甘肃省金昌市第一中学高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案 新人教A版选修1-1

2021年高中数学1.2.1几个常用函数的导数教学案新人教A版选修2-2一．预习目标1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．预习内容1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）2．利用上述步骤求函数当时的导数，并说明其几何意义。

.三．提出疑惑课内探究学案一．学习目标1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数二．学习过程（一）。

复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是：（1）（2）（3）（二）。

提出问题，展示目标我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（三）、合作探究1．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

2．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

3．利用导数定义求函数的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

4．利用导数定义求函数的导数。

5．利用导数定义求函数的导数。

6．你能从一般角度推广函数的导数吗？（四）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。

（1）从图像上看，它们的导数分别是什么？（2）这三个函数中哪一个增加的最快？哪一个增加的最慢？（3）函数增（减）的快慢与什么有关？三．反思总结1.几个常用的函数的导数为：2.可以推广的一般结论为：四．当堂检测：画出函数的图像，根据图像描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程。

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.1几个常用函数的导数导学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数．【重点难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 【学习内容】一．问题提出导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．二．新课学习1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（3）基本初等函数的导数公式表：为方便，下列公式可直接应用三、典例分析例1． 求 (1)(x 3)′ (2)(21x )′例2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为() A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18题后反思：导数的几何意义是：例3．质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度．四、课堂练习1.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度.3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1e B ．－1e C ．－e D ．e.【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1求下列函数的导数（1）2log y x = （2）y =e x（3）y =x 5 （4）y=sin x（5）y =ln x （6）y =a x2.已知圆面积公式2S r π=，求()r S '。

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：马长琴 审稿人：张林1.2.1几个常用函数的导数一．教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．二．教学重点，难点 重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用 难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 三．教学过程：（一）．创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（二）．新课讲授1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim11x x y y∆→∆→∆'=== 1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim(2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆ 2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim()x x y y x ∆→∆→∆'==-=-∆5．函数y =因为()()y f x x f x x x x∆+∆-==∆∆∆==所以00lim lim x x y y x ∆→∆→∆'===∆6推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案新人教A 版选修1-1了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调区间。

