二次函数专题之全参数范围问题

中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围一、解答题1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．3(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c(b，c是常数)．(1)当b=2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,-3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．4(2023·浙江宁波·校考三模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5．(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点C m,n在该二次函数图像上，当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．5(2023·浙江舟山·统考三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)经过点A1，0．点P在此抛物线上，其横坐标为m．，点B0，3(1)求此抛物线的解析式．(2)若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是．(3)点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．6(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2ax+1(a是常数)．(1)当a=2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点(1，p)，(-1，q)，求证：pq≤4．(3)已知函数图象经过点A(-3，y1)，B(a+1，y2)，点C(m，y3)，若对于任意的4≤m≤6都满足y1>y3> y2，求a的取值范围．7(2023·浙江杭州·统考二模)已知函数y1=x2-m+2x+2m+3,y2=nx+k-2n(m，n，k为常数且n≠0)．(1)若y1的图象经过点A-1,3，求该函数的表达式．(2)若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若m≤2，当-1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．8(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=ax x-ma≠0．和一次函数y2=ax+b a≠0(1)二次函数y1的图象过1,0点，求二次函数的表达式；,2,2(2)若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：b=-am；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．9(2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模)在平面直角坐标系中，当x=-2和x=4时，二次函数y=ax2+bx-2(a，b是常数，a≠0)的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a，b的值．(3)记(2)中的抛物线为y1，将抛物线y1向上平移2个单位得到抛物线y2，当-2≤x≤m时，抛物线y2的最大值与最小值之差为8，求m的值．10(2023·浙江丽水·统考二模)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A x1,0且x1≠,B x2,0x2．(1)当x1=2，且b+c=-6时，①求b，c的值②当t≤x≤t+2时，二次函数y=x2+bx+c的最小值为2t，求t的值；(2)若x1=3x2，求证：3b-c≤3．211(2023·浙江杭州·统考二模)二次函数y=ax2+bx-1(a，b为常数，a≠0)的图像经过点A1,2．(1)求该二次函数图像的对称轴(结果用含a的代数式示)(2)若该函数图像经过点B3,2；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设M x1,y1，N x2,y2是该二次函数图像上两点，其中x1，x2是实数．若x1-x2=1，求证：y1+y2≤11 212(2023·浙江杭州·统考一模)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点．(1)当a=1,b=2时，求m的值．(2)当0<a<2,c=2时，①求证：m>1．②点C x1,y1,D x2,y2在该抛物线上，且x1>x2,x1+x2<2，试比较y1与y2的大小．13(2023·浙江绍兴·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．(1)求该抛物线的对称轴(用含t的式子表示)；(2)若点M t-2，m在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m，n的大小；，N t+3，n(3)P x1，y1是抛物线y=x2-2tx+1上的任意两点，若对于-1≤x1<3且x2=3，都有y1≤y2， ，Q x2，y2求t的取值范围；(4)P t+1，y1是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值． ，Q2t-4，y214(2023·浙江杭州·模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+m2+1存在两点A m-1,y1，B m+2,y2．(1)求抛物线的对称轴；(用含m的式子表示)(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F(包括A，B两点)，y轴上一动点C0,a，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；(3)若点M2,y3也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G(包括M，A两点)，记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥y2-y1，求m的取值范围．15(2022春·九年级课时练习)抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，则k 的取值范围是．16(2020秋·九年级课时练习)抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是．17(2023·安徽淮北·校考一模)若对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，则一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是．18(2021春·九年级课时练习)抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点的个数是．19(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的部分图象如图所示，图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，下列结论：①2a +b =0；②当m ≠-1时，am 2-b m +1 <a ；③若点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，则y 1<y 3<y 2；④若关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有3个．其中正确的结论有(填序号)．20(2023·浙江·校联考三模)已知点x1，y1，x2，y2为二次函数y=-x2图象上的两点(不为顶点)，则以下判断正确的是()A.若x1>x2，则y1>y2B.若x1<x2，则y1<y2C.若：x1x2<x22，则y1>y2 D.若x1x2>x22，则y1<y221(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=(ax+1)(bx+1)，y2=(x+a)(x+b)，(a，b为常数，且ab≠0)，则下列判断正确的是()A.若ab<1，当x>1时，则y1>y2B.若ab>1，当x<-1时，则y1>y2C.若ab<-1，当x<-1时，则y1>y2D.若ab>-1，当x>1时，则y1>y222(2023·浙江杭州·统考二模)点P m,n在二次函数y=ax2-2ax a≠0的图象上，针对n的不同取值，存在点P的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P的个数为1，则n=-a；乙：若P的个数为2，则n≥-a则下列判断中正确的是()A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误23(2023·浙江宁波·校考二模)已知点A x1，y1，B x2，y2在抛物线y=-(x-4)2+m(m是常数)上．若x1<4<x2，x1+x2>8，则下列大小比较正确的是()A.y1>y2>mB.y2>y1>mC.m>y1>y2D.m>y2>y124(2023·统考二模)已知二次函数y=x2+bx+c过点A x1,y1，B x1+t,y2，C x1+2t,y3三点．记m=y2-y1，n=y3-y2，下列命题正确的是()A.若n-m>2，则t<-1B.若n-m<2，则t>-1C.若t>1，则n-m>2D.若t<1，则n-m<225(2023·浙江杭州·统考二模)已知y关于x的二次函数y=2mx2+1-mx-1-m，下列结论中正确的序号是()①当m=-1时，函数图象的顶点坐标为12,12 ；②当m≠0时，函数图象总过定点：③当m>0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于3 2；④若函数图象上任取不同的两点P1x1,y1、P2x2,y2，则当m<0时，函数在x>14时一定能使y2-y1x2-x1<0成立．A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④26(2023·浙江·模拟预测)点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 在抛物线y =ax 2-2ax -3a ≠0 上，存在正数m ，使得-2<x 1<0且m <x 2<m +1时，都有y 1≠y 2，则m 的取值范围是()A.1<m ≤4B.2<m ≤4C.0<m ≤1或m ≥4D.1<m ≤2或m ≥427(2023·浙江·模拟预测)点A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 在抛物线y =ax 2-2ax -3(a ≠0)上，存在正数m ，使得-2<x 1<0且m <x 2<m +1时，都有y 1≠y 2，则m 的取值范围是()A.1<m ≤4B.1<m ≤4C.0<m ≤1或m ≥4D.1<m ≤2或m ≥428(2023·浙江宁波·校考一模)已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点A x 1,y 1 ，B 1-m ,n ，C x 2,y 2 ，D m +3,n ，若x 1-2 >x 2-2 ，则下列表达式正确的是()A.y 1>y 2B.y 1<y 2C.a y 1-y 2 >0D.a y 1-y 2 <029(2022·浙江宁波·校考三模)如图，二次函数y =ax 2+bx +c a <0 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴正半轴交于点C ，它的对称轴为直线x =2，则下列说法中正确的有()①abc <0；②4ac -b 24a>0；③16a +4b +c >0；④5a +c >0；⑤方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)其中一个解的取值范围为-2<x <-1．A.1个B.3个C.4个D.5个。

