向追及时,当追赶者位移等于被追赶者位移与初始间距之和时即相遇。

[深化理解]1．识图中常见的三类错误(1)错误地认为图像就是质点的运动轨迹。

(2)错将图线的交点都当成相遇,而v­t图线的交点表示该时刻速度相同。

(3)错误理解图线斜率的意义,比如认为v­t图像斜率为正,则质点一定做加速运动,斜率为负,则质点一定做减速运动。

2．追及和相遇问题分两类,一类为一定能追上,直接列位移方程,找位移关系；另一类为可能追上,需根据速度关系判断能否追上。

[基础自测]一、判断题(1)x­t图像和v­t图像都表示物体运动的轨迹。

专题1第4讲运动图像追及与相遇问题考点1：直线运动的v－t图像[想一想]甲、乙两物体的位移－时间图像如图所示，请思考以下问题：(1)甲、乙两物体各做什么性质的运动。

(2)甲、乙两物体速度的大小关系。

(3)甲、乙两物体的出发点相距多远。

提示：(1)甲、乙两物体均做匀速直线运动。

(2)甲物体的速度小于乙物体的速度。

(3)两物体的出发点相距为x0，且甲物体在前。

[记一记]1．物理意义：反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。

2．两种特殊的x -t图像(1)若x -t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动。

(2)若x -t图像是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。

3．x -t图像中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义[试一试]1.(多选)如图所示是一辆汽车做直线运动的x-t图像，对线段OA、AB、BC、CD所表示的运动，下列说法正确的是()A．OA段运动最快B．AB段静止C．CD段表示的运动方向与初始运动方向相反D．运动4 h汽车的位移大小为60 km解析：选BC图中CD段斜率的绝对值最大，故CD段的速度最大，A错误；AB段位移不随时间变化，说明AB段汽车静止，B正确；CD段的斜率与OA段的斜率符号相反，表明两段汽车的运动方向相反，C正确；4 h内汽车运动的总位移为零，D错误。

考点2：直线运动的v-t图像[记一记]1．图像的意义反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。

2．两种特殊的v -t图像(1)若v-t图像是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。

(2)若v -t图像是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。

3．v -t图像中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义[试一试]2.一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化规律如图所示，取开始运动方向为正方向，则下图中物体运动的v -t图像，正确的是()解析：选C由a-t图像可知：0～1 s内物体的加速度大小为1 m/s2，所以物体从静止开始做初速度为0的匀加速直线运动，1 s末速度为1 m/s,1～2 s内物体的加速度大小也为1 m/s2，方向与之前相反，所以物体以1 m/s的初速度做匀减速直线运动，在2 s末速度为0，以后按此规律反复，所以应选C。

[课下限时集训](时间：40分钟满分：100分)一、选择题(本题共10小题，每小题6分，共60分)1某物体运动的速度图象如图1所示，根据图象可知( )图1A．0～2 内的加速度为1 /2B．0～5 内的位移为10．第1 末与第3 末的速度方向相同D．第1 末与第5 末加速度方向相同解析：选A 0～2 内的加速度等于直线的斜率，即＝＝1 /2，选项A正确；0～5 内的位移等于图象与坐标轴所围图象的面积，即＝＝7 ，选项B错误；第1 末与第3 末的速度都是正值，即方向相同，选项正确；第1 末与第5 末的加速度分别是正值、负值，即方向相反，选项D错误。

2．质点做直线运动的v－图象如图2所示，规定向右为正方向，则该质点在前8 内平均速度的大小和方向分别为( )图2A．025 / 向右B．025 / 向左．1 / 向右D．1 / 向左解析：选B 由图象面积计算0～3 内质点的位移大小为1＝2×3× ＝3 ，方向向右，3～8 内位移大小为2＝2×5× ＝5 ，方向向左，所以前8 总位移＝1－2＝－2 。

