(完整版)对数函数图像及其性质题型归纳,推荐文档

对数函数考点与题型归纳一、基础知识1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y＝log a x的3个特征(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0；(3)函数值域为R.2．对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质底数a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．考点一 对数函数的图象及应用[典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( )(2)已知当0<x ≤14时，有x <log a x ，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x －1)，x >1，lg (1－x )，x <1.当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意．(2)若x <log a x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，作出图象如图所示．由图象知14<log a 14， 所以⎩⎨⎧0<a <1，a 12>14，解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清]1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1.答案：(1，＋∞)3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2<log a x (a >0，且a ≠1)对x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，求实数a 的取值范围．解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x ) ＝x 2在⎝⎛⎭⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12上恒成立，需f 1⎝⎛⎭⎫12≤f 2⎝⎛⎭⎫12， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.考点二 对数函数的性质及应用考法(一) 比较对数值的大小[典例] (2018·天津高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b[解析] 因为c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a ，所以c ＞a .因为b ＝ln 2＝1log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b .所以c ＞a ＞b . [答案] D考法(二) 解简单对数不等式[典例] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12考法(三) 对数型函数性质的综合问题[典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3， 函数f (x )的定义域为(－1,3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．[题组训练]1．已知a ＝2-13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选C 0<a ＝2-13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213＝log 23>1，∴c >a >b .2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A ∵－1<x <0，∴0<x ＋1<1.又∵f (x )>0，∴0<2a <1，∴0<a <12.3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞[课时跟踪检测]A 级1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D.⎝⎛⎭⎫23，＋∞解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)＋1≥0，2x －1＞0，即⎩⎨⎧log 3(2x －1)≥log 313，x ＞12，解得x ≥23.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x解析：选D ∵log 12x <log 12y <log 121，∴x >y >1.4．(2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( )解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.5．(2018·惠州调研)若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >bD ．a >b >c解析：选D 依题意，得a >1,0<b ＝log π3<log ππ＝1，而由0<sin 2π5<1,2>1，得c <0，故a >b >c .6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 128．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________.解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以log b a ＝1.答案：19．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)．答案：(5，＋∞)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a ).解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．求函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值．解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3a 且f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，即0<a <1，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，得0<1－1x<1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