二次函数专题——含参二次函数完整版题型汇总含参的二次函数在高中阶段考试中经常出现，因为参数的存在使得函数形成一种动态，随着参数的变化，函数也会不同。

这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例如，考虑求解$f(x)=x-2ax$在$[2,4]$上的最大值和最小值。

由于参数的存在，这个函数是动态的。

为了解决这个问题，我们需要考虑动轴定区间问题，即对称轴随着参数的变化而变化，但是在给定区间上问最大值和最小值。

对于这个问题，需要分类讨论。

在$[2,4]$这个区间上，可能出现对称轴不在这个区间里面的情况，对称轴就在区间里面的情况，或者对称轴在区间右侧的情况。

因此，我们需要分别考虑这些情况。

具体来说，我们需要找到在整个函数的区间上，哪个数离对称轴最远。

这个分界线就应该在$2$和$4$中间的位置上，即$3$。

当对称轴在$x=3$这条线左边的时候，对称轴离$2$就比较近，离$4$就比较远；对称轴在右边的时候，离$2$就比较近，离$4$就比较远。

因此，这个函数的最大值可以表示为：f_{\max}(x)=\begin{cases}f(4)=16-8a& (a\leq 3)\\f(2)=4-4a&(a>3)\end{cases}$$当$a=3$时，放在哪边都可以。