2、 过程与方法通过本节的学习,掌握用导数研究函数单调性的方法。

3、 情感、态度与价值观通过实例探究函数的单调性与导数的关系。

通过这一过程,提高理性思维的能力。

教学重难点重点：函数单调性和导数的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调区间。

难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系 教学过程一、 复习引入：1. 常见函数的导数公式：'=C ；1)'(-=n n nx x ；xx cos )'(sin =；xx sin )'(cos -=xx 1)'(ln =xx a a l o g 1)'(log =x x e e =)' a a a x x ln )'(= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=法则3 '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、 讲授新课1．问题：图3.3-1（1）,它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像,我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函数．相应地,'()()0v t h t =>．（2） 从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减函数．相应地,'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 3.3-3,导数'0()f x 如图表示函数线的斜率．在0x x =处,'0()0f x >,切线是“左下右上”式的,这时,函数()f x 在0x 附近单调递增； 在1x x =处,'0()0f x <,切线是“左上右下”式的,这时,函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内,如果'()0f x >,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的,如果'()0f x =,那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <,解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息： 当14x <<时,'()0f x >； 当4x >,或1x <时,'()0f x <； 当4x =,或1x =时,'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时,'()0f x >,可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >,或1x <时,'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减； 当4x =,或1x =时,'()0f x =,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”． 综上,函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性,并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+,所以,'22()333(1)0f x x x=+=+>因此,3()3f x x x=+在R上单调递增,如图（1）所示．3.3-5（2）因为2()23f x x x=--,所以, ()'()2221f x x x=-=-当'()0f x>,即1x>时,函数2()23f x x x=--单调递增；当'()0f x<,即1x<时,函数2()23f x x x=--单调递减；函数2()23f x x x=--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)f x x x xπ=-∈,所以,'()cos10f x x=-<因此,函数()sinf x x x=-在(0,)π单调递减,如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x=+-+,所以．当'()0f x>,即时,函数2()23f x x x=--；当'()0f x<,即时,函数2()23f x x x=--；函数32()23241f x x x x=+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图,水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．分析：以容器（2）为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后高度增加得越来越快．反映在图像上,（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明,通过函数图像,不仅可以看出函数的增减,还可以看出其变化的快慢．结合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快,这时,函数的图像就比较“陡峭”；反之,函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示,函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”, 在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时,'0y <,所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）判断()'fx 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0fx >为增函数,()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数,求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x =+-,因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数,所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立,即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立,解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值范围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增,则'()0f x ≥；若函数单调递减,则'()0f x ≤”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．例6．已知函数y =x +x1,试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x +x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=-令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞,－1)和(1,+∞).令2)1)(1(x x x -+＜0,解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x1的单调减区间是(－1,0)和(0,1) 四、课堂练习：1．确定下列函数的单调区间 (1)y =x 3－9x 2+24x (2)y =3x －x 3(1)解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0,解得x ＞4或x ＜2.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(－∞,2) 令3(x －2)(x －4)＜0,解得2＜x ＜4.∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2,4)(2)解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=－3(x 2－1)=－3(x +1)(x －1) 令－3(x +1)(x －1)＞0,解得－1＜x ＜1. ∴y =3x －x 3的单调增区间是(－1,1).令－3(x +1)(x －1)＜0,解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =3x －x 3的单调减区间是(－∞,－1)和(1,+∞) 2、设)x (f y '=是函数)x (f y =的导数, )x (f y '=的 图象如图所示, 则)x (f y =的图象最有可能是( )小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？五、课堂小结 ：1.函数导数与单调性的关系:若函数y =f (x )在某个区间内可导,如果f ′(x )>0, 则f (x )为增函数;如果f ′(x)<0, 则f (x )为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.六、课后作业：课本 习题3.3 A 组 1,2 【思考题】对于函数f (x )=2x 3－6x 2+7思考1、能不能画出该函数的草图？思考2、3276x x +=在区间（0,2）内有几个解？ 1．确定下列函数的单调区间(1) 2y x x =- (2)3y x x =-2.讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间.。

高一数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新课标人教A 版选修1—1编号20 等级：周次上课时间月 日 周课型新授课主备人胡安涛使用人课题 3.3.1函数的单调性与导数教学目标1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。

2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学重点会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学难点证明单调性课前准备多媒体课件（1）常函数：0'=C (C 为常数)； （2）幂函数 ：1)'(-=n nnxx (Q n ∈)（3）三角函数 ：（4）对数函数的导数: 1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a'= （5）指数函数的导数: ().x xe e '= ()ln (0,1).xxa a a a a '=>≠二。

【创设情境】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地, ()()0.v t h t '=>②从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, ()()0.v t h t '=<观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是常数。

§1.2.1几个常用函数导数学习目标1.掌握四个公式，理解公式的证明过程；2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？典型例题例1 求函数1()y f x x==的导数变式： 求函数2()y f x x ==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1y x=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.动手试试练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.练2. 求函数()y f x ==三、总结提升学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里.”学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .课后作业1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.。