对数与对数函数知识点及题型归纳总结知识点精讲一、对数概念(0)log (01)x a a N N n N a a =>⇔=>≠且，叫做以a 为底N 的对数.注：①0N >，负数和零没有对数；②log 10,log 1a a a ==； ③10lg log ,ln log e N N N N ==. 二、对数的运算性质(1)log ()log log (,);(2)log log log (,);(3)log log ();log (4)log (01,0,01)log a a a a a a n a a c a c MN M N M N R M M N M N R N M n M M R bb a a bc c a+++=+∈⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭=∈=>≠>>≠且且（换底公式）特殊地1log (,01,1)log a b b a b a b a=>≠≠且； log (5)log log (,0,0,1,)(6)(0,01)(6)log (,01).m a n a a NN a nb b a b m a n R ma N N a a a N N R a a =>≠≠∈=>>≠=∈>≠；且；且化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.三、对数函数（1）一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数. （2）对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质，如表2-7所示.log a y x =1a > 1a <图像题型归纳及思路提示题型1 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算例2.56552log 10log 0.25+=（ ）.0A.1B.2C.4D分析log log log log log ().n m n ma a a a a n x m y x y x y +=+=解析225555552log 10log 0.25log 10log 0.25log (1000.25)log 52+=+=⨯==故选C .评注熟记对数的各种运算性质是求解本类问题的前提. 变式1 已知,x y 为正实数，则（ ）lg lg lg lg .222x y x y A +=+lg()lg lg .222x y x y B +=⋅ lg lg lg lg .222x y x y C ⋅=+lg()lg lg .222xy x y D =⋅变式2 22(lg 2)lg 4lg5(lg5)+⋅+= ________.. 变式3 222lg5lg8lg5lg 20(lg 2)3++⋅+= ________.. 例2.57274log 81log 8+=________. .解析324327342324433log 81log 3log 3,log 8log 2log 2.3322====== 所以原式4317.326=+= 变式1 = ________.. 例2.58 lg30lg0.515()3⨯= ________.. 分析(,0)log log .c c a b a b a b =>⇒= 解析lg30lg0.515(),3x ⨯=则()lg0.5lg30lg0.5lg30111lg lg 5()lg 5lg lg30lg5lg 0.5lg 333x ⎡⎤⎛⎫=⨯=+=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭(lg30lg3)lg5(lg5lg10)(lg1lg3)lg5lg3lg5lg 3lg5lg3=+⋅+--=+⋅-⋅+lg15=所以15x = 二、对数方程例2.59解下列方程：22111(1)(lg lg3)lg5lg(10);22(2)log (231) 1.x x x x x --=---+= 分析利用对数的运算性质化简后求解. 解析（1）11(lg lg3)lg5lg(10)22x x -=--，首先方程中的x 应满足10x >，原方程可变形为lg lg32lg5lg(10)x x -=--，即25lg lg310x x =-，得25310x x =-，从而15x =或5x =-（舍），经检验，15x =是原方程的解.（2）221log (231)1x x x --+=，222210112311x x x x x ⎧->-≠⎪⇔⎨-+=-⎪⎩且，解得2x =. 经检验2x =是方程的解.评注解对数方程一定要注意对数方程成立条件下x 的取值范围，是检验求出的解是否为增根的主要依据.变式1 函数2()log (41).xf x ax =+-（1）若函数()f x 是R 上的偶函数，求实数a 的值； （2）若4a =，求函数()f x 的零点.三、对数不等式例2.60设01a <<，函数()2()log 22x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 的取值范围是（）.(,0)A -∞.(0,)B +∞.(,log 3)a C -∞.(log 3,)a D +∞分析先将对数不等式化为同底的形式，再利用单调性转化为指数不等式求解.解析()2()log 220log 1x x a a f x a a =--<=，又01a <<，函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，得22221230(3)(1)0x x x x x x a a a a a a -->-->⇒-+>即，因为10x a +>，故3x a >，又01a <<，所以log 3.a x <故选.C变式1 已知函数()f x 为R 上的偶函数，且在[]0,+∞上为增函数，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式13log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为 .例2.61设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则（ ）.Aa c b <<.Bb c a << .C a b c <<.Db a c <<分析利用对数函数的单调性来比较对数的大小，通常借助0和1作为分界点. 解析因为5log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以25545554log 3log 41,log 51(log 3)log 3log 41log 5b a c <<>⇒<<<<⇒<<且故选D .变式1 设2lg ,(lg ),a e b e c === ）.Aa b c >> .B a c b >> .C c a b >>.Dc b a >>变式2 设324log 0.3log 3.4log 3.615,5,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）.Aa b c >> .Bb a c >> .C a c b >>.Dc a b >>变式4 （2012大纲全国理9）已知125ln ,log 2,x y z eπ-===，则（）.A x y z << .B z x y << .C z y x <<.D y z x <<题型2 对数函数的图像与性质思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向. 一、对数函数的图像例2.62如图2-15所示，曲线1234,,,C C C C 是底数分别为,,,a b c d 的对数函数的图像，则曲线1234,,,C C C C 对应的底数,,,a b c d 的取值依次为（）11.3,2,,32A11.2,3,,32B11.2,3,,23C11.3,2,,23D分析给出曲线的图像，判定1234,,,C C C C 所对应的,,,a b c d 的值，可令1y =求解.解析如图2-16所示，作直线1y =交1234,,,C C C C 于,,,A B C D ，其横坐标大小为01c d a b <<<<<，那么1234,,,C C C C 所对应的底数,,,abcd的值可能一次为112,3,,32.故选B .评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则01c d a b <<<<<.log (01)a y x a a =>≠且在第一象限的图像，a 越大，图像越靠近x 轴；a 越小，图像越靠近y 轴.变式 1 若函数()(01)xf x a a a -=>≠且是定义域为R 的增函数，则函数()log (1)a f x x =+的图像大致是（ ）变式2 设,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）.Aa b c <<.B c b a <<.C c a b <<.Db a c <<例2.63函数log (1)2a y x =++的图像必过定点.