第一章二次函数复习课件

二次函数 y=ax2+bx+c的图象 和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的 判别式Δ=b2-4ac
有两个交点 有一个交点
有两个不相 等的实数根 有两个相等 的实数根 没有实数根
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0 b2-4ac < 0
没有交点
B
1.从抛物线上两点的纵坐 标相等获得对称信息; A
2.从抛物线上两点之间的 线段被抛物线的对称轴垂 直平分获得对称信息.
0
B
形成天才的决定因素应 该是勤奋.
求抛物线解析式的三种方法
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) ________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 y=a(x-h)2+k(a≠0) 抛物线解析式为_______________ 3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) (x2,0),通常设解析式为_____________
y
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2 1
o
y=2(x-1)2
1 2
x
2
-1 -2
2 y=a(x-h) +k
y=2(x-1) +2的图象可看作是 2 由y=2x 的图象经过怎样平 移得到的
y=2x2+2 y
y=2(x-1)2+2 y=2x2
2 1
o
1
2
x
-1
2 y=a(x-h) +k
观察y=x2与y=x2-6x+7的函数图象，说说y=x2-6x+7的图象 是怎样由y=x2的图象平移得到的？
练习（四） 填空
1 2 1、二次函数y= 2 x +2x+1写成顶点式为： 1 y= 2 (x+2)2-1 x=-2 ，顶点为______ (-2，-1) __________，对称轴为_____
2、已知二次函数y=0 。 顶点在y轴上，则b=___
1 2 2 x +bx-5的图象的
练习
根据下列条件，求二次函数的解析式。
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
2.选择
(1)抛物线y=x2-4x+3的对称轴是______. c A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2
B (2)抛物线y=3x2-1的__________
A 开口向上,有最向下,有最低点
想一想
我思考，我进步
2 形如:y=ax +bx+c(a≠0)
的函数叫二次函数
y
O
抛物线
x
想一想
我思考，我进步
（一）形如y = ax 2 (a≠0) 的二次函数
二次函数
开 口 方 向 对 称 轴 顶 点 坐 标
a＞0
向上
向下
y = ax
2
X=0
(0,0)
a＜0
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
巩固练习1： 2 （1）抛物线y= 3 x2的开口向 上 ,对称 轴是 Y轴 ,顶点坐标是 (0,0) ,图象过 第 1、2 象限 ；
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
y B C O A x
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。 (1)当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)当x为何值时，y<0。 y (3)求它的解析式和顶点坐标；
O
x
业精于勤荒于嬉
（2）已知（如图）抛物线y=ax2+k的 图象，则a ＞ 0，k ＜ 0； 若图象过A (0,-2) 和B (2,0) ， 则a= 1/2 ,k= - 2 ； Y 函数关系式是 y = 1/2x2-2 。 O
B X A
想一想
我思考，我进步
（三）、形如y=a (x-h) 2( a≠0 ) 的二次函数
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
探究练习:
1.若a>0, b>0, c>0,你能否画出 y=ax2+bx+c 的大致图象呢?
0
0
0
要画出二次函数的大致图象,不但 要知道a,b,c的符号,还必须明白b2-4ac 的大小.
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
abc___0 > 2a+b_____0 <
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
二次函数复习
想一想
我思考，我进步
说一说：通过二次函数的学习，
你应该学什么？你学会了什么？ 1、理解二次函数的概念； 2、会用描点法画出二次函数的图象；
3、会用配方法和公式确定抛物线的开口方向， 对称轴，顶点坐标；
4、会用待定系数法求二次函数的解析式； 5、能用二次函数的知识解决生活中的实际问题 及简单的综合运用。
2的开口向 下
练习巩固3：
(1)y = - 2(x+3) 对称轴是 x=-3 ,
，
顶点坐标是 ， （-3，0）
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业精于勤荒于嬉
（2）如图是y = a（x-h）2的图象， 则a ＜ 0，h ＞ 0 ； 若图象过A (2，0) 和B (0,-4) 则 a = -1 , h= 2 ； 2 （ x -2 ） 函数关系式是 y = 。
(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2， 图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过 点（3，-6）。求a、b、c。
a___0, b_< _0, c___0, < >
= b = 2a, 2a-b___0, b2-4ac_____0 >
< a+b+c_____0, > a-b+c____0 > 4a-2b+c_____0
-2 -1
0
1
对称是一种数学美，它展 示出整体的和谐与平衡之美， A 抛物线是轴对称图形，解题中 应积极捕捉，创造对称关系， 以便从整体上把握问题，由抛 物线捕捉对称信息的方式有： 0
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业精于勤荒于嬉
2x + 1
3.说说下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 -
y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1 =(x-1)2
因为a=1>0, 所以开口向上 对称轴:直线x=1 顶点坐标:(1,0)
解:y= -2x2-4x-6 = -2(x2+2x+1+2) = -2(x+1)2-4 因为a=-2<0, 所以开口向下 对称轴:直线x=-1 顶点坐标:(-1,-4)
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=a（x-h)2
a ＞ 0 向上 a ＜0 向下 x=h （h,0）
我思考，我进步 y=a(x-h)2 (a≠0)
想一想
y y=2(x+1)2 2 y=2(x-1)2 y=2x y=2(x+2)2
-2 -1 o 1 2
y=2(x-2)2
x
小试牛刀
业精于勤荒于嬉
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的对称轴是 x=1 ，最高点在直线y=2x+4上。 （1）求抛物线解析式. （2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1 ∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（1，6）
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负 半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于 点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求 抛物线解析式。
二次函数 开口方向 对称轴
顶点坐标
a＞ 0
向上
y = ax2+k
a<
0 向下
x=0 （0，k）
业精于勤荒于嬉 巩固练习2：
小试牛刀
（1）抛物线y = x 2+3的开口 向 上 ,对称轴是 x=0,顶点坐标 1 （0，3） 是 ,是由抛物线y = 2 x2
向 上 平移 3 个单位得到的；
1 2
小试牛刀
y A X
O
B
想一想
我思考，我进步
(四) 形如y=a (x-h)2 +k (a ≠0) 的 二次函数
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
a＞0
y=a(x-h)2+k
向上
向下
x=h （h，k）
a＜0
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练习巩固4: （1）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 上 , 对称轴 x=1/2 , 顶 点坐标是（1/2，1） ； （2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开 口向下，顶点在第四象限，则 a ＜ 0, m ＜ 0, n ＜ 0。
（2）已知（如图）二次函数y=mx2的 o < 图象，则m 0； .A 若图象过(2,-4)，则m= -1 ；