徐汇区2010学年第一学期初三年级数学学科

2010学年第二学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷2011.4（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列运算正确的是（ ▲ ）A ．224a a a +=； Ba =（a 为实数）； C ．a a a =÷23； D ．()532a a =．2．汶川地震时温总理曾说：“多么小的问题，乘13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿，都会变得很小．”预计到2011年年末，我国人口总量约达1 400 000 000人，若每人每天浪费0.5升水，全国每天就浪费水（ ▲ ）A ．7×108升；B ．7×109升；C ．6.5×108升；D ． 6.5×109升．3．一次函数32y x =-+的图像一定不经过（ ▲ ）A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限． 4．如图，小明为了测量其所在位置A 点到河对岸B 点之间的距离，沿AB 垂直的方向走了10米，到达点C ，测得∠ACB ＝α，那么AB 的长为（ ▲ ）A ．a cos 10米；B ． a sin 10米；C ．10cot a 米；D ． a tan 10米． 5． 一次体育课上,15名男生跳高成绩如下表，他们跳高成绩的中位数和众数分别是( ▲ )A ．3, 5；B ．1.65, 1.65；C ．1.70, 1.65；D ．1.65, 1.70．6. 如图，将边长为3的等边ABC ∆沿着BA →平移，则'BC 的长为（ ▲ ）A B ． C ． D ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．在直角坐标平面内，点(2,1)A -关于y 轴的对称点'A 的坐标是 ▲ ． 8．函数y =x 的取值范围是 ▲ ．9．分解因式：228a -=__ ▲__．10．方程2422x x x =++的解是 ▲ ．11．若方程20x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ▲ ．C'A'C B第6题12．抛物线22y x =-向左平移2个单位,向上平移1个单位后的抛物线的解析式是 ▲ ．13．布袋中有除颜色以外完全相同的8个球，3个黄球，5个白球， 从布袋中随机摸出一个球是白球的概率为 ▲ ．14. 一次函数b kx y +=的图像如图所示，当y >0时，x 的取值范围是 ▲． 15．如图，把一块直角．．三角板放在直尺的一边上，如果∠2＝65°，那么∠1＝ ▲． 16．Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若4ABC ABD S S ∆∆=, 则ABBC= ▲ ． 17．如图，在直角坐标平面内，ABO △中，90ABO ∠= ,30A ∠=，1=OB ，如果ABO △绕原点O 按顺时针方向旋转到OA B ''的位置，那么点B '的坐标是 ▲ ．18．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点．．上（小正方形的顶点）．P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与△ABC 相似, 写出所有．．符合条件的三角形三、（本大题共7题，19~22题每题10分，23~24题每题12分，25题14分，满分78分） 19. 127219⎛⎫--+ ⎪⎝⎭tan 60︒20．先化简再求值：22693216284a a a aa a a +++÷---+，其中45a =.21．（本题满分10分，第（1）题6分，第（2）、（3）题各2分）作为国际化的大都市，上海有许多优秀的旅游景点.某旅行社对4月份本社接待的2000 名外地游客来沪旅游的首选景点作了一次调查（1）填上频数和频率分布表中空缺的数据,（2）由于五一黄金周、6月高三学生放假，该社接待外来旅游的人数每月比上月按,60%的速度增长，预计该旅行社64月份来沪游客旅游首选景点的频数分布表 x月将接待外地来沪的游客的人数是 ▲ ．(3) 该旅行社预计10月黄金周接待外地来沪的游客将达5200人,请你估计首选景点是外滩的人数约是 ▲ ．22． （本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，正方形ABCD 中， M 是边BC 上一点，且B M =14BC . （1） 若,→→=a AB ,→→=b AD 试 用 ,→a →b 表 示 →DM ； （2） 若AB=4，求sin ∠AMD 的值.23．（本题满分12分，第（1）题7分，第（2）题5分）如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ． （1）证明：直线FC 与⊙O 相切；（2）若BG OB =，求证：四边形OCBD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）、（2）题各6分）如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ， D 为OC 的中点，直线AD 交抛物线于点E （2，6），且△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2．（1）求直线AD 和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点F ，点Q 为直线AD 上一点，且△ABQ 与△ADF 相似，直接写出．．．．点Q 点的坐标．25.（本题满分14分，第（1）题4分，第（2）题4在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥AD ，AB=4，为圆心，BE 为半径画⊙E 交直线DE 于点F ．(1) 如图，当点F 在线段DE 上时，设BE x =，并写出自变量x 的取值范围；(2) 当以CD 直径的⊙O 与⊙E 与相切时，求x (3) 联接AF 、BF ，当△ABF 是以AF 为腰的等腰三角形时，求x 的值。

