二次函数初步

初步认识二次函数二次函数与其他函数的综合应用题初步认识二次函数与其他函数的综合应用题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在现实生活中的应用十分广泛。

本文将从初步认识二次函数开始，探讨二次函数与其他函数的综合应用题，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、初步认识二次函数二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），其中a、b、c为常数，且a表示二次函数的开口方向和开口程度。

当a>0时，二次函数开口向上，称为正向开口；当a<0时，二次函数开口向下，称为负向开口。

b表示二次函数在横轴上的平移，c表示二次函数在纵轴上的平移。

二、二次函数的基本性质1. 零点和解析式二次函数的零点即方程f(x) = 0的解，可以通过求解二次方程ax^2+ bx + c = 0得出。

解析式可以利用求根公式或配方法得出，其中求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

2. 对称轴和顶点坐标二次函数的对称轴是x = -b/2a，当x = h时，函数值f(h)最大或最小，该点称为顶点，顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 函数图像和开口情况根据二次函数的a值，可以确定函数的开口方向和开口程度。

当a>0时，二次函数开口向上，a的绝对值越小，开口程度越大；当a<0时，二次函数开口向下，a的绝对值越小，开口程度越大。

三、二次函数与其他函数的综合应用题1. 求解方程假设小明去超市购买苹果和香蕉，苹果的单价为x元/个，小明购买了a个苹果。

香蕉的单价为y元/个，小明购买了b个香蕉。

若小明总共花费了m元，请问每个苹果和香蕉的单价分别是多少？解析：根据已知条件，我们可以列出方程组：a*x + b*y = m；m = 10。

将方程组转化为二次函数的形式，得到f(x, y) = ax + by - m 和 g(x, y) = m - 10。

求解方程组即求解二次函数f(x, y) = 0和g(x, y) = 0的交点，即可得到每个苹果和香蕉的单价。

题型7:二次函数与二次方程与二次不等式的关系 1.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121例1,画出y=2x 2+3x -2与 y ＇= -2x +1的图象并解答下列问题： ①试写出方程2x 2+3x -2=0的解：②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解：④试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：⑤试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解： ⑥试写出不等式2x 2+3x -2＜-2x +1的解：例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 1092＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－． （2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）．题型8:二次函数对称轴的应用8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：设A(x 1，y a），B (x 2，y b）是抛物线上的两点，且y a=y b，则抛物线的对称轴为直线122x x x +=用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.例1(2010年浙江省金华)若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程:022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x -1 ；（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c＜0的解集是 .(第15题图)答案：－1＜x＜3 ;题型9:二次函数与平面几何的构建与再创造15. 如图，在△ABC中，90B∠= ，12mmAB=，24mmBC=，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒，四边形APQC的面积最小．3.(2010年山东聊城)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（—1，0）、B（0，—3）两点，与x轴交于另一点B．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．第25题【关键词】二次函数【答案】⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230ab c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3. ⑵令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）. 设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b, 则⎩⎨⎧-==+303b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3. 当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）.⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直， 又直线BC 的解析式为y ＝x －3，所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2＝12＋（－3－y ）2,BC 2＝32＋32；PB 2＝22＋y 2由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB 为斜边，则有PC 2＋BC 2＝PB 2. 所以：[12＋（－3－y ）2]＋[32＋32]＝22＋y 2；解得y ＝－4， 所以P 点坐标为（1，－4）.题型10: 反比例函数的应用① 物理学中，电压一定时，电阻R 与电流强度I 成反比例函数，RU I =②当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m 3）是体积v 的反比例函数，解析式可以表达为vk =ρ ③收音机刻度盘的波长l 与频率f 关系式: fk l =④压力F 一定时，压强P 与受力面积S 成反比例关系，即SF P =⑤当汽车输出功率P 一定时，汽车行驶速度v 与汽车所受的负载即阻力F 成反比例关系，FPv =⑥反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。