＝＝ /＝－025 /，即前8 内平均速度大小为025 /，方向向左，B正确。

3(2013·大连测试)如图3所示为一个质点做直线运动的v－图象，下列判断正确的是( )图3A．质点在10～12 内位移为6B．质点在8～10 内的加速度最大．质点在11 末离出发点最远D．质点在8～12 内的平均速度为467 /解析：选在v－图象中，图线的斜率大小表示质点运动的加速度的大小，图线与横坐标轴围成的面积大小表示质点位移的大小，10～12 内，正向位移大小为3 ，负向位移大小为3 ，则总位移为0，A错误；0～5 内质点的加速度为04 /2,5～8 内质点的加速度为0,8～10 内质点的加速度为2 /2,10～12 内质点的加速度为－6 /2，则B错误；0～11 内质点一直正向运动，11 开始反向运动，正确；质点在8～12 内平均速度错误！未定义书签。

第一章 运动的描述 匀变速直线运动匀变速直线运动图像和追及相遇问题【考点预测】1.匀变速直线运动的v －t 图像、a －t 图像、xt －t 图像、v 2－x 图像等2. 追及相遇问题 【方法技巧与总结】 (1)a －t 图像由Δv ＝aΔt 可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示． (2)xt－t 图像 由x ＝v 0t ＋12at 2可得x t ＝v 0＋12at ，截距b 为初速度v 0，图像的斜率k 为12a ，如图乙所示．(3)v 2－x 图像由v 2－v 02＝2ax 可知v 2＝v 02＋2ax ，截距b 为v 02，图像斜率k 为2a ，如图丙所示．(4)追及相遇问题可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口． 【题型归纳目录】题型一： 区分x －t 图像和v －t 图像 题型二：用函数思想分析图像 题型三：图像间的相互转化 题型四： 公式法求解追及相遇问题题型五：图像法在追及相遇问题中的应用 【题型一】区分x －t 图像和v －t 图像 【典型例题】例1．（2023·西藏日喀则·统考一模）图（a ）所示的医用智能机器人在巡视中沿医院走廊做直线运动，图（b ）是该机器人在某段时间内的位移时间图像（后10s 的图线为曲线，其余为直线）。

以下说法正确的是（ ）A ．机器人在0-30s 内的位移大小为7mB ．10-30s 内，机器人的平均速度大小为0.35m/sC ．0-10s 内，机器人做加速直线运动D ．机器人在5s 末的速度与15s 末的速度相同 【方法技巧与总结】1．无论x －t 图像、v －t 图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x 与t 、v 与t 的函数关系，而不是物体运动的轨迹．2．x －t 图像中两图线的交点表示两物体相遇，v －t 图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇．3．位置坐标x －y 图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系．练1．（2023·河北邢台·河北巨鹿中学校联考三模）高铁改变生活，地铁改变城市！地铁站距短需要频繁启停，为缩短区间的运行时间需要较大的启动加速度。