分析对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像过定点(1,0)，即log 10a =.解析因为log (01)a y x a a =>≠且恒过点(1,0)，故令11,0x x +==即时，log (1)0a y x =+=，故log (1)2a y x =++恒过顶点(0,2).变式1 函数log (2)21a y x x =++-的图像过定点. 二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））例2.64 设1a >，函数()log a f x x =在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） 分析本题考查对数函数的单调性和最值.解析因为对数函数的底1a >，所以函数()log a f x x =在区间[],2a a 上单调递增，故max min 1()log 2,()log 1,log 212a a a f x a f x a a ===-=，即1log 22a =解得4a =故选D . 变式1 若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）AB1.4C1.2D 例2.65设21122222(log )7log 30,()log log 24x x x x f x ⎛⎫⎛⎫++≤=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求的最大值和最小值. 解析2111122222(log )7log 30(2log 1)(log 3)0x x x x ++≤⇔+⋅+≤1213log 2x ⇔-≤≤-8x ≤≤.又22222()(log 1)(log 2)(log )3log 2f x x x x x =--=-+.令21log ,32t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2()()32f x g t t t ==-+当3,2t x ==即min max 1();3,8,() 2.4f x t x f x =-===当即时 变式1 已知[]3()2log (1,9)f x x x =+∈，求函数[]22()()()g x f x f x =+的最大值与最小值.例2.66若函数212log (0)()log ()(0)x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，且()()f a f a >-则实数a 的取值范围是.解析依题意，函数()f x 的图像如图2-17所示，知()f x 为奇函数，由()()f a f a >-的得()0f a >，解得(1,0)(1,)a ∈-+∞.变式1 已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）2,)A +∞).32,B ⎡+∞⎣.(3,)C +∞[).3,D +∞变式2 定义区间[]1212,()x x x x <的长度为21x x -，已知函数12()log f x x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 .题型3 对数函数中的恒成立问题 思路提示（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.例2.67 已知函数124()lg 3x xa f x ++⋅=，若(),1x ∈-∞时有意义，求a 得取值范围.解析因为124()lg 3x x a f x ++⋅=在(),1x ∈-∞上有意义，即12403x xa ++⋅>在(),1-∞上恒成立. 所以1142x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦在(),1-∞上恒成立.令()11(),,142x x g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+∈-∞⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因为14x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞上为减函数，故()g x 在(),1-∞上为增函数，所以对任意的(),1x ∈-∞时，3()(1)4g x g <=-.因为1142x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦在(),1-∞上恒成立，所以34a ≥-.所以a 的取值范围是3,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 评注为了求a 的取值范围，把a 进行了分离，若()g x 存在最大值，则()g x a <恒成立等价于max ()g x a <；若()g x 不存在最大值，设其值域为()(),g x m n ∈，则()g x a <恒成立等价于a n ≥. 变式1 当(1,2)x ∈时，不等式()21log a x x -<恒成立，则a 的取值范围是（）.(0,1)A .(1,2)B (].1,2C 1.0,2D ⎛⎫⎪⎝⎭变式 2 函数()log (3)(01)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图像上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图像上的点.（1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3a a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.最有效训练题1.设0.211221log 2,log 3,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）.Aa b c <<.B a c b <<.C b c a <<.Db a c <<2.设函数2log (1)(2)()11(2)2x x x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩，若0()1f x >，则0x 的取值范围是（ ）.(,0)(2,)A -∞+∞.(0,2)B.(,1)(3,)C -∞-+∞.(1,3)D -3.设定义在区间(,)b b -上的函数1()lg12axf x x+=-是奇函数(,2)a b R a ∈≠且，则b a 的取值范围是（ ）(.A(.BCD4.已知log (2)a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ）.(0,1)A.(1,2)B.(0,2)C.(2,)D +∞5.已知lg lg 0a b +=，则函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）6.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，2()f x x =，则函数5()log y f x x =-的零点个数是（ ）.3A.4B.5C.6D7.设函数()ln(1)f x x =+，若1()()a b f a f b -<<=且，则a b +的取值范围是________. 8.已知lg lg 2lg(23)x y x y +=-，则23log y x ⎛⎫=⎪⎝⎭________. 9.若函数2log (1)a y x ax =-+在[]1,2上为增函数，则实数a 的取值范围是________..10.已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <，且()()f m f n =，若()f x 在区间2,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为2，则m n +=________.11.设121()log 1ax f x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭为奇函数，a 为常数. （1）求a 的值；（2）证明：()f x 在区间(1,)+∞内单调递增；（3）若对于区间[]3,4上的每一个x 值，不等式1()2xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.12.已知集合1,22P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，函数22log (22)y ax x =-+的定义域为Q .（1）若P Q ≠∅，求实数a 的取值范围；（2）若方程22log (22)2ax x -+=在P 内有解，求实数a 的取值范围.。

