二次函数专题之参数范围问题

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。

这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。

由于参数的存在，这个函数是动态的。

为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。

对于这个问题，需要分类讨论。

在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。

因此，我们需要分别考虑这些情况。

具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。

这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。

当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。

因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。

代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。

因此，最大值为$-8$。

接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。

这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。

我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。

首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。

其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。

另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。

对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。

含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。

通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。

本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。

引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。

一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。

如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。

这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。

2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。

驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。

对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。

这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。

3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。

根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。

二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。

1. 观察函数的开口方向。

由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。

2. 求导。

对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。

令f'(x) = 0，解得x = -b/2。

这个x值就是函数的驻点。

3. 比较端点值和驻点值。

在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。

专题十一：二次函数之取值范围坐标相关的取值范围例题1 ：如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．（1）求抛物线的解析式；（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y 轴交于点N，求PM+MN的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点，①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．例题2 ：A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；（3）当B，C重合时，求的值；（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．练习1. 抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出M点横坐标的变化范围，并说明理由．练习2 . 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线解析式；（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP ＝S△CAP，求P点坐标；（3）已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l 相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．角度相关取值范围例题1 ：已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，5）三点，其对称轴2交x轴于点H，一次函数y=k x+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；=S△EAB时，求一次函数的解析式；（2）如图1，当S△EOC（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．练习1 . 已知在平面直角坐标系x O y中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A （0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a ≠0）经过点D．．（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣13①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．动点相关的取值范围例题1 ：已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，顶点坐标D为（3，4√3）。

初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法二次函数参数取值范围的解题思路和方法主要包括以下几个步骤：1. 理解二次函数的基本形式：二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

2. 确定参数与函数性质的关系：开口方向：由 $a$ 决定。

当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

对称轴：由 $b$ 决定。

对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。

顶点：坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。

与坐标轴的交点：令 $f(x) = 0$ 解得与 $x$ 轴的交点；令 $x =0$ 解得与 $y$ 轴的交点。

3. 根据题目要求求解参数范围：求最值：如果题目要求二次函数的最大值或最小值，可以通过顶点坐标或对称轴来求解。

求交点：如果题目要求二次函数与坐标轴的交点，可以令 $f(x) = 0$ 或 $x = 0$ 来求解。

求参数范围：根据题目给出的条件，如函数在某个区间上的单调性、与坐标轴的交点位置等，列出不等式或方程来求解参数的范围。

4. 验证解的有效性：解出参数后，需要代入原函数进行验证，确保解满足题目的所有条件。

下面是一个具体的例子：例：已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$，求 $m$ 的取值范围，使得函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减。

解：1. 确定对称轴：二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$ 的对称轴为$x = m$。

2. 判断单调性：由于二次项系数 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上。

因此，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。

3. 求解参数范围：要使函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，需要对称轴 $x = m$ 在区间 $[1, 3]$ 的右侧，即 $m \geq 3$。

专题09 二次函数中的取值范围专题（一）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 如果二次函数y =x 2−6x +8在x 的一定取值范围内有最大值(或最小值)为3，满足条件的x 的取值范围可以是( )A. −1≤x ≤5B. 1≤x ≤6C. −2≤x ≤4D. −1≤x ≤1【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：∵y =x 2−6x +8=(x −3) 2−1， 当y =3时，得出x =1或5，∴在自变量−1≤x ≤1的取值范围内，当x =1时，有最小值3，2. 已知函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，最小值是，则m 的取值范围是( )A. m ≥−2B. 0≤m ⩽12C. −2≤m ⩽−12D. m ⩽−12【答案】C【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解答】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12，∴当x=−12−[1−(−12)]=−2时，y=1，∵函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤−12；∴−2≤m≤−12．3.已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是()A. −1≤t≤0B. −1≤tC. D. t≤−1或t≥0【答案】A【分析】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y=−(x−1)2+4，∴顶点坐标为(1,4)，当x=0时，y=3，∴A(0,3)，当x=4时，y=−5，∴C(4,−5)，∴当t=0时，D(4,5)，∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t=−1时，此时最小值为−1，最大值为4．综上所述：−1≤t≤0，m−1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是() 4.已知二次函数y=x2−x+14A. m≤5B. m≥2C. m<5D. m>2【答案】A【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．m−1的图象与x轴有交点，【解答】解：∵二次函数y=x2−x+14∴△=(−1)2−4×1×(1m−1)≥0，4解得：m≤5，5.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.20【答案】C【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．根据二次函数的增减性，可得答案．【解答】解：由表格中的数据，得在6.17<x<6.20范围内，y随x的增大而增大，当x=6.18时，y=−0.01，当x=6.19时，y=0.02，方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18<x<6.19，6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x−3−2−1012345y1250−3−4−30512当函数值y<0时，x的取值范围是()A. x<0或x>2B. 0<x<2C. x<−1或x>3D. −1<x<3【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围，同学们应熟练掌握．由表格给出的信息可看出，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，函数有最小值，抛物线开口向上a>0，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，根据二次函数的性质可得出y<0时，x的取值范围．【解答】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x=1，a>0，开口向上，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，则当函数值y<0时，x的取值范围是−1<x<3．7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c−m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≥3B. m≤3C. m≥−3D. m≤−3【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程ax2+bx+c−m=0有实数相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．【解答】解：方程ax2+bx+c−m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点y=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴m≤3，二、填空题8.我们把函数在m≤x≤n上的最大图值和最小值的差称为区间极差，比如一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的区间极差为3−1=2.若二次函数y=−x2+2x+3在−1≤x≤a 上的区间极差为4，则a的取值范围是____________．【答案】1⩽a⩽3【分析】本题考查二次函数的综合问题和其最值问题以及一元二次方程的求解，通过二次函数在−1≤x≤a的区间，求解a的范围。