运动图像 追击和相遇问题考点1 运动图象的物理意义及应用 1.位移-时间（s-t ）图象（如图1-4-1）(1)图线上的某点的纵坐标值表示运动物体该时刻对参考位置的距离，(2)任意一段时间间隔对应的纵坐标值的变化值表示该段时间内的位移（正负表示位移的方向）．(3)图线的斜率（曲线某点的切线斜率）表示速度． (4)图像与纵坐标的焦点代表出发点的位置 (5)图像与横坐标的焦点代表出发的时间 (6)图像与图像的焦点代表物体相遇2．速度-时间（v-t ）图象（如图1-4-2）(1)图线的斜率（曲线某点的切线斜率）表示加速度． (2)速度图线与时间轴围成的几何图形的“面积”表示该段时间内物体发生的位移的大小，时间轴上方的面积表示正向位移，下方的面积表示负向位移，代数和表示总位移，绝对值之和表示路程．【例1】一质点沿直线运动时的速度—时间图线如图1-4-3所示，则以下说法中正确的是： A ．第1s 末质点的位移和速度都改变方向．B ．第2s 末质点的位移改变方向．C ．0-4s 内质点的位移为零．D ．第3s 末和第5s 末质点的位置相同． 【例2】[易错题]如图1-4-4所示为表示甲、乙物体运动的s─t 图象，则其中错误的是：A ．甲物体做变速直线运动，乙物体做匀速直线运动B ．两物体的初速度都为零C ．在t 1 时间内两物体平均速度大小相等D ．相遇时，甲的速度大于乙的速度考点2 追及和相向相遇追及和相遇问题的特点：追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置．可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系．若同地出发，相遇时位移相等为空间条件．二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系．若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发Δt ，则运动时间关系为t 甲=t 乙+Δt ．要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系．【例3】火车以速率V 1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为S 处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率V 2作匀速运动，于是司机立即使车作匀减速运动，加速度大小为a,要使两车不致相撞，求出a 应满足关式．解析：设经过t 时刻两车相遇，则有21221at t V S t V -=+，整理得： 02)(2122=+-+S t V V at ，要使两车不致相撞，则上述方程无解，即图1-4-2 图1-4-1t/s V/ms-1 0 1 -11 2 3 4 5 图1-4-408)(442122<--=-=∆aS V V ac b ，解得SV V a 2)(221-≥．答案：SV V a 2)(221-≥[规律总结]无论那种追及或相遇问题，都可以建立位移和时间关系方程进行求解，在分析时注意区分几种追碰（或规避）情况的条件：（1）两物体同方向运动且开始相距一定距离，设前后物体的加速度分别为1a 、2a ，以下几种情况能追及（碰）：①二者同向加速，12a a >，如果二者速度相等时距离等于零，则能追上；若二者速度相等时距离不等于零则以后无法追上；；②二者同向加速，12a a <；③前一物体减速，后一物体加速，一定能追及；④前一物体加速，后一物体减速，如果二者速度相等时不能追上则以后无法追及；⑤二者均减速运动，12a a <，如果二者速度相等时不能追及则无法追及；12a a >，二者不相撞的安全条件是二者速度等于零时后一物体恰好追上前一物体．（2）两物体相反方向运动，列写位移和时间关系方程即可求解．【例4】[易错题]甲、乙两质点同时开始在彼此平行且靠近的两水平轨道上同时运动，甲在前，乙在后，相距s ．甲初速度为零，加速度为a ，做匀加速直线运动；乙以速度0v 做匀速运动，关于两质点在相遇前的运动，某同学作了如下分析：设两质点相遇前，它们之间的距离为s ∆，则t v s at s 0221-+=∆，当a v t 0=时，两质点间距离s ∆有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点之间距离最近．你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们的最小距离；如果认为是不正确的，请说明理由并作出正确的分析．解析：不正确．在两质点相遇之前，它们之间的距离s ∆也可能不断减小，直到0=∆s （相遇），而不存在先变小后变大的情况，这完全取决于两质点之间的初始距离s 与0v 、a 之间的大小关系．由s t v at s +-=∆0221可解得：判断式as v 220-=∆．当as v 220≥，即avs 220≤时，甲、乙之间的距离始终在减小，直至相遇（最小距离0=∆s ），两质点相遇前不会出现s ∆最小的情况．当as v 22<，即a v s 220>时，甲与乙不可能相遇，当avt 0=时，两质点之间的距离最近，avs s 220min-=∆．图像题型的拓展t x -图象的应用．t x -图象不一定是指位移时间图象，x 可以表示位移、也可以表示其他物理量．