必修一 对数函数及其性质 练习题A附答案

4.4.2 对数函数的图像和性质基础巩固1.已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,则当x ∈(0,+∞)时,f(x)=|log 2x|,若a=f(-3),b=f(14),c=f(2),则a,b,c 的大小关系是( ) (A)a>b>c(B)b>a>c (C)c>a>b(D)a>c>b【答案】B 【解析】因为函数y=f(x+2)的图象关于x=-2对称,所以函数y=f(x)的图象关于y 轴对称,所以函数y=f(x)是偶函数.所以a=f(-3)=f(3)=|log 23|=log 23,又b=f （14）=|log 214|=|-2|=2, c=f(2)=|log 22|=1,所以c<a<b.2.若函数y=f(x)与函数y=ln √x +1的图象关于直线y=x 对称,则f(x)等于( )(A)e2x-2 (B)e 2x (C)e 2x+1 (D)e 2x+2【答案】A【解析】若两个函数的图象关于直线y=x 对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln √x +1的反函数为y=e 2x-2,故选A.3.若log m 8.1<log n 8.1<0,那么m,n 满足的条件是( )(A)m>n>1 (B)n>m>1(C)0<n<m<1 (D)0<m<n<1【答案】C【解析】由题意知m,n 一定都是大于0且小于1的数,根据函数图象(图略)知,当x>1时,底数越大,函数值越小,故选C.4.已知函数f(x)=log (a-1)(2x+1)在（-12,0）内恒有f(x)>0,则a 的取值范围是( )(A)(1,+∞) (B)(0,1)(C)(0,2) (D)(1,2)【答案】D【解析】由-1<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.所以1<a<2.故选D.25.函数y=log2|x|的图象大致是( )【答案】A【解析】因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为.【答案】0【解析】函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.x|的单调增区间为.7.函数f(x)=|lo g12【答案】[1,+∞)x|可得函数的大致图象如图所示,【解析】由函数f(x)=|lo g12所以函数的单调增区间为[1,+∞).8.已知f(x)=log4(4x-1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的单调性;,2]上的值域.(3)求f(x)在区间[12【答案】（1）(0,+∞)（2）f(x)在(0,+∞)上单调递增（3）值域为[0,log415].【解析】(1)由4x-1>0,解得x>0,因此f(x)的定义域为(0,+∞).(2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1,因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),即f(x1)<f(x2),故f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3)因为f(x)在区间[12,2]上单调递增,又f(12)=0,f(2)=log 415, 因此f(x)在区间[12,2]上的值域为[0,log 415].能力提升9.已知log 2b<log 2a<log 2c,则( )(A)(12)b >(12)a >(12)c(B)(12)a >(12)b >(12)c (C)(12)c >(12)b >(12)a (D)(12)c >(12)a >(12)b【答案】A【解析】因为log 2b<log 2a<log 2c,所以c>a>b,所以(12)b >（12）a >（12）c .故选A.10.已知函数f(x)={f(x +1),x <4,2x ,x ≥4,则f(2+log 23)等于( ) (A)8 (B)12(C)16 (D)24【答案】D【解析】因为1<log 23<2,所以3<2+log 23<4,所以f(2+log 23)=f(3+log 23). 又4<3+log 23<5,所以f(3+log 23)=2(3+log 23)=23×2log 23=8×3=24.故选D. 9.当0<a<1时,在同一坐标系中,函数y=a x与y=log a x 的图象是( )【答案】D【解析】因为函数y=a x与y=log a x 互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x 对称, 且当0<a<1时,函数y=a x 与y=log a x 都是减函数,观察图象知,D 正确.故选D.12.已知函数f(x)=ln(ax 2+2x+1).(1)若f(x)的定义域为R,求实数a 的取值范围;(2)若f(x)的值域为R,求实数a 的取值范围.【答案】（1）a 的取值范围为(1,+∞)（2）a 的取值范围为[0,1].【解析】(1)因为f(x)的定义域为R,所以ax 2+2x+1>0恒成立.当a=0时,2x+1>0,x>-12,不合题意;所以a ≠0.由{a >0,Δ=4−4a <0,得a>1. 故实数a 的取值范围为(1,+∞).(2)因为f(x)的值域为R,所以{y|y=ax 2+2x+1,x ∈R}⊇(0,+∞).(也可以说y=ax 2+2x+1取遍一切正数)①当a=0时,y=2x+1可以取遍一切正数,符合题意,②当a ≠0时,需{a >0,Δ=4−4a ≥0,即0<a ≤1. 综上,实数a 的取值范围为[0,1].素养达成13.已知函数f(x)=log 2(x+1),g(x)=log 2(3x+1).(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围;(2)当x ∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.【答案】（1）[0,+∞).（2）[0,log 23).【解析】(1)因为f(x)=log 2(x+1),g(x)=log 2(3x+1),g(x)≥f(x),所以3x+1≥x+1>0,所以x ≥0.即使g(x)≥f(x)成立的x 的取值范围为[0,+∞).(2)因为y=g(x)-f(x)=log 2(3x+1)-log 2(x+1) =log 23x+1x+1(x ≥0).令h(x)=3x+1x+1=3-2x+1,则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)<3, 故y=g(x)-f(x)∈[0,log 23),即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log 23).。

2.1对数的运算性质课后训练·巩固提升1.log242+log243+log244等于()A.1B.2C.24D.12242+log243+log244=log24(2×3×4)=log2424=1.故选A.2.化简12log612-2log6√2的结果为()A.6√2B.12√2C.log6√3D.12=log6√12-log62=log6√122=log6√3.故选C.3.方程(lg x)2+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根的积x1x2等于()A.lg 2+lg 3B.lg 2lg 3C.16D.-6lg x1+lg x2=-(lg2+lg3),∴lg(x1x2)=-lg6=lg6-1=lg16,∴x1x2=16.故选C.4.21+12log25的值等于()A.2+√5B.2√5C.2+√52D.1+√521+12log25=2×212log25=2×2log2√5=2√5,选B.5.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示为()A.a-2B.5a-2+a)2 D.3a-a2-1log38-2log36=3log32-2(log32+log33)=3a-2(a+1)=a-2.6.已知a 23=49(a>0),则lo g23a=.a 23=49,∴a2=64729,∴a=827=(23)3,∴lo g23a=lo g23(23)3=3.7.计算(lg 14-lg25)÷100-12= .14-lg25)÷100-12=(lg 1100)÷10-1=-2×10=-20.208.lg 0.01+log 216的值是 ..01+log 216=lg 1100+log 224=-2+4=2.(lg x )2+lg x 5-6=0.(lg x )2+5lg x-6=0,即(lg x+6)(lg x-1)=0,所以lg x=-6或lg x=1,解得x=10-6或x=10.经检验x=10-6和x=10都是原方程的解,所以原方程的解为x=10-6或x=10.1.计算log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72的值为( ) A.-14B.4C.-154D.154=log 3√274-log 33+lg52+lg22+2=14log 333-1+2lg5+2lg2+2=34-1+2+2=154.2.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=(12)x ;当x<4时,f (x )=f (x+1),则f (2+log 23)=( ) A.124 B.112 C.18 D.382+log 23<2+log 24=4,3+log 23>3+log 22=4,故f (2+log 23)=f (2+log 23+1)=f (3+log 23)=(12)3+log 23=(12)3·12log 23=18×13=124.3.若lg a ,lg b 是方程2x 2-4x+1=0的两个实根,则(lg a b )2的值为( ) A.2B.12C.4D.14a b )2=(lg a-lg b )2=(lg a+lg b )2-4lg a lg b=22-4×12=2.4.若lg 2=a ,lg 3=b ,则用a ,b 表示lg √45= .√45=12lg45=12lg(5×9)=12lg5+12lg9=12(1-lg2)+lg3=-12lg2+lg3+12=-12a+b+12. -12a+b+125.已知2x =9,log 283=y ,则x+2y 的值为 .2x =9,得log 29=x ,所以x+2y=log 29+2log 283=log 29+log 2649=log 264=6.6.求下列各式的值:(1)log 535+2log 5√2-log 515-log 514; (2)〖(1-log 63)2+log 62·log 618〗÷log 64;(3)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2√3)2+lg 0.06+lg 16.原式=log 535+log 52-log 515-log 514=log 535×215×14=log 535014=log 525=2. (2)原式=[(log 663)2+log 62·log 6362]÷log 64=〖(log 62)2+log 62(log 636-log 62)〗÷log 64=〖(log 62)2+2log 62-(log 62)2〗÷log 64=2log 62÷log 64=log 64÷log 64=1.(3)原式=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg 6100-lg6=lg5(3lg2+3)+3(lg2)2+lg6-2-lg6=3·lg5·lg2+3lg5+3·(lg2)2-2=3lg2(lg2+lg5)+3lg5-2=3lg2+3lg5-2=3(lg2+lg5)-2=3-2=1. f (x )=x 2+(lg a+2)x+lg b ,f (-1)=-2,方程f (x )=2x 至多有一个实根,求实数a ,b 的值.f (-1)=-2得,1-(lg a+2)+lg b=-2,所以lg b a =-1=lg 110,所以b a =110,即a=10b.又因为方程f (x )=2x 至多有一个实根,即方程x 2+(lg a )x+lg b=0至多有一个实根,所以(lg a )2-4lg b ≤0,即〖lg(10b )〗2-4lg b ≤0,所以(1-lg b )2≤0,所以lg b=1,b=10,从而a=100. 故实数a ,b 的值分别为100,10.a>1,若对于任意的x ∈〖a ,2a 〗,都有y ∈〖a ,a 2〗满足方程log a x+log a y=3,求a 的取值范围.log a x+log a y=3,∴log a (xy )=3.∴xy=a 3.∴y=a 3x . ∵函数y=a 3x (a>1)在(0,+∞)上是减函数,又当x=a 时,y=a 2,当x=2a 时,y=a 32a =a 22,∴[a 22,a 2]⊆〖a ,a 2〗.∴a 22≥a.又a>1,∴a ≥2.∴a的取值范围为〖2,+∞).。

一、选择题1．已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )A．{x|x>－1} B．{x|x<1}C．{x|－1<x<1} D．∅解析：由题意得M＝{x|x<1}，N＝{x|x>－1}，则M∩N＝{x|－1<x<1}．答案：C2．函数f(x)＝log2(3x＋3－x)是( ) A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．不是奇函数又不是偶函数解析：∵3x＋3－x>0恒成立．∴f(x)的定义域为R.又∵f(－x)＝log2(3－x＋3x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．答案：B3．如图是三个对数函数的图像，则a、b、c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．a>c>b解析：由图可知a>1，而0<b<1,0<c<1，取y＝1，则可知c>b.∴a>c>b.答案：D4．已知函数f(x)＝|lg x|.若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：f(x)＝|lg x|的图像如图所示，由题可设0<a<1，b>1，∴|lg a|＝－lg a，|lg b|＝lg b，∴－lg a＝lg b.＝b，即1a∴a＋b＝a＋1a(0<a<1)．又∵函数y＝x＋1x(0<x<1)为减函数，∴a＋1a>2.答案：C二、填空题5．对数函数的图像过点(16,4)，则此函数的解析式为________．解析：设f(x)＝log a x(a>0且a≠1)，则log a16＝4.∴a4＝16，又∵a>0且a≠1，∴a＝2.即f(x)＝log2x.答案：f(x)＝log2x6．已知函数y＝3＋log a(2x＋3)(a>0且a≠1)的图像必经过定点P，则P点坐标________．解析：∵当2x＋3＝1即x＝－1时，log a(2x＋3)＝0，y＝3，P(－1,3)．答案：(－1,3)7．方程x2＝log x解的个数是________．解析：函数y＝x2和y＝log x在同一坐标系内的图像大致为：答案：18．若实数a满足log a2>1，则a的取值范围为________．解析：当a>1时，log a2>1＝log a a.∴2>a.∴1<a<2；当0<a<1时，log a2<0.不满足题意． 答案：1<a <2 三、解答题9．(1)已知函数y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(2a＋1)x＋1]，若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为y ＝lg(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ， 所以x 2＋2x ＋a >0恒成立，所以Δ＝4－4a <0， 所以 a >1.故a 的取值范围是(1，＋∞)．(2)依题意(a 2－1)x 2＋(2a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立．当a 2－1≠0时， 错误! 解得a <－54.当a 2－1＝0时，显然(2a ＋1)x ＋1>0，对x ∈R 不恒成立． 所以a 的取值范围是(－∞，－54)．10．已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0，且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域： (2)判断函数的奇偶性．解：(1)要使函数有意义，则有x ＋1x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1>0，，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －1<0，解得x >1或x <－1， 此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．。