二次函数入门二次函数是高中数学中重要的一部分，它具有简洁的数学表达形式并且在实际生活中有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念、图像特征和一些常见的问题解决方法，帮助读者初步理解和应用二次函数。

1. 二次函数的定义二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。

其中，a决定了二次函数的开口方向（正面开口或者负面开口），b决定了二次函数图像在x轴方向的平移，c则决定了二次函数图像在y轴方向的平移。

2. 二次函数的图像特征（1）抛物线二次函数的图像是一条抛物线。

当a大于零时，抛物线开口向上，称为正面开口；当a小于零时，抛物线开口向下，称为负面开口。

（2）顶点二次函数的图像的最高点（正面开口）或最低点（负面开口）称为顶点，记作（h,k）。

顶点的横坐标h等于-b/2a，纵坐标k等于二次函数的值。

（3）对称轴二次函数的图像关于顶点的直线称为对称轴，方程为x=h。

（4）判别式二次函数的判别式Δ=b^2-4ac决定了二次函数图像与x轴的交点个数。

当Δ大于零时，图像与x轴有两个交点；当Δ等于零时，图像与x轴有一个交点；当Δ小于零时，图像与x轴没有交点。

（5）平移通过改变二次函数的b和c的值可以实现图像在x轴和y轴的平移。

3. 二次函数方程的求解（1）求顶点已知二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c，顶点的横坐标h=-b/2a，纵坐标k=二次函数值。

（2）求根求解二次函数的解等价于求解二次方程ax^2+bx+c=0的解。

可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/2a求得二次方程的根。

根的个数和判别式Δ的值有关，当Δ大于零时，有两个不相等的实根；当Δ等于零时，有一个重根；当Δ小于零时，无实根。

（3）求对称轴和焦点对称轴的方程为x=h，焦点的坐标为（h,k+1/4a）。

4. 二次函数的应用举例二次函数在实际生活中有广泛的应用，例如物体的抛体运动、建筑物的拱形结构等。

二次函数求表达式一、常规的抛物线求解方法二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c(a≠0),最常见的也是最容易明白的求解方法，就是题目中告诉抛物线经过三个任意点，这种类型的求解方法是根据抛物线的定义来求解。

把抛物线所经过的三点的横坐标和纵坐标依次带入表达式，组成三个三元一次方程，从而构成三元一次方程组，根据求解方程组的方法求出a,b,c的值。

在中考压轴题中，这种类型比较少，但是对于初步学习二次函数的学生来说，一定要理解这种表达式的求解方法，并且要在计算过程中保证不要算错，因此进行验算非常有必要。

二、根据顶点求解析式每个抛物线都有一个顶点，而且只有一个。

有些题目指出抛物线的顶点，怎么根据顶点来求抛物线表达式？首先要对抛物线基本表达式y=ax^2+bx+c进行分析，这个表达式中，它的顶点坐标是什么？通过化简，可得y=a(x+b/2a)-(b^2-4ac)/4a,通过这个解析式知道它的顶点是[-2a/b,-(b^2-4ac)/4a],在实际解题中，如果知道某个函数的顶点之后，我们把顶点坐标代入到顶点公式中，比较繁琐，因此可以设函数为y=a(x+h)^2+k,这个函数的顶点是（-h,k）这样可以使这个函数的求解变得简单，只要能够求出二次函数的系数，这个函数的解析式就可以求出。

已知某函数的顶点是A（1,2），它又过点（3,5），求它的解析式根据顶点是（1,2）可设y=a(x-1)^2+2,再把x=3,y=5代入可得4a+2=5,a=3/4再把a=3/4代入可以算出y=3/4(x-1)^2+2=3x^2/4-3x/2+11/4备注：当a>0时，函数顶点处是函数的最低点，具有最小值，而当a<0时，顶点处是最高点，具有最大值。