3.3对数函数y=log a x 的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.2.对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质。

log a y x = 1a > 1a <图像性质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是增函数（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）0<a<1自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； a>1自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；1．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性． （1）12log ()y x =-； （2）12log y x =-； （3）12log ||y x =．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.【详解】（1）由12log ()y x =-知：定义域为(,0)-∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （2）由12log y x =-知：定义域为(0,)+∞，图象如下：∴由图知：函数在(0,)+∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （3）由12log ||y x =知：：定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，且偶函数.2．设a 与b 为实数，0a >，1a ≠.已知函数log ()a y x b =+的图象如图所示，求a 与b 的值.【答案】3a =，3b =【分析】由图象可知，函数图象过点(2,0),(0,2)-，将点的坐标代入函数中，可得关于,a b 的方程组，从而可求出,a b 的值【详解】由图象可知，函数log ()a y x b =+的图象过点(2,0),(0,2)-， 所以0log (2)a b =-+，且2log a b =，由0log (2)a b =-+，得21b -+=，解得3b =， 则2log 3a =，得3a =， 所以3a =，3b =3．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出它们之间的关系． (1)5log y x =； (2)15log y x =；(3)5x y =．【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】根据指数函数和对数函数的解析式画出对应的图象，利用数学结合的思想即可得出函数之间的关系. (1) 如图所示； (2)如图所示，函数5log y x =与函数15log y x=的图像关于x 轴对称；(3)如图所示，函数5log y x =与函数5x y =的图像关于直线y x =对称．题型二：判断对数函数的图像 1．函数eln ||()e e x xx f x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断出()f x 是偶函数，结合102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可选出答案.【详解】由已知可得函数的定义域为{}0x x ≠，eln ||eln ||()()e e e e x x x xx x f x f x ----===++，所以()f x 是偶函数，函数图像关于y 轴对称，可排除 A ，B ； 由11221eln 1202e e f -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=< ⎪⎝⎭+，可排除D ． 故选：C2．函数ln||1()e x f x x=+的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【分析】当0x >时，根据函数的极值可以排除C 、D ，当0x <时，根据函数的单调性可以排除B ，从而得到结果. 【详解】当0x >时，1()f x x x=+，在1x =处取得最小值，排除C 、D ， 当0x <时，1()f x x x=-为减函数， 故选:A ．3（多选）．在同一坐标系中，函数x y a -=与log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当1a >时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递减，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，D 符合；当01a <<时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递增，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递减，B 符合．故选：BD ．题型三：根据对数函数图像判断参数范围1．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a << 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10x b =+>，即1b >- 又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<， 故选：D2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 故选：D ．3．已知函数f (x )=ln(x +a )的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1) B ．(0， +∞)C ．(0，1]D ．[1，+∞)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．【详解】()f x 的图象是由ln y x =的图象向左平移a 个单位所得．ln y x =的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此1a ≥． 故选：D ．二、多选题4．已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a-=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.)x a -1．函数()log ,(01)a f x x a a =>≠且的图象所过定点的坐标为___________. 【答案】(1,0)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得(1)0f =，()f x 的图象过定点(1,0)， 故答案为：(1,0)2．函数()()log 111a y x a =++>必过定点___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令0x =即可确定定点. 【详解】由对数的性质知：当0x =时log 111a y =+=， 所以函数必过定点(0,1). 故答案为：(0,1)3．已知0a >且1a ≠，若函数()x mf x a n +=+与()()log 14a g x x =-+的图象经过同一个定点，则m n +=__________. 【答案】1【分析】由log 10a =可得出函数()g x 所过定点，再由01a =可得出,m n 的值，得出答案. 【详解】函数()()log 14a g x x =-+的图象经过定点()2,4所以()x m f x a n +=+的图象也过定点()2,4， 即()22=4mf a n +=+则2,3m n =-=，所以1m n += 故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1．已知函数()()log a f x x b =+的图象如图，则ab =________．【答案】8【分析】由图像可得：()f x 过点()3,0-和()0,2，代入解得a 、b ．【详解】由图像可得：()()log a f x x b =+过点()3,0-和()0,2，则有：()3log 0log 2b a a b -⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42b a =⎧⎨=⎩． ∴8ab =． 故答案为：８．2．若1132log log m n >（01,01m n <<<<），则m ______n （填“<”或“>”）．【答案】< 【分析】结合1132log ,log y x y x==的图象确定正确结论. 【详解】画出1132log ,log y x y x==的图象如下图所示：通过观察这两个函数在区间()0,1上的图象可知，要使1132log log m n>，则需m n <.故答案为：<3．函数2()log (1)2f x x =++的图像是把函数2log y x =的图像先向___________平移___________个单位，再向上移动2个单位. 【答案】 左 1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得到答案； 【详解】22log log (1)x x →+，图象向左平移1个单位，22log (1)log (1)2x x +→++，图象向上平移2个单位， 故答案为：左，1 题型六：对数函数单调性1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．2log y x = B ．2xy -=C ．1y x =+D ．3y x =【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.2．已知2log (1)log (2)a a a a +<，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()0,1【分析】对a 进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得a 的取值范围. 【详解】当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减， ()22212,2110a a a a a +>-+=->恒成立.当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增， ()22212,2110a a a a a +<-+=-<无解.综上所述，a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,13．已知log 2log 1a a >，则底数a 的取值范围为_________. 【答案】(1,)+∞【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断a 的范围． 【详解】若0＜a ＜1，则log 2log 1a a <，不符题意； 若a ＞1，则log 2log 1a a >，符合题意； 综上，a ＞1． 故答案为：(1,)+∞．题型七：对数型复合函数单调性1．己知函数()22()log 45f x x x =--+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞-B ．(5,2)--C ．(2,1)-D ．(2,)-+∞【答案】B【分析】求出给定函数的定义域，再利用复合函数单调性求解作答.【详解】函数()22()log 45f x x x =--+有意义，则2450x x --+>，解得51x -<<，即函数()f x 的定义域为(5,1)-，函数245u x x =--+在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减，而函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数()f x 在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为(5,2)--. 故选：B2．若()()22log 6f x x ax =-+在区间[2,2)-上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[4,5]B ．(4,5]C ．[4,5)D ．[5,)+∞3．函数()2ln(421)f x x x =+-的单调递减区间是______.【答案】(,7)-∞-【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】要使()2ln(421)f x x x =+-有意义，则24210x x +->，解得7<-x 或3x >，()2ln(421)f x x x =+-定义域为()(),73,-∞-⋃+∞，设()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞，则ln y u =，因为ln y u =在定义域上单调递增；()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞的增区间为()3,+∞，减区间为(),7-∞-，所以根据复合函数的单调性可得()2ln(421)f x x x =+-的递减区间为(),7-∞-故答案为：(),7-∞-题型八：对数函数单调性应用1．已知lge 2ln e,10a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b<c<a2．已知e 是自然对数的底数，函数()e e x x f x -=-，实数,m n 满足不等式(32)(2)0f n m f n -+->，则下列结论正确的是（ ） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >3．已知()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是______. 1．已知函数12log y x =，当3,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大4，则实数=a ______．2．设a ＞1，函数f (x )＝log ax 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．3．已知函数()22,4log ,4x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2-∞-【分析】根据分段函数的解析式讨论x 的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】当4x <时，()2xf x a =-的取值范围是(),16a a --,当4x ≥时，()2log 42f x ≥=, 若()f x 存在最小值，则2-≥a ， 解得2a ≤-，即实数a 的取值范围是(],2-∞-. 故答案为：(],2-∞-.题型十：根据对数函数的最值求参数1．函数log a y x =在[]2,3上最大值比最小值大1，则=a ______.2．已知函数()f x 为函数(1)x y a a =>的反函数，且()f x 在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为1，则a 的值为___________. 【答案】2【分析】由题意知：()log a f x x =且在[,2]a a 上单调递增，由此即可列出等式，解出答案. 【详解】因为()f x 为函数x y a =的反函数，所以()log a f x x =， 又1a >，所以()f x =log a x 在[,2]a a 上单调递增，所以当[,2]x a a ∈时min ()()log 1a f x f a a ===，()max ()(2)log 2a f x f a a ==， 由题意，()log 211a a -=， 所以()log 22a a =，22a a =， 解得2a =或0a =（舍去）. 故答案为：2.3．已知函数41()log (41).2xf x x =+-(1)求证：44log (41)log (14)x xx -+-=+；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)0a ≤.1．设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.2．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若关于x 的不等式9log 2(0xa x a -≤>且1)a ≠在02⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒成立，则a 的取值范围为______．。