高一数学(必修一)《第五章 对数函数的图象和性质》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．函数()()2log 1f x x =-的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知对数函数()f x 的图像经过点1,38A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点则（ ）A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a <<3．函数1()ln f x x x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--5．函数f （x ）＝|ax －a |(a >0且a ≠1)的图象可能为（ ）A． B ． C ． D ．6．下列函数中是减函数的为（ ） A ．2()log f x x = B ．()13x f x =- C ．()f x = D ．2()1f x x =-+7．设0.30.50.514,log 0.6,16a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知函数2(43)3,0()log (1)2,0a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩ (a >0且a ≠1)是R 上的单调函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，对于1x ∀，2R x ∈当12x x <时，则都有()()()12122f x f x x x -<-则不等式()222log 1log f x x +<的解集为（ ）A ．(),2-∞B ．()0,2C ．1,2D ．()2,+∞10．函数y ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[]1,211．记函数2log 2x y x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．()0,2D ．(]0,212．下列函数在(),1-∞-上是减函数的为（ ）A ．()ln f x x =-B ．()11f x x =-+ C ．()234f x x x =--D ．()21f x x =13．下列函数是偶函数且值域为[)0,∞+的是（ ）①y x =；②3y x =；③||2x y =；④2y x x =+ .A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④14．已知函数22,2()log ,2x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞B ．[)1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞-15．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >>16．已知集合{}1,0,1,2A =-和2{|1}B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,217．已知22log log 0a b +=（0a >且1a ≠，0b >且1b ≠），则函数()1()xf x a=与()log b g x x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．18．设123a -=，1312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭和21log 3c =，则（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．b c a << D ．a b c <<19．已知函数212()log (3)f x x ax a =-+ 在[)2,+∞上单调递减，则a 的取值范围（ ）A ．(,4]-∞B ．(4,4]-C ．[4,4]-D ．(4,)-+∞20．函数22log (2)y x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2C ．(0,1)D ．[)0,121．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+．则关于x 的不等式()6f x ≤-的解集为（ ） A ．(,2]-∞-B ．(,1]-∞-C ．[)()2,00,2- D ．[)()2,02,-⋃+∞二、解答题22．比较下列各数的大小： （1）12log 3与12log π；（2）4log 3与5log 3； （3）5log 2与2log 5.23．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的图象经过点()3,3ln 2.(1)求a 的值，及()f x 的定义域； (2)求关于x 的不等式()()ln 2f x x ≤的解集.24．已知函数()()9log 91xf x x =++.(1)若()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立，求a 的取值范围； (2)若函数()()9231f x xx g x m -=+⋅+和[]90,log 8x ∈，是否存在实数m ，使得()g x 的最小值为0?若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln f x x =.(1)在①()21g x x =-，②()21g x x =+这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.问题：已知函数___________，()()()=h x f g x 求()h x 的值域. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.(2)若1x ∀∈R ，()20,x ∈+∞和()1122421ln x xa x x -+<-，求a 的取值范围.26．已知______，且函数()22x bg x x a+=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题. (1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围. 27．定义：若函数()y f x =在某一区间D 上任取两个实数12x x 、，且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭则称函数()y f x =在区间D 上具有性质L ．（1）写出一个在其定义域上具有性质L 的对数函数（不要求证明）． （2）判断函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上是否具有性质L ？并用所给定义证明你的结论． （3）若函数21()g x ax x=-在区间(0,1)上具有性质L ，求实数a 的取值范围．三、填空题28．函数()ln(4)f x x =+-的定义域是___________. 29．()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，则a 的范围是_________．30．已知函数211,0()2,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__． 31．已知函数2(12)0()log (1)0a x a x f x x x +-<⎧=⎨+≥⎩，，的值域为R ，则实数a 的范围是_________32．已知函数()log (23)1(>0a f x x a =-+且1)a ≠，且的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为_________.33．已知函数()2log 081584，，⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩x x f x x x ，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是____．34．若0x >和0y >，且111x y+=，则22log log x y +的最小值为___________.四、多选题35．已知函数()f x 和()g x 的零点所构成的集合分别为M ，N ，若存在M α∈和N β∈，使得1αβ-≤，则称()f x 与()g x 互为“零点伴侣”．若函数()1e 2xf x x -=+-与()23g x x ax a =--+互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．436．已知函数()()2lg 1f x x ax a =+--，下列结论中正确的是（ ）A ．当0a =时，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 一定有最小值C ．当0a =时，则()f x 的值域为RD ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥-参考答案与解析1．A【分析】根据函数的定义域为(),1-∞可排除B 、D.再由单调性即可选出答案.【详解】当0x =时，则()()20log 10=0f =-，故排除B 、D. 当1x =-时，则()()21log 1110f -=+=>，故A 正确. 故选A.【点睛】本题考查函数的图像，属于基础题.解决本类题型的两种思路：①将初等函数的图像通过平移、伸缩、对称变换选出答案，对学生能力要求较高;②根据选项代入具体的x 值，判断y 的正负号. 2．C【分析】根据对数函数可以解得2a =，4t =再结合中间值法比较大小． 【详解】设()()log 0,1a f x x a a =>≠，由题意可得：1log 38a =-，则2a = ∴log 164a t ==0.1log 40a =<，()40.20,1b =∈和0.141c =>∴a b c << 故选：C ． 3．A【分析】利用函数的奇偶性排除选项D ，利用当01x <<时，则()0f x >，排除选项B ，C ，即得解. 【详解】解：∵函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，1()ln f x x xx ⎛⎫-=-+⋅- ⎪⎝⎭1ln ()x x f x x ⎛⎫--⋅=- ⎪=⎝⎭ ∴()f x 为奇函数，排除选项D ．当01x <<时，则2110x x x x--=<和ln 0x < ∴()0f x >，排除选项B ，C ． 故选：A ． 4．A【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，则1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，则函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，则12x y -=-单调递减，故排除C项. 故选：A. 5．C【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.【详解】当>1a 时，则,1()=,<1x xa a x f x a a x -≥-⎧⎨⎩显然当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而>1a ，故AB 不符合； 对于CD ，因为渐近线为=2y ，故=2a ，故=0x 时，则=1y 故选项C 符合，D 不符合；当0<<1a 时，则,<1()=,1x xa a x f x a a x --≥⎧⎨⎩当1x ≥时，则函数单调递增，当<1x 时，则函数单调递减 函数图象的渐近线为=y a ，而0<<1a ，故ABD 不符合； 故选：C 6．B【分析】利用对数函数单调性判断选项A ；利用指数函数单调性判断选项B ；利用幂数函数单调性判断选项C ；利用二次函数单调性判断选项D.【详解】选项A ：由21>，可得2()log f x x =为增函数.判断错误； 选项B ：由31>，可得3x y =为增函数，则()13x f x =-是减函数.判断正确； 选项C ：由12-<，可得12y x -=是减函数，则()f x =为增函数.判断错误；选项D ：2()1f x x =-+在(),0∞-上单调递增. 判断错误. 故选：B 7．B【分析】计算可得2a =，再分析()0.5log 0.60,1b =∈，0.3116c a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭即可判断【详解】由题意0.542a ==，()()0.50.50.5log 0.6log 1,log 0.50,1b =∈=和0.30.30.2511616216c a -⎛⎫==>== ⎪⎝⎭，故b ac <<故选：B 8．C【分析】根据二次函数和对数函数的单调性，结合分段函数的性质进行求解即可.【详解】二次函数2(43)3y x a x a =+-+的对称轴为：432a x -=-因为二次函数开口向上，所以当0x <时，则该二次函数不可能单调递增 所以函数()f x 是实数集上的减函数则有01432302343log 122a a a a a <<⎧⎪-⎪-≥⇒≤≤⎨⎪≥+=⎪⎩故选：C 9．B【分析】由题设知()()2h x f x x =-在R 上递增，将不等式转化为2(log )(1)h x h <，利用单调性求解集即可. 【详解】由题设12x x <时1122()2()2f x x f x x -<-，即()()2h x f x x =-在R 上递增又(1)(1)21h f =-=-，而()222log 1log f x x +<等价于()22log 2log 1f x x -<-所以2(log )(1)h x h <，即2log 1x <，可得02x <<. 故不等式解集为()0,2. 故选：B 10．C【分析】依题意可得21log 0x +≥，根据对数函数的性质解不等式，即可求出函数的定义域. 【详解】解：依题意可得21log 0x +≥，即221log 1log 2x ≥-=，所以12x ≥ 即函数的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C 11．B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案. 【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x << 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ． 12．C【分析】根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.【详解】对于选项A ，()ln f x x =-在(),1-∞-上无意义，不符合题意； 对于选项B ，()11f x x =-+在(),1-∞-上是增函数，不符合题意； 对于选项C ，2234,? 4134,? 14x x x x x x x ⎧--≥≤-⎨-++-<<⎩或的大致图象如图所示中由图可知()f x 在(),1-∞-上是减函数，符合题意；对于选项D ，()21f x x =在(),1-∞-上是增函数，不符合题意. 故选：C. 13．C【分析】根据奇偶性的定义依次判断，并求函数的值域即可得答案. 【详解】对于①，y x =是偶函数，且值域为[)0,∞+； 对于②，3y x =是奇函数，值域为R ； 对于③，2xy =是偶函数，值域为[)1,+∞；对于④，2y x x=+是偶函数，且值域为[)0,∞+所以符合题意的有①④ 故选：C. 14．D【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是()21f =，则根据指数函数的性质，列式求实数a 的取值范围.【详解】2x <时，则()2,4xa a a -∈--，2x ≥时，则2log 1x ≥若要使得()f x 存在最小值，只需要2log 2a -≥，即1a ≤-. 故选：D. 15．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m > 所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=- 令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b >又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)mf x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．16．A【分析】根据一元二次不等式的求解得{}11B x x =-≤≤，根据集合的交运算即可求解. 【详解】因为{}1,0,1,2A =-和{}11B x x =-≤≤，所以{}1,0,1A B =-故选：A ． 17．B【分析】由对数的运算性质可得ab ＝1，讨论a ，b 的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】22log log 0a b +=，即为2log 0ab =，即有ab ＝1. 当a ＞1时，则0＜b ＜1函数()1()xf x a=与()log b g x x =均为减函数，四个图像均不满足当0＜a ＜1时，则b ＞1函数数()1()xf x a=与()log b g x x =均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B 故选：B ． 18．B【分析】结合指数函数，对数函数的单调性，以及临界值0和1，判断即可 【详解】由题意201313a -<==，故(0,1)a ∈ 1130312212b -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭2231log log 10c =<= 故c a b << 故选：B 19．B【分析】转化为函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立，再根据二次函数的单调性以及不等式恒成立列式可求出结果. 【详解】因为函数212()log (3)f x x ax a =-+在[)2,+∞上单调递减所以函数23y x ax a =-+在[)2,+∞上单调递增，且230x ax a -+>在[)2,+∞上恒成立 所以2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，解得44a -<≤.故选：B 20．A【分析】先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果【详解】由220x x ->，得02x <<令22t x x =-，则2log y t=22t x x =-在(0,1)上递增，在(1,2)上递减因为2log y t=在定义域内为增函数所以22log (2)y x x =-的单调递减区间为(1,2)故选：A 21．A【分析】由()f x 是R 上的奇函数求出a 值，并求出0x <时，则函数()f x 的解析式，再分段讨论解不等式作答.【详解】因函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，则()4322x xf x a =-⨯+则()0004322220f a a =-⨯+=-=，解得1a =，即当0x ≥时，则()4322x xf x =-⨯+当0x <时，则0x ->，则()()(4322)x x f x f x --=--=--⨯+而当0x ≥时，则()2311(2)244xf x =--≥-，则当()6f x ≤-时，则0(4322)6x xx --<⎧⎨--⨯+≤-⎩，即0(24)(21)0x xx --<⎧⎨-+≥⎩变形得024x x -<⎧⎨≥⎩，解得2x -≤所以不等式()6f x ≤-的解集为(,2]-∞-. 故选：A22．（1）1122log 3log π>.（2）45log 3log 3>.（3）52log 2log 5<. 【分析】（1）根据12()log f x x=，在定义域内是减函数，即可比较二者大小；（2）根据3log y x =，在定义域内是增函数，可得330log 4log 5<<，故3311log 4log 5>，即可比较二者大小； （3）根据5log 21<，2log 51>即可比较二者大小. 