2018版高考数学一轮复习 专题：02 二次函数中的参数与恒成立问题特色训练

专题2.4 二次函数与幂函数真题回放1.【2017年浙江卷第5题】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】试题分析：因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．【考点】二次函数的最值2.【2017年山东卷理数第10题】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m=的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞ （C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B3.【2017年天津卷理数第8题】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C ）[-（D ）39[]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()22x x x x--=-+≤-3x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 考点分析从近几年的高考试题来看，二次函数图像的应用与其最值问题是高考的热点，题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用．高考对幂函数，只需掌握简单幂函数的图象与性质. 融会贯通考点一 幂函数的图象和性质 【例1】下列说法正确的是（ ） A.幂函数一定是奇函数或偶函数B.图像不经过（-1,1）的幂函数一定不是偶函数C.任意两个幂函数都有两个以上交点D.奇函数的图像一定过坐标原点 【答案】B【例2】若点()4,a 在12y x =的图像上，则6atanπ的值为 （ ）A. 01【答案】D【解析】因为点()4,a 在12y x =的图像上，所以124?2a ==， 163a tan tan ππ== D.【变式训练】设幂函数()f x 的图像经过点设01a <<，则()f a 与()1f a -的大小关系是（ ） A ．()()1f a f a -< B ．()()1f a f a -> C ．()()1f a f a -= D ．不能确定 【答案】A 【解析】试题分析：将代入()fx x α=，求得，，，由于01a <<，所以()()1f a f a -<.考点：幂函数，比较大小. 【例3】幂函数在上为增函数，则实数的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1或2 【答案】C【变式训练】幂函数()22231mm y m m x --=--，当()0,x ∈+∞时为减函数，则实数m 的值为（ ）A ．1m =-或2B ．1m =-C ．2m =D 【答案】C 【解析】试题分析：∵22231mm y m m x --=--（）为幂函数，∴211m m --=，即220m m --=．解得：2m =或1m =-．当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在0+∞（，）上为减函数；当1m =-时，2230m m --=，010y x x ==≠（）在0+∞（，）上为常数函数（舍去），∴使幂函数22231m m y m m x --=--（）为0+∞（，）上的减函数的实数m 的值2．故选C. 考点：幂函数的性质.【例4】已知函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，且为奇函数. （1）求m 的值；（2.【答案】（1）0m =；（2考点：1、幂函数；2、函数的奇偶性；3、函数的值域.【知识链接】(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较【解题方法与技巧】1．幂函数()y x R αα∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．在()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．考点二 二次函数的图象与性质 命题一：二次函数与不等式【例1】已知函数()()236f x x a a x c =-+-+.（1）当19c =时，解关于a 的不等式()10f >；（2）若关于x 的不等式()0f x >的解集是()1,3-，求实数a 、c 的值. 【答案】（1）()2,8-;（2）3a = 9c =.【变式训练】已知函数2)(2+-+=a bx ax x f .（1）若关于x 的不等式0)(>x f 的解集是)3,1(-，求实数b a ,的值； （2）若2=b ，0>a ，解关于x 的不等式0)(>x f .【答案】（1）2,1=-=b a ，（2）当1≥a 时，解集为 当10<<a 时，解集为【解析】（1）由题3,1-=x 是方程022=+-+a bx ax 的两根.代入有⎩⎨⎧=++=02382b a b ，∴⎩⎨⎧=-=21b a（2）当2=b 时，)1)(2(22)(2++-=+-+=x a ax a x ax x f综上，1≥a 时，解集为 10<<a 时，解集为【知识链接】1、二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．2、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当0∆<⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔20ax bx c ++=无实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆=⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔20ax bx c ++=有两个相等的实根⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;当0∆>⇔()f x =2ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔20ax bx c ++=有两个不等的实根⇔ 20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,αβ-∞+∞.命题二：二次函数的单调性 【例1】若函数的对称轴方程为，则 （ ）A. B. C. D.【答案】A【变式训练】已知，,函数.若,则( ) A.， B.，C.，D.，【答案】B【解析】由题设()()13f f =可知2x =是对称轴，又因()()34f f >，故二次函数的开口向下，即0a <，应选答案B 。