3.2.1 几个常用函数的导数教学目标重点:根据导数的定义求四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==的导数难点：四个函数()y f x c ==，()y f x x ==，1()y f x x ==，2()y f x x ==几何意义和物理意义的解释知识点：利用导数的定义求函数的导数能力点：利用定义求其它函数的导数教育点：定义法求解的步骤考试点：根据导数定义求函数在某一点处导数的方法易错易混点：利用定义求切线方程时，分清所给点是否为切点拓展点：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点教具准备多媒体课堂模式学案导学一、 引入新课复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般步骤：（1）求函数的改变量y ∆=()()f x x f x +∆-（2）求平均变化率y x ∆=∆()()f x x f x x+∆-∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ∆∆→∆0lim=0()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆ [师生活动]教师引导：那么，对于函数)(x f y =，如何求它的导数呢？学生回答：可以根据导数的定义.求求函数)(x f y =的导数，就是求出x ∆趋近于0时，yx∆∆所趋于的那个定值. 教师引导：那我们可以根据定义求导，这就是我们今天要学习的内容.[设计意图]通过复习旧知识得到证明新知识的方法，使得学生易于理解、接受.[设计说明]由已知到未知，过渡自然.二、 探究新知教师提问：根据前面求导数的步骤，你能够求函数()y f x c ==的导数吗？学生回答：可以，根据定义可以得出.师生共同完成： 因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=0c c x -=∆ 所以/y ＝x y x ∆∆→∆0limlim 00x ∆→== 教师提问：利用几何意义，0y '=表示什么意思？学生回答：根据导数的几何意义可知，其表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为0. 教师提问：若y c =表示路程关于时间的函数，则y '=0，可以怎么解释呢？学生回答：可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.教师提问：利用相同的方法，你能够求函数()y f x x ==的导数吗？学生回答：可以. 学生完成：因为y x ∆=∆()()f x x f x x +∆-∆=1x x x x +∆-=∆ 所以/y ＝x y x ∆∆→∆0lim 0lim11x ∆→== 教师提问：同样，1y '=表示的几何意义呢？学生回答：函数y x =图象上每一点处的切线斜率为1.教师提问：若y x =表示路程关于时间的函数，则y '=1，可以怎么解释？学生回答：可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.教师提问：大家思考以下这个问题，在同一平面直角坐标系中，你能画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数吗？学生回答：可以.教师提问：从图象上看，它们的导数分别表示什么？学生回答：它们的导数分别表示这些直线的斜率.教师提问：你能够根据导数的定义求它们的导数吗？学生经过演算可以得出教师提问：这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？学生回答：4y x =增加得最快，2y x =增加得最慢教师提问：函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？学生回答：函数(0)y kx k =>增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加的越快，k 越小，函数增加的越慢. 函数(0)y kx k =<减少的快慢与k 有关系，即与函数导数的绝对值有关系，k 越大，函数减少的越快，k 越小，函数减少的越慢.教师引导：由这两个例子，大家可以知道对于所有的函数，我们都可以利用定义求它们的导数.那么，对于常用的几个函数的导数，要求大家记住并且要求会写求导的步骤.下面，我们进一步的学习几个常用函数的导数.[设计意图] 通过求简单函数y c =及()y f x x ==的导数，达到让学生掌握住求函数导数步骤及明确导数的几何意义的目的三、理解新知1、()y f x c ==的导数0y '=，()y f x x ==的导数1y '=2、导数的几何意义是：曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.[设计意图]为准确的应用新知识，作必要的铺垫.四、运用新知例1求函数2()y f x x ==的导数[师生活动]教师提问：类比上面的导数的求法，你能得出2()y f x x ==的导数吗？ 学生思考回答：可以.师生共同分析得出[答案]. 解：因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ =22222()2()x x x x x x x x x x+∆-+∆+∆-=∆∆ =2x x +∆所以/y ＝xy x ∆∆→∆0lim 0lim(2)2x x x x ∆→=+∆= [设计意图]：通过教师的板书，使得学生进一步明确解题的步骤；并且锻炼学生的活用知识的能力.例2、已知函数1y x=，根据图象试描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. [师生活动]教师提问：函数1y x=的图像分布在第几象限？变化情况怎样？做出如上的图像学生回答：分布在第一和第三象限，在各自的象限内随着x 的增大，函数值减小 教师提问：求切线的方程，先求什么？学生回答：切线的斜率，即在0x x =的导数解：结合图像可知：当0x <时，随着x 的增加，函数1y x =减少的越来越快；当0x >时，随着x 的增加， 函数1y x =减少的越来越慢. 又因为y x∆=∆()()f x x f x x +∆-∆ 11x x x x-+∆=∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+∆， 所以/y ＝x y x ∆∆→∆0lim 22011lim()x x x x x∆→=-=-+∆ 即k ='21(1)11f =-=-， 所以曲线在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)y x -=--，即20x y +-=.【设计意图】根据导数的几何意义，可以求切线的方程.五、课堂小结教师提问：我们本节课，你学习到了什么知识点？学生回答：1. 利用定义求导法的方法，求导的三个步骤：作差，求商，取极限.2. 利用导数求切线方程时，要判断所给点是否为切点.教师总结：求导的三个步骤：作差，求商，取极限. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.【设计意图】：通过总结知识点，让学生明白本节的主要内容，便于掌握.六、布置作业七、教后反思1.本节课的亮点是把用定义求导数的步骤讲解的细致，便于学生接受.2.本节课的弱项是利用导数求切线方程时，对于要判断所给点是否为切点的问题没有进一步的说明.八、板书设计。

