§4 数列在日常经济生活中的应用学习目标1.理解单利、复利的含义(数学抽象)2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题(数学建模)必备知识·自主学习导思1.数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些?2.建立数学模型的关键是什么?1.三种常见的应用模型(1)零存整取:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(2)定期自动转存:例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.(3)分期付款:分期付款是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分期付清.数列在日常经济生活中的应用主要有哪些?提示:零存整取,定期自动转存,分期付款等.2.常用公式(1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和S=P(1+r)n.(2)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为r,对于时间x的总产值y=N(1+r)x.(3)单利公式:利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和为S=P(1+nr). 复利与单利的区别是什么?提示:(1)复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)银行的定期自动转存是复利计息方式. ( )(2)企业对某一项目投资,每年比上一年递增50万元,则各年的投资额构成等差数列.( )(3)企业对某一项目投资,每年比上一年递增10%,则各年的投资额也构成等差数列. ( ) 提示:(1)√.(2)√.(3)×.应是等比数列.2.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%,q%,则这两年的平均增长率是( )A.B.p%·q%C.D. -1【解析】选D.设该工厂最初的产值为1,这两年的平均增长率为r,则(1+p%)(1+q%)=(1+r)2. 于是r=-1.3.我国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长(寸)135 125.115.1105.295.385.475.5节气清明(白露) 谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长(寸)65.5 55.645.735.825.916.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸.【解析】设晷影长为等差数列{a n},公差为d,a1=130.0,a13=14.8,则130.0+12d=14.8,解得d=-9.6.所以a6=130.0-9.6×5=82.0.所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸.答案:82.04.(教材二次开发:习题改编)2020年5月小刘在中国银行存入10万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息为万元.(精确到0.001)【解析】10年后的本息a10=10×(1+0.022 5)10≈12.492(万元).答案:12.492关键能力·合作学习类型一等差数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1 350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为( )A.953分B.1 052分C.1 151分D.1 250分【思路导引】首先“冬至”时日影长度最大,为1 350分,“夏至”时日影长度最小,为160分,即可求出d=-,进而求出立春”时日影长度为1 052分.【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.所以1 350+12d=160,解得d=-,所以“立春”时日影长度为1 350+×3=1 052(分).等差数列模型的判定(1)认真审题:解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.(2)抓住关键:若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.(3)常见问题:银行的单利计息;出租车费用;电话计费等.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套住房实际花了多少钱?【解析】因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意分20次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{a n}.则a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,…所以a n=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N+).所以{a n}是以60为首项,-为公差的等差数列.所以a10=60-9×=55.5.所以第10个月应付55.5(万元).a20=60-19×=50.5.所以S20=×(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1 105.所以实际共付1 105+150=1 255(万元).类型二等比数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】(2020·安福高一检测)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是( )A. B.C. D.【思路导引】根据题意建立方程a=x+x++…+x,再结合等比数列求和公式,即可求出x的值.【解析】选 D.设每年偿还的金额为x,则a=x+x+x+ (x)所以a=x,解得x=.等比数列模型的判定(1)复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式为:本利和=本金×(1+利率)n.定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用.(2)在数列应用题中,通过阅读题目题意,发现a n+1与a n之间的关系满足=q (q为常数,且q ≠0),则数列{a n}为等比数列.所以这一类题目可用等比数列的模型解决.某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问:每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594)【解析】设每年还款x万元,则每年还款后的余额为:第一年:20×(1+10%)-x,第二年:(20×1.1-x)×1.1-x=20×1.12-(1.1+1)x,第三年:[20×1.12-(1.1+1)x]×1.1-x=20×1.13-(1.12+1.1+1)x,第n年:20×1.1n-(1.1n-1+1.1n-2+…+1.1+1)x.a n=20×1.1n-x=20×1.1n-x,十年还清,即十年以后余额为零,所以20×1.110-x=0,x=≈3.255(万元)答:如果10年还清,每年应还约3.255万元.类型三等差数列、等比数列的综合应用(逻辑推理、数学建模)【典例】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案,一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案,每年贷款1万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前年多获利5千元.两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息按年息10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精确到千元,1.110≈2.594,1.310≈13.786)【思路导引】分清两种方案分别属于什么数列模型,然后分别建立不同数列模型解决.【解析】方案甲:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9,所以S10=≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1+10%)10=10×1.110≈25.94(万元),甲方案净获利42.62-25.94≈16.7(万元).乙方案获利构成等差数列,首项为1,公差为,前10项和为T10=1+++…+==32.50(万元),而贷款本息总数为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=1.1×≈17.53(万元),乙方案净获利32.50-17.53≈15.0(万元).比较两方案可得甲方案获利较多.将实际问题转化为数列问题的注意事项(1)分清是等差数列还是等比数列.(2)分清是求a n,还是求S n,特别要准确确定项数n.(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式.甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式,(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?【解析】(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n,b n.则有a1=a,当n≥2时,a n=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a,所以a n=b n=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(b n-b n-1)=a(n∈N+).(2)易知b n<3a,所以乙超市将被甲超市收购,由b n<a n,得a<(n-1)a.所以n+4>7,所以n≥7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.课堂检测·素养达标1.某工厂总产值月平均增长率为p,则年平均增长率为( )A.pB.12pC.(1+p)12D.(1+p)12-1【解析】选D.设原有总产值为a,年平均增长率为r,则a(1+p)12=a(1+r),解得r=(1+p)12-1.2.通过测量知道,温度每降低6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27℃时,该元件的电子数目接近( )A.860个B.1 730个C.3 072个D.3 900个【解析】选C.由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得a11=3·210=3 072.3.(教材二次开发:习题改编)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是( )A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月【解题指南】现根据题意得到第n个月时的需求量,再由需求量大于5得到n的范围,进而得到结果.【解析】选 C.日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12),则第n个月的需求量a n=S n-S n-1=>5⇒3n2-45n+27×6<0,n2-15n+54<0,6<n<9.4.一个热气球在第一分钟上升了25米的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125米吗?【解析】用a n表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得a n+1=a n,因此,数列{a n}是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为:S n=a1+a2+…+a n===125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125米.。