三、根据与坐标轴交点求解析式根据函数图像的性质可知，二次函数与x轴的交点有三种可能，分别是无交点，一个交点和两个交点，而题目中大多数情况下是有两个交点，如果知道两个交点的坐标，再知道另一个交点，就可以求出表达式。

二次函数2.1二次函数开语问题：（1）圆的面积y（cm²）与圆的半径x（cm）；（2）如果温室的种植面积为y（m²），外围矩形周长为120m，一边长为x（m）,请写出y 关于x的函数关系。

由以上函数解析式，我们可以得出化简后它们都具有y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，其中a≠0）的形式。

二次函数：形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，其中a≠0）的函数。

其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

例如：y=-x²+58x-112的二次项系数a=-1，一次项系数b=58，常数项c=-112注意：有时x和y都有范围限制，做题时格外注意，否则影响答案以致全部做错！1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）y=x²；（2）y=2x²-x-1；（3）y=x(1-x)；（4）y=（x-1）²-（x+1）（x-1）2、分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（1）y=x²+1；（2）y=-3x²+7x-12：（3）y=2x（1-x）例1、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去四个全等的直角三角形（图中阴影部分）。

设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形EFGH的面积为y(cm²)，求：（1）y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（2）当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积。

例2、已知二次函数y=x²+px+q，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5，求这个二次函数的解析式。

例3、已知二次函数y=ax²+bx+3，当x=2时，函数值是3；当x=-2时，函数值是2。

求这个二次函数的解析式。

例4、某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，求该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式。

2.2二次函数的图象请按下列步骤用描点法画二次函数y=x ²的图象。

二次函数数学活动教案（热门16篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢!并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如职场文书、公文写作、党团资料、总结报告、演讲致辞、合同协议、条据书信、心得体会、教学资料、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注!Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you!Moreover, this store provides various types of classic sample essays for everyone, such as workplace documents, official document writing, party and youth information, summary reports, speeches, contract agreements, documentary letters, experiences, teaching materials, other sample essays, etc. If you want to learn about different sample formats and writing methods, please pay attention!二次函数数学活动教案（热门16篇）教学工作计划能够确保教学活动有条不紊地进行，提高教师的教学效率。

一、引言二次函数是初中数学课程中的重要内容，也是九年级上册数学课本中的重点章节之一。

掌握二次函数的知识对于理解数学原理、解决实际问题都具有重要意义。

通过九年级上册的学习，我们已经初步接触了二次函数的概念和基本性质，下面将对九年级上册二次函数的知识点进行总结，帮助大家巩固所学内容。

二、二次函数的定义1. 二次函数的定义：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数称为二次函数，其中a、b、c是已知常数，且a不等于0。

2. 二次函数的图像：二次函数的图像是抛物线。

抛物线开口方向由二次函数的系数a的正负性决定。

3. 二次函数的自变量、因变量：自变量通常用x表示，因变量通常用y表示。

三、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的顶点：二次函数的图像在其顶点处取得极值，当a>0时，抛物线的顶点是最小值点；当a<0时，抛物线的顶点是最大值点。

3. 抛物线的对称轴：对称轴是垂直于x轴过抛物线顶点的直线，其方程为x=-b/2a。

4. 抛物线的焦点：焦点是抛物线上所有点到定点的距离与到定直线的距离相等的点。

四、二次函数的基本性质1. 判别二次函数的开口方向：利用二次函数的一阶导数的正负性可以判断抛物线的开口方向。

2. 求解二次函数的零点：利用二次函数的根的求法，可以求出二次函数的零点。

3. 求解二次函数的顶点：利用二次函数的完全平方公式，可以求出二次函数的顶点。

五、二次函数的应用1. 利用二次函数解决实际问题：例如利用二次函数的图像特征和性质，可以解决抛物线运动、抛物线的方程等实际问题。

2. 二次函数与其他函数的关系：二次函数是数学中的一种基本函数，也是其他函数的重要组成部分，掌握二次函数的知识对于理解其他函数具有重要意义。

六、总结九年级上册的二次函数知识点虽然不算太多，但其中蕴含的数学思想和方法却是非常丰富的。

通过对二次函数的定义、图像特征、基本性质和应用进行总结，希望大家能够更加深入地理解和掌握二次函数，为今后的数学学习打下坚实的基础。

《二次函数》教学设计最新6篇作为一名无私奉献的老师，时常需要用到教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。