参数范围问题—常见解题6法求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p 两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

二次函数的参数与像变换实例二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在代数、几何等各个领域有广泛应用。

本文将主要讨论二次函数的参数及其与像的变换实例。

一、二次函数的基本形式二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 +bx +c，其中a、b、c为实数常数且a不等于0。

其中，a决定了二次函数的开口方向以及平移的速度，b影响了对称轴的位置，c则是二次函数的纵坐标。

二、参数a的变化及其影响1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上。

随着a的增大，抛物线越来越陡峭，开口越来越窄；而当a的绝对值越来越小，抛物线越来越平缓，开口越来越宽。

2. 当a<0时，二次函数的抛物线开口向下。

同样地，随着a的减小，抛物线越来越陡峭，开口越来越窄；而当a的绝对值越来越大，抛物线越来越平缓，开口越来越宽。

三、参数b的变化及其影响参数b影响二次函数的对称轴位置。

对于一般形式的二次函数f(x)= ax^2 + bx + c，其对称轴的表达式为x = -b / (2a)。

1. 当b>0时，对称轴向左平移。

随着b的增大，对称轴的位置向左偏移的程度越大；而当b的绝对值越来越小，对称轴的位置向左偏移越小。

2. 当b<0时，对称轴向右平移。

同样地，随着b的减小，对称轴的位置向右偏移的程度越大；而当b的绝对值越来越大，对称轴的位置向右偏移越小。

四、参数c的变化及其影响参数c影响二次函数抛物线的纵坐标。

在相同的a和b的情况下，不同的c值使抛物线上下平移。

1. 当c>0时，抛物线向上平移。

随着c的增大，抛物线整体上移的幅度越大；而当c的绝对值越来越小，抛物线整体上移的幅度越小。

2. 当c<0时，抛物线向下平移。

同样地，随着c的减小，抛物线整体下移的幅度越大；而当c的绝对值越来越大，抛物线整体下移的幅度越小。

五、像的变换实例1. 平移变换考虑二次函数f(x) = x^2的平移变换。

将原函数向右平移3个单位得到g(x) = (x-3)^2，可以看到对称轴的位置向右偏移了3个单位。

参考答案与试题解析一．选择题（共 4 小题）1．二次函数 y＝x2+（a﹣2）x+3 的图象与一次函数 y＝x（1≤x≤2）的图象有且仅有一个交点，则实数 a 的取值范围是（）A．a＝3±2 B．﹣1≤a＜2C．a＝3 或﹣≤a＜2 D．a＝3﹣2 或﹣1≤a＜﹣【解答】解：由题意可知：方程 x2+（a﹣2）x+3＝x 在 1≤x≤2 上只有一个解，即 x2+（a﹣3）x+3＝0 在 1≤x≤2 上只有一个解，当△＝0 时，即（a﹣3）2﹣12＝0a＝3±2当 a＝3+2 时，此时 x＝﹣，不满足题意，当 a＝3﹣2 时，此时 x＝，满足题意，当△＞0 时，令 y＝x2+（a﹣3）x+3，令 x＝1，y＝a+1，令 x＝2，y＝2a+1（a+1）（2a+1）≤0解得：﹣1≤a≤，当 a＝﹣1 时，此时 x＝1 或 3，满足题意；当 a＝﹣时，此时 x＝2 或 x＝，不满足题意，综上所述，a＝3﹣2 或﹣1≤a＜，故选：D．2．对于题目“一段抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c＝1，乙的结果是 c＝3 或 4，则（）A．甲的结果正确第1页（共27页）B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【解答】解：∵抛物线 L：y＝﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y＝x+2 有唯一公共点∴①如图 1，抛物线与直线相切，联立解析式得 x2﹣2x+2﹣c＝0△＝（﹣2）2﹣4（2﹣c）＝0解得 c＝1②如图 2，抛物线与直线不相切，但在 0≤x≤3 上只有一个交点此时两个临界值分别为（0，2）和（3，5）在抛物线上∴c 的最小值＝2，但取不到，c 的最大值＝5，能取到∴2＜c≤5又∵c 为整数∴c＝3，4，5综上，c＝1，3，4，5故选：D．3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线 y第2页（共27页）＝ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（）A．a≤﹣1 或≤a＜B．≤a＜C．a≤或 a＞D．a≤﹣1 或 a≥【解答】解：∵抛物线的解析式为 y＝ax2﹣x+2．观察图象可知当 a＜0 时，x＝﹣1 时，y≤2 时，且﹣＞﹣1，满足条件，可得 a≤﹣1；当 a＞0 时，x＝2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，且﹣≤2 满足条件，∴a≥，∵直线 MN 的解析式为 y＝﹣x+ ，由，消去 y 得到，3ax2﹣2x+1＝0，∵△＞0，∴a＜，∴≤a＜满足条件，综上所述，满足条件的 a 的值为 a≤﹣1 或≤a＜，故选：A．4．