第一套 上海市浦东新区2010年九年级数学中考模拟试题考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．计算23)()(a a -⋅-的正确结果是 （A ）5a ；（B ）5a -；（C ）6a ；（D ）6a -．2．如果二次根式5+x 有意义，那么x 的取值范围是 （A ）x ＞0；（B ）x ≥0；（C ）x ＞-5；（D ）x ≥-5．3．用配方法解方程0142=+-x x 时，配方后所得的方程是（A ）1)2(2=-x ； （B ）1)2(2-=-x ； （C ）3)2(2=-x ； （D ）3)2(2=+x ． 4．木盒里有1个红球和1个黑球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 （A ）21； （B ）31； （C ）41； （D ）32． 5．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，a AB =，b AD =，那么b a 2121+等于（A ）AO ； （B ）AC ； （C ）BO ； （D ）CA ．6．在长方体ABCD -EFGH 中，与面ABCD 平行的棱共有 （A ）1条；（B ）2条； （C ）3条； （D ）4条．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．-4的绝对值等于 ▲ ． 8．分解因式：822-x = ▲ ． 9．方程23=-x 的根是 ▲ ． 10．如果函数11)(+=x x f ，那么)2(f = ▲ ．C（第5题图）C G（第6题图）11．如果方程0)12(22=+--m x m x 有两个实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ． 12．如果正比例函数的图像经过点（2，4）和（a ，-3），那么a 的值等于 ▲ ． 13．一台组装电脑的成本价是4000元，如果商家以5200元的价格卖给顾客，那么商家的盈利率为 ▲ ．14．已知梯形的上底长为a ，中位线长为m ，那么这个梯形的下底长为 ▲ ． 15．已知正六边形的边长为6，那么边心距等于 ▲ ．16．在Rt △ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC ，交边BC 于点D ，如果BD =2，AC =6，那么△ADC 的面积等于 ▲ ． 17．已知在△ABC 中，AB =AC =10，54cos =C ，中线BM 与CN 相交于点G ，那么点A 与点G 之间的距离等于 ▲ ．18．已知在△AOB 中，∠B =90°，AB =OB ，点O 的坐标为（0，0），点A 的坐标为（0，4），点B 在第一象限内，将这个三角形绕原点O 逆时针旋转75°后，那么旋转后点B 的坐标 为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：2012327223）（）（）（-+---．20．（本题满分10分）解方程：2322x x xx --=-．21．（本题满分10分，其中每小题各2分）为迎接2010年上海世博会的举行，某校开展了“城市让生活更美好”世博知识调查活动，为此，该校在六年级到九年级全体学生中随机抽取了部分学生进行测试，试题共有10题，每题10分，抽测的学生每人至少答对了6题，现将有关数据整理后绘制成如下“年级人数统计图”和尚未全部完成的“成绩情况统计表”．根据图表中提供的信息，回答下列问题： （1）参加测试的学生人数有 ▲ 名； （2）成绩为80分的学生人数有 ▲ 名； （3）成绩的众数是 ▲ 分； （4）成绩的中位数是 ▲ 分；（5）如果学校共有1800名学生，那么由图表中提供的信息，可以估计成绩为70分的学生人数约有 ▲ 名．年级六 七 八 九 年级人数统计图成绩情况统计表22．（本题满分10分）小明不小心敲坏了一块圆形玻璃，于是他拿了其中的一小块到玻璃店去配同样大小的圆形玻璃（如图），店里的师傅说不知圆形玻璃的大小不能配，小明就借了一把尺，先量得其中的一条弦AB 的长度为60厘米，然后再量得这个弓形高CD 的长度为10厘米，由此就可求得半径解决问题．请你帮小明算一下这个圆的半径是多少厘米．23．（本题满分12分，其中每小题各6分）已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AM =DM ． 求证：（1）AE =AB ；（2）如果BM 平分∠ABC ，求证：BM ⊥CE ．24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 是点A 关于原点的对称点，P 是函数)0(2>=x xy 图像上的一点，且△ABP 是直角三角形．（1）求点P 的坐标；（2）如果二次函数的图像经过A 、B 、P 三点，求这个二次函数的解析式；（3）如果第（2）小题中求得的二次函数图像与y 轴交于点C ，过该函数图像上的点C 、点P 的直线与x 轴交于点D ，试比较∠BPD 与∠BAP 的大小，并说明理由．25．（本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）如图，已知在矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，P 是边BC 延长线上的一点，联接AP 交边CD 于点E ，把射线AP 沿直线AD 翻折，交射线CD 于点Q ，设CP =x ，DQ =y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（2）当点P 运动时，△APQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ 的面积S 关于x 的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由．