【详解】（1）设12()log f x x =.3π<且()f x 是减函数 ∴(3)()f f π>即1122log 3log π>.（2）3log y x =是增函数∴330log 4log 5<<. ∴3311log 4log 5> 即45log 3log 3>. （3）55log 2log 51<=且22log 5log 21>=∴52log 2log 5<.【点睛】本题主要考查了比较对数的大小，解题关键是掌握对数的单调性和对数的运算性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 23．(1)1a =，定义域为()1,+∞ (2){112}x x <+∣【分析】（1）直接将()3,3ln 2代入函数解析式，即可求出参数a 的值，从而求出函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得()()2ln 1ln 2x x -，再根据对数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； （1）解：由题意可得()()ln 31ln 313ln2a ++-=，即()ln 312ln2a +=，所以314a += 解得1a =则()()()ln 1ln 1f x x x =++-.由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得1x >.所以()f x 的定义域为()1,+∞. （2）解：由（1）可得()()()()2ln 1ln 1ln 1,1f x x x x x =++-=->不等式()()ln 2f x x 可化为()()2ln 1ln 2x x -因为ln y x =在()0,+∞上是增函数所以20121x xx ⎧<-⎨>⎩ 解得112x <+.故不等式()()ln 2f x x 的解集为{}|112x x <+. 24．(1)(],0-∞(2)存在 m =【分析】（1）利用分离参数法得到()9log 91x a x <+-对于任意x 恒成立，令()()9log 91xh x x =+-，利用对数的图像与性质即可求得；（2）先整理得到()9232x xg x m =+⋅+令3x t =， t ⎡∈⎣研究函数()()222222p t t mt t m m =++=++-，t ⎡∈⎣根据二次函数的单调性对m 进行分类讨论，即可求出m . （1）由题意可知，()()20f x x a -+>对于任意x 恒成立代入可得()9log 910x x a +-->所以()9log 91xa x <+-对于任意x 恒成立令()()()99999911log 91log 91log 9log log 199x xxxx xh x x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭因为1119x +>，所以由对数的图像与性质可得：91log 109x⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以0a ≤. 即实数a 的范围为(],0-∞. （2） 由()()9231f x xx g x m -=+⋅+，[]90,log 8x ∈且()()9log 91x f x x =++代入化简可得()9232x xg x m =+⋅+.令3x t =，因为[]90,log 8x ∈，所以t ⎡∈⎣则()()222222p t t mt t m m =++=++- t ⎡∈⎣①当1m -≤，即1m ≥-时，则()p t 在⎡⎣上为增函数所以()()min 1230p t p m ==+=，解得32m =-，不合题意，舍去②当1m <-<1m -<-时，则()p t 在[]1,m -上为减函数，()p t 在m ⎡-⎣上为增函数所以()()2min 20p t p m m =-=-=，解得m =m =③当m ≤-，即m ≤-()p t 在⎡⎣上为减函数所以()(min 100p t p ==+=解得m =综上可知m =【点睛】二次函数中“轴动区间定”或“轴定区间动”类问题，分类讨论的标准是函数在区间里的单调性. 25．(1)答案见解析 (2)1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据复合函数的性质即可得到()h x 的值域；（2）令()()1ln F x x x =-，求出其最小值，则问题转化为1142x x a <-恒成立，进而求1142x xy =-最小值即可.（1）选择①，()()2ln 1h x x =-令21t x =-，则()0,t ∈+∞，故函数ln y t =的值域为R ，即()h x 的值域为R .选择②，()()2ln 1h x x =+，令21t x =+，则[)1,t ∈+∞因为函数ln y t =单调递增，所以0y ≥，即()h x 的值域为[)0,∞+. （2）令()()1ln F x x x =-.令12x m =，则()0,m ∈+∞，所以112211142244x x m m m ⎛⎫-=-=--≥- ⎪⎝⎭故14a <-，即a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.26．(1)选择条件见解析，a ＝2，b ＝0；()g x 为奇函数，证明见解析； (2)77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）若选择①，利用偶函数的性质求出参数,a b ； 若选择②，利用单调性得到关于,a b 的方程，求解即可；将,a b 的值代入到()g x 的解析式中再根据定义判断函数的奇偶性； （2）将题中条件转化为“()g x 的值域是()f x 的值域的子集”即可求解. （1） 选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0. 所以()222xg x x =+.选择②.当0a >时，则()f x ax b =+在[]1,2上单调递增，则224a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩ 所以()222xg x x =+.()g x 为奇函数.证明如下：()g x 的定义域为R . 因为()()222xg x g x x --==-+，所以()g x 为奇函数.（2） 当0x >时，则()122g x x x=+，因为224x x +≥，当且仅当22x x =，即x ＝1时等号成立，所以()104g x <≤； 当0x <时，则因为()g x 为奇函数，所以()104g x -≤<；当x ＝0时，则()00g =，所以()g x 的值域为11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.因为()2h x x c =--在[]22-,上单调递减，所以函数()h x 的值域是[]22,22c c ---. 因为对任意的1x R ∈，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立 所以[]11,22,2244c c ⎡⎤-⊆---⎢⎥⎣⎦，所以12241224c c ⎧--≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩,解得7788c -≤≤. 所以实数c 的取值范围是77,88⎡-⎤⎢⎥⎣⎦.27．（1）12log y x =；（2）函数1()f x x x =+在区间(0,)+∞上具有性质L ；答案见解析；（3）(,1]-∞．【分析】（1）由于底数在(0,1)上的对数函数满足题意，故可得答案； （2）任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，对()()122f x f x +与122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭作差化简为因式乘积形式，判断出与零的大小，可得结论； （3）函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离求出最值，可得参数的范围． 【详解】（1）如12log y x=（或底在(0,1)上的对数函数）；（2）函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ．证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠()()12121212121211122222f x f x x x x x f x x x x x x +⎛⎫⎛⎫++⎛⎫-=+++-+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()2212121212121212121241112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--⎛⎫=+-== ⎪+++⎝⎭ 因为12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠所以()()21212120,20x x x x x x ->⋅+>，即()()1212022f x f x x x f ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭． 所以函数1()f x x x=+在区间(0,)+∞上具有性质L ． （3）任取12,(0,1)x x ∈，且12x x ≠，则()()21222121212121211122222g x g x x x x x g ax ax a x x x x ⎡⎤+⎛⎫++⎛⎫⎛⎫-=-+---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()()()2221212121212121212122244ax x x x x x x x a x x x x x x x x x x -+⎡⎤--⎣⎦=-⋅=-++ 因为12,(0,1)x x ∈且12x x ≠，所以()()21212120,40x x x x x x ->⋅+> 要使上式大于零，必须()121220a x x x x -⋅⋅+>在12,(0,1)x x ∈上恒成立 即()12122a x x x x <+()212124x x x x +< ()()()()231212*********8x x x x x x x x x x +∴++>=+ 令()()3120,8x x t +=∈，则38y t =在()0,1上单调递减，即()()()()2331212121212228148x x x x t x x x x x x ∴>=++=>++ 所以1a ≤，即实数a 的取值范围为(,1]-∞．【点睛】关键点点睛：本题考查函数新概念，考查不等式的恒成立问题，解决本题的关键点是将函数21()g x ax x =-在区间(0,1)上具有性质L ，即()()1212022g x g x x x g ++⎛⎫-> ⎪⎝⎭恒成立，参变分离后转化为求最值问题，并借助于基本不等式和幂函数的单调性得出参数的范围，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 28．(3,4)【分析】由对数的真数大于零，同时二次根式在分母，则其被开方数大于零，从而可求出定义域【详解】由题意可得260,40,x x ->⎧⎨->⎩解得34x <<，即()f x 的定义域是(3,4).故答案为：(3,4) 29．413a <<【分析】使复合函数()()log 4a f x ax =-在(]1,3上递减，需内增外减或外增内减，讨论a 求解即可 【详解】由题可得，根据对数的定义，0a >且1a ≠，所以4y ax =-是减函数，根据复合函数单调性的“同增异减”特点，得到1430a a >⎧⎨->⎩，所以413a <<.故答案为：413a <<30．2⎛ ⎝⎭[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可 【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<所以当1≥x 时，则12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增当01x <<时，则21122()loglog g x x x =-+则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得0x <<所以()g x在⎛ ⎝⎭上递增 综上得函数()g x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭ [1,)+∞故答案为：⎛ ⎝⎭，[1,)+∞ 31．1(,0]2-【分析】先求出分段函数中确定的一段的值域，然后分析另一段的值域应该有哪些元素．【详解】当0x ≥时，则2()log 0f x x =≥，因此当0x <时，则()(12)f x a x a =+-的取值范围应包含(,0)-∞ ∴1200a a +>⎧⎨-≥⎩，解得102-<≤a ． 故答案为1(,0]2-． 【点睛】本题考查分段函数的值域问题，解题时注意分段讨论．32．()2,1【解析】根据对数函数的性质求解．【详解】令231x -=，则2x =，(2)1f =即()f x 图象过定点(2,1)．故答案为：(2,1)33．()820，【分析】利用函数图像，数形结合进行分析.【详解】不妨设a b c <<，画出函数()f x 图像：()()()f a f b f c ==221log log 54a b c ∴==-+－ ()2log 0ab ∴= 10534c <-+< 解得1ab = 820c <<820abc ∴<<．故答案为：()820，34．2【分析】由均值不等式求出xy 的最小值，再由对数的运算及性质即可求解.【详解】因为0x >，0y >且111x y+=所以111x y ≥+=4xy ≥，当且仅当11x y =，即2x y ==时等号成立 即xy 的最小值为4所以2222log log log log 42x y xy +=≥=故答案为：235．AD【分析】首先确定函数()f x 的零点，然后结合新定义的知识得到关于a 的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数a 的取值范围即可.【详解】因为函数()1e 2x f x x -=+-是R 上的增函数，且()10f =，所以1α=，结合“零点伴侣”的定义得11β-≤，则02β≤≤又函数()23g x x ax a =--+在区间[]0,2上存在零点，即方程230x ax a --+=在区间[]0,2上存在实数根 整理得2232122411x x x x a x x +++--+==++()4121x x =++-+ 令()()4121h x x x =++-+，[]0,2x ∈所以()h x 在区间[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增 又()03h =，()723h =和()12h =，所以函数()h x 的值域为[]2,3 所以实数a 的取值范围是[]2,3．故选：AD ．36．AC【分析】A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.【详解】对于A ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-，令210x ->，解得1x <-或1x >，则()f x 的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞，故A 正确；对于B 、C ，当0a =时，则()()2lg 1f x x =-的值域为R ，无最小值，故B 错误，C 正确；对于D ，若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则21y x ax a =+--在[)2,+∞上单调递增，且当2x =时，则0y >则224210aa a⎧-≤⎪⎨⎪+-->⎩，解得3a>-，故D错误．故选：AC．。

2.2.2　对数函数及其性质课后篇巩固提升基础巩固1.y=2x与y=log2x的图象关于( )A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a (x+c )的图象是由y=log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.4.已知a>0且a ≠1,函数y=log a x ,y=a x ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,再由函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确.5.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( )2-1313g 1213A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=<20=1,b=log 2<log 21=0,c=lo >lo =1,∴c>a>b.故选D .2-1313g 1213g 12126.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f = .(12)f (x )=log a x (a>0,a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f =log 2=-1.(12)1217.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度,可求出解析式或利用几何图形直观推断.8.已知函数f (x )=直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围{log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,是 .f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.9.作出函数y=|log 2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图象,如图甲.再将y=log 2x 在x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图象不变),得函数y=|log 2x|的图象,如图乙;然后将y=|log 2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).10.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).