那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是书包范文为大家带来的《1.1二次函数》教学设计最新6篇，希望能够对大家的写作有一些帮助。

次函数教案篇一教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象，理解并掌握抛物线的有关概念及其性质。

【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验，培养学生分析、解决问题的能力。

【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质。

重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象。

【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质。

教学过程一、问题引入1、一次函数的图象是什么？反比例函数的图象是什么？（一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线。

）2、画函数图象的一般步骤是什么？一般步骤:（1)列表（取几组x,y的对应值）；(2)描点（根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y））；(3)连线（用平滑曲线）。

3、二次函数的图象是什么形状？二次函数有哪些性质？（运用描点法作二次函数的图象，然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质。

）二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象。

解:(1)列表中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值。

（2）描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y)。

（3）连线:用平滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。

思考:观察二次函数y=x2的图象，思考下列问题:（1）二次函数y=x2的图象是什么形状？（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（3）图象有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象，通过数形结合解决上面的3个问题。

二次函数与反比例函数初步总结
二次函数是指最高次项为二次项的多项式函数，通常是形如
y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，a不等于0。

二次
函数的图像为抛物线，有开口方向、顶点和对称轴等特征。

二次函数的图像可以是开口向上的，即a>0；也可以是开口向下的，即a<0。

二次函数的性质包括：
1. 开口方向：a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口
向下。

2. 顶点：当a>0时，顶点为图像的最低点；当a<0时，顶点为图像的最高点。

3. 对称轴：对称轴是与y轴垂直且通过顶点的直线，方程为x = -b/2a。

反比例函数是指函数y=k/x，其中k为常数且不等于0。

反比
例函数的图像通常为双曲线。

反比例函数的性质包括：
1. 定义域：反比例函数的定义域为x ≠ 0，即不含有x=0的点。

2. 值域：反比例函数的值域为y ≠ 0，即不含有y=0的点。

3. 变化趋势：当x增大时，y的值减小；当x减小时，y的值
增大。

可以通过构造反比例函数的表格来观察这种变化趋势。

总结：二次函数和反比例函数是两种常见的函数形式。

二次函
数是抛物线，其图像的特征包括开口方向、顶点和对称轴；反比例函数是双曲线，其图像的特征包括定义域、值域和变化趋势。

理解这些特征和性质有助于我们对二次函数和反比例函数的图像和变化趋势等方面进行分析和应用。

《二次函数》教案（优秀7篇）《二次函数》教案篇一教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。

2、让学生经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。

教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y ＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。

教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b 与抛物线y＝ax2的关系。

教学过程：一、提出问题导入新课1．二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？2．猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？二、学习新知1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并加以比较问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗？同学试一试，教师点评。

问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（既y）之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，顶点坐标，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。

师：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗？小组相互说说（一人记录，其余组员补充）2、小组汇报：分组讨论这个函数的性质并归纳：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝1。

3、做一做在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？三、小结 1、在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系？ 2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质？四、作业：在同一直角坐标系中，画出 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2；的图像五：板书《二次函数》教案篇二1、会用描点法画二次函数=ax2+bx+c的图象。

二次函数abc10条口诀二次函数是中学数学中一个重要的概念，在学习二次函数时，了解关于二次函数的性质和特点是非常重要的。

为了帮助大家更好地记忆和理解二次函数的内容，下面给出了10条关于二次函数的口诀，助您轻松掌握二次函数的重要知识点。

口诀一：二次的意志在二次函数中，二次项的系数a代表了二次函数的开口方向和大小，关于a的取值有三条重要的规则需要记住：1.当a>0时，二次函数开口向上；2.当a<0时，二次函数开口向下；3.当a=0时，二次函数就退化成了一次函数。