对数与对数函数题型归纳总结知识梳理 1．对数的概念如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog ca (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．利用换底公式推导下面的结论 ①ab b a log 1log =．推广log log log log a b c a b c d d ⋅⋅=． ②b mnb a na m log log =，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析题型一 对数的运算例题1： （1）计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝_____；(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝___解析：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得，所以，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=解析：设log ,1b a t t =>则，所以152t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得22b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．题型二 对数函数的定义域346x y z==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y=1log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===1112z x y-=例题3： 函数y =__________．解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．变式3： 函数256()lg 3x x f x x -+-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]- 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C ．题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：（1）31log y x =-；（2）()212log 23y x x =--．解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212log 23x x R --∈ 所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选C ．变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______．解析：12-题型五 对数函数的对称性例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=-2521，x x -=-25)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=25，)1(log 2-=x y 的图象（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=25与1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2721=+x x题型六 对数函数的单调性例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得12x -<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间即可．∵22549253248u x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．变式5： 函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．解析：由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上， 因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是___________．分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以22(2)420at a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩，解得4a ≤所以实数a 的取值范围是4a ≤变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎨⎧g （1）＞0，a ≥1，即⎩⎨⎧2－a ＞0，a ≥1，解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.()()8a f x log ax ＝－()1f x >解析：当时，在[1，2]上是减函数，由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。

对数函数及其性质题型总结1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：特征Error!判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x是对数函数，则实数a ＝__________．(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x＜1时，y ＞0性质(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低谈重点 对对数函数图象与性质的理解　对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；(3)．y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．题型二:对数值域问题对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．221log 1(4y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。

对数函数及其图形知识点总结及练习1.对数函数的定义：设 0a >，1a ≠，0x >，称 ()log a y f x x==为以a 为底数的对数函数.2. 对数函数的图形﹕(1)当1>a 时 (2)当10<<a 时3.对数函数图形的特性：设0a >，1a ≠，0x >，()log a y f x x ==，则(1) 当1a >时①图形恒在y 轴右侧，即x 恒大于0。

②图形必过()1,0。

③若210x x >>，则21log log a a x x >（严格递增）。

④渐近线为y 轴. (2) 当01a <<时①图形恒在y 轴右侧，即x 恒大于0。

②图形必过()1,0。

③若210x x >>，则21log log a a x x <（严格递减）.④渐近线为y 轴。

(3) 设0a >，1a ≠，0x >，则对数函数log a y x =即为y x a =，与指数函数x y a =之图形必对称于直线0x y -=。

例1：用描点的方式作出2log y x =的图形.【练习题】用描点的方式作出3log y x =的图形.例2：试作出12log y x =之图形.xyxyxy【练习题】试作出13log y x =之图形.例3：解方程式101010log log (1)1log 2x x +-=+【练习题】解方程式555log 3log (3)log 12x x +-=例4：比较3log 5、9log 16、31log 4、1 这四个数的大小关系。

【练习题】比较2log 7、4log 25、12log 3、2这五个数的大小关系。

xy对称图形对于任何不等于1的正数a 均有相同的情形, 即(1) 函数xy a =和xa y ⎪⎭⎫⎝⎛=1的图形对称于y 轴.(2) 函数log a y x =和1log ay x =的图形对称于x 轴. (3) 函数x y a =和log a y x =的图形对称于直线y x =.例7：将2log y x =与3log y x =的图形画在同一坐标平面上，并加以比较。