2018年高考数学（文）二轮复习讲练测纵观近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查，重点是涉及到一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用，图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.往往与导数相结合，在处理复杂问题时转化成为“恒成立问题”.解答这类题目应首先克服畏惧心理，通过总结高中阶段出现的这类问题的类型，形成完整的知识、方法体系，提高应对能力.一. 函数性质法1.一次函数)0()(≠+=k b kx x f若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(>x f ,则根据函数的图像可得⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>0)(00)(0n f a m f a 或可合并成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ,同理若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(<x f 则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1对于满足||2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围. 【答案】1x <-或3x >.o y2 -2 x y-2 2x2. 二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解 有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或 例2【2018届内蒙古包钢第一中学高三上第一次月考】若不等式220x ax a -+>对一切实数x ∈R 恒成立,则关于t 的不等式2231t t a+-<的解集为A. ()3,1-B. ()(),31,∞∞--⋃+C. ∅D. ()0,1 【答案】B【解析】220x ax a -+>对一切实数x ∈R 恒成立,所以2440a a ∆=-<,所以0<a<1,所以函数y=a x是减函数,由2231t t a+-<可得2230t t +->,所以31t t -或. 故选：B 3. 其它函数：对于恒成立的问题，常用到以下结论： （1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立； （2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立；（3）()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）． 例3已知函数()()22log log 28x f x x ⎛⎫⎡⎤=⋅ ⎪⎣⎦⎝⎭，函数()1423x x g x +=--。

复习专题之含参数二次函数的最值、单调性、恒成立问题1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根a b x x 221-==无实根{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R {}21x x x x <<∅∅方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.例1．已知函数()y f x =的表达式为()21f x ax mx =-+（a 、m R ∈）．（1）若0a =，()3f x <的解集为()2,1-，求实数m 的值；（2）若1a =，()y f x =在[]1,2上的最大值为3，求实数m 的值．例2．已知二次函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()122f x f x x =-+-，且函数()f x 的图象过点()3,2﹒（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()g x f x mx =-，若函数()g x 在区间[]1,2的最小值为3，求实数m 的值﹒1．（2021·河南·安阳县高级中学高一期中）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（）A ．0a <B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）若函数()()224f x x m x =--+在区间()1,2内存在最小值，则实数m 的取值范围是（）A ．()3,4B ．()4,6C ．[]5,9D ．[]11,7--3．（2021·河南商丘·高二阶段练习（理））若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．0B ．2C ．52D ．34．（2021·山东文登·高三期中）关于x 的不等式2||20ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围为（）A ．4⎫+∞⎪⎣⎭B ．,4⎛-∞ ⎝⎦C ．44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,,44⎛⎤⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭5．（2020·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习）若不等式2(1)20a x x -++ 对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为（）A ．9,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[1,)+∞C ．[2,)+∞D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中）已知函数()()2212f x x a x =+-+在[)4,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．(],3-∞-B ．[)3,-+∞C ．(],5-∞D ．[)5,+∞7．（2021·辽宁·大连市第三十六中学高一期中）若不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x -<<，那么不等式()21(1)2a x b x c ax ++-+>的解集为（）A ．{}32x x -<<B ．{3x x <-或}2x >C ．{}14x x -<<D ．{1x x <-或}4x >8．（2021·全国·高一课时练习）若不等式250x ax +->在{}12x x ≤≤上有解，则a 的取值范围是（）A ．12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭B ．12a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．{}4a a <D ．{}4a a >二、多选题9．（2021·江苏省天一中学高一期中）下列叙述中正确的是（）A ．,,a b c ∈R ，若二次方程20ax bx c ++=无实根，则0ac >B ．“0a >且240b ac ∆=-≤”是“关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集是R ”的充要条件C ．“1a <-”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件10．