对数函数及其性质题型总结
1．对数函数的概念
(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的特征：
特征⎩⎪⎨⎪⎧ log a x 的系数：1log a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数
log a x 的真数：仅是自变量x
判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．
比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．
【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．
(1)
当x ＞1时，y ＜0；当性质（性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低
谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．
题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域．
例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)；
(3)y =．
在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．
题型二:对数值域问题
对数型函数的值域的求解
(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．
(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：
①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；
②求f (x )的定义域；
③求u 的取值范围；
④利用y ＝log a u 的单调性求解．
注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．
(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．
221log 1()4
y ax ax R a =++数的定义域为，变式求实数的围。：取值范若函 221log ()R 4
y ax ax a =++若函数的值域为，变式求实数的2：取值范围。 ()()[]log 01,23,.a f x x a a a a =<<若函数在区间上的最大值是最小值的变倍：求3的值式题型三：定点问题
例3：求下列函数恒经过哪些定点
21()log (1)2a f x x =++、
2、y =l o g a (4a -x ) +1恒过﹙4，1﹚，求a 的值.
3、若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．
题型四:对数单调性问题
判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法 函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．
222221*********
3452=∈=-++∈=--.
()()log ,[,];
()()log (),[,];()()l g (.o )
f x x x f x x x x f x x x 下列函数的值 求例域
213log (43)y x x =-+例4：求单调区间
()21=-lg .()f x x x 求函数的变式单调区间
归纳：形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝
f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反． 2423123=+-lo
g ()
();
();
().
y x x 求函数的定义域求函数的单调区间求函练数已知函数.的值域习
题型五:对数图像问题
作出下列函数的图象：
(1) y=lgx ， y=lg(-x)， y=-lgx ； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.
例5已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数。其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，
则下列结论成立的是（ ）
A ．a ＞1，c ＞1
B ．a ＞1,0＜c ＜1
C ．0＜a ＜1，c ＞1
D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1
变式1：已知函数12log ,0,()2,
0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不等的实根，则实
数k 的取值范围是 ( ) A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1]
题型六：对数不等式解法 例6.解下列不等式 12
12
1122
1341
2342
3343+>+<+>-()log ()()log ()()log ()log ()
x x x x
21201+>>≠log (),(,).a x a a 解不等1：式变式: 题型七:对数不等式综合问题
例2、已知函数f (x )＝1log 1a x x
+-(a ＞0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域；
(2)判断函数f (x )的奇偶性；
(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．
变式1：已知函数⎩⎨⎧>≤+=-2
,32),1()(x x x f x f x ，则=)2(log 3f .
题型七:对数方程问题
73(1)log (log )1(2)x =-、、lgx+lg(x-3)=1
题型八：比较大小 3.4 4.379
330.50.513344(1)log log ;log log (2)log log (3)log log 0,,,1a a m n m n <<、与与、与、已知试确定的大小关系
的解集。求不等式且上是增函数在的偶函数、定义域为例0)(log ,0)21(),0[)(14>=+∞x f f x f R