●高考明方向1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3.知道对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．★备考知考情通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容. 资料. .. .在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点.一、知识梳理《名师一号》P27注意：知识点一对数及对数的运算性质1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”．. 资料. .. .. 资料. .. .注意：(补充)关注定义---指对互化的依据2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log a m M n＝n m log a M.(2)对数的性质①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)．. 资料. .. .(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a ==知识点二 对数函数的图象与性质1.对数函数的图象与性质（注意定义域!）a>1 0<a<12.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．(补充)设y＝f(x)存在反函数，并记作y＝f－1(x)，1) 函数y＝f(x)与其反函数y＝f－1(x)的图象. 资料. .. .. 资料. .. .关于直线y x 对称．2) 如果点P(x 0，y 0)在函数y ＝f(x)的图象上，则必有f －1(y 0)＝x 0 ，反函数的定义域、值域分别为原来函数的值域、定义域．3) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的单调性相同．二、例题分析：（一）对数式的运算 例1.(1)《名师一号》P27 对点自测1(2013·陕西文3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b·log c b ＝log c aB ．log a b·log c a ＝log c b. 资料. .. .C ．log a (bc)＝log a b·log a cD ．log a (b ＋c)＝log a b ＋log a c解析 由对数的运算性质：log a (bc)＝log a b ＋log a c ， 可判断选项C ，D 错误；选项A ，由对数的换底公式知，log a b·log c b ＝log c a ⇒lgb lga ·lgb lgc ＝lga lgc⇒lg 2b ＝lg 2a ，此式不恒成立，故错误；对选项B ，由对数的换底公式知，log a b·log c a ＝lgb lga ·lga lgc ＝lgb lgc＝log c b ，故恒成立． 答案 B. 资料. .. .例1.(2) (补充) 计算下列各式的值 (1) 2lg 2lg 3111lg 0.36lg823+=++ (2) 温故知新P22 第8题()22log 3lg5lg 2lg504+⋅+= (3) 235111log log log 2589⋅⋅=答案：(1) 1 (2)10 (3)-12注意： 准确熟练记忆对数运算性质多练. 资料. .. .lg 2lg51+=《名师一号》P28 高频考点 例1【规律方法】 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．例2.(1)《名师一号》P27 对点自测2(2014·陕西卷)已知4a ＝2，lgx ＝a ，则x ＝________.解析 ∵4a ＝2，∴a ＝log 42＝12.由lgx ＝12， 得x ＝10 12 ＝10.. 资料. .. .例2.（2）《名师一号》P28 高频考点 例1(1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.94B.54C.103D.43解析:由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝3，2－x ＝33， 所以(2x －2－x )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝43. 注意：指数与对数的互化a b ＝N ⇔b ＝log a N (a>0，a ≠1，N>0)．. 资料. .. .练习:(补充)已知1135,2a bk a b ==+=求k答案: k =例3.《名师一号》P28 高频考点 例1(2)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ，x>0，3－x ＋1，x≤0，则f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值 是( )A ．5B ．3C ．－1 D.72. 资料. .. .因为f(1)＝log 21＝0，所以f(f(1))＝f(0)＝2.因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32 ＋1＝2＋1＝3.所以f(f(1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.二、对数函数的图象及性质的应用例1. (补充)求下列函数的定义域．(1)y ＝log 0.5(4x －3).(2)y ＝log (x ＋1)(16－4x )．. 资料. .. .解析：(1)由函数定义知：⎩⎨⎧ log 0.5(4x －3)≥04x －3>0 ∴⎩⎨⎧ 4x －3≤14x －3>0，即34<x≤1. 故原函数的定义域是{x|34<x≤1}． (2)由函数有意义知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠116－4x >0∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>－1x≠0x<2即－1<x<2，且x≠0.. 资料. .. . 故原函数的定义域为{x|－1<x<0，或0<x<2}．练习：已知集合(){}22log x y x ax a R =--=求实数a 的取值范围．解析：设f(x)＝x 2－ax －a ，则y ＝log 2f(x)，依题意，f(x)>0恒成立，∴Δ＝a 2＋4a<0∴－4<a<0，即a 的范围为(－4,0)例2.《名师一号》P27 对点自测5(2014·重庆卷)函数f(x)＝log 2x ·log 2(2x)的最小值为________．. 资料. .. .解析 根据对数运算性质，f(x)＝log 2x ·log 2 (2x)＝12log 2x·[2log 2(2x)]＝log 2x(1＋log 2x)＝(log 2x)2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14，当x ＝22时，函数取得最小值－14.注意：换元后“新元”的取值范围．. 资料. .. .练习：1、求下列函数的值域（1）y ＝log 15(－x 2＋2x ＋4)[答案] [－1，＋∞)（2）f(x)＝log 22x －3log 2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x≤2 [解析] 令t ＝log 2x ，∵12≤x≤2∴－1≤t≤1. ∴函数化为y ＝t 2－6t ＋2＝(t －3)2－7∵－1≤t≤1.∴当t ＝－1，即x ＝12时，y max ＝9. 当t ＝1，即x ＝2时，y min ＝－3，. 资料. .. . ∴函数的值域为[－3,9].2、已知集合(){}22log y y x ax aR =--=求实数a 的取值范围．[分析]当且仅当f(x)＝x 2－ax －a 的值能够取遍一切正实数时，y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域才为R.而当Δ<0时，f(x)>0恒成立，仅仅说明函数定义域为R ，而f(x)不一定能取遍一切正实数(一个不漏)．要使f(x)能取遍一切正实数，作为二次函数，f(x)图像应与x 轴有交点(但此时定义域不再为R)[正解] 要使函数y ＝log 2(x 2－ax －a)的值域为R ，应使f(x)＝x 2－ax －a 能取遍一切正数，要使f(x)＝x 2－ax －a能取遍一切正实数，应有Δ＝a2＋4a≥0，∴a≥0或a≤－4，∴所求a的取值范围为(－∞，－4]∪[0，＋∞)例3. （1）《名师一号》P27 对点自测4已知a＞0且a≠1，则函数y＝log a(x＋2 015)＋2的图象恒过定点________．解析令x＋2 015＝1，即x＝－2 014时，y＝2，故其图象恒过定点(－2 014,2)．. 资料. .. .. 资料. .. .练习:无论a 取何正数(a≠1)，函数()33log a y x =-+恒过定点【答案】()43,注意：对数函数()01log ,a y x a a =>≠且图象都经过定点(1, 0)例3. （2） (补充)如右下图是对数函数①y ＝log a x ，②y ＝log b x ，③y ＝log c x ，④y ＝log d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 ( )A．a>b>1>c>dB．b>a>1>d>cC．1>a>b>c>dD．a>b>1>d>c【答案】B在上图中画出直线y＝1，分别与①、②、③、④交于A(a,1)、B(b,1)、C(c,1)、D(d,1)，由图可知c<d<1<a<b.注意：(补充)两个单调性相同的对数函数，. 资料. .. .. 资料. .. .它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”.利用1logaa=，图象都经过()1,a点，作直线1y=，则该直线与图象的交点的横坐标即为底数a。