如图，已知点 A（0，2），B（2，2），C（﹣1，0），抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 过点 C，顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上．若抛物线与线段 AB 无公共点，则 k 的取值范围是（）第3页（共27页）A．0＜k＜2 B．0＜k＜2 或 k＞C．k＞D．0＜k＜2 或 k＞【解答】解：∵抛物线 y＝a（x﹣h）2+k 的顶点 M 位于第一象限且在线段 AB 的垂直平分线上，且点 A（0，2），B（2，2），∴h＝1，k＞0．抛物线与线段 AB 无公共点分两种情况：当点 M 在线段 AB 下方时，∵点 M 的坐标为（1，k），∴0＜k＜2；当点 M 在线段 AB 上方时，有，解得：k＞．综上所述：k 的取值范围为 0＜k＜2 或 k＞．故选：B．二．填空题（共 3 小题）5．如图，以扇形 OAB 的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（2，0），若抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是﹣2＜k＜．第4页（共27页）【解答】解：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线 OA 的解析式为 y＝x，联立消掉 y 得，x2﹣2x+2k＝0，△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，即 k＝时，抛物线与 OA 有一个交点，此交点的横坐标为 1，∵点 B 的坐标为（2，0），∴OA＝2，∴点 A 的坐标为（，），∴交点在线段 AO 上；当抛物线经过点 B（2，0）时，×4+k＝0，解得 k＝﹣2，∴要使抛物线 y＝x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜．故答案为：﹣2＜k＜．6．已知抛物线 C1：y＝x2﹣2x﹣8 及抛物线 C2：y＝x2﹣（4a+3）x+4a2+6a（a 为常数），当﹣2＜x＜2a+3 时，C1，C2 图象都在 x 轴下方，则 a 的取值范围为﹣＜a≤﹣1 ．【解答】解：当 y＝0 时，有 x2﹣2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4；当 y＝0 时，有 x2﹣（4a+3）x+4a2+6a＝0，第5页（共27页）解得：x3＝2a，x4＝2a+3．∵两抛物线均开口向上，且当﹣2＜x＜2a+3 时，C 1，C2 图象都在 x 轴下方，∴，解得：﹣＜a≤﹣1．故答案为：﹣＜a≤﹣1．7．在直角坐标系中，点 A 的坐标为（3，0），若抛物线 y＝x2﹣2x+n﹣1 与线段 OA 有且只有一个公共点，则 n 的取值范围为﹣2≤n＜1 或 n＝2 ．【解答】解：∵点 A 的坐标为（3，0），抛物线y＝x2﹣2x+n﹣1＝（x﹣1）2+n﹣2 与线段OA 有且只有一个公共点，∴n﹣2＝0 或，解得，﹣2≤n＜1 或 n＝2，故答案为：﹣2≤n＜1 或 n＝2．三．解答题（共 11 小题）8．已知抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3 的顶点 P 在一条定直线 l 上．（1）直接写出直线 l 的解析式；（2）对于任意非零实数 a，存在确定的 n 的值，使抛物线与 x 轴有唯一的公共点，求此时 n 的值；（3）当点 P 在 x 轴上时，抛物线与直线 l 的另一个交点 Q，过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，求的值或取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2anx+an2+n+3＝a（x﹣n）2+（n+3），∴抛物线 P（n，n+3），∵顶点 P 在一条定直线 l 上，令 n＝x，n+3＝y，∴y＝x+3，即：直线 l 的解析式为 y＝x+3，（2）抛物线与 x 轴有唯一的公共点，第6页（共27页）令 y＝0，即：ax2﹣2anx+an2+n+3＝0，∴△＝（﹣2an）2﹣4a×（an2+n+3）＝﹣4a（n+3）＝0，∵任意非零实数 a，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线与 x 轴有唯一的公共点，此时 n 的值为﹣3，（3）由（1）知，P（n，n+3），∵点 P 在 x 轴上，∴n+3＝0，∴n＝﹣3，∴抛物线 y＝a（x+3）2，①∵直线 l 的解析式为 y＝x+3②，联立①②得 Q（﹣3+ ，），∵过点 Q 作 y 轴的平行线，交 x 轴于点 B，∴BQ＝| |，∵过点 Q 作 x 轴的平行线，交抛物线于点 A，∴a（x+3）2＝，∴x＝﹣3±，∴A（﹣3﹣，），∵Q（﹣3+ ，），∴AQ＝|﹣3+ ﹣（﹣3﹣）|＝| |∴＝2．9．如图 1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中 m 为常数，且 m＞0，E（0，n）为 y 轴上一动点，以 BC 为边在 x 轴上方作矩形 ABCD，使 AB＝2BC，画射线OA，把△ADC 绕点 C 逆时针旋转 90°得△A′D′C′，连接 ED′，抛物线 y＝ax2+bx+n （a≠0）过 E，A′两点．第7页（共27页）（1）填空：∠AOB＝45 °，用 m 表示点 A′的坐标：A′（m ，﹣m ）；（2）当抛物线的顶点为 A′，抛物线与线段 AB 交于点 P，且＝时，△D′OE 与△ABC 是否相似？