（2021·重庆十八中高一期中）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 可以取值有（）A ．0B ．1C ．2D ．311．（2021·全国·高一课时练习）（多选）若不等式223221x x m x x ++≥++对任意实数x 恒成立，则正整数m 的值可能为（）A ．3B ．4C ．1D ．212．（2021·全国·高一课时练习）对于给定的实数a ，关于x 的一元二次不等式()()10a x a x -+>的解集可能为（）A ．φB ．{}1x x a -<<C ．{}1x a x <<-D ．{1x x <或}x a >三、填空题13．（2021·上海·复旦附中高一期中）关于x 的一元二次不等式280x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是______．14．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．15．（2021·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式22230ax ax a -++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是_______．16．（2021·全国·高一专题练习）若函数2()f x x ax =+在区间[1,2]上的最大值为1a +，则a 的取值范围为__________四、解答题17．（2021·广西·南宁二中高一阶段练习）（1）已知关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为()1,2-，求不等式20bx x a ++>的解集；（2）解关于x 的不等式()210x k x k -++≤．18．（2021·福建·莆田第五中学高一期中）已知函数()21f x ax ax =-+．（1）设()()()22g x f x a x =+-，求()g x 在区间[]1,2上的最小值；（2）求不等式()f x x >的解集．19．（2021·福建·莆田二中高一期中）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式()2f x x m >+在区间，[]1,1-上恒成立，求实数m 的取值范围.。

专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。

专题四：恒成立综合研究（大题，解析式）【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势. 解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题. 【方法点评】方法一 判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步 首先将所求问题转化为二次不等式；第二步 运用二次函数的判别式对其进行研究讨论； 第三步 得出结论.例1 若()f x 为二次函数，-1和3是方程()04=--x x f 的两根，()10=f . （1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()21f x x x =-+；（2）(),5m ∈-∞.（2）∵在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+有解， ∴231m x x <-+在区间[]1,1-上有解，故只需m 小于函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值， 由二次函数可知当1x =-时，函数()g x 取最大值5, ∴实数m 的取值范围为()5-∞，考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】本题首先考查二次函数解析式，已知函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用分离参数法，转化为()max m g x <来求参数m 的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.方法二 分离参数法使用情景：对于变量和参数可分离的不等式解题模板：第一步 首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式 的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步 先求出含变量一边的式子的最值； 第三步 由此推出参数的取值范围即可得出结论.例2 若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[1,4]- B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞ C. (,1][4,)-∞-⋃+∞ D ．[2,5]- 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得， 因为0x >，则4424x x x x+≥⋅=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤， 即2340a a --≤，解得14a -≤≤，故选A.考点：基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法三 函数性质法使用情景：对于不能分离参数或分离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步 首先可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等；第二步 从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值； 第三步 得出结论.例3 已知函数323()12f x ax x =-+ ()x R ∈， 其中0a >. 若在区间11[,]22-上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】05a <<.【点评】对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如(,)0f x a ≥、(,)0f x a <等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值. 在解题过程中常常要用到如下结论：（1）如果(,)f x a 有最小值()g a ，则(,)0f x a >恒成立⇔()0g a >，(,)0f x a ≥恒成立⇔()0g a ≥；（2）如果(,)f x a 有最大值()g a ，则(,)0f xa <恒成立⇔()0g a <，(,)0f x a ≤恒成立⇔()0g a ≤. 【变式演练1】已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）(21,e e e ⎤-⎦．（2）当0x ≤时，0,0x a e ax >-≥恒成立，当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即xe a x≤令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201ef f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用． 