由题意,f(9)=log a9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).g1(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo x.3能力提升1.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.2.若函数f (x )=log 2x 的反函数为y=g (x ),且g (a )=,则a=( )14A.2 B.-2 C. D.-1212,得g (x )=2x .∵g (a )=,∴2a =,∴a=-2.14143.若函数f (x )=log 2(x 2-ax-3a )在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)t (x )=x 2-ax-3a ,则由函数f (x )=log 2t 在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t (x )在区间(-∞,-2]上是减函数,且t (-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D .4.已知函数f (x )=a x +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值等于( )A. B.2 C.3D.1213y=a x 与y=log a (x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a ,整理得1+a+log a 2=a ,即log a 2=-1,解得a=.故选A .125.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a==2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,log 43.6log 42∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.6.已知a>0且a ≠1,则函数y=a x 与y=log a (-x )在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).方法一)首先,曲线y=a x 位于x 轴上方,y=log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x 与y=log a (-x )的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x 的图象,又y=log a x 与y=a x 互为反函数(两者图象关于直线y=x 对称),则可直接选②.7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 .f (x )的解析式为f (x )=其图象如右图所示.{lg x ,x >0,0,x =0,-lg (-x ),x <0,由函数图象可得不等式f (x )>0时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).-1,0)∪(1,+∞)8.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M.(1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围;(2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得解得-<a ≤-1.{2a +2≤0,5a +4>0,45所以a 的取值范围为.(-45,-1](2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.{4-4a 2<0,a >0,{a 2>1,a >0,所以a 的取值范围为(1,+∞).9.已知函数f (x )=log 2(a 为常数)是奇函数.1+ax x -1(1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.∵函数f (x )=log 2是奇函数,1+axx -1∴f (-x )=-f (x ).∴log 2=-log 2.1-ax -x -11+ax x -1即log 2=log 2,∴a=1.ax -1x +1x -11+ax 令>0,解得x<-1或x>1.1+x x -1所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f (x )+log 2(x-1)=log 2(1+x ),当x>1时,x+1>2,∴log 2(1+x )>log 22=1.∵x ∈(1,+∞),f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,∴m ≤1.故m 的取值范围是(-∞,1].。

4.4.2 对数函数的图象和性质刷新题夯基础题组一 对数(型)函数的图象1.(2020山西康杰中学高一上期中)为了得到函数f (x )=log 2x 的图象,只需将函数g (x )=log 2x8的图象( )A.向上平移3个单位长度B.向下平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度D.向右平移3个单位长度2.在同一平面直角坐标系中,y =2x 与y =log 2(-x )的图象可能是( )3.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f (x )=lg(|x |-1)的大致图象是( )题组二 对数函数的性质及其应用4.(2020天津红桥高一上期末)函数f (x )=log a (x -1)+2(a >0,a ≠1)的图象恒过定点 ( )A.(2,2)B.(2,3)C.(1,0)D.(2,1)5.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f (x )=√1-lnx 的定义域是 ( ) A.(0,e)B.(0,e]C.[e,+∞)D.(e,+∞)6.已知a =log 23-1,(12)b=5,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <c7.(2020北京平谷高一上期末)已知a ,b ∈R,那么“3a <3b ”是“lo g 13a >lo g 13b ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=lo g1(x2-2x-3)的单调递增区间2是.9.(2020湖南醴陵一中高一上期中)若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是.10.函数f(x)=log a(x+√x2+2a2)是奇函数,则a=.11.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0<f(1-2x)-f(x)<1.),其中0<a<1.12.设函数f(x)=log a(1-ax(1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数;(2)若f(x)>1,求x的取值范围..13.已知函数f(x)=log21-x1+x(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)证明:函数f(x)在定义域上单调递减.题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题14.(2020广东东莞高一上期末)下列函数中,与函数f (x )=x +1(x ∈R)的值域不相同的是( ) A.y =x (x ∈R)B.y =x 3(x ∈R)C.y =ln x (x >0)D.y =e x (x ∈R)15.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f (x )=log 2(x 2-2x +3)的值域为 ( )A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.RD.[2,+∞)16.(2020北京通州高一上期末)已知函数f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)在[1,4]上的最大值与最小值的和是2,则a 的值为 .17.(2020天津河东高一上期末)已知x 满足√3≤3x ≤9. (1)求x 的取值范围;(2)求函数y =(log 2x -1)(log 2x +3)的值域.18.已知函数f (x )=log 2x.(1)若f (a )>f (2),求a 的取值范围; (2)求y =log 2(2x -1)在[2,14]上的最值.题组四 反函数19.(2020北京西城高一上阶段测试)函数y =(1a )x与y =log b x 互为反函数,则a 与b 的关系是( )A.ab =1B.a +b =1C.a =bD.a -b =120.函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(√a ,a ),则a 的值为 ( ) A.2 B.12 C.2或12 D.321.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f(12)的值为.刷新题培素养题组一对数函数的图象1.(2020北京石景山高一上期末,)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=x a(x≥0),g(x)=log a x 的图象可能是()2.(2020河北承德高一上期末,)已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则f(x)的图象过定点()A.(0,1)B.(1,1)C.(1,0)D.(0,0)3.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x||x|的图象是()题组二对数函数单调性的应用4.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=log a(-x2-2x+3)(a>0,a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是()A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1)D.(-3,-1]5.(2020福建厦门外国语学校高一上期中,)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为()A.(0,+∞)B.(0,12) C.(1,2) D.(-∞,0)6.(多选)()若a>b>0,0<c<1,则()A.log c a<log c bB.c a>c bC.a c>b cD.log c(a+b)>07.(2020山东青岛二中高一上期末,)已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(1,1),对任意x 1<x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>-1,则不等式f[log2(2x-1)]<2-log2(2x-1)的解集为 ()A.(0,+∞)B.(log23,+∞)C.(-∞,0)∪(0,log23) D.(0,log23)8.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知函数f (x )=|lg x |+2,若实数a ,b 满足b >a >0,且f (a )=f (b ),则a +2b 的取值范围是 . 9.()已知函数f (x )={log a x +m ,0<x <1,-x +2,x ≥1(a >0,a ≠1)在定义域内单调递减,若|f (2m )|>f (a ),求实数m 的取值范围.10.(2020安徽淮北第一中学高一月考,)已知函数f (x )=log a (a x -1)(a >0,且a ≠1).(1)当a =12时,求函数f (x )的定义域;(2)当a >1时,求关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集;(3)当a =2时,若不等式f (x )-log 2(1+2x )>m 对任意实数x ∈[1,3]恒成立,求实数m 的取值范围.题组三 对数函数的最大(小)值与值域问题 11.(2020山东泰安高一上期末,)若函数f (x )={2x +2,x ≤1,log 2(x -1),x >1在(-∞,a ]上的最大值为4,则a 的取值范围为 ( ) A.[0,17] B.(-∞,17] C.[1,17] D.[1,+∞)12.()若函数f (x )=log 2[kx 2+(2k -1)x +14]的值域为R,则实数k 的取值范围为 .13.(2020河南周口高一上期末调研,)若函数f (x )={(2-a )x +2a ,x <1,1+lnx ,x ≥1的值域为R,则实数a的取值范围是 . 14.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)已知函数f (x )=(13)x,函数g (x )=log 3x.(1)若g (mx 2+2x +m )的定义域为R,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈[-1,1]时,求函数y =[f (x )]2-2af (x )+3的最小值h (a );(3)是否存在实数m ,n ,使得函数y =2x +log 3 f (x 2)的定义域为[m ,n ],值域为[4m ,4n ]?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.题组四 对数函数的综合运用 15.()已知函数f (x )=ln(x +√x 2+1)+1,若实数a 满足f (-a )=2,则f (a )等于 ( )A.1B.0C.-1D.-216.(2020山东济南高一上期末,)已知函数f (x )=log 32-x2+x ,若f (a )+f (a -1)>0,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,12)B.(-1,12) C.(-2,2) D.(-1,2) 17.(多选)(2020山东泰安高一上期末,) 若定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足以下三个条件:(i)对任意的x ∈[0,1],总有f (x )≥0; (ii)f (1)=1;(iii)若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤1,则有f (x 1+x 2)≥f (x 1)+f (x 2),就称f (x )为“A 函数”.下列定义在[0,1]上的函数中,是“A 函数”的有 ( ) A.f (x )=lo g 12(x +1) B.f (x )=log 2(x +1) C.f (x )=x D.f (x )=2x -118.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f (x )=ln kx -1x+1为奇函数.(1)求实数k 的值;(2)判断并证明函数f (x )的单调性;(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f (x )在区间[α,β]上的值域为[ln (mα-m2),ln (mβ-m2)],求实数m 的取值范围.答案全解全析刷新题夯基础1.A g (x )=log 2x8=log 2x -log 28=log 2x -3,所以只需将函数g (x ) =log 2x8的图象向上平移3个单位长度,即可得到函数f (x )=log 2x 的图象,故选A .2.B 因为y =2x 的图象为过点(0,1)的递增的指数函数图象,故排除选项C,D;y =log 2(-x )的图象为过点(-1,0)的递减的对数型函数图象,故排除选项A,故选B .解题模板 函数图象的辨识可从以下方面入手:根据函数的定义域,判断图象的左右位置,根据函数的值域,判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点,排除不符合要求的图象.3.B 解法一:由题可知,当x >0时, f (x )=lg(x -1),其图象可由函数y =lg x 的图象向右平移1个单位得到;当x <0时, f (x )=lg(-x -1)=lg[-(x +1)],其图象可由函数y =lg x 的图象先关于y 轴做翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B 正确.故选B .解法二:易知f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),又f (-x )=lg(|-x |-1)=lg(|x |-1)=f (x ),所以f (x )是偶函数,因此C,D 错误.当x >0时, f (x )=lg(x -1),是(1,+∞)上的增函数,故选B .4.A 由对数函数的性质可知,当x =2时, f (2)=2,故函数f (x )=log a (x -1)+2(a >0,a ≠1)的图象恒过定点(2,2).故选A .5.B 要使函数f (x )=√1-lnx 有意义,需满足{1-lnx ≥0,x >0,解得0<x ≤e .因此函数的定义域为(0,e],故选B .6.B 由(12)b=5,得b =lo g 125=-log 25,又a =log 23-1=-log 23,所以-log 25<-log 23<0<log 32,即b <a <c ,故选B .7.B 由3a<3b⇒a <b ,因为a ,b 的正负不明确,所以“3a<3b”不一定能推出“lo g 13a >lo g 13b ”;由lo g 13a >lo g 13b ⇒0<a <b ⇒3a <3b ,所以“3a <3b ”是“lo g 13a >lo g 13b ”的必要不充分条件.故选B .8.答案 (-∞,-1)解析 由x 2-2x -3>0,得x <-1或x >3,因此函数f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),记为D.设u =x 2-2x -3,则y =lo g 12u ,易知y =lo g 12u 是定义域内的减函数,又u =(x -1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, ∴f (x )的单调递增区间为(-∞,1]∩D =(-∞,-1). 9.答案 (1,2)解析 ∵y =log 0.5x 是定义域内的减函数,∴log 0.5(m -1)>log 0.5(3-m )⇔{m -1>0,3-m >0,m -1<3-m ,即{m >1,m <3,m <2,∴1<m <2,即m 的取值范围是(1,2). 