1. 2.1几个常用函数的导数课前预习学案一．预习目标1．会由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．预习内容1.用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是： （1） （2） （3）2．利用上述步骤求函数()f x x =当1x =时的导数，并说明其几何意义。

. 三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一． 学习目标1．会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式；2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数二． 学习过程（一）。

复习回顾用导数定义求函数在一点处的导数的一般步骤是： （1） （2） （3）（二）。

提出问题，展示目标我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．（三）、合作探究1．利用导数定义求函数()y f x c ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

2．利用导数定义求函数()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

3．利用导数定义求函数2()y f x x ==的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义。

4．利用导数定义求函数1()y f x x==的导数。

5．利用导数定义求函数y x =的导数。

6．你能从一般角度推广函数*()()ny f x x n Q ==∈的导数吗？（四）例题精析例题：在同一坐标系中画出函数2,3,4y x y x y x ===的图像，并根据导数的定义，求出它们的导数。

§1.2.1几个常见函数的导数教学目标：1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式； 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式． 教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。

【教师引入】我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．【教师过渡】 ：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念探究1．函数()y f x c ==的导数根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．探究2．函数()y f x x ==的导数因为()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．探究3．函数2()y f x x ==的导数 因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆ 所以00lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 探究4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x -∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x∆→∆→∆'==-=-∆探究5．函数()y f x ==的导数因为()()y f x x f x x x∆+∆-==∆∆== 所以0lim lim x x yy x ∆→∆→∆'===∆（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（四）、知识应用，深化理解 例1. 求下列函数的导数．⑴3x ⑵21x ⑶x解：⑴=')(3x 133-x 23x =⑵='⎪⎭⎫ ⎝⎛21x )(2'-x 32--=x 32x -=⑶=')(x )(21'x 12121-=x 2121-=x .21x =求下列函数的导数。

2019-2020年高二数学选修2-2几种常见函数的导数教案新课标人教版教学目的使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数的导数公式，掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．教学重点和难点掌握并熟记四种常见函数的求导公式是本节的重点．正整数幂函数及正、余弦函数的导数公式的推导是本节难点．教学过程一、复习提问1．按定义求导数有哪几个步骤？2．用导数的定义求下列各函数的导数：(1)y＝x5；(2)y＝c．二、新课1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式．2．几个常见函数的导数公式．(1)设y=c(常数)，则y'=0．此公式前面已证．下面我们还可以用几何图象对公式加以说明(图2－6)．因为y=c的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0．此公式可叙述成“常数函数的导数为零”．(2)(x n)'＝nx n-1(n为正整数)．“正整数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的(n－1)次幂的乘积”．(3)(sinx)'=cosx．证明：y＝f(x)=sinx，在学生推导过程中，教师要步步追问根据及思路．如：此公式可叙述成“正弦函数的导数等于余弦函数”．(4)(cosx)'=－sinx．此公式证明由学生仿照公式(3)独立证明．此公式可叙述成“余弦函数的导数等于正弦函数前面添一个负号”．三、练习(课文练习)四、小结四种常见函数的导数公式1．(c)'＝0(c为常数)，2．(x n)'＝nx n-1，3．(sinx)'＝cosx， 4．(cosx)'=－sinx．五、布置作业。