【变式演练2】已知函数2()22a f x ax a x-=++-(0)a >． （1）当1a =时，求函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；【答案】（1） 5440--=x y （2） 详见解析（3） [1,)+∞试题分析：（1）由导数几何意义得(2)f '为切线斜率 ，再根据点斜式求切线方程（2） 求函数单调性，先求函数导数：2'222(2)()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x ，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：（Ⅱ）函数的定义域为：{|0}≠x x2'222(2)()(0)-+-=-=>a ax a f x a a x x当02<≤a 时，'()0≥f x 恒成立，所以，()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增当2>a 时，令'()0=f x ，即：220+-=ax a ，1222,--=-=a a x x aa'()0,>f x 21;或><x x x x '()0,<f x 1200或<<<<x x x x ，所以，()f x 单调递增区间为22(,)(,)和---∞-+∞a a a a ，单调减区间为22(,0))和(0,---a a a a ．考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题 3.【2016高考江苏卷】已知函数错误！未找到引用源。

第7讲 函数图象一、选择题1．函数y ＝|x |与y ＝x 2＋1在同一坐标系上的图像为( )解析 因为|x |≤x 2＋1，所以函数y ＝|x |的图像在函数y ＝x 2＋1图像的下方，排除C 、D ，当x →＋∞时，x 2＋1→|x |，排除B ，故选A. 答案 A2．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．A ．2B ．4C ．6D ．8解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8. 答案 D3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )．A ．大于1B ．大于0C ．小于0D ．不大于0解析 分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，得到0<x 0<π2，且在区间(0，x 0)内，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x的图象位于函数y ＝tan x 的图象上方，即0<x <x 0时，f (x )>0，则f (t )>0，故选B. 答案 B4．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是( )．解析 当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C.答案 C5．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， ②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析 图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y ＝x 的图象，满足①. 答案 D6．如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为( )．解析 (1)当0<x <12时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ，由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI 的面积S ＝FG ×GH ＋12FI ×EF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12FI 2＝22x －32x 2，∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x 3－2x 2＋26，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D. (2)当12≤x <1时， 过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC 底面FGC 上的高h ＝EC sin 45°＝22(1－x )， ∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3，∴V ′(x )＝－2(1－x )2，又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，V ′(x )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴函数V (x )＝23(1－x )3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B ，应选A. 答案 A 二、填空题7．函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 函数y ＝11－x ＝－1x －1和y ＝2sin πx 的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y ＝11－x与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8. 答案 88．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2 x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．答案 (－1,0)9．设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．解析 在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f (x )取得最大值6.答案 6 10.已知函数f(x)=(12)x的图象与函数y=g(x)的图象关于直线y=x 对称，令h(x)=g(1-|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0； ④h(x)在(0，1)上为减函数.其中正确命题的序号为_________.(将你认为正确的命题的序号都填上) 解析 g(x)= 12log x,∴h(x)= 12log (1-|x|),∴h(x)= ()()1212log 1x 1x 0,log 1x 0x 1+-<≤⎧⎪⎨-<<⎪⎩，， 得函数h(x)的大致图象如图，故正确命题序号为②③.答案 ②③ 三、解答题11．讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k <0时，方程没有实数根； 当k ＝0或k <－1或k ≥1时，方程只有一个实数根； 当0<k <1时，方程有两个不相等的实数根．12．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标． 解析 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )， 代入f (x )＝x ＋1x，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．13．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围． 解 设f1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2) 时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，综合函数图象知显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1， ∴1＜a ≤2.∴a 的取值范围是(1,2]14．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}． 解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －，x ≥4，－x x －，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]． (4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．。

二、二次函数中的参数与恒成立问题一、选择题1．【甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式x 2－x +m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A. m>B. 0<m<1C. m>0D. m>1 【答案】CD. ∵m>1⇒m>14,所以m>1是“不等式x 2－x +m >0在R 上恒成立”的充分不必要条件，故D 错误； 故选C ；2．函数f(x)＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f(x)<0，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a<－4 C ．－4<a<0 D ．－4<a ≤0 【答案】D【解析】当a ＝0时，f(x)＝－1在R 上恒有f(x)<0； 当a ≠0时，∵f(x)在R 上恒有f(x)<0，∴，∴－4<a<0.综上可知：－4<a ≤0.3．设二次函数f （x ）=ax 2﹣4x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则的最小值为（ ）A ．3B ．C ．5D ．7 【答案】A【解析】由题意知，a ＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c ＞0，2040a a a <⎧⎨+<⎩则 则≥2×=3，当且仅当时取等号，则的最小值是 3．故选A ．4．【湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知函数，若对，均有，则的最小值为 （）C. D.【答案】A5．已知函数对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】原不等式等价于：结合恒成立的条件可得：则函数的最小值为：据此可得：实数的取值范围为.()()()22f x x xxax b =+++x R ∀∈()()2f x f x =-()f x 2-0()240f x x ax =-+≥(]0,1x ∈a (]0,1()0,5[)1+∞，(],5-∞a (],5-∞本题选择D 选项.6．【“超级全能生”浙江省高三3月联考】已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（ ）C. D.【答案】B7．【湖北省七市（州）高三3月联考】已知函数，且f(a 2−4)=f(2a −8)，则的最小值为( )A. 374B. 358 C. D. 274【答案】A【解析】因函数y =f(x)的对称轴为x =−a+82，故由题意可得a 2−4+2a−82=−a+82，即a 2+2a −12+a +8=0，也即a 2+3a −4=0，解之得a =−4或a =1（舍去），则f(x)=x 2+4x 。

专题.1 函数及其表示真题回放1. 【2017高考天津理第1题】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域B ，则A B =（ ）（A ）()1,2 （B ）(]1,2 （C ）()2,1- （D ）[)2,1- 【答案】D【解析】：由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故AB ={}|21x x -≤≤，选D【考点解读】1.集合的运算 2.函数定义域 3.简单不等式的解法，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图来处理2. 【2015高考湖北文第6题】函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）（A ）()2,3 （B ）(]2,4 （C ）()(]2,33,4 （D ）()(]1,33,6-【答案】C【考点解读】本题考察函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容 3. 【2015高考福建理第14题】若函数64,2()(01)3log ,2a x x f x a a x x -+≥≥⎧=>≠⎨+<⎩且的值域是[)4+∞，，则实数的取值范围是______ 【答案】(]12，【解析】：当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4+∞，，只需()1()3l o g2a f x x x =+>的值域包含于[)4+∞，，故1a >，所以1()3log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数的取值范围是(]12，【考点解读】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的两点，要注意分类讨论思想的运用 考点分析1.函数及其表示了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 了解映射的概念在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数 2.了解简单的分段函数并能简单的应用3.函数的概念、解析式、图像、分段函数的应用为高考主要考点，重点考查数形结合、分类讨论思想及逻辑推理能力，2018年复习时应予以高度关注. 