10.答案√22解析 ∵函数f (x )的定义域为R,且为奇函数,∴f (0)=0,即log a √2a 2=0, ∴√2a 2=1,又a >0,∴a =√22. 经验证,当a =√22时, f (x )为奇函数. 11.解析 不等式0<f (1-2x )-f (x )<1, 即0<lg(2-2x )-lg(x +1)=lg 2-2xx+1<1. 由{2-2x >0,x +1>0得-1<x <1. 由0<lg 2-2xx+1<1,得1<2-2xx+1<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,解得-23<x <13. 由{-1<x <1,-23<x <13得-23<x <13,故不等式的解集为(-23,13). 12.解析 (1)证明:任取x 1,x 2∈(a ,+∞),不妨令0<a <x 1<x 2,g (x )=1-ax ,则g (x 1)-g (x 2)=(1-a x 1)-(1-ax 2)=a (x 1-x 2)x 1x 2<0,∴g (x 1)<g (x 2).又∵0<a <1,∴f (x 1)>f (x 2), ∴f (x )是(a ,+∞)上的减函数. (2)∵log a (1-ax )>1,且0<a <1, ∴0<1-ax <a ,∴1-a <a x <1.∵0<a <1,∴1-a >0,从而a <x <a1-a .∴x的取值范围是(a,a1-a).13.解析(1)要使函数f(x)=log21-x1+x 有意义,需满足1-x1+x>0,解得-1<x<1,即函数的定义域为(-1,1).(2)函数f(x)为奇函数.证明:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),都有f(-x)=log21+x1-x =-log21-x1+x=-f(x),则函数f(x)为奇函数.(3)证明:由(1)可知, f(x)的定义域为(-1,1), 任取x1,x2∈(-1,1),不妨设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=log21-x11+x1-log21-x21+x2=log2(1-x11+x1×1+x21-x2)=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2,又x1<x2,所以x2-x1>0, 则有1+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2>1,故f(x1)-f(x2)=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2>log21=0,故函数f(x)在定义域上单调递减.14.D易知f(x)的值域为R.A,B,C选项中各函数的值域均为R,不符合题意;选项D中函数的值域为(0,+∞),与f(x)的值域不同,故选D.15.B∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴f(x)=log2(x2-2x+3)≥log22=1,因此,函数f(x)的值域是[1,+∞),故选B.16.答案 2解析①当a>1时, f(x)=log a x在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)=log a x在[1,4]上的最大值为log a4,最小值为log a1;②当0<a<1时, f(x)=log a x在(0,+∞)上为减函数,所以f(x)=log a x在[1,4]上的最大值为log a1,最小值为log a4.故有log a1+log a4=2,即log a4=2,所以a =2,故答案为2. 17. 解析 (1) ∵√3≤3x ≤9, ∴312≤3x ≤32,由于指数函数y =3x 在R 上单调递增, ∴12≤x ≤2.因此,x 的取值范围是[12,2].(2)由(1)得12≤x ≤2,∴-1≤log 2x ≤1.令t =log 2x ,则y =(t -1)(t +3)=t 2+2t -3,其中t ∈[-1,1]. ∵函数y =t 2+2t -3的图象开口向上,且对称轴为直线t =-1, ∴函数y =t 2+2t -3在t ∈[-1,1]上单调递增,∴当t =1时,y 取得最大值,为0;当t =-1时,y 取得最小值,为-4. ∴函数y =(log 2x -1)(log 2x +3)的值域为[-4,0]. 18.解析 (1)∵f (x )=log 2x 为增函数,f (a )>f (2), ∴a >2,即a 的取值范围是(2,+∞). (2)∵2≤x ≤14, ∴3≤2x -1≤27,∴log 23≤log 2(2x -1)≤log 227.∴函数f (x )=log 2(2x -1)在[2,14]上的最小值为log 23,最大值为log 227. 19.A 由函数y =(1a )x与y =log b x 互为反函数得1a =b ,化简得ab =1,故选A . 20.B 解法一:函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数为y =log a x (a >0,且a ≠1), 故y =log a x 的图象过点(√a ,a ),则a =log a √a =12.解法二:∵函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(√a ,a ),∴函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象过点(a ,√a ),∴a a=√a =a 12,即a =12. 21.答案 -log 32解析 易得y =f (x )=log 3x , ∴f (12)=log 312=-log 32.刷新题培素养1.D选项A中两条曲线都不是函数y=x a(x≥0)的图象;选项B中,y=x a(x≥0)中a>1,y=log a x(x>0)中0<a<1,不符合;选项C中,y=x a(x≥0)中0<a<1,y=log a x(x>0)中a>1,不符合;选项D中,y=x a(x ≥0)中0<a<1,y=log a x(x>0)中0<a<1,符合,故选D.2.C当x=1时, f(x)=f(1)=a0+log b1-1=1+0-1=0,∴f(x)的图象过定点(1,0).故选C.解题模板解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a0=1,log b1=0,由此确定定点.3.B当x>0时,y=xln|x||x|=ln x,排除C,D;当x<0时,y=xln|x||x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.4.D由f(0)<0得log a3<0,因此0<a<1.由-x2-2x+3>0得x2+2x-3<0,解得-3<x<1.因此函数f(x)的定义域为(-3,1).设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,当x∈[-1,1)时,u=-x2-2x+3单调递减,而0<a<1,即y=logau单调递减,∴f(x)的单调递减区间为(-3,-1],故选D.5.B设y=log3u,u=1-ax.由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,∴-a<0,即a>0.由1-ax>0得ax<1,又a>0,∴x<1a,即f(x)的定义域为(-∞,1a),∴(-∞,2]⊆(-∞,1a )⇒2<1a,结合a>0,得0<a<12,因此a的取值范围是(0,12),故选B.警示求含对数函数的复合函数的单调性时,既要考虑到内、外两层函数的单调性,还要考虑到函数的定义域,即单调区间是函数定义域的子集,要防止因忽略定义域导致解题错误.6.AC选项A中,因为0<c<1,所以y=log c x为单调递减函数,由a>b>0得log c a<log c b,故A正确; 选项B中,因为0<c<1,所以y=c x为单调递减函数,由a>b>0,得c a<c b,故B错误;选项C中,因为a>b>0,0<c<1,所以(ab )c>1,所以a c>b c,故C正确;选项D 中,取c =12,a +b =2,则log c (a +b )=lo g 122=-1<0,故D 错误.故选AC .7.D 由对任意x 1<x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>-1,可得[f (x 1)+x 1]-[f (x 2)+x 2]x 1-x 2>0,令R (x )=f (x )+x ,则函数R (x )=f (x )+x 在R 上是增函数. 不等式f [log 2(2x -1)]<2-log 2(2x -1), 即f [log 2(2x -1)]+log 2(2x -1)<2=f (1)+1, 即log 2(2x -1)<1,所以0<2x -1<2, 即0<x <log 23, 故选D .解题模板 解决含有未知函数的不等式,往往要构造函数,运用单调性解题,构造函数时要充分考虑题中的条件f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>-1,平时要积累构造函数的经验.8.答案 (3,+∞)解析 f (x )的图象如图所示,因为f (a )=f (b ),所以结合图象可得0<a <1<b ,于是lg a =-lg b ,则b =1a ,所以a +2b =a +2a , 设g (a )=a +2a (0<a <1).因为g (a )在(0,1)上为减函数,所以g (a )>g (1)=3,即a +2a >3,所以a +2b 的取值范围是(3,+∞). 9.解析 由函数f (x )在定义域内单调递减, 可知{0<a <1,log a 1+m ≥1,即{0<a <1,m ≥1.由m ≥1得2m ≥2,故f (2m )=-2m +2, 由0<a <1得f (a )=log a a +m =1+m ,∴|f (2m )|>f (a )⇔|-2m +2|>m +1,又m ≥1, ∴2m -2>m +1,解得m >3, 故m 的取值范围是(3,+∞).10.解析 (1)当a =12时, f (x )=lo g 12(12-1),故12-1>0,解得x <0,故函数f (x )的定义域为(-∞,0).(2)由题意知, f (x )=log a (a x -1)(a >1),其定义域为(0,+∞),易知f (x )为(0,+∞)上的增函数, 由f (x )<f (1)得{x >0,x <1,∴不等式的解集为(0,1).(3)设g (x )=f (x )-log 2(1+2x)=log 22x -12+1,x ∈[1,3],设t =2x -12+1=1-22+1,易知t =1-22+1为增函数,又y =log 2t 为定义域内的增函数,所以g (x )在[1,3]上单调递增,故g (x )min =g (1)=log 213.∵f (x )-log 2(1+2x )>m 对任意实数x ∈[1,3]恒成立, ∴m <g (x )min =log 213, 即m ∈(-∞,log 213).11.C 易知f 1(x )=2x +2在(-∞,1]上单调递增, f 2(x )=log 2(x -1)在(1,+∞)上单调递增.作出f (x )的大致图象,如图所示.由图可知, f (1)=4, f (17)=4,所以a 的取值范围为[1,17]. 12.答案 [0,14]∪[1,+∞)解析 设u =kx 2+(2k -1)x +14的值域为A ,y =log 2u 的定义域为B ,则B =(0,+∞). 当k =0时,u =-x +14,A =R,则A ∩B =(0,+∞),函数f (x )的值域为R,符合题意; 当k ≠0时,依题意得k >0,B ⊆A ,因此(2k -1)2-4×k ×14≥0,解得k ≤14或k ≥1, 此时k 的取值范围是(0,14]∪[1,+∞).综上所述,实数k 的取值范围为[0,14]∪[1,+∞). 13.答案 [-1,2)解析 当x ≥1时,ln x ≥0,从而1+ln x ≥1. 设x <1时,y =(2-a )x +2a 的值域为B ,则(-∞,1)⊆B.因此{2-a >0,(2-a )×1+2a ≥1,解得-1≤a <2.故a 的取值范围是[-1,2).14.解析 (1)由题意知mx 2+2x +m >0对任意实数x 恒成立, 当m =0时显然不满足, ∴{m >0,Δ=22-4m 2<0,∴m >1.∴实数m 的取值范围为(1,+∞). (2)当x ∈[-1,1]时, f (x )∈[13,3]. 令f (x )=t (t ∈[13,3]),则y =t 2-2at +3=(t -a )2+3-a 2,∴h (a )={28-6a 9,a <13,3-a 2,13≤a ≤3,12-6a ,a >3.(3)存在.∵y =2x +log 3 f (x 2)=2x +log 3(13)x2=2x -x 2=-(x -1)2+1≤1,∴4n ≤1, ∴n ≤14,∴函数在[m ,n ]上单调递增, ∴{2m -m 2=4m ,2n -n 2=4n . 又∵m <n ,∴m =-2,n =0.15.B 设g (x )=ln(x +√x 2+1),易知其定义域为R,且g (-x )=ln(-x +√(-x )2+1)=ln √2=-ln(x +√x 2+1)=-g (x ), 所以g (x )为奇函数.因为f (-a )=g (-a )+1=2,所以g (-a )=1,从而g (a )=-1, 所以f (a )=g (a )+1=-1+1=0,故选B .16.B 由题可知f (x )=log 32-x2+x 的定义域满足2-x2+x >0⇒(x -2)(2+x )<0,解得-2<x <2. 又f (x )+f (-x )=log 3(2-x2+x ·2+x 2-x )=log 31=0,故f (x )为奇函数.又f (x )=log 32-x2+x =log 3(-1+42+x ),且y =-1+42+x 在(-2,2)上为减函数,故f (x )为减函数.f (a )+f (a -1)>0,即f (a )>-f (a -1)=f (1-a ), 所以{-2<a <2,-2<a -1<2,a <1-a ,所以a ∈(-1,12).故选B .17.CD 选项A 中, f (1)=lo g 12(1+1)=-1,故f (x )=lo g 12(x +1)不是“A 函数”.选项B 中,若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤1,则f (x 1)+f (x 2)=log 2(x 1+1)+log 2(x 2+1)=log 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)≥log 2(x 1+x 2+1)=f (x 1+x 2),不满足(iii),故f (x )=log 2(x +1)不是“A 函数”.选项C 中,f (x )显然满足(i)(ii),又f (x 1+x 2)=x 1+x 2=f (x 1)+f (x 2),所以f (x )=x 是“A 函数”.选项D 中, f (x )显然满足(i)(ii),因为f (x 1+x 2)=2x 1+x 2-1, f (x 1)+f (x 2)=2x 1+2x 2-2,所以f (x 1+x 2)-[f (x 1)+f (x 2)]=2x 1+x 2-2x 1-2x 2+1=(2x 1-1)(2x 2-1),又x 1,x 2∈[0,1],所以2x 1-1≥0,2x 2-1≥0,从而f (x 1+x 2)≥f (x 1)+f (x 2),因此, f (x )=2x -1是“A 函数”.故选CD . 18.解析 (1)因为函数f (x )=ln kx -1x+1为奇函数,所以f (x )+f (-x )=0, 即ln kx -1x+1+ln -kx -1-x+1=ln (kx -1)(-kx -1)(x+1)(-x+1)=ln 1-k 2x 21-x 2=0对定义域内任意x 恒成立,所以k 2=1,即k =±1,显然k ≠-1,所以k =1. 经验证,k =1符合题意.(2)f (x )在(-∞,-1),(1,+∞)上均为增函数.证明:由(1)知f (x )=ln x -1x+1,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 任取x 1,x 2∈(1,+∞),不妨设x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=ln x 1-1x 1+1-ln x 2-1x 2+1=ln (x 1-1)(x 2+1)(x 1+1)(x 2-1),因为(x 1-1)(x 2+1)-(x 1+1)(x 2-1)=2(x 1-x 2)<0,且(x 1+1)(x 2-1)>0,(x 1-1)·(x 2+1)>0, 所以0<(x 1-1)(x 2+1)(x 1+1)(x 2-1)<1,所以f (x 1)-f (x 2)=ln (x 1-1)(x 2+1)(x 1+1)(x 2-1)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(1,+∞)上为增函数. 同理, f (x )在(-∞,-1)上为增函数. (3)由(2)知f (x )在(1,+∞)上为增函数,又因为函数f (x )在[α,β]上的值域为[ln (mα-m2),ln (mβ-m2)],所以m >0,且{ln α-1α+1=ln (mα-m2),ln β-1β+1=ln (mβ-m2), 所以{α-1α+1=mα-m2,β-1β+1=mβ-m 2,即α,β是方程x -1x+1=mx -m2的两个不等实根,问题等价于方程mx 2-(1-m2)x +1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,令h (x )=mx 2-(1-m2)x +1-m2,x ∈(1,+∞),易知h (x )为二次函数,其图象的对称轴为直线x =12m -14, 则{m >0,12m -14>1,Δ=[-(1-m 2)]2-4m (1-m2)>0,ℎ(1)=m >0, 即{m >0,0<m <25,m >2或m <29,解得0<m <29.。