说明理由；（3）若 E 与原点 O 重合，抛物线与射线 OA 的另一个交点为点 M，过 M 作 MN⊥y 轴，垂足为 N：①求 a，b，m 满足的关系式；②当 m 为定值，抛物线与四边形 ABCD 有公共点，线段 MN 的最大值为 10，请你探究 a 的取值范围．【解答】解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0），∴OB＝2m，OC＝3m，即 BC＝m，∵AB＝2BC，∴AB＝2m＝0B，∵∠ABO＝90°，∴△ABO 为等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，由旋转的性质得：OD′＝D′A′＝m，即 A′（m，﹣m）；故答案为：45；m，﹣m；（2）△D′OE∽△ABC，理由如下：由已知得：A（2m，2m），B（2m，0），∵＝，∴P（2m，m），第8页（共27页）∵A′为抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为 y＝a（x﹣m）2﹣m，∵抛物线过点 E（0，n），∴n＝a（0﹣m）2﹣m，即 m＝2n，∴OE：OD′＝BC：AB＝1：2，∵∠EOD′＝∠ABC＝90°，∴△D′OE∽△ABC；（3）①当点 E 与点 O 重合时，E（0，0），∵抛物线 y＝ax2+bx+n 过点 E，A′，∴，整理得：am+b＝﹣1，即 b＝﹣1﹣am；②∵抛物线与四边形 ABCD 有公共点，∴抛物线过点 C 时的开口最大，过点 A 时的开口最小，若抛物线过点 C（3m，0），此时MN 的最大值为 10，∴a（3m）2﹣（1+am）•3m＝0，整理得：am＝，即抛物线解析式为 y＝x2﹣x，由 A（2m，2m），可得直线 OA 解析式为 y＝x，联立抛物线与直线 OA 解析式得：，解得：x＝5m，y＝5m，即 M（5m，5m），令 5m＝10，即 m＝2，当 m＝2 时，a＝；若抛物线过点 A（2m，2m），则a（2m）2﹣（1+am）•2m＝2m，解得：am＝2，∵m＝2，∴a＝1，则抛物线与四边形 ABCD 有公共点时 a 的范围为≤a≤1．10．如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴交于点 C（0，8）．第9页（共27页）（1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；（2）设直线 CD 交 x 轴于点 E．在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P，使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）设抛物线解析式为 y＝a（x+2）（x﹣4）．把 C（0，8）代入，得 a＝﹣1．∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，顶点 D（1，9）；（2 分）（2）假设满足条件的点 P 存在．依题意设 P（2，t）．由 C（0，8），D（1，9）求得直线 CD 的解析式为 y＝x+8，它与 x 轴的夹角为 45°．设 OB 的中垂线交 CD 于 H，则 H（2，10）．则 PH＝|10﹣t|，点 P 到 CD 的距离为．又．（4 分）∴．平方并整理得：t2+20t﹣92＝0，解之得 t＝﹣10±8 ．∴存在满足条件的点 P，P 的坐标为（2，﹣10±8 ）．（6 分）（3）由上求得 E（﹣8，0），F（4，12）．①若抛物线向上平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8+m（m＞0）．第10页（共27页）当 x＝﹣8 时，y＝﹣72+m．当 x＝4 时，y＝m．∴﹣72+m≤0 或 m≤12．∴0＜m≤72．（8 分）②若抛物线向下平移，可设解析式为 y＝﹣x2+2x+8﹣m（m＞0）．由，有﹣x2+x﹣m＝0．∴△＝1﹣4m≥0，∴m≤．∴向上最多可平移 72 个单位长，向下最多可平移个单位长．（10 分）11．如图，在直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动．抛物线与 y 轴相交于 C 点．（1）当 b＝﹣4 时，求 C 点坐标；（2）抛物线与 x 轴相交于 A、B 两点，当△ABD 为直角三角形时，求 b，c 的值；（3）线段 MN 的端点 M（﹣2，4），N（﹣1，1），若抛物线与线段 MN 有公共点，求 b 的取值范围．第11页（共27页）【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 在直线 y＝x 上运动，∴设抛物线 y＝x2+bx+c 的顶点 D 的坐标是（﹣，﹣）．（1）如图 1，∵点 D 在抛物线上，∴﹣＝（﹣）2+b•（﹣）+c，即 c＝﹣+ ．又∵b＝﹣4，c＝﹣+ ＝6，即 c＝6．令 x＝0，则 y＝c＝6，即 C（0，6）；（2）如图 2，连接 AD、BD．∵点 A、B 是抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴的两个交点，点 D 是顶点，∴AD＝BD，∴在直角△ABD 中，∠ADB＝90°．设 A（x1，0）、B（x2，0），则x1+x2＝﹣b，x1x2＝c．