代入上面的式子，得到$f_{\max}(x)=-8$。

因此，最大值为$-8$。

接下来，我们来讨论含参的二次函数的最大值和最小值问题。

这类问题的重点在于能否清晰地做分类讨论，得到一个分段函数的解析式。

我们可以按照对称轴的位置进行分类讨论。

首先，对于对称轴在区间左侧，且$a\leq 2$的情况，函数在$x=2$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(2)=4-4a$。

其次，对于对称轴在区间中间，即$24$的情况，函数在$x=4$处取得最小值，即$f_{min}(x)=f(4)=16-8a$。

另外，还有一类问题叫做定轴动区间的问题。

对于这类问题，我们同样需要进行分类讨论，只不过区间在变化。

专题03二次函数含参解析式问题一、E知识回顾】(1）二次函数的一般形式：丘且主且正怡，b,c是常数，a手。

）注：未知数的最高次数是2,a,;c:0,b, c是任意实数。

(2）二次函数的国i象与性质二次函数y=ax2+b x+c(a,b, c为常数，a学0)图象开口方向对称输顶点坐标增减。

｜全故值y＼ ：／x(a>O)开口向七b直线x＝－一2a（」4a c一2a’4a当x<-2a时，y随x的增大而减尘：当x＞一丢.：a时，y｜施x的瞅而增大2ba’＿：4ac-b2当x＝一' y有最尘直4a(3）二次函数阁像与系数的关系Y,队。

＼x(a<O)开口向下b直线x＝－一2a(-!. 4a c-b引2a’4ab当x<-2a时，y随x的增大而盟主：b当x>-2a时，d罐x的增大而温尘当x＝一一时，y有最本值4a…c-b22a 4a某1比特别t形式代数式的决定抛物线的当a>O时，抛物线开口向上；a开口方向及开口大小当a<O时，抛物线开口向下．符号．a±b+c即为x=+l时一，y 当a,b问号，二＜O，对称轴在泱定对称轴的值：②4a±2b+c1111为x=±2时，y的值a、y轴左边：(x＝一一〉的位2a2a吨的符号，需判置当时时，斗o，对称轴为y b对称轴τ..；；与1tt飞！大小．轴：b当a,b异号，τ.；aγ＞O，对称输布，y轴�边．当c>O时，抛物线与y轴的交点决定抛物线与在夜半轴上．c y轴的交点的当c=O时，抛物线经过原点：位置当c<O时，抛物线与y轴的交点在1这半轴上．b2-4ac>O时，抛物线与且铀有2个交点；决定抛物线与b2-4ac=O时，抛物线与x轴有l b2-4ac x轴的交点个个交点；数b2-4a c<O时，抛物线与x轴i立主交点(4）利用二次函数的对称轴判断函数值大小关系〈福建常考i在择题10)方法技巧g 若对称粉1在直线x=l的b左边，贝tl2a>l，再根据a的符号即可得出络果．④2a-b的符号，需步I]断对称轴与－1的大小．①已知点A Ca. b）为二次函数图像上一点，对称轴已失U x=c，则A点对称点B(2c-a b)②己知点A(a, c）、B( b, c）为二次函数图像上一点，则根据网点纵坐标相等，可知A、B为对称点，那么对称轴x干③不等式解读：la-cl斗b-c卜a到对称轴c的距离＞b到对称输的距离l a-cJ=lb-cj a到对称轴c的距离＝b到对称轴的距离la-cl斗b-c卜a到对称轴c的距离＜b到对称铀的距离二、E考点类型】考点1：二次函数函数图像与系数的关系典例1:( 2022福建商｜到校考一模〉二次函数y=a).-2＋你＋c（α，b, c是常数，但0）的图象如阁所示，对称轴为直线x=-1.有以下结论：①abc>O；①a(/!+2) 2+b （仇2)<a (k2+1) 2+b （的1)(k为实数〉：①m (am+b) �，。