2.2.2对数函数及其性质5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.函数f （x ）=|log 2x|的图象是()思路解析：考查对数函数的图象及图象变换.注意到y=|log 2x|的图象应是将y=log 2x 的图象位于x 轴下方的部分翻折到x 轴的上方，故选A. 答案：A2.若log a 2＜log b 2＜0，则a 、b 满足的关系是() A.1＜a ＜bB.1＜b ＜aC.0＜a ＜b ＜1D.0＜b ＜a ＜1思路解析：考查y=log a x 和y=log b x 的图象.当x=2时，又log a 2＜log b 2＜0，所以y=log a x 和y=log b x 为减函数.∴a 、b 均小于1.又由log a 2＜log b 2知y=log a x 的图象与y=log b x 的图象如下图所示.故0＜b ＜a ＜1. 答案：D3.函数y=log a （x-2）+1（a ＞0且a ≠1）恒过定点_________. 思路解析：若x-2=1，则不论a 为何值，只要a ＞0且a=1，都有y=1. 答案：（3，1）4.函数f （x ）=log （a-1）x 是减函数，则a 的取值范围是_________.思路解析：考查对数函数的概念、性质.注意到a-1既受a-1＞0且a-1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a 的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a ＜2. 答案：1＜a ＜210分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.（2006广东高考）函数f(x)=xx -132+lg(3x+1)的定义域是()A.(-31,+∞)B.(-31,1)C.(-31,31)D.(-∞,-31) 思路解析：要使函数有意义，则⎩⎨⎧>+>-,013,01x x 解得-31<x<1.答案：B2.若函数f （x ）=log a x （0<a<1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于() A.42B.22C.41D.21思路解析：本题关键是利用f （x ）的单调性确定f （x ）在［a ，2a ］上的最大值与最小值.f （x ）=log a x （0<a<1）在（0，+∞）上是减函数，当x ∈［a ，2a ］时，f （x ）max =f （a ）=1，f （x ）min =f（2a ）=log a 2a.根据题意，3log a 2a=1，即log a 2a=31，所以log a 2+1=31，即log a 2=-32.故由32-a =2得a=322-42=. 答案：A3.右图是对数函数y=log a x 当底数a 的值分别取3，34，53，101时所对应图象，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是()A.3,34,53,101B.3,34,101,53 C.34,3,53,101D.34,3,101,53思路解析：因为底数a 大于1时，对数函数的图象自左向右呈上升趋势，且a 越大，图象就越靠近x 轴；底数a 大于0且小于1时，对数函数的图象自左向右呈下降趋势，且a 越小，图象就越靠近x 轴. 答案：A 4.比较大小：（1）log 0.27和log 0.29；（2）log 35和log 65；（3）（lgm ）1.9和（lgm ）2.1（m ＞1）；（4）log 85和lg4.思路解析：本题大小比较代表了几个典型的题型.其中题（1）是直接利用对数函数的单调性；题（2）是对数函数底数变化规律的应用；题（3）是指数函数单调性及对数函数性质的综合运用；题（4）是中间量的运用.当两个对数的底数和真数都不相同时，需要找出中间量来“搭桥”，再利用对数函数的增减性.常用的中间量有0、1、2等可通过估算加以选择.（1）log 0.27和log 0.29可看作是函数y=log 0.2x 当x=7和x=9时对应的两函数值，由y=log 0.2x 在（0，+∞）上单调递减，得log 0.27＞log 0.29.（2）考察函数y=log a x 底数a ＞1的底数变化规律，函数y=log 3x （x ＞1）的图象在函数y=log 6x （x ＞1）的上方，故log 35＞log 65.（3）把lgm 看作指数函数的底数，要比较两数的大小，关键是比较底数lgm 与1的关系.若lgm ＞1即m ＞10，则（lgm ）x 在R 上单调递增，故（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1.若0＜lgm ＜1即1＜m ＜10，则（lgm ）x 在R 上单调递减，故（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1.若lgm=1即m=10，则（lgm ）1.9=（lgm ）2.1.（4）因为底数8、10均大于1，且10＞8，所以log 85＞lg5＞lg4，即log 85＞lg4.答案：（1）log 0.27＞log 0.29.（2）log 35＞log 65.（3）m ＞10时，（lgm ）1.9＜（lgm ）2.1;m=10时，lgm=1，（lgm ）1.9=（lgm ）2.1;1＜m ＜10时，（lgm ）1.9＞（lgm ）2.1.（4）log 85＞lg4. 5.已知函数y=lg （x x -+12），求其定义域，并判断其奇偶性、单调性. 思路解析：注意到12+x +x=xx -+112，即有lg （12+x -x ）=-lg （12+x +x ），从而f （-x ）=lg （12+x +x ）=-lg （12+x -x ）=-f （x ），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性. 解：由题意12+x -x ＞0，解得x ∈R ，即定义域为R.又f （-x ）=lg ［1)(2+-x -（-x ）］=lg （12+x +x ）=lgxx -+112=lg （12+x -x ）-1=-lg （12+x -x ）=-f （x ）,∴y=lg （12+x -x ）是奇函数.任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则121+x ＜122+x ⇒121+x +x 1＜122+x +x 2⇒12111x x ++>22211x x ++，即有121+x -x 1＞122+x -x 2＞0，∴lg（121+x -x 1）＞lg （122+x -x 2），即f （x 1）＞f （x 2）成立.∴f （x ）在（0，+∞）上为减函数.又f （x ）是定义在R 上的奇函数，故f （x ）在（-∞，0）上也为减函数. 6.作出下列函数的图象：（1）y=|log 4x|-1；（2）y=31log |x+1|.思路解析：（1）y=|log 4x|-1的图象可以看成由y=log 4x 的图象经过变换而得到：将函数y=log 4x 的图象在x 轴下方部分以x 轴为对称轴翻折上去，得到y=|log 4x|的图象，再将y=|log 4x|的图象向下平移1个单位，横坐标不变，就得到了y=|log 4x|-1的图象.（2）y=31log |x+1|的图象可以看成由y=31log x 的图象经过变换而得到：将函数y=31log x 的图象作出右边部分关于y 轴的对称图象，即得到函数y=31log |x|的图象，再将所得图象向左平移一个单位，就得到所求的函数y=31log |x+1|的图象.解：函数（1）的图象作法如图①～③所示.函数（2）的图象作法如图④～⑥所示. 7.函数y=lg|x|()A.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增B.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减C.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增D.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减 思路解析：画出函数y=lg|x|的草图即得答案.在画函数y=lg|x|的草图时，注意应用函数y=lg|x|是个偶函数，其图象关于y 轴对称.比如列表时，要先确定对称轴，然后在对称轴的两侧取值列表. 答案：B8.已知f （x ）=1+log x 3，g （x ）=2log x 2，试比较f （x ）与g （x ）的大小.思路解析：要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法，作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负，再将商同“1”比较大小.因为本题中的f （x ）与g （x ）的正负不确定，所以采取作差比较法.解：f （x ）和g （x ）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞）.f （x ）-g （x ）=1+log x 3-2log x 2=1+log x 3-log x 4=log x 43x. （1）当0＜x ＜1时，若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＞0，即0＜x ＜1时，f （x ）＞g （x ）；（2）当x ＞1时，若43x ＞1，即x ＞34，此时log x 43x ＞0，即x ＞34时，f （x ）＞g （x ）； 若43x=1，即x=34，此时log x 43x=0，即x=34时，f （x ）=g （x ）； 若0＜43x ＜1，即0＜x ＜34，此时log x 43x ＜0，即1＜x ＜34时，f （x ）＜g （x ）.综上所述，当x ∈（0，1）∪（34，+∞）时，f （x ）＞g （x ）；当x=34时，f （x ）=g （x ）； 当x ∈（1，34）时，f （x ）＜g （x ）.快乐时光 七个男人和一个女人朋友闲来无事，到街上遛达，看到有一录像点高挂着牌子，写着：今晚精彩录像——《七个男人与一个女人的故事》，莫失良机.朋友好奇心发作，买票进场.待人坐齐以后，开始放映.一开场屏幕上出现了真实片名《八仙过海》. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.如下图，当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y=a -x 与y=log a x 的图象是() 思路解析：首先把y=a -x 化为y=（a 1）x ，∵a ＞1，∴0＜a 1＜1.因此y=（a1）x ，即y=a -x 的图象是下降的，y=log a x 的图象是上升的. 答案：A2.（2006福建高考，文）已知f(x)是周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)=lgx.设a=f(56),b=f(23),c=f(25),则() A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b 思路解析：由题意，a=f(56)=f(-54)=-f(54)=-lg 54=lg 45,b=f(23)=f(-21)=-f(21)=-lg 21=lg2, c=f(25)=f(21)=lg 21,由于f(x)=lgx 在实数范围内为增函数，所以有c<a<b. 答案：D3.已知函数f （x ）=lg （x 2-3x+2）的定义域为F ，函数g （x ）=lg （x-1）+lg （x-2）的定义域为G ，那么()A.GFB.G=FC.F ⊆GD.F ∩G=∅思路解析：F={x|x 2-3x+2>0}={x|x>2或x<1}，G={x|x>2}.∴G F.答案：A4.已知函数f （x ）=log 2（x 2-ax+3a ）在［2，+∞］上是增函数，则实数a 的取值范围是() A.（-∞，4）B.（-4，4]C.（-∞，-4）∪［2，+∞)D.［-4，4)思路解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令u （x ）=x 2-ax+3a ，其对称轴x=2a . 由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-=.22,0324)2(a a a u解得-4<a ≤4. 答案：B5.（2006福建高考，理）函数y=log 21-x x(x>1)的反函数是() A.y=122-x x (x>0)B.y=122-x x(x<0)C.y=x x 212-(x>0)D.y=xx 212-(x<0) 思路解析：求函数时一定不要忘记求反函数的定义域，也就是原函数的值域.原函数值域为y>0,由于y=log 21-x x (x>1)=log 21-x x =log 2(1+11-x ),所以1+11-x =2y,x=121-y +1=122-y y .将x,y对调，可得反函数为y=122-x x(x>0).答案：A6.已知函数f （x ）=log abx bx -+（a ＞1且b ＞0）. （1）求f （x ）的定义域； （2）判断函数的奇偶性；（3）判断f （x ）的单调性，并用定义证明.思路解析：本题考查定义域、单调性的求法及判断方法，注意要利用定义求解.解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+,0,0b x b x bx 解得x ＜-b 或x ＞b.∴函数f （x ）的定义域为（-∞，-b ）∪（b ，+∞）. （2）由于f （-x ）=log a （b x b x --+-）=log a （b x b x +-）=log a （b x b x -+）-1=-log a （bx bx -+）=-f （x ），所以f （x ）为奇函数.（3）设x 1、x 2是区间（b ，+∞）上任意两个值，且x 1＜x 2.则b x b x -+22-b x b x -+11=))(()(2))(()(1221122121221212b x b x x x b b x b x b bx bx x x b bx bx x x ---=----+--+-. ∵b ＞0，x 1-x 2＜0，x 2-b ＞0，x 1-b ＞0， ∴b x b x -+22-b x bx -+11＜0.∴b x b x -+22＜bx bx -+11.又a ＞1时，函数y=log a x 是增函数， ∴log ab x b x -+22＜log a bx bx -+11，即f （x 2）＜f （x 1）.∴函数f （x ）在区间（b ，+∞）上是减函数.同理，可证f （x ）在（-∞，-b ）上也是减函数. 7.已知f （x ）=log axx-+11（a>0且a ≠1）. （1）求函数的定义域； （2）讨论函数的单调性；（3）求使f （x ）>0的x 的取值范围. 解：（1）由xx-+11>0得-1<x<1. ∴函数的定义域为（-1，1）. （2）对任意-1<x 1<x 2<1，1111x x -+-2211x x -+=)1)(1()(22121x x x x ---<0，∴1111x x -+<2211x x -+.当a>1时，log a1111x x -+<log a 2211x x -+，即f （x 1）<f （x 2）； 当0<a<1时，log a2211x x -+>log a 2211x x -+，即f （x 1）>f （x 2）.∴当a>1时，f （x ）为（-1，1）上的增函数； 当0<a<1时，f （x ）为（-1，1）上的减函数.（3）log axx-+11>0=log a 1. ∴当a>1时，x x -+11>1，即x x -+11-1=xx-12>0.∴2x （x-1）<0.∴0<x<1.当0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+,111,011xx xx解得-1<x<0；当a>1时，f （x ）>0的解为（0，1）； 当0<a<1时，f （x ）>0的解为（-1，0）.8.设函数f （x ）=x 2-x+b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1），求f （log 2x ）的最小值及对应的x 的值.思路解析：关键是利用已知的两个条件求出a 、b 的值.解：由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-,2)(log ,log log 22222b a a b b a a即)2()1(.4,0)1(log log 222⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-b a a a a由①得log 2a=1，∴a=2. 代入②得b=2.∴f （x ）=x 2-x+2.∴f （log 2x ）=log 22x-log 2x+2=（log 2x-21）2+47. ∴当log 2x=21时，f （log 2x ）取得最小值47，此时x=2.9.设a ≠0，对于函数f （x ）=log 3（ax 2-x+a ）， （1）若x ∈R ，求实数a 的取值范围； （2）若f （x ）∈R ，求实数a 的取值范围.思路解析：f （x ）的定义域是R ，等价于ax 2-x+a ＞0对一切实数都成立，而f （x ）的值域为R ，等价于其真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数值，（1）与（2）虽只有一字之差，但结果却大不相同.解：（1）f （x ）的定义域为R ，则ax 2-x+a ＞0对一切实数x 恒成立，其等价条件是⎩⎨⎧<-=∆>.041,02a a 解得a ＞21. （2）f （x ）的值域为R ，则真数ax 2-x+a 能取遍大于0的所有实数，其等价条件是⎩⎨⎧≥-=∆>.041,02a a 解得0＜a ≤21. 10.已知a>0且a ≠1，f （log a x ）=12-a a （x-x1）. （1）试证明函数y=f （x ）的单调性.（2）是否存在实数m 满足：当y=f （x ）的定义域为（-1，1）时，有f （1-m ）+f （1-m 2）<0?若存在，求出其取值范围；若不存在，请说明理由.（3）若函数f （x ）-4恰好在（-∞，2）上取负值，求a 的值. （1）证明：由f （log a x ）=12-a a （x-x 1），得f （x ）=12-a a （a x -a -x ），x ∈R ，任取x 1<x 2，f （x 1）-f （x 2）=12-a a （1x a -2x a ）21211x x x x a a +++.a>1时，1x a <2x a ，a 2-1>0；0<a<1时，1x a >2xa ，a 2-1<0.综上可得f （x 1）<f （x 2），即函数为减函数.（2）解：因为f （-x ）=-12-a a（a x -a -x ）=-f （x ），即函数为奇函数，f （1-m ）+f （1-m 2）<0可转化为f （1-m ）<f （m 2-1），所以⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-.11,111,11122m m m m 解得1<m<2.（3）解：f （x ）-4恰好在（-∞，2）的值为负，即当x ∈（-∞，2）时，有f （x ）-4<f （2）-4=0，解得a=2±3.11.已知f （x ）=lg （a x -b x ）（a>1>b>0）. （1）求y=f （x ）的定义域；（2）在函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于x 轴？思路解析：（2）的思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题. 解：（1）由a x -b x >0，得（b a ）x >1=（ba ）0. ∵ba>1，∴x>0. ∴函数的定义域为（0，+∞）.（2）先证明f （x ）是增函数.对于任意x 1>x 2>0，∵a>1>b>0，∴1x a >2x a ，1x b <2xb . ∴1xa -1x b >2x a -2xb .∴lg （1xa -1x b ）>lg （2x a -2xb ）. ∴f （x 1）>f （x 2）.∴f （x ）在（0，+∞）上为增函数.假设y=f （x ）上存在不同的两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），使直线AB 平行于x 轴，则x 1≠x 2，y 1=y 2，这与f （x ）是增函数矛盾.∴y=f （x ）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x 轴.12.2006年春节晚会的现场上无数次响起响亮的掌声，某报记者用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90.1分贝.分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级（spl ）来描述声音的大小：把一很小的声压P 0=2×10-5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB ）.分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区. （1）根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式.（2）某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？声音环境是否优良？思路解析：由已知条件即可写出分贝y 与声压P 之间的函数关系式，然后由函数关系式求得当P=0.002帕时，分贝y 的值.由此可判断所在区. 解：（1）由已知y=（lg0P P ）×20=20·lg 0P P（其中P 0=2×10-5）. （2）将P=0.002代入函数关系y=20lg0P P ，则y=20lg 5102002.0-⨯=20lg102=40（分贝）. 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以在噪音无害区，环境优良.。