∴AB＝|x1﹣x2|＝＝，则，解得，即 b，c 的值分别是 2、0；（3）如图 3，当点 M（﹣1，1）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最小值，所以，1＝1﹣b+c，即 b＝c，则 b＝﹣+ ，解得 b＝6；当点 N（﹣2，4）在抛物线 y＝x2+bx+c 上时，b 取最大值，所以 4＝4﹣2b+c，即 2b＝c，则 2b＝﹣+ ，解得 b＝10，所以 b 的取值范围是 6≤b≤10．第12页（共27页）12．已知抛物线 y＝a（x+1）2+c（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，其顶点为 M，已知直线 MC 的函数表达式为 y＝kx﹣3，与x 轴的交点为 N，且 cos∠BCO＝．（1）求抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以 NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图 2，过点 A 作 x 轴的垂线，交直线 MC 于点 Q，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【解答】解：（1）由 y＝kx﹣3，可知 OC＝3，在 Rt△OBC 中，∵cos∠BCO ＝，∴BC＝，OB＝＝1，将 B（1，0））、C（0，﹣3）代入抛物线解析式，得，第13页（共27页）解得，∴抛物线解析式为 y＝（x+1）2﹣4；（2）存在．由抛物线解析式得 M（﹣1，﹣4），设直线 MN 解析式为 y＝kx+b，则，解得，∴y＝x﹣3，N（3，0），△OCN 为等腰直角三角形．过 N 点作 CN 的垂线交 y 轴于（0，3），垂线解析式为 y＝﹣x+3．联立，得 P 点坐标为（，）或（，），连接 AC，则 A（﹣3，0）点满足题意，∴P 点坐标为（，）或（，）或（﹣3，0）；（3）设平移后抛物线解析式为 y＝（x+1）2+m，①当抛物线与直线 MN 只有一个交点时，联立，得 x2+x+m+4＝0，当方程组有一个解时，△＝0，即 1﹣4（m+4）＝0，解得 m＝﹣，∴向上平移 4﹣＝个单位，②当抛物线经过 N（3，0）时，（3+1）2+m＝0，解得 m＝﹣16，当抛物线经过 Q（﹣3，﹣6）时，（﹣3+1）2+m＝﹣6，解得 m＝﹣10，∴向下平移 16﹣4＝12 个单位．即抛物线向上最多可平移个单位长度，向下最多可平移 12 个单位长度．13．如图，平面直角坐标系中，y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2 的顶点为 P，且 OP2 最小．（1）求 m 的值；（2）直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B．第14页（共27页）①抛物线与直线 l 交于两点，当这两点之间的距离为时，求 a 的值；②若抛物线与线段 AB 有两个公共点，请直接写出 a 的值或取值范围是a≥或 a≤﹣10 ．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝a（x﹣m）2+2m+2，∴P（m，2m+2），∴OP2＝m2+（2m+2）2＝5m2+8m+4＝5（m+ ）2+ ，∵OP2 最小．∴m＝﹣；（2）设抛物线与直线 l 交于两点 C（x 1，y1），D（x2，y2），＝2x1+2，y2＝2x2+2，∴y∴y1﹣y2＝2（x1﹣x2）由（1）知，m＝﹣，∴y＝ax2﹣2amx+am2+2m+2＝ax2+ ax+ a+ ①；①∵直线 l：y＝2x+2②，联立①②得，ax2+ ax+ a+ ＝2x+2，化简得，ax2+ x+ ＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴CD2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝5[ ﹣4×]，第15页（共27页）∵两点之间的距离为，∴5[ ﹣4×]＝，∴4a2＝25，∴a＝±；②如图，∵直线 l：y＝2x+2 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B，∴A（﹣1，0），B（0，2），y＝ax2+ ax+ a+ ＝a（x+ ）2+ ，∴抛物线的顶点 P 坐标（﹣，），把 x＝﹣代入 y＝2x+2 得，y＝，∴点 P 在直线 l：y＝2x+2 上，当 a＞0 时，把 B（0，2）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝2，∴a＝，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≥，当 a＜0 时，把 A（﹣1，0）代入 y＝a（x+ ）2+ 得，a×+ ＝0，∴a＝﹣10，∵抛物线与线段 AB 有两个公共点，且|a|越小抛物线开口就越大，根据图象得，a≤﹣10，即：抛物线与线段 AB 有两个公共点，a 的取值范围为 a≥或 a≤﹣10，故答案为：a≥或 a≤﹣10．第16页（共27页）14．如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒 1 个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y＝x2+bx+c 经过点O 和点P．已知矩形ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（1，﹣5），D（4，0）．