二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。

例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。

专题09 二次函数中的取值范围专题（一）班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、选择题1. 如果二次函数y =x 2−6x +8在x 的一定取值范围内有最大值(或最小值)为3，满足条件的x 的取值范围可以是( )A. −1≤x ≤5B. 1≤x ≤6C. −2≤x ≤4D. −1≤x ≤1【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【解答】解：∵y =x 2−6x +8=(x −3) 2−1， 当y =3时，得出x =1或5，∴在自变量−1≤x ≤1的取值范围内，当x =1时，有最小值3，2. 已知函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，最小值是，则m 的取值范围是( )A. m ≥−2B. 0≤m ⩽12C. −2≤m ⩽−12D. m ⩽−12【答案】C【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【解答】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12，∴当x=−12−[1−(−12)]=−2时，y=1，∵函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤−12；∴−2≤m≤−12．3.已知二次函数y=−x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点(0,t)且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是()A. −1≤t≤0B. −1≤tC. D. t≤−1或t≥0【答案】A【分析】本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的最值等有关知识，找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．【解答】解：如图1所示，当t等于0时，∵y=−(x−1)2+4，∴顶点坐标为(1,4)，当x=0时，y=3，∴A(0,3)，当x=4时，y=−5，∴C(4,−5)，∴当t=0时，D(4,5)，∴此时最大值为5，最小值为0；如图2所示，当t=−1时，此时最小值为−1，最大值为4．综上所述：−1≤t≤0，m−1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是() 4.已知二次函数y=x2−x+14A. m≤5B. m≥2C. m<5D. m>2【答案】A【分析】根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可．本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．m−1的图象与x轴有交点，【解答】解：∵二次函数y=x2−x+14∴△=(−1)2−4×1×(1m−1)≥0，4解得：m≤5，5.下表列出了函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的x与y的部分对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是()A. 6<x<6.17B. 6.17<x<6.18C. 6.18<x<6.19D. 6.19<x<6.20【答案】C【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，解答此题的关键是利用函数的增减性．根据二次函数的增减性，可得答案．【解答】解：由表格中的数据，得在6.17<x<6.20范围内，y随x的增大而增大，当x=6.18时，y=−0.01，当x=6.19时，y=0.02，方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是6.18<x<6.19，6.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：x−3−2−1012345y1250−3−4−30512当函数值y<0时，x的取值范围是()A. x<0或x>2B. 0<x<2C. x<−1或x>3D. −1<x<3【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值的取值范围，同学们应熟练掌握．由表格给出的信息可看出，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，函数有最小值，抛物线开口向上a>0，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，根据二次函数的性质可得出y<0时，x的取值范围．【解答】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x=1，a>0，开口向上，与x轴交于(−1,0)、(3,0)两点，则当函数值y<0时，x的取值范围是−1<x<3．7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的最大值为3，一元二次方程ax2+bx+c−m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≥3B. m≤3C. m≥−3D. m≤−3【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系，掌握二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．方程ax2+bx+c−m=0有实数相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，结合图象可得出m的范围．【解答】解：方程ax2+bx+c−m=0有实数根，相当于y=ax2+bx+c(a≠0)平移m个单位与x轴有交点，又∵图象最高点y=3，∴二次函数最多可以向下平移三个单位，∴m≤3，二、填空题8.我们把函数在m≤x≤n上的最大图值和最小值的差称为区间极差，比如一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数y=−x+1在−2≤x≤0上的区间极差为3−1=2.若二次函数y=−x2+2x+3在−1≤x≤a 上的区间极差为4，则a的取值范围是____________．【答案】1⩽a⩽3【分析】本题考查二次函数的综合问题和其最值问题以及一元二次方程的求解，通过二次函数在−1≤x≤a的区间，求解a的范围。

含参数的二次函数在指定范围内的最值
在指定范围内，如何求含参数的二次函数的最值？
对于形如$y=ax^2+bx+c$的二次函数，如果想要求出其在
$xin[a,b]$范围内的最大值或最小值，可以采用以下方法：
1. 求导并令导数为零，得到极值点的横坐标$x_0$，并判断
$x_0$是否在$[a,b]$范围内。