[真题1]（2007广东）平行板间加如图1-4-8（a ）所示周期变化的电压，重力不计的带电粒子静止在平行板中央，从t ＝U －U时刻开始将其释放，运动过程无碰板情况．图1-4-8（b ）中，能定性描述粒子运动的速度图象正确的是[真题2]（2007海南）两辆游戏赛车a 、b 在两条平行的直车道上行驶．t ＝0时两车都在同一计时处，此时比赛开始．它们在四次比赛中的v －t 图如图1-4-10所示．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆？[真题3]（2007山东理综）如图1-4-12(a)所示，光滑轨道MO 和ON 底端对接且ON ＝2MO ，M 、N 两点高度相同．小球自M 点右静止自由滚下，忽略小球经过O 点时的机械能损失，以v 、s 、a 、E K 分别表示小球的速度、位移、加速度和动能四个物理量的大小．图1-4-12(b)图象中能正确反映小球自M 点到N 点运动过程的是[真题4]（2007上海）固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力F 作用下向上运动，推力F 与小环速度v 随时间变化规律如图1-4-14所示，取重力加速度g ＝10 m/s 2．求：⑴小环的质量m ；⑵细杆与地面间的倾角．tAtBtCtD图1-4-8（b ） 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1 A 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1 B 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1 C 0 5 10 15 20 25 5 10 v /m·s －1Da b a b a b a b 图1-4-10 图1-4-12（a ）M N图1-4-12(b)O t v A O ts B Ota COtE kD图1-4-14限时训练答案1.CD2.C3.AC4.CD 5会撞上 6.BC 7. C 8.C 9.A 10.A◇限时基础训练（20分钟）1．如图1-2-5所示，I 、II 分别是甲、乙两小球从同一地点沿同一直线运动的v -t 图线，根据图线可以判断（ ）A ．甲、乙两小球作的是初速度方向相反的匀减速直线运动，加速度大小相同，方向相反B ．图线交点对应的时刻两球相距最近C ．两球在t ＝2s 时刻速率相等D ．两球在t ＝8s 时发生碰撞2．如图1-2-6所示，某同学沿一直线行走，现用频闪照相记录了他行走中9个位置的图片，观察图片，能大致反映该同学运动情况的速度－时间图象是图1-2-7中的（ ）3．两辆游戏赛车在a 、b在两条平行的直车道上行驶．t =0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始．它们在四次比赛中t v -图像的如图1-2-8图像所示．哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（ ）4．一质点从A 点沿直线向B 点运动，开始时以加速度1a 加速运动到AB 之间的某一点C ，然后接着又以加速度2a 继续作匀加速运动到达B 点．该质点若从B 点以加速度2a 运动到C 点，接着又以加速度1a 继续加速运动到达A 点，则两次运动的过程中( )A ．由于相同的路段加速度相同，所以它们所用的时间相同B ．由于相同的路段加速度相同，所以它们的平均速度大小相同C ．虽然相同的路段加速度相同，但先后的加速的加速度顺序不同，所用的时间肯定不同D ．由于相同的路段加速度相同，它们的位移大小相同，所以它们的末速度大小相同 5．甲、乙两汽车在一条平直的单行道上乙前甲后同向匀速行驶．甲、乙两车的速度分别为m /s 4001=v 和m /s 2002=v ，当两车距离接近到=s 250 m 时两车同时刹车，已知两图1-2-8A B C D 图1-2-6图1-2-7车刹车时的加速度大小分别为210.1m /s =a 和223/1m /s =a ，问甲车是否会撞上乙车?6．一物体做直线运动，速度图象如图2所示，设向右为正方向，则前s 4内( ) A ．物体始终向右运动B ．物体先向左运动，后s 2开始向右运动C ．前s 2物体位于出发点左方，后s 2位于出发点的右方D ．在s 2=t 时，物体距出发点最远7. 某物体运动的t v -图象如图1所示,则物体运动情况是( ) A. 往复来回运动 B.匀变速直线运动C. 朝同一方向做直线运动D.无法判断8．某同学从学校匀速向东去邮局，邮寄信后返回学校．在下图2中能够正确反映该同学运动情况的t s -图应是( )9．如图3所示，图线a 、b 、c 是三个质点同时同地开始沿直线运动的位移—时间图象，则0~0t 时间内( )A ．三质点的平均速度相等B ．a 的平均速度最大C ．三质点的平均速率相等D ．b 的平均速率最小 10．A 、B 两辆汽车在平直公路上朝同一方向运动，如图6所示为 两车运动的速度—时间图象，对于阴影部分的说法正确的是( )A ．若两车从同一点出发，它表示B 车追上A 车前两车的最大距离 B ．若两车从同一点出发，它表示B 车追上A 车前的最小距离C ．若两车从同一点出发，它表示B 车追上A 车时离出发点的距离D ．表示两车出发前相隔的距离图 6图 3 图2 图 1。