（1）求 c，b（可用含t 的代数式表示）；（2）当t＞1 时，抛物线与线段AB 交于点M．在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；（3）在矩形 ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）把 x＝0，y＝0 代入 y＝x2+bx+c，得 c＝0，再把 x＝t，y＝0 代入 y＝x2+bx，得 t2+bt＝0，∵t＞0，∴b＝﹣t；（2）不变．第17页（共27页）∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣tx，且 M 的横坐标为 1，∴当 x＝1 时，y＝1﹣t，∴M（1，1﹣t），∴AM＝|1﹣t|＝t﹣1，∵OP＝t，∴AP＝t﹣1，∴AM＝AP，∵∠PAM＝90°，∴∠AMP＝45°；（3）＜t＜．①左边 4 个好点在抛物线上方，右边 4 个好点在抛物线下方：无解；②左边 3 个好点在抛物线上方，右边 3 个好点在抛物线下方：则有﹣4＜y2＜﹣3，﹣2＜y3＜﹣1 即﹣4＜4﹣2t＜﹣3，﹣2＜9﹣3t＜﹣1，＜t＜4 且＜t＜，解得＜t＜；③左边 2 个好点在抛物线上方，右边 2 个好点在抛物线下方：无解；④左边 1 个好点在抛物线上方，右边 1 个好点在抛物线下方：无解；⑤左边 0 个好点在抛物线上方，右边 0 个好点在抛物线下方：无解；综上所述，t 的取值范围是：＜t＜．15．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝4x+4 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，抛物线 y＝ax2+bx ﹣3a 经过点 A，将点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C．（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）与 y 轴交点：令 x＝0 代入直线 y＝4x+4 得 y＝4，∴B（0，4），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，∴C（5，4）；（2）与 x 轴交点：令 y＝0 代入直线 y＝4x+4 得 x＝﹣1，第18页（共27页）∴A（﹣1，0），∵点 B 向右平移 5 个单位长度，得到点 C，将点 A（﹣1，0）代入抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 中得 0＝a﹣b﹣3a，即 b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴 x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）且对称轴 x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过 A 的对称点（3，0），①a＞0 时，如图 1，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将 x＝5 代入抛物线得 y＝12a，∴12a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0 时，如图 2，将 x＝0 代入抛物线得 y＝﹣3a，∵抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段 BC 上时，则顶点为（1，4），如图 3，将点（1，4）代入抛物线得 4＝a﹣2a﹣3a，解得 a＝﹣1．综上所述，a≥或 a＜﹣或 a＝﹣1．第19页（共27页）16．如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒一个单位长的速度运动 t 秒（t＞0），抛物线y＝﹣x2+bx 经过点 O 和点 P．已知矩形 ABCD 的三个顶点为A（1，0），B（3，0），D（1，3）．（1）求 b 的值（用 t 的代数式表示）；（2）当 3＜t＜4 时，设抛物线分别与线段 AD，BC 交于点 M，N．①设直线 MP 的解析式为 y＝kx+m，在点P 的运动过程中，你认为 k 的大小是否会变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出 k 的值；②在点 P 的运动过程中，当 OM⊥MN 时，求出 t 的值；第20页（共27页）（3）在点 P 的运动过程中，若抛物线与矩形 ABCD 的四条边有四个交点，请直接写出 t 的取值范围．【解答】解：（1）∵点 P 的坐标为（t，0），∴0＝﹣t2+bt，解得：b＝t，（2）①把 x＝1 代入 y＝﹣x2+tx，得 y＝t﹣1，即 M（1，t﹣1），∴，解得 k＝﹣1，②如图，过点 N 作 NH⊥AD 于点 H，求得：BN＝3t﹣9，MH＝8﹣2t，HN＝AB＝2，当 OM⊥MN 时，可证得△OAM∽△MHN，故可得，即，解得，（舍去）从而可得：．（3）抛物线的解析式为 y＝﹣x2+bx＝﹣（x﹣）2+ ，①因为抛物线的顶点纵坐标大于点 D 和点 C 的纵坐标，所以＞3，解得 b＞2 或 b＜﹣2 ；②当 x＝1 时，y＝﹣1+b＜3，解得：b＜4，综上可得：2 ＜b＜4．第21页（共27页）17．