融会贯通题型一 映射与函数的概念【例1】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()f x =③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A知识链接1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点： (1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应; (3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.要注意()f a 与()f x 的区别与联系，()f a 表示x a =时，函数()f x 的值，它是一个常数，而()f x 是自变量的函数，对于非常数函数，它是一个变量，()f a 是()f x 的一个特殊值.4.区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点.应注意理解其含义并准确使用.5.函数的表示方法有三种：解析法、图象法、列表法. 【变式训练】1.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．x x f -=2)(与2)(-=x x gC ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x ==【答案】A2.已知函数()23,f x x x A =-∈的值域为{1,1,3}-，则定义域A 为 . 【答案】{1,2,3}【解析】由函数定义，令()f x 分别等于1,1,3-，求对应自变量的值，即得定义域为{1,2,3}. 解题技巧与方法总结1.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”．2. 判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．3. 函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 题型二 函数的定义域问题典例1. (2017·南师大考前模拟)函数()f x =的定义域为 ▲ ．【答案】3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由题意得123log (23)0023122x x x -≥⇒<-≤⇒<≤，即定义域是3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【变式训练】(2017届河南南阳一中高三文月考)函数()lg(1)f x x =+的定义域为（ ）（A ）(1,0)(0,1]- （B ）(1,1]- （C ）(4,1]-- （D ）(4,0)(0,1]-【答案】A【解析】要使函数有意义，应有⎪⎩⎪⎨⎧≠+>+≥+--11,01,0432x x x x 解得01<<-x 或10≤<x ，故选A.解题技巧与方法总结已知解析式求函数定义域问题列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等角度出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式等联系在一起 典例2. (2016·福建福州五校联考理)已知函数(2)y f x =-定义域是[]0,4，则(1)1f x y x +=-的定义域是_________ 【答案】[)3,1-【变式训练1】已知函数()f x 的定义域为[]1,2-，求函数2(1)(1)y f x f x =+--的定义域【答案】由题意2112112x x -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，1x ≤ 【解析】求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域【变式训练2】(2016~2017学年广西陆川县中学月考)已知函数12(log )y f x =的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数(2)x y f =的定义域为（ ）A ．[]1,0-B ．[]0,2C ．[]1,2-D ．[]0,1 【答案】D解题技巧与方法总结（1）已知原函数()[](),f x a b f a x b << ()f x 的定义域为(),a b ，求复合函数[]()f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域；（2）已知复合函数[]()f g x 的定义域为(),a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域；（3）求函数()()y f x g x =+的定义域，一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 、B ，再求A B I ，即为所求函数的定义域典例3.已知函数()f x =R ，则实数的取值范围是（ ）（A ）120a -<≤ （B ）120a -<< （C ）13a > （D ）13a ≤ 【答案】A【解析】函数()f x =R ，只需分母不为即为，所以0a =或24(3)0a a a ≠⎧⎨∆=-⨯-<⎩，可得120a -<≤ 【变式训练】已知函数4()12f x x =-+的定义域是[],a b （,a b 为整数），值域是[]0,1，则所有满足条件的整数数对(),a b 所组成的集合为_____________ 【答案】()()()()(){}2,0,2,1,2,2,1,2,0,2----题型三 函数的值域问题 命题点1 求函数的值域 典例1.函数()=x f 25243x x -+的值域是 . 【答案】 (0，5]【解析】因为2x 2-4x+3=2(x-1)2+1≥1，所以0<212-43x x +≤1，所以0<y ≤5，所以值域为(0，5].典例2 求函数253)(-+=x x x f 的值域. 【答案】{}|3y y ≠【变式训练1】(2016·江苏省扬州市期末统考)函数221xx y =+()0x ≥的值域为 ． 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】函数221111212121x x x x x y +-===-+++110,21,212,0212x x x x ≥∴≥∴+≥∴<≤+Q 1111221x ∴≤-<+【变式训练2】(2016-2017学年黑龙江哈师大附中)函数()f x 的值域为 ． 【答案】[)1,1-解题技巧与方法总结分离常数法求值域步骤：第一步 观察函数()f x 类型，型如()ax bf x cx d +=+； 第二步 对函数()f x 变形成()a ef x c cx d=++形式；第三步 求出函数ey cx d=+在()f x 定义域范围内的值域，进而求函数()f x 的值域.典例3 求函数y x =+. 【答案】(,1]-∞【解析】令210,2t t x -=≥=，原函数化为()211022y t t t =-++≥，其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为，没有最小值，故值域为(,1]-∞. 解题技巧与方法总结换元法求值域：第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域. 