重点高中数学数列知识点总结
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定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+-
等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；
（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，，
（4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121
m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）
n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，
即：当100a d ><，，解不等式组100
n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1
00n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ
nd S S =-奇偶，1
+=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}
n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，
n a S S =-偶奇，
1-=n n S S 偶奇.
定义：1n n
a q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G xy =±.
前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q
=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！） 性质：{}n a 是等比数列
（1）若m n p q +=+，则m
n p q a a a a =·· （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
注意：由n S 求n a 时应注意什么？
1n =时，11a S =；
2n ≥时，1n n n a S S -=-.
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列{}n a ，12211125222
n n a a a n +++=+……，求n a
（2）叠乘法
如：数列{}n a 中，1131
n n a n a a n +==+，，求n a
（3）等差型递推公式
由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法
［练习］数列{}n a 中，()11113
2n n n a a a n --==+≥，，求n a （()1312n n a =-）
（4）等比型递推公式
1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，） 可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+-
令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列 ∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭
（5）倒数法 如：11212
n n n a a a a +==
+，，求n a
附： 公式法、利用{1(2)1(1)
n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或
1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
) 4. 求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111n
k k k a a =+∑
（2）错位相减法
若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.
如：2311234n n S x x x nx -=+++++……
① ()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
②
①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-…… 1x ≠时，()()2111n n n x nx S x x -=---，1x =时，()11232
n n n S n +=++++=…… （3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭
…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++…… ［练习］已知2
2()1x f x x
=+，则 111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(附： a.用倒序相加法求数列的前n 项和
如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
b.用公式法求数列的前n 项和
对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n 项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。
d.用错位相减法求数列的前n 项和
错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a n ·b n }中，{a n }成等差数列，{b n }成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。
e.用迭加法求数列的前n 项和
迭加法主要应用于数列{a n }满足a n+1=a n +f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成a n+1-a n =f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出a n ，从而求出S n 。
f.用分组求和法求数列的前n 项和
所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可