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 y 轴和 x 轴的正半轴上，且长分别为 1、4，D 为边 AB 的中点，一抛物线 l 经过点 A、D 及点 M（﹣1，m）．（1）把△OAD 沿直线 OD 折叠后点 A 落在点 A′处，DA′与 OC 交于 H，求证：△OHD 是等腰三角形．（2）求点 A′的坐标；（3）求抛物线的解析式（用含 m 的式子表示）；（4）连接 OA′并延长与线段 BC 的延长线交于点 E，若抛物线与线段 CE 相交，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）如图 1，由折叠得：∠ADO＝∠ODH，∵四边形 ABCO 为矩形，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOH，∴∠DOH＝∠ODH，∴△OHD 是等腰三角形；（2）如图 2，过 A′作 A′F⊥x 轴于 F，由折叠得：A′D＝AD＝AB＝2，OA′＝OA＝1，∠OA′H＝90°，设 A′H＝x，则 DH＝OH＝2﹣x，第22页（共27页）由勾股定理得：12+x 2＝（2﹣x ）2，x ＝ ，即 A ′H ＝ ，∴DH ＝OH ＝2﹣ ＝ ，∴S △A ′OH ＝ OA ′•A ′H ＝ OH •A ′F ，∴1× ＝ ×A ′F ，∴A ′F ＝ ，由勾股定理得：OF ＝ ＝ ＝ ，∴A ′（ ，﹣ ），（3）设抛物线的解析式为：y ＝ax 2+bx+c ，把 A （0，1）、D （2，1）、M （﹣1，m ）代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式为：y ＝ + +1，（4）∵A ′F ∥BE ， ∴，∴ ，∴CE ＝3， ∴E （4，﹣3），当 x＝4 时，y＝+ +1，y＝，∵﹣3≤y≤0，∴﹣3≤≤0，第23页（共27页）∴﹣≤m≤．18．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量 x，这两个函数对应的函数值记为 y1、y2，都有点（x，y1）和（x，y2）关于点（x，x）中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线 y＝x 上，所以称这两个函数为关于直线 y ＝x 的特别对称函数．例如：和为关于直线 y＝x 的特别对称函数．（1）若 y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，点 M（1，m）是y＝3x+2 上一点．①点 M（1，m）关于点（1，1）中心对称的点坐标为（1，﹣3）．②求 k、t 的值．（2）若 y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，求 n 的值．（3）若二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数．①直接写出 a、b 的值．②已知点 P（﹣3，1）、点Q（2，1），连结PQ，直接写出 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围．第24页（共27页）【解答】解：（1）①∵点 M（1，m）是 y＝3x+2 上一点，∴m＝5，∴M（1，5），∴点 M 关于（1，1）中心对称点坐标为（1，﹣4），故答案为（1，﹣3）；②∵y＝3x+2 和 y＝kx+t（k≠0）为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴＝x，∴（1+k）x+（t+2）＝0，∴k＝﹣1，t＝﹣2；（2）设 y＝3x+n①的特别对称函数为 y＝m'x+n'，∴＝x，∴（1+m'）x+n+n'＝0，∴m'＝﹣1，n'＝﹣n，∴y＝3x+n 的特别对称函数为 y＝﹣x﹣n②，联立①②解得，x＝﹣n，y＝﹣n，∵y＝3x+n 和它的特别对称函数的图象与 y 轴围成的三角形面积为 2，∴|n﹣（﹣n）|×|﹣n|＝2，∴n＝±2；（3）①∵二次函数 y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 为关于直线 y＝x 的特别对称函数，∴，∴（a+1）x2+（b﹣2）x+c+d＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d；②由①知，a＝﹣1，b＝2，c＝﹣d，∴二次函数 y＝﹣x2+2x﹣d 和 y＝x2+d，第25页（共27页）∴这两个函数的对称轴为直线 x＝1 和 x＝0，∵P（﹣3，1）、点Q（2，1），当d＜0 时，如图 1，当抛物线 C2：y＝x2+d 恰好过点 P（﹣3，1）时，即：9+d＝1，∴d＝﹣8，当抛物线 C1：y＝﹣x2+2x﹣d 恰好过点 Q（2，1）时，即：﹣4+2﹣d＝1，∴d＝﹣3，y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8≤d ＜﹣3，如图 2，当 0≤d＜1 时，抛物线 C1 与线段 PQ 有两个交点，而抛物线 C2 与线段 PQ 没有交点，∴y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为 0≤d ＜1，即：y＝ax2+bx+c 和 y＝x2+d 两条抛物线与线段 PQ 恰好有两个交点时 d 的取值范围为﹣8 ≤d＜﹣3 或 0≤d＜1．第26页（共27页）1、一知半解的人，多不谦虚；见多识广有本领的人，一定谦虚。