第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图像和性质一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）已知f(x)=log 3x ，则的大小是 A. B. C.D.【答案】B【解析】由函数y=log 3x 的图象可知，图象呈上升趋势，即随着x 的增大，函数值y 也在增大，故．2．（2019·北京市第二中学分校高一课时练习）函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【答案】A 【解析】∵12083x log x <≤∴≥，－，故选A.3．（2019·江西高一课时练习）设a =log 123，b =(13)0.2，c =213则 （ ） A.b <a <c B.c <b <a C.c <a <b D.a <b <c【答案】D【解析】由题得a =log 123<log 121=0,b >0,c >0.b =(13)0.2<(13)0=1, c =213>20=1,所以a <b <c .故选：D4．（2019·全国高一课时练习）在同一直角坐标系中，当时，函数与的图象是A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，函数，，所以图象过点，在其定义域上是增函数；函数的图象过点，在其定义域上是减函数.故选C.5．（2019·全国高一课时练习）函数()12log f x x =的单调递增区间是( )A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.(]0,1C.()0∞，＋D.[)1∞，＋ 【答案】D【解析】由对数函数性质知，函数12log y x =是一个减函数，当1x >时，函数值小于0，函数()12log f x x =的图象可由函数12log y x =的图象x 轴下方的部分翻到x 轴上面，x 轴上面部分不变而得到，由此知，函数12log y x =的单调递增区间是[)1∞，＋，故选D.点睛：本题考查对数函数的单调性及函数图象的变化，解题的关键是理解绝对值函数与原来的函数图象间的关系，其关系是：与原函数x 轴上方的部分相同，x 轴下方的部分关于x 轴对称，简称为“上不动，下翻上”.6.（2018·全国高一课时练习）已知y ＝log a (2－x)是x 的增函数，则a 的取值范围是（ ） A.(0, 2) B.(0, 1)C.(1, 2)D.(2, ＋∞)【答案】B【解析】令2Z x =-，则Z 是x 的减函数，()log 2a y x =-Q 是x 的增函数，log a y Z ∴=是减函数，则01a <<,故选B二、填空题7．（2019·全国高一课时练习）函数f(x)是奇函数，且在区间[0,4]上是减函数，则比较大小()f π-_______21(log )8f ． 【答案】> 【解析】()2138f log f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数是奇函数，且在区间[]0,4上是减函数，由3π>,得()()3f f π<，则()()3f f π->-，即()()2138f f f log π⎛⎫->-= ⎪⎝⎭8．（2019·全国高一课时练习）地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍． 【答案】【解析】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为21E E 、，则212983lgE lgE （）-=-，即3222113102E E lg E E ，=∴==．那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍． 9．（2019·北京市第二中学分校高一课时练）函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点________． 【答案】(1,2)【解析】当1x =时，()()13222a f log +=＝－.所以函数()()322(01)a f x log x a a +>≠＝－，恒过定点(1,2).10．（2019·全国高一课时练）设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(1,0)(1,)-??【解析】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨-<-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞; 三、解答题11．（2019·全国高一课时练习）解不等式：log a (x －4)>log a (x －2)．【答案】当a >1时，原不等式的解集为空集；当0<a <1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．【解析】 (1)当a >1时，原不等式等价于424020x x x x ->-⎧⎪->⎨⎪->⎩该不等式组无解；(2)当0<a <1时，原不等式等价于424020x x x x -<-⎧⎪->⎨⎪->⎩解得x >4.所以当a >1时，原不等式的解集为空集；当0<a <1时，原不等式的解集为(4，＋∞)． 12．（2019·全国高一课时练习）已知函数()()log 3a f x ax =-. （1）当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围；（2）是否存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）()30,11,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭； （2）不存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上为减函数，并且最大值为1. 【解析】（1）0a >Q 且1a ≠，设()3t x ax =-，则()3t x ax =-为减函数，[]0,2x ∈时，()t x 的最小值为()232t a =-，当[]0,2x ∈时，()f x 恒有意义，即[]0,2x ∈时，30ax ->恒成立，320a ∴->，所以32a <. 又0a >且1a ≠，a ∴的取值范围是()30,11,2⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭； （2）()3t x ax =-，0a >Q ，∴函数()y t x =为减函数，()f x Q 在区间[]1,2上为减函数，∴外层函数log a y t =为增函数，1a >Q ，[]1,2x ∈时，()t x 的最小值为32a -，()f x ∴的最大值为()()1log 3a f a =-，()320log 31a a a ->⎧∴⎨-=⎩，即3232a a ⎧<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故不存在这样的实数a ，使得函数()f x 在区间[]1,2上为减函数，并且最大值为1.。

第二课时1．函数f(x)＝log 4x 与f(x)＝4x的图象…( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 2．若定义在区间(－1,0)内的函数f(x)＝log 2a (x ＋1)满足f(x)＞0，则a 的取值范围为( )A ．(0，12) B ．(0,1)C ．(12，＋∞) D ．(0，＋∞)3．已知函数t ＝－144lg(1－N100)的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中N 表示每分钟打出的字数，t 表示达到打字水平N(字/分)所需的学习时间(分)，则按此曲线要达到90字/分的水平，所需要的学习时间为( )A ．72B ．100C ．144D ．2884．(2008上海高考，文4)函数f(x)的反函数为f －1(x)＝log 2x ，则f(x)＝__________.课堂巩固1．若f(x)＝log a x(a>0且a ≠1)，且反函数值f －1(2)<1，则f(x)的图象是( )2．设P ＝log 23，Q ＝log 32，R ＝log 2(log 32)，则( ) A ．R<Q<P B ．P<R<Q C ．Q<R<P D ．R<P<Q 3．(2009百校联考仿真卷三，1)已知集合M ＝{y|y ＝ln(x 2＋1)，x ∈R }，N ＝{x|2x <2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1)C ．(1，＋∞)D ．(0,1]4．函数y ＝lg(21＋x－1)的图象关于( )A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称5．函数f(x)＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.12C ．2D ．4 6．若A ＝{x ∈Z |2≤22－x <8}，B ＝{x ∈R ||log 2x|>1}，则A ∩(∁R B)的元素个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．函数y ＝log 2(1－x 2)的值域是__________． 8．解下列方程： (1)log 7(log 3x)＝－1； (2)2log x 25－3log 25x ＝1.9．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压p 0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要测量的声压p 与参考声压p 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压p 的函数关系式；(2)某地声压p ＝0.002帕，试问该地的声音分贝值在以上所说的什么区？声音环境是否为无害区？1．设a ＞1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a)，则m ，n ，p 的大小关系为…( ) A ．n ＞m ＞p B ．m ＞p ＞n C ．m ＞n ＞p D ．p ＞m ＞n2．函数f(x)＝1＋log 2x 与g(x)＝2－x ＋1在同一直角坐标系下的图象大致是( )3.已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[2，＋∞)D ．[－4,4)4．(2008陕西高考，理7)已知函数f(x)＝2x ＋3，f －1(x)是f(x)的反函数，若mn ＝16，m ，n ∈(0，＋∞)，则f －1(m)＋f －1(n)的值为( )A ．－2B ．1C ．4D ．105．(2008山东高考，文12)已知函数f(x)＝log a (2x＋b －1)(a>0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是…( )A ．0<a －1<b<1B ．0<b<a －1<1C ．0<b －1<a<1D ．0<a －1<b －1<16．已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(13)＝0，则不等式f(log 18x)<0的解集为( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(12，1)∪(2，＋∞)D ．(0，12)∪(2，＋∞)7．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝|ad －bc|，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0的解集是__________．8．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ≤4，－log 2(x ＋1)，x>4，若f(a)＝18，则f(a ＋6)＝__________.9．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1 %，则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)10．已知集合A ＝{x|(12)x 2－x －6<1}，B ＝{x|log 4(x ＋a)<1}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．11．设函数f(x)＝x 2－x ＋b ，且f(log 2a)＝b ，log 2[f(a)]＝2(a ≠1)，求f(log 2x)的最小值及对应的x 的值．答案与解析课前预习1．D 互为反函数的函数图象关于直线y ＝x 对称． 2．A 因为x ∈(－1,0)，所以x ＋1∈(0,1)．此时f(x)＞0，根据图象得0＜2a ＜1，解得0＜a ＜12.3．C 将N ＝90代入，得t ＝－144lg(1－90100)＝144.4．2x课堂巩固1．B 因为f －1(x)＝a x ，f －1(2)<1，可知0<a<1.2．A 由对数函数的单调性知，0<log 32<1，即0<Q<1，又y ＝log 2x 是增函数， 所以R ＝log 2(log 32)<0.又log 23>log 22＝1，所以R<Q<P.3．B M ＝{y|y ≥0}，N ＝{x|x<1}，M ∩N ＝[0，＋∞)∩(－∞，1)＝[0,1)．4．C f(x)＝lg(21＋x －1)＝lg 1－x 1＋x，易知它是奇函数，图象关于原点对称．5．B 该函数在给定的区间上是单调函数，最值在区间的两个端点处取得，故a 0＋log a (0＋1)＋a ＋log a (1＋1)＝a ，解得a ＝12.6．C A ＝{0,1}，B ＝{x|x>2，或0<x<12}，∴A ∩(∁R B)＝{0,1}，其中的元素个数为2. 7．(－∞，0] 令u ＝1－x 2，则y ＝log 2u ，因为0<u ≤1，且由对数函数的单调性知y ＝log 2u 是增函数，所以y ≤0，即该函数的值域为(－∞，0]．8．解：(1)由题意，得log 3x ＝17，x ＝317.(2)设log 25x ＝t ，则log x 25＝1t.于是，原方程可化为2t－3t ＝1，化简，得3t 2＋t －2＝0.解得t ＝－1或t ＝23.当t ＝－1时，由log 25x ＝－1，得x ＝125；当t ＝23时，由log 25x ＝23，得x ＝543.综上可知，该方程的解是125或543.9．解：(1)由已知，得y ＝(lg p p 0)×20＝20lg p p 0(其中p 0＝2×10－5)．(2)将p ＝0.002代入函数关系y ＝20lg pp 0，则y ＝20lg 0.0022×10－5＝20lg102＝40(分贝)．因为40分贝小于60分贝，所以该地在噪音无害区，环境优良．1．B ∵a ＞1，∴a 2＋1>2a,2a>a －1，且函数f(x)＝log a x 是增函数． ∴m ＞p ＞n.2．C 函数g(x)＝2－(x －1)的图象是由y ＝2－x 的图象向右平移1个单位而得到的；而f(x)＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象向上平移1个单位而得到的．3．B 令u(x)＝x 2－ax ＋3a ，其对称轴为x ＝a2.由题意有⎩⎪⎨⎪⎧u(2)＝4－2a ＋3a>0，a 2≤2.解得－4<a ≤4. 4．A f(x)＝2x ＋3，得f －1(x)＝log 2x －3，于是 f －1(m)＋f －1(n)＝log 2m －3＋log 2n －3＝log 2mn －6＝log 216－6＝4－6＝－2.5．A 由图易得a>1，∴0<a －1<1. 取特殊点x ＝0，得－1<log a b<0，即log a 1a<log a b<log a 1，∴0<a －1<b<1.6．C ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(13)＝0，在(0，＋∞)上f(log 18x)<0⇒f(log 18x)<f(13)⇒0<log 18x<13⇒log 181<log 18x<log 18(18)13⇒12<x<1；同理可求f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(－13)＝0，得x>2.综上所述，x ∈(12，1)∪(2，＋∞)．7．(0,1)∪(1,2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x ＝|x －1|， 由log 2|x －1|<0，得0<|x －1|<1， 即0<x<2，且x ≠1.8．－3 (1)当a ≤4时，2a －4＝18，解得a ＝1，此时f(a ＋6)＝f(7)＝－3；(2)当a>4时，－log 2(a ＋1)＝18，无解．9．解：设至少抽n 次才符合条件，则 a·(1－60%)n <0.1%·a(设原来容器中的空气体积为a)．即0.4n<0.001，两边取常用对数，得 n·lg0.4<lg0.001，所以n>lg0.001lg0.4(因为lg0.4<0)．所以n>－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%.10．解：由(12)x 2－x －6<1，得x 2－x －6>0，解得x<－2，或x>3，即A ＝{x|x<－2，或x>3}． 由log 4(x ＋a)<1，得0<x ＋a<4， 解得－a<x<4－a ，即B ＝{x|－a<x<4－a}．∵A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－2，4－a ≤3，解得1≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[1,2]．点评：比较同底数的指数或对数不等式的大小关系时，一要明确底数的范围，因为它决定函数的单调性；二要确定相应的指数或真数的大小关系．它们一起确定函数值的大小关系．特别地，对于对数式还可考虑到真数大于零这一限制条件．11.解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 22a －log 2a ＋b ＝b ，log 2(a 2－a ＋b)＝2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ log 2a(log 2a －1)＝0，a 2－a ＋b ＝4.①②由①，得log 2a ＝1(a ≠1)， ∴a ＝2.代入②，得b ＝2. ∴f(x)＝x 2－x ＋2.∴f(log 2x)＝log 22x －log 2x ＋2＝(log 2x －12)2＋74. ∴当log 2x ＝12时，f(log 2x)取得最小值74，此时x ＝ 2.。