口诀二：顶峰或底谷二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，顶点的横坐标就是二次项的系数b的相反数，纵坐标则是带入该横坐标得到的函数值。

口诀三：顺时针或逆时针？二次函数的抛物线在坐标系中的开口方向由二次项的系数a和平方数的系数c的正负号决定：1.当a>0且c>0时，抛物线开口向上；2.当a<0且c>0时，抛物线开口向下；3.当a>0且c<0时，抛物线开口向下；4.当a<0且c<0时，抛物线开口向上。

口诀四：判别式开局判别式是判断二次函数的根的性质的一个重要指标，其值为b2−4ac。

根据判别式的值，可以得到以下结论：1.当判别式>0时，二次函数有两个不相等的实根；2.当判别式=0时，二次函数有两个相等的实根，此时二次函数的抛物线与x轴只有一个交点；3.当判别式<0时，二次函数没有实根，此时二次函数的抛物线与x轴没有交点。

口诀五：根公式最牛根据判别式的值，二次函数的根可以通过以下公式计算得到：1.当判别式>0时，根的公式为$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；2.当判别式=0时，根的公式为$x=\\frac{-b}{2a}$；3.当判别式<0时，没有实根。

口诀六：对称性二次函数的图像具有关于顶点对称的性质，这意味着如果将顶点的横坐标记为ℎ，则对称轴方程为x=ℎ。

比较二次函数值大小的方法二次函数在我们的生活和数学学习中有着广泛的应用，而正确比较二次函数值的大小对于解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍几种比较二次函数值大小的方法，并对其进行深入的探讨。

一、图像比较法图像是比较二次函数大小最直观的方法，利用函数的图像可以清晰地看出两个函数的大小关系。

首先，画出需要比较的二次函数的图像，根据图像上点的位置关系来判断大小。

具体步骤如下：1. 确定开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的值，如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。

2. 确定对称轴：二次函数的对称轴是其顶点坐标的横坐标，通过对称轴可以判断两个函数的大小关系。

3. 比较函数图像上的点：根据图像上点的位置关系，可以直观地判断两个函数的大小关系。

二、公式法除了图像比较法外，还可以使用公式法比较二次函数值的大小。

二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，y随x的增大而减小。

因此，可以通过比较a、b、c的值来判断两个二次函数的大小关系。

具体步骤如下：1. 确定系数a、b、c的值：根据需要比较的二次函数的表达式，求出a、b、c的值。

2. 比较系数的大小：根据系数a、b、c的绝对值大小，可以初步判断两个二次函数的大小关系。

一般来说，如果|a|>|b|，则y=ax^2+bx+c的值域大于y=bx^2+cx+d的值域；反之亦然。

3. 根据对称轴和函数值的关系进行比较：如果对称轴在y轴左侧还是右侧，以及对应的函数值的大小关系如何，就可以判断两个二次函数的大小关系。

三、求根公式法对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，可以使用求根公式法比较两个二次函数值的大小。

首先用配方法将一般形式的二次函数化成y=a(x-h)^2+k的形式，再使用求根公式求出x1和x2的值。

最后根据x1和x2的大小关系以及对应的函数值的大小关系来判断两个二次函数的大小关系。

初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系二次函数是数学中一类重要且常见的函数类型。

它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a,b,c为常数且a不等于0。

本文将初步介绍二次函数的性质及与其他函数的关系。

一、二次函数的基本形式二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，当a大于0时，函数开口向上；当a小于0时，函数开口向下。

b决定了二次函数在x轴方向上的平移，正值表示向左平移，负值表示向右平移。

c表示二次函数的纵坐标偏移。

二、二次函数的图像特点1. 开口方向与开口大小：根据二次函数的a值可以确定开口的方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

a的绝对值越大，开口越窄；a的绝对值越小，开口越宽。

2. 顶点坐标：对于标准形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

顶点坐标是二次函数的最高点或最低点，也是对称轴与x轴的交点。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的一条垂直线，其方程为x = -b/2a。