构造二次函数求参数取值范围要构造一个二次函数，并求出参数的取值范围，我们需要考虑以下几点：1. 二次函数的一般形式是：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a,b,c是实数且a不等于0。

2.二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或向下。

3.二次函数的图像和参数a的正负有关系：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

我们以数学分析为例来说明二次函数的参数取值范围。

一、二次函数的参数a的取值范围：我们知道，二次函数的图像是一个抛物线，开口向上或向下取决于参数a的正负。

因此，为了确定参数a的取值范围，我们需要考虑以下几种情况：1.当抛物线开口向上时，即a>0的情况下，我们可以得到以下结论：-当a>0，抛物线开口向上，抛物线的最低点（顶点）在x轴上方。

此时，取x为实数，y的取值范围为(-∞，正无穷)。

-直线y=x的图像与抛物线的交点的y值，即为参数a的取值范围的下限。

2.当抛物线开口向下时，即a<0的情况下，我们可以得到以下结论：-当a<0，抛物线开口向下，抛物线的最高点（顶点）在x轴下方。

此时，取x为实数，y的取值范围为(负无穷，+∞)。

-直线y=x的图像与抛物线的交点的y值，即为参数a的取值范围的上限。

二、二次函数的参数b的取值范围：参数b是二次函数中一次项的系数。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，参数b的取值范围是整个实数范围，即(-∞，+∞)。

三、二次函数的参数c的取值范围：参数c是二次函数中常数项的系数。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，参数c的取值范围是整个实数范围，即(-∞，+∞)。

综上所述，二次函数的参数取值范围为：-参数a的取值范围是(-∞，直线y=x的与抛物线的交点的y值]（抛物线开口向上）或[直线y=x的与抛物线的交点的y值，+∞)（抛物线开口向下）。

-参数b的取值范围是(-∞，+∞)。