对数函数的图像和性质基础全面练 (15分钟 30分)1．函数y ＝log 2x －2 的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．如图是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23 ，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b4．函数y ＝log 13(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)5．已知y ＝log a (3a －1)恒为正值，求a 的取值范围．综合突破练 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f (x )＝|log 2x |，正数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n ).若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别是( )A ．12 ，2B ．14 ，2 C ．22，2 D ．14，42．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a3．对任意实数a ，b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，＋∞4．当0<a <1时，在同一坐标系中，函数y ＝a x与y ＝log a x 的图像是( )5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎝⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．7．已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________．8．已知函数f (x )＝log a (2x －a )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 .当a ＝12 时，函数的最小值为________；若恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．【变式训练】函数y ＝log 3(x 2－2x )的递减区间是______．三、解答题(每小题10分，共20分) 9．比较下列各组中两个数的大小： (1)log 31.9，log 32. (2)log 23，log 0.32. (3)log a π，log a 3.141.10．已知f (x )＝log 4(4x－1). (1)求f (x )的定义域． (2)讨论f (x )的单调性．(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的值域．创新练已知实数x 满足4x－10·2x＋16≤0，求函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2的值域．【变式训练】已知函数f(x)＝log a(ax2－x)，是否存在实数a，使它在区间[2，4]上是增加的？如果存在，求出a的取值范围；如果不存在，说明理由．参考答案：基础全面练 (15分钟 30分)1．函数y ＝log 2x －2 的定义域是( ) A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)【解析】选D.由log 2x －2≥0，得log 2x ≥log 24，所以x ≥4. 2．如图是三个对数函数的图像，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b【解析】选D.令y ＝1，如图所示．则b <c <1<a .3．(2020·全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23 ，则( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【解析】选A.因为a ＝13 log 323＜13 log 39＝23＝c ，b ＝13 log 533＞13 log 525＝23＝c ，所以a ＜c ＜b .4．函数y ＝log 13(1－3x)的值域为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】选C.因为3x>0，所以－3x<0， 所以1－3x<1.令t ＝1－3x ，又y ＝log 13t 是关于t 的减函数，所以y ＝log 13t >log 131＝0.5．已知y ＝log a (3a －1)恒为正值，求a 的取值范围．【解析】当⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<3a －1<1， 即13 <a <23 时，y ＝log a (3a －1)恒为正值；当⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3a －1>1， 即a >1时，y ＝log a (3a －1)恒为正值． 综上，a 的取值范围为a >1或13 <a <23 .综合突破练 (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知函数f (x )＝|log 2x |，正数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n ).若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别是( ) A ．12 ，2B ．14 ，2 C ．22，2 D ．14，4 【解析】选A.画出函数f (x )＝|log 2x |的图象的大致示意图，如图所示 已知正数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )， 所以0<m <1<n .因为f (m )＝f (n )，所以|log 2m |＝|log 2n |，即－log 2m ＝log 2n ， 所以log 2mn ＝0，解得mn ＝1.结合题图知，函数f (x )＝|log 2x |在(0，1)为减函数，在(1，＋∞)为增函数． 因为0<m <1，所以0<m 2<m <1.函数f (x )在区间[m 2，n ]上，当x ＝m 2时，f (x )取得最大值， 即f (m 2)＝|log 2m 2|＝－log 2m 2＝2，解得m ＝12，n ＝2.2．已知实数a ＝log 45，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0，c ＝log 30.4，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a【解析】选D.a ＝log 45>log 44＝1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 0＝1，c ＝log 30.4<log 31＝0， 所以c ＜b ＜a .3．对任意实数a ，b ，定义运算“*”如下：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝log 12(3x －2)*log 2x 的值域为( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，0D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫log 223，＋∞【解析】选B.在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝log 12 (3x －2)和y ＝log 2x 这两个函数的图像，如示意图1所示．所以f (x )图像如示意图2.由图可得f (x )＝212213321log x x log x x ⎧<<⎪⎨=⎪⎩，，，所以值域为(－∞，0].4．当0<a <1时，在同一坐标系中，函数y ＝a x与y ＝log a x 的图像是( )【解析】选D.因为函数y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数， 所以它们的图像关于直线y ＝x 对称，且当0<a <1时，函数y ＝a x与y ＝log a x 都是减函数，观察图像知，D 正确．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1 是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 【解析】选C.因为f (x )＝log a x (x ≥1)是递减的， 所以0＜a ＜1且f (1)＝0.因为f (x )＝(3a －1)x ＋4a (x ＜1)为递减的， 所以3a －1＜0，所以a ＜13.又因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数， 所以(3a －1)×1＋4a ≥0，所以a ≥17.所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 . 【误区】本题容易忽视函数在定义域上是递减的，而不仅是在两段上分别是递减的． 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增加的，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，则不等式f (log 4x )<0的解集是________．【解析】因为f (log 4x )<0，所以－12 <log 4x <12 ，所以log 4412-<log 4x <log 4412，所以12<x <2.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <27．已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________． 【解题技巧】先化简f 2(x )＝(2＋log 3x )2，f (x 2)＝2＋log 3x 2，再求出g (x )进行解答．【解析】由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9. 可得x ∈[1，3]， 故g (x )的定义域为[1，3].g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6，令t ＝log 3x ，t ∈[0，1]，得g (t )＝t 2＋6t ＋6， 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝13. 答案：138．已知函数f (x )＝log a (2x －a )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 .当a ＝12 时，函数的最小值为________；若恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．【解析】当a ＝12 时，函数f (x )＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 上为减函数，当x ＝34 时取最小值为log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×34－12 ＝log 121＝0.因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 上恒有f (x )>0，所以a >1，且 2×23 －a >1；或 0<a <1，且0<2×34 －a <1.解得 a ∈∅，或12 <a <1，所以12<a <1.答案：0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1【变式训练】函数y ＝log 3(x 2－2x )的递减区间是______．【解析】令u ＝x 2－2x (x >2或x <0)，则y ＝log 3u ，且y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x (x >2或x <0)的递减区间是(－∞，0)，故y ＝log 3(x 2－2x )的递减区间是(－∞，0). 答案：(－∞，0)三、解答题(每小题10分，共20分) 9．比较下列各组中两个数的大小： (1)log 31.9，log 32. (2)log 23，log 0.32. (3)log a π，log a 3.141.【解析】(1)因为函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，1.9<2，故log 31.9<log 32. (2)因为log 23>log 22＝1，log 0.32<log 0.31＝0， 故log 23>log 0.32.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，π>3.141，故log a π>log a 3.141； 当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，π>3.141，故log a π<log a 3.141. 10．已知f (x )＝log 4(4x－1). (1)求f (x )的定义域． (2)讨论f (x )的单调性．(3)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的值域． 【解析】(1)由4x－1>0，解得x >0， 因此f (x )的定义域为(0，＋∞). (2)设0<x 1<x 2，则0<41x －1<42x －1，因此log 4(41x －1)<log 4(42x －1)，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上是递增的，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝0，f (2)＝log 415，因此f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的值域为[0，log 415]. 创新练已知实数x 满足4x －10·2x ＋16≤0，求函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2的值域． 【解析】不等式4x －10·2x ＋16≤0可化为(2x )2－10·2x ＋16≤0，即(2x －2)(2x－8)≤0. 从而有2≤2x≤8，即1≤x ≤3. 所以0≤log 3x ≤1.因为函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2， 可化为y ＝(log 3x )2－12 log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3x －14 2＋3116 ， 当log 3x ＝14 时，y min ＝3116 ，当log 3x ＝1时，y max ＝52，所以所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52 . 【变式训练】已知函数f(x)＝log a (ax 2－x)，是否存在实数a ，使它在区间[2，4]上是增加的？如果存在，求出a 的取值范围；如果不存在，说明理由． 【解析】存在实数a 满足题意． 设g(x)＝ax 2－x.当a>1时，为使函数y ＝f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2，4]上是增加的， 只需g(x)＝ax 2－x 在区间[2，4]上是增加的， 故应满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12a ≤2，g （2）＝4a －2>0，解得a>12，所以a>1.当0<a<1时，为使函数y ＝f(x)＝log a (ax 2－x)在区间[2，4]上是增加的，只需g(x)＝ax 2－x 在区间[2，4]上是减少的． 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12a ≥4，g （4）＝16a －4>0， 无解，此时a 不存在．综上，当a>1时，函数f(x)＝log a(ax2－x)在区间[2，4]上是增加的．。