2. 求出函数在$a,b$以及$x_0$处的函数值$y_a,y_b,y_0$。

3. 比较$y_a,y_b,y_0$三个数的大小，即可得出最大值或最小值。

需要注意的是，如果函数的参数$a$在指定范围内变化，那么最
大值或最小值也会随之变化。

因此，在求解过程中需要对参数进行分类讨论，分别计算不同参数取值下的最值。

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初中二次函数参数取值范围的解题思路和方法二次函数参数取值范围的解题思路和方法主要包括以下几个步骤：1. 理解二次函数的基本形式：二次函数的一般形式为 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

2. 确定参数与函数性质的关系：开口方向：由 $a$ 决定。

当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

对称轴：由 $b$ 决定。

对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$。

顶点：坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$。

与坐标轴的交点：令 $f(x) = 0$ 解得与 $x$ 轴的交点；令 $x =0$ 解得与 $y$ 轴的交点。

3. 根据题目要求求解参数范围：求最值：如果题目要求二次函数的最大值或最小值，可以通过顶点坐标或对称轴来求解。

求交点：如果题目要求二次函数与坐标轴的交点，可以令 $f(x) = 0$ 或 $x = 0$ 来求解。

求参数范围：根据题目给出的条件，如函数在某个区间上的单调性、与坐标轴的交点位置等，列出不等式或方程来求解参数的范围。

4. 验证解的有效性：解出参数后，需要代入原函数进行验证，确保解满足题目的所有条件。

下面是一个具体的例子：例：已知二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$，求 $m$ 的取值范围，使得函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减。

解：1. 确定对称轴：二次函数 $f(x) = x^2 - 2mx + m^2 + m - 2$ 的对称轴为$x = m$。

2. 判断单调性：由于二次项系数 $a = 1 > 0$，抛物线开口向上。

因此，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。

3. 求解参数范围：要使函数在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，需要对称轴 $x = m$ 在区间 $[1, 3]$ 的右侧，即 $m \geq 3$。

含参的二次函数二次函数在初中的时候就比较重要，那么在高中阶段二次函数的考点更加重要，难度也会加大。

高中阶段比较喜欢考含有参数的二次函数，参数就会让函数形成一种动态，随着参数不同，函数是不一样的，这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。

例1. 求2()2f x x ax =-在[2,4]上的最大值和最小值。

解析：这道题因为参数的存在使得函数的本身是动的，在动的情况下考虑这个函数最大值和最小值的问题，这就涉及到高中比较爱考的一类问题，动轴定区间问题。

这道题中对称轴正好是x a =，随着a 不同，这个对称轴在变化，但是在给定区间上问最大值和最小值，那么就会有下面几种情况，在[2,4]这个区间上，有可能（1）这个对称轴不在这个区间里面这个时候的最大值最小值；也有可能（2）这个对称轴就在区间里面，这个时候的最值，还可能（3）对称轴在区间右侧这几个图针对这个函数并不严谨，上面的是一般函数的示意图，这道题中的函数一定是过原点的。

可以感受，随着a 的不同，最大值和最小值是不一样的，所以这种含参的动态的问题往往需要我们做的一个工作就是分类讨论。

那么函数在什么时候取到最大值呢，比如说（1），就会在4的地方取得最大值，（2）在4的地方取得最大值，（3）就会在2的地方取得最大值。

那么在整个函数的区间上，什么时候能取得最大值呢，我们就要看在这个区间上，哪个数离对称轴最远。

那么就有两种情况了，有的时候是2离得比较远，有的时候是4离得比较远，是怎么分界的呢？这个分界线就应该在2和4中间的位置上是3，当对称轴在3x =这条线左边的时候，对称轴离2就比较近，离4就比较远，对称轴在右边的时候，离2就比较近，离4就比较远。

因此这个函数的最大值，经过分类讨论之后，就会得到一个分段函数：max (4)=168(3)()(2)44(3)f a a f x f a a -≤⎧=⎨=->⎩也就是如果这个对称轴在3的左侧，也就是3a ≤的时候，离4远，在4处取得最大值，如果在右侧的话，也就是3a >的时候，离2远，在2处取得最大值。