数学基础知识例题
数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案
例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12
211
=---n n n n S S 设n
n n S b 2
= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2
3
22111===
a S
b , ∴
21
2
+=n S n
n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 212)32(--+=-=n n n n n S S a ∴⎩⎨⎧⋅+=-2
2
)32(3n n n a (1)(2)n n =≥,1
2)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11
1
-+-=n n a n n a
∵11=a ,∴312=a ,31423⨯=a ,3142534⨯⨯=a ,3
1
4253645⨯⨯⨯=a ,
∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=⨯⨯⋅-+⨯⨯⨯⋅--=n n n n n n n a n ΛΛ,∴122+==n n
a n S n n .
例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++=
n n n n n a n Λ∴12)111(2)111()3
1
21()211(2+=
+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-=n n n n n S n Λ 例5.A
例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ΛΛ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132ΛΛ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211ΛΛ，
当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n
n n -++-=-+--=---=-++1111111111∴()()
21111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2
14321n n n S n +=++++=ΛΛ 例7.C 例8.192 例9.C
例10. 解：14582
54
54255358-=-⨯
=⋅==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-⨯=a ∴14588-=a
例11.D 例12.C
例13.解：12311=-==S a ,
当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n
例14. 解一：设首项为1a ，公差为d
则⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
=
⨯⨯+⨯⨯++=⨯+1732225662256)(635421112121
11d
a d d a d a 5=⇒d
解二：⎪⎩⎪
⎨⎧==+2732354
奇偶偶奇S S S S ⎩⎨⎧==⇒162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=⇒d
例15. 解：∵109181a a a a =，∴205
100
110918===
a a a a 例16. 解题思路分析：
法一：利用基本元素分析法
设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151
76772
151415752
S a d S a d ⨯⎧
=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩∴ 121a d =-⎧⎨=⎩
∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15
2222
n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数
∴ {n S n
}为等差数列∴ 21944n T n n =-
法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2
+Bn ∴ 2
72
157********
S A B S A B ⎧=⨯+=⎪⎨=⨯+=⎪⎩ 解之得：12
5
2
A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 21522n S n n =-，下略
注：法二利用了等差数列前n 项和的性质
例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ②
由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9
5
=a 从而5=q 或13
∴原来三个数为2,10,50或9
338
,926,92
例18.70
例19. 解题思路分析：
∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列
∴ b 1b 3=b 22,∴ b 23=81,∴ b 2=21,∴ 1312178
14
b b b b ⎧
+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴ 13218b b =⎧⎪⎨=⎪⎩或 12182b b ⎧=⎪⎨
⎪=⎩ ∴ 13212()24n n n b --== 或 1251
428n n n b --=⋅=
∵ 1
()2n a n b =,∴ 12
log n n a b =,∴ a n =2n -3 或 a n =-2n +5
例20. 2392
n n
+