典例4 (2016人教A 版双基双测)函数21xy x =+的值域为__________ 【答案】11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】法一：当0x =时，0y =当0x >时，21112,x x y x x +==+≥=当且仅当1x x =即1x =时取“=”，所以102y <≤当0x <时，211112,x x x y x x x +⎛⎫⎫==+=----=- ⎪⎪⎝⎭⎭当且仅当1x x -=-即1x =-时取“=”，所以102y -≤<综上1122y -≤≤法二：21x y x =+，所以20yx x y -+=有解当0y =时方程有解；当0y ≠时，由0≥V 可得2140y -≥，∴1122y -≤≤且0y ≠综上可知1122y -≤≤ 【变式训练1】已知52x ≥，求函数245()24x x f x x -+=- 的最小值.【答案】最小值为1【变式训练2】 若函数()y f x =的值域为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【变式训练3】(2016届浙江省杭州市学军中学高三5月模拟，理16)已知实数,a b R ∈,若223a ab b -+=, 则()22211ab a b +++的值域为 ．【答案】160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：222233233a ab b a b ab ab ab -+=⇒+=+≥⇒-≤≤()()2222211(3)9614ab ab t t a b ab t t++-===+-+++，其中4[1,7]t ab =+∈，所以9660t t +-≥=，当且仅当3t =时取等号，又当7t =时96t t +-取最大值167， 故值域为160,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：函数值域典例5求函数3274222++-+=x x x x y 的值域.【答案】9,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 2223(1)20x x x ++=++>Q ，所以函数的定义域为R原函数可以化为2223247x y xy y x x ++=+-，整理得：()222(2)370y x y x y -+-++=当2y ≠时，上式可以看成关于的二次方程，该方程的范围应该满足解题技巧与方法总结判别式法求函数值域：观察函数解析式的形式，型如22dx ex fy ax bx c++=++的函数，将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y 的取值范围，即得函数的值域. 【精要点评】配方法、分离常数法和换元法是求常见函数值域的有效方法，但要注意各种方法所适用的函数形式，还要注意函数定义域的限制.换元法多用于无理函数，换元的目的是进行化归，把无理式转化为有理式来解；二次分式型函数求值域，多采用分离出整式利用基本不等式法求解. 命题点2 已知函数定义域(值域)求参数的取值范围典例1 (2016-2017学年河北卓越联盟高一上学期月考三数学试卷)若函数244y x x =--的定义域为[]0,m ，值域为[]8,4--，则m 的取值范围是（ ）A ．()2,4B ．[)2,4 C ．(]2,4 D ．[]2,4【答案】D【解析】二次函数对称轴为2x =，当2x =时取得最小值8-，当0x =时函数值为4-，由对称性可知4x =时函数值为4-，所以m 的取值范围是[]2,4【变式训练】(2014届陕西省考前保温训练)函数2()46f x x x =--的定义域为[0]m ，，值域为[10,6]﹣﹣，则m 的取值范围是（ ）A ．0，4]B ．2，4]C ．2，6]D ．4，6]【答案】B典例2(江苏省南京师范大学附属中学2015-2016学年期中)已知函数()f x =的定义域是一切实数，则m 的取值范围是__________． 【答案】[]04，【解析】当0m =时，显然函数有意义，当0m ≠，则210mx mx ++≥对一切实数恒成立，所以0{m >∆≤，得04m <≤，综合得04m ≤≤点睛：本题在解题时尤其要注意对0m =时的这种情况的检验，然后根据二次函数大于等于零恒成立，只需开口向上0∆≤即可.【变式训练】(2015-2016浙江湖州中学高二期中，理14)已知函数2()lg(1)f x mx mx =++，若此函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ；若此函数的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】04m ≤< 4m ≥考点：对数函数定义域、值域.典例3 (2015-2016学年广西南宁八中高一上期末)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2]2b ，，则的取值为 ． 【答案】2；【解析】联系二次函数图象特点，注意函数在闭区间[2]2b ，是单调增函数． 解：函数21242y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，对称轴是2x =，∴函数在闭区间[2]2b ，上是单调增函数， 函数的定义域、值域都是闭区间[2]2b ， ∴2x b =时，函数有最大值2b ， ∴21422422b b b ⨯⨯+=﹣，∴1b =（舍去） 或2b =， ∴的取值为 2．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．【变式训练】(2017届江苏如东高级中学等四校高三12月联考)已知函数()224f x x x =-+定义域为[],a b ，其中a b <，值域[]3,3a b ，则满足条件的数组(),a b 为__________． 【答案】()1,4题型四 求函数的解析式典例1 (江西新余四中2016~2017月考)已知2(1)2f x x x +=-，求函数()f x 的解析式 【答案】2()43f x x x =-+【解析】令1x t +=，则1x t =-，求得()f t 的表达式，从而求得()f x 的解析式 考点：换元法求函数解析式【变式训练】(天津南大附中高一同步练习)已知，则的表达式是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】令1x t -=，得1x t =+ 因为2(1)45f x x x -=+-所以22()(1)4(1)56f t t t t t =+++-=+ 由此可得2()6f x x x =+典例2 (辽宁省阜新市2016~2017第一次月考)已知2(1)27f x x x -=-+，求()f x 的解析式【答案】2()6f x x =+【解析】由题意得2227(1)6x x x -+=-+，所以2(1)(1)6f x x -=-+，即2()6f t t =+ 【变式训练】(甘肃省武威第六中学2016~2017第一次月考)若函数()f x 满足(32)9+8f x x +=，则()f x 的解析式是（ ）（A ）()9+8f x x = （B ）()3+2f x x = （C ）()34f x x =-- （D ）()3234f x x x =+--或【答案】B【解析】由题意得(32)983(32)2f x x x +=+=++，所以()32f t t =+，即()32f x x =+ 考点：配凑法求函数解析式典例 3 (河南南阳一中2016级第一次月考)已知函数()y f x =满足1()2()3f x f x x=+，则()f x 的解析式为___________【答案】2()(0)f x x x x=--≠考点：解方程组法求函数解析式【变式训练】定义在(-1,1)内的函数()f x 满足()(-)()21f x f x lg x -＝＋，求函数()f x 的解析式． 