专题36 对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．4．底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x的图象如图所示，可得如下规律：①y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．5．函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.题型一 对数函数的概念及应用1．指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2) y ＝log 6x ；(3) y ＝log x 3；(4) y ＝log 2x ＋1. [解析] (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．2．下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1；②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ； ⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. 3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R)；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B. 4．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 5．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x )B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D ，其他的不符合．故选D. 6．下列函数是对数函数的有( )①y ＝2log 3x ；②y ＝1＋log 3x ；③y ＝log 3x ；④y ＝(log 3x )2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知A 正确． 7．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝______.[解析]由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝⎛⎭⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38[解析]∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log ax 为对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3.故选B. 9．若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________.[解析]因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.10．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.[解析] 由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝4.11．若对数函数y ＝f (x )满足f (4)＝2，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定[解析]设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2. ∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x.12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________.[解析]设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 13．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. [解析]设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.14．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. [解析]由f (3)＝1得l o g 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 15．已知f (x )为对数函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫14＝________. [解析]设f (x )＝log a x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝log a 12＝－2，得a ＝2，f ⎝⎛⎭⎫14＝log 2 14＝－4. 16．已知函数f(x )＝alog 2x ＋blog 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，则f(2019)的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[解析]f(x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝alog 2 x ＋blog 3 x ＋2＋alog 21x ＋blog 31x ＋2＝4，所以f(2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝4， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，所以f(2019)＝0.17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a ＝________.[解析]当x >0时，f (x )＝log 2x ，由f (a )＝12得log 2a ＝12，即a ＝ 2.当x ≤0时，f (x )＝2x ，由f (a )＝12得2a ＝12，a ＝－1.综上a ＝－1或 2.18．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 019)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 019)的值等于___． [解析]∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝log a (x 1x 2x 3…x 2 019)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×8＝16.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≥4)，f (x ＋2)(x ＜4)，则f (log 23)＝________.[解析]因为log 23＜4，log 23＋2＝log 23＋log 24＝log 212＜4，log 212＋2＝log 212＋log 24＝log 248＞4， 所以f (log 23)＝f (log 248)＝2log248＝48.20．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 [解析]由题意可知f (x )＝log 3x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝log 312＝－log 32 题型二 对数型函数的定义域1．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )； (3)y ＝lg (2－x )；(4)y ＝1log 3(3x －2)．[解析] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0.∴x ≤1.即y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(3x －2)≠0，3x －2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≠1，3x >2，解得x >23，且x ≠1.∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x >23，且x ≠1. 2．求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 2(x －1)；(2)y ＝lg (x －3)；(3)y ＝log 2(16－4x )；(4)y ＝log (x －1)(3－x )．[解析] (1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1，且x ≠2.∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4.∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}． (4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．3．求下列函数的定义域．(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log 0.5(4x －3)－1；(4)y ＝log (x ＋1)(2－x)． [解析] (1)定义域为(0，＋∞)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x ≤1，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤12，解得34<x ≤78，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，78. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，2－x>0，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．4．求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.4(x －1)2x －1；(2)y ＝1log 0.5(x －1)；(3)y ＝log a (4x －3)(a>0且a ≠1)．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.4(x －1)≥0，2x －1≠0，解得1<x ≤2，∴定义域为{x|1<x ≤2}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.5(x －1)>0，解得1<x<2，∴定义域为{x|1<x<2}． (3)当0<a<1时，0<4x －3≤1⇒34<x ≤1，∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 34<x ≤1；当a>1时，4x －3≥1⇒x ≥1，∴定义域为{x|x ≥1}. 5．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)； [解析] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 6．函数y ＝lnx －2的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[4，＋∞) [解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x －2＞0，即x ＞2.故选C. 7．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，所以1＜x ≤4.8．函数f(x)＝1－2log 5x 的定义域为________．[解析]由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤12，故0<x ≤ 5.[答案] (0，5]9．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，故选C.10．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________．[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．11．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)． 12．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1][解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，故选B.13．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.14．函数y ＝3－x2－log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－∞，3)D ．(－1，＋∞)[解析]若要函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1＞0，2≠log 2(x ＋1)，解得－1＜x ＜3.15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( )A ．0B ．10C ．1D ．110[解析]由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.16．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域．[解析] (1)将(－1,0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}． 17．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.18．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，54 B.⎣⎡⎭⎫0，54C.⎣⎡⎦⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞[解析]由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立．k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎡⎭⎫0，54，故选B. 19．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． [解析]由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.20．已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14.若定义域为R ，求实数a 的取值范围； [解析] 要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a <0.解得3－52<a <3＋52.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. 题型三 对数函数的图象问题1．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )[解析]由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lgx 的图象向左平移1个单位． (或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)，[答案] C 2．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A 正确．3．函数y ＝lg |x |x的图象大致是( )[解析]由函数y ＝lg |x |x 的定义域是{x |x ≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A ，B ，当x ＝1时，y ＝lg 1＝0，故图象与x 轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D 中图象符合． 4．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1[解析]作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1. 5．已知m ，n ∈R ，函数f(x)＝m ＋log n x 的图象如右图，则m ，n 的取值范围分别是( )A ．m>0,0<n<1B ．m<0,0<n<1C ．m>0，n>1D ．m<0，n>1 [解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x ＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案] C6．如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d,1,0的大小关系为________．[解析]由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1. 过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ， 显然b >a >1>d >c >0.7．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )[解析]∵a>1，∴0<1－x是减函数，y＝log a x是增函数，故选C.a<1，∴y＝a8．已知0<a<1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是()[解析]因为0<a<1，所以y＝a x单调递减，y＝log a x单调递减，而y＝log a(－x)与y＝log a x关于y轴对称，所以选D．9．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()[解析]由函数f(x)＝log a(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝log a(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝a x＋b在R上是减函数，故排除A、B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝a x＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.[答案] D10．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x)＝－log b x的图象可能是()[解析]由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－log b x与函数y＝log b x的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．12．函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[解析]因为函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝log a(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).13．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]y＝l o g a x的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.14．函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．15．函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．[解析]令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．16．若函数f(x)＝－5log a(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．17．若函数y＝log a(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．[解析]∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝log a(x＋b)＋c，得2＝log a(3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，log a1＝0恒成立，∴c＝2，由log a(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.18．已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[解析]∵f(x)＝log a|x|，∴f(－5)＝log a5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．19．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．[解析](1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为0<a <2.20．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．[解析]∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg(1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．21．已知函数f (x )＝lg |x |，(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的图象草图；(3)利用定义证明函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．[解析] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象，如图所示．(3)证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2.因为x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2， 所以|x 1|>|x 2|＞0.所以⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞1.所以lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数． 22．若不等式x 2－log m x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围． [解析]由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1. ∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.。