对称轴将二次函数分为两个对称的部分。

4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。

三、二次函数与其他函数的关系1. 线性函数与二次函数：线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

与二次函数相比，线性函数的图像是一条直线，没有弯曲的部分。

二次函数可以看作是线性函数的一种特殊情况，当a=0时，二次函数变为线性函数。

2. 指数函数与二次函数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且不等于0。

与二次函数相比，指数函数的图像呈现出不同的特征。

指数函数是逐渐增长或逐渐减小的，与二次函数的弯曲程度不同。

3. 对数函数与二次函数：对数函数的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数。

二次函数的拐点与凹凸性质研究二次函数是高中数学学习中的重要内容，它具有广泛的应用和深厚的理论基础。

其中，拐点与凹凸性质是二次函数的重要特性之一，对于理解和应用二次函数都具有重要意义。

本文将围绕二次函数的拐点和凹凸性质展开详细研究。

一、二次函数的基本形式及性质二次函数的基本形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状，其开口的方向由系数a的正负决定。

当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

对于二次函数而言，需要重点关注的是它的拐点和凹凸性质。

拐点是抛物线的转折点，拐点坐标记为（x0, y0）。

在拐点之前，抛物线呈现下凹的形状；在拐点之后，抛物线呈现上凹的形状。

因此，拐点的存在与二次函数的凹凸性质息息相关。

二、拐点与凹凸性质的关系2.1 拐点与函数的导数要研究二次函数的拐点和凹凸性质，首先需要探讨二次函数的导数。

对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，可以通过求导来得到它的导函数y' = 2ax + b。

二次函数的导数是一次函数，它的斜率代表了二次函数的变化速率。

拐点处二次函数的导数为0，即y' = 0。

通过解方程2ax + b = 0，可以求得拐点的横坐标x0 = -b / (2a)。

将x0带入原函数，即可得到拐点的纵坐标y0。

2.2 拐点与凹凸性质的判断通过拐点的位置可以初步判断二次函数的凹凸性质。

若拐点横坐标x0为正，且二次函数的系数a大于零，则二次函数在拐点左侧为凹，右侧为凸；若拐点横坐标x0为负，且二次函数的系数a小于零，则二次函数在拐点左侧为凸，右侧为凹。

需要注意的是，当拐点的纵坐标y0大于0时，拐点以下的部分是凹的；当拐点的纵坐标y0小于0时，拐点以下的部分是凸的。

然而，以上的判断只是初步的结果，还需要进一步探究二次函数的凹凸性质。

辅助工具可以是导数，根据导数的正负性可以更加准确地判断函数的凹凸性。

二次函数与反比例函数初步总结二次函数和反比例函数是高中数学中重要的内容，而且在实际生活中也有广泛的应用。

本文将对二次函数和反比例函数进行初步总结，主要包括定义、特点、图像、性质等方面的内容。

一、二次函数1. 定义：二次函数是形如y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c是已知的实数，a表示二次项的系数，b表示一次项的系数，c 表示常数项。

2.特点：(1)曲线的形状：二次函数的图像是一条平滑的曲线，且开口方向由二次项系数a的正负决定。

-当a>0时，开口向上，形如"U"形；-当a<0时，开口向下，形如"倒U"形。

(2) 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足y = 0的x值。

二次函数的零点个数与判别式Δ（即b²-4ac）有关：-当Δ>0时，二次函数有两个不同的零点；-当Δ=0时，二次函数有两个相等的零点；-当Δ<0时，二次函数没有实数解，无零点。