（3）当以4为半径的⊙Q 与直线AP 相切，且⊙A 与⊙Q 也相切时，求⊙A 的半径．2010年浦东新区中考数学预测卷ABCDEM（第23题图）ABCD（第22题图）ABCQ D （第25题图）PE（第24题图）参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．C ； 5．A ； 6．D ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．4； 8．()()222+-x x ； 9．1-=x ； 10．12-； 11．41≤m ； 12．23-；13．30 %； 14．a m -2； 15．33 ； 16．6； 17．4； 18．（2-，6）．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式121219-++=………………………………………………………………（8分） 211-=．………………………………………………………………………（2分）20．解：设y xx =-2，则yx x 323=-．……………………………………………………（1分）∴原方程可化为23=-yy ．……………………………………………………（1分）整理，得0322=--y y ．………………………………………………………（1分） ∴31=y ，12-=y ．……………………………………………………………（2分） 当31=y 时，即32=-x x ．∴1-=x ．…………………………………………（2分） 当12-=y 时，即12-=-xx ．∴1=x ．………………………………………（2分）经检验：11-=x ，12=x 都是原方程的解．……………………………………（1分） ∴原方程的解是 11-=x ，12=x ．另解：去分母，得)2(23)2(22-=--x x x x ．………………………………………（4分）整理，得 012=-x ．…………………………………………………………（3分） 解得 11-=x ，12=x ．……………………………………………………（2分） 经检验：11-=x ，12=x 都是原方程的解．……………………………………（1分） ∴原方程的解是 11-=x ，12=x ．21．解：（1）120；（2）36；（3）90；（4）90；（5）270．……………………（每题各2分）22．解：设此圆的圆心为点O ，半径为r 厘米．联结DO 、AO ．则点C 、D 、O 在一直线上．可得OD =（10-r ）cm ．……（1分）由题意，得AD =30厘米．………………………………………………………（3分）∴ ()2221030-+=r r ．…………………………………………………………（3分） 解得 50=r ．……………………………………………………………………（2分） 答：这个圆的半径是50厘米．………………………………………………………（1分） 23．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．……………（2分） ∴∠E =∠ECD ．……………………………………………………………（1分） 又∵AM =DM ，∠AME =∠DMC ，∴△AEM ≌△DCM ．………………（1分） ∴CD =AE ．…………………………………………………………………（1分） ∴AE =AB ．…………………………………………………………………（1分） （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∴∠AMB =∠MBC ．………………………………………………………（1分） ∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM =∠MBC ．………………………………（1分） ∴∠ABM =∠AMB ．∴AB =AM ．…………………………………………（1分） ∵AB =AE ，∴AM =AE ．…………………………………………………（1分） ∴∠E =∠AME ．…………………………………………………………（1分） ∵∠E ＋∠EBM ＋∠BMA ＋∠AME ＝180°，∴∠BME ＝90°，即BM ⊥CE ．…………………………………………（1分）24．解：（1）由题意，得点B 的坐标为（2，0）．………………………………………（1分）设点P 的坐标为（x ，y ）．由题意可知 ∠ABP ＝90°或∠APB ＝90°．（i ）当∠ABP ＝90°时，2=x ，1=y ．∴点P 坐标是（2，1）．……（1分）（ii ）当∠APB ＝90°时，222AB PB PA =+，即()()16222222=+-+++y x y x ．……………………………………（1分）又由xy 2=，可得2±=x （负值不合题意，舍去）．当2=x 时，2=y ．∴点P 点坐标是（2，2）．………………（1分）综上所述，点P 坐标是（2，1）或（2，2）．（2）设所求的二次函数的解析式为)0(2≠++=a c bx ax y ．（i ）当点P 的坐标为（2，1）时，点A 、B 、P 不可能在同一个二次函数图像上．……………………………………………………………………………（1分）（ii ）当点P 的坐标为（2，2）时，代入A 、B 、P 三点的坐标，得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=.222,240,240c b a c b a c b a …………………………………………………（1分）解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.22,0,22c b a ……………………………………………………………（1分）∴所求的二次函数解析式为22222+-=xy ．………………………（1分）（3）∠BPD =∠BAP ．……………………………………………………………（1分）证明如下：∵点C 坐标为（0，22），………………………………………………（1分）∴直线PC 的表达式为 22+-=x y