高考数学-对数函数图像和性质及经典例题对数函数图像和性质及经典例题第一部分：回顾基础知识点对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．对数函数的图象和性质○1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象；（1）x y 2log = （2） x y 21log =（3） x y 3log = （4） x y 31log =○2 对数函数的性质如下：图象特征函数性质1a >1a 0<< 1a > 1a 0<<函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，＋∞）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向y 轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点（1，1）11=α自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a0log ,10><<="" p="" x="">第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00log ,10<<<="" p="" x="">0log ,1<>x x a○3 底数a 是如何影响函数x y alog =的．规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．第二部分：对数函数图像及性质应用例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 21log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1).(1)设?ABC 的面积为S 。

求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1，则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .)441(log )2(4log 232231t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1S ??=59,1log 3在u 上是增函数，所以复合函数S=f (t ) [)+∞++=,1)441(log 23在tt 上是减函数（3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 259log 33-== 例2．已知函数f(x 2-3)=lg 622-x x ,(1)f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)求f(x)的反函数; (4)若f[)(x φ]=lgx,求)3(φ的值。

对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质知识点包括对数函数的图象和性质、反函数的概念、对数值比较大小的常用方法、求形如y＝log a f(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤、常见的对数函数的综合问题及解决策略、互为反函数的两个函数图象间的关系等部分，有关对数函数的图象和性质的详情如下：对数函数的图象和性质反函数的概念一般地，指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．对数值比较大小的常用方法(1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论．(2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量．(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．求形如y＝log a f(x)(a＞0，且a≠1)的复合函数的值域的步骤(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)求f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．常见的对数函数的综合问题及解决策略(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种：①由f(－x)＝±f(x)直接列关于参数的方程(组)求解．②由f(－a)＝±f(a)(其中a是某具体数)得关于参数的方程(组)，求解，但此时需检验．(2)用定义证明y＝log a f(x)型函数的单调性时，应先比较与x1，x2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．互为反函数的两个函数图象间的关系根据指数与对数的关系，由y＝a x(a＞0，且a≠1)可以得到x＝log a y(a＞0，且a≠1)，x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，y表示函数．为此，将x＝loga y(a＞0，且a≠1)中的字母x和y对调，写成y＝logax(a＞0，且a≠1)．则y＝a x与y＝logax(a＞0，a≠1)为互为反函数；其图象关于y＝x对称．y＝a x与x＝log a y(a＞0，a≠1)是等价形式．原函数y＝a x(a＞0，a≠1)的定义域R是反函数y＝log a x的值域．原函数y＝a x的值域(0，＋∞)是y＝log a x的定义域．原函数y＝a x的点(x0，y0)，则(y0，x0)在y＝log a x上．。