(3)对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的中心线，也是二次函数图像的对称轴。

对称轴的方程为x=-b/2a。

(4)极值点：二次函数的极值点是函数图像的最高点或最低点，也是对称轴上的点。

极值点的纵坐标为y轴上的最小值或最大值。

3.图像：通过画出对称轴、极值点、零点等关键点，可以得到二次函数的图像。

通过连接关键点，就能画出完整的二次函数曲线。

二、反比例函数1.定义：反比例函数是形如y=k/x的函数，其中k是常数，x≠0。

2.特点：(1)曲线的形状：反比例函数的图像是一条拱形曲线，且通过原点(0,0)。

当x趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋于0。

(2)反比例关系：反比例函数表达了两个变量之间的反比关系，即一个变量的增大导致另一个变量的减小，反之亦然。

(3)单调性：反比例函数在定义域内是单调的，即x增大导致y减小，x减小导致y增大。

(4)随x趋于0的变化：当x趋近于0时，y的绝对值趋近于无穷大，即y趋于正无穷或负无穷。

第一篇：22.1.1 二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为，这里m是n的函数吗？问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？二、思考探究，获取新知全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给1予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不2是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2. 【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.11思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？22【教学说明】在同学们相互交流、发言的过程中，教师应关注：（1）语言是否规范；（2）是否抓住共同点；（3）针对少数同学可能进一步探索出其不同点等问题应及时引导，让同学们在轻松快乐的环境中进入二次函数的学习. 【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 【教学说明】针对上述定义，教师应强调以下几个问题：（1）关于自变量x的二次式必须是二次整式，即可以是二次单项式、二次二项式和二次三项式；（2）二次项的系数a≠0是定义中不可缺少的条件，若a=0，则它是一次函数；（3）二次项和二次项系数不同，二次项指ax2,二次项系数则仅是指a的值；同样，一次项与一次项系数也不同. 教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.三、运用新知，深化理解1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y=(x+2)(x-2); (2)y=3x(2-x)+3x2; (3)y=1-2x+1; 2x(4)y=1-3x2. 2.若y=(m+1)xm2+1-2x+3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？4.如图，用同样规格的正方形白瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：（1）在第n个图中，每一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）. 【教学说明】这个环节的教学自主性很强，可让同学们分小组完成，对优胜小组给予鼓励，培养学生团队精神，让部分学生分享成功的快乐，但对题2、3、4，教师应及时给予引导，鼓励学生大胆完成. 【答案】1.解：（1）y=(x+2)(x-2)=x2-4,该函数是二次函数，它的二次项系数为1，一次项系数是0，常数项是-4. （2）y=3x(2-x)+3x2=6x,该函数不是二次函数. （3）该函数不是二次函数. （4）该函数是二次函数，它的二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1. 2.解：∵y m1xm212x3是y关于x的二次函数. ∴m+1≠0且m2+1=2, ∴m≠-1且m2=1，∴m=1. 3.解：由题意分析可知，该商品每件的利润为（x-30）元，则依题意可得：y=(162-3x)(x-30) 即y=-3x2+252x-4860 由此可知y是x的二次函数. 4.解：（1）观察图示可知第1、2、3个图形中每一横行瓷砖分别为4，5，6，每一竖列瓷砖分别为3，4，5，由此推断在第n个图中，每一横行共有（n+3）块瓷砖，每一竖行共有（n+2）块瓷砖；（2）y=(n+3)(n+2)即y=n2+5n+6.四、师生互动，课堂小结1.二次函数的定义；2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件. 【教学说明】本环节设置的目的在于让学生进一步认识二次函数的相关定义，教师可与学生一起回顾. 课后作业1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分. 教学反思第二篇：22.1.1-二次函数(教案)第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数教案教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度】在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 教学重点结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 教学难点1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 教学过程一、情境导入，初步认识展示执实心球图片，体验体育中的数学二、温故知新1. 什么叫做函数？（学生回顾）2. 我们学过哪些函数？（PPT展示）三、探究新知问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为，y是x的函数吗？问题2 多边形的对角线总数d与边数n有什么关系？可以想出,如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作条对角线，用n的式子表d为：。