【答案】21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈, 【解析】当(-11)x ∈,时，有()(-)()21f x f x lg x -＝＋①以x -代，得2(-)()lg(1)f x f x x -=-+②由①②消去f (－x )，得21()lg(1)+lg(1-),(-11)33f x x x x =+∈,典例4 (山东蒙阴一中2016级高一开学考)已知函数()f x 是一次函数，若(())48f f x x =+，求()f x 的解析式【答案】8()2()283f x x f x x =+=--或【分析】设一次函数()(0)f x ax b a =+≠，利用(())48f f x x =+，得出关于,a b 的关系式，即可求解,a b 的值，得出函数的解析式考点：待定系数法求函数解析式 【变式训练】已知[]{}()2713ff f x x =+，且()f x 是一次式，求()f x 的解析式【答案】()31f x x =+【分析】由题意可得，设()(0)f x kx b k =+≠ []2()()f f x k kx b b k x kb b ∴=++=++[]{}232()()2713ff f x k kx kb b b k x k b kb b x ∴=+++=+++=+32273113k k b k b kb b ⎧==⎧⎪∴⎨⎨=++=⎪⎩⎩ ∴()31f x x =+ 解题技巧与方法总结1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解．6.求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错． 题型三 分段函数典例1.【河北枣强中学2016~2017第一次月考】已知21,1()23,1x x f x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，则((2))f f =（ ） (A) -7 (B) 2 (C) -1 (D) 5 【答案】B【解析】由题意得2((2))(1)(1)12f f f =-=-+= 考点：函数值的求解【变式训练】(山东鄄城一中2016~2017调研)设[]3,10()(5),10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则(6)f 的值为_______ 【答案】7【分析】[](6)(65)((11))(8)f f f f f f =+==由(8)((85))(133)=(10)7f f f f f =+=-=典例2．(2015高考数学（理）一轮配套特训：2-1函数的概念、定义域和值域)设函数()f x ＝246,06,0x x x x x ⎧-+≥⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是( ) A ．(),1,)3(3-∞U ＋ B ．()3,1,()2∞U －＋ C ．()1,1,()3∞U －＋ D ．(),3()1,3∞U －－ 【答案】A典例3.【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则的取值范围为（ ）.(A)-1,2] (B)-1，0] (C)1，2] (D) [0,2] 【答案】D【考点】分段函数的单调性与最值问题．典例4.【2014高考重庆理第16题】若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）考点：1、分段函数；2、等价转换的思想；3、数形结合的思想. 典例 5.(安徽省六安市2016~2017第一中学)设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的的取值范围是_________【答案】23a ≥解题技巧与方法总结1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则． 知识交汇1.（北京第四中学2016~2017期中）已知函数()log ()xa f x a ka =-，其中01,a k R <<∈（1） 若1k =，求函数()f x 的定义域 （2） 若12a =，且()f x 在[)1,+∞内总有意义，求的取值范围 【答案】（1）{}|1x x >（2）1k <【交汇技巧】将定义域问题与对数函数的性质进行结合，需要注意对数函数的单调性及真数大于0；本题求参数取值范围采用参数分离，参数分离法求取值范围的原则为分离后不等式另一边函数的单调性、最值、值域等易求2. (江苏连云港房山中学月考)已知函数2()25(1)f x x ax a =-+> （1） 若函数()f x 的定义域和值域均是[]1,a ，求实数的值（2） 若对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数的取值范围 【答案】（1）=2 （2）13a <≤【解析】（1）Q 22()()5(1)f x x a a a =-+->∴()f x 在[]1,a 上是减函数，又定义域和值域均为[]1,a ∴(1),()1f a f a == 解得=2（2）若2a ≥，又[]1,1x a a =∈+，且(1)1a a a +-≤-∴2max min (1)62,()5f f a f f a a ==-==-∴对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤∴max min 4f f -≤即2(62)(5)4a a ---≤，解得13a -≤≤∴23a ≤≤若12a <<，22max min (1)6,()5f f a a f f a a =+=-==-max min 4f f -≤显然成立综上13a <≤练习检测1.下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( )①2Z N A B f x y x →＋＝，＝，：＝；②Z A B Z f x y →＝，＝，：； ③{}[11]00A B f x y →＝－，，＝，：＝ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B2.集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）．【答案】B【解析】选项A 中定义域为[]2,0-，选项C 的图像不是函数图像，选项D 中的值域不对，选B.3. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x，x ≥02－x，x ＜0(a ∈R )，若ff (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12 C ．1 D ．2 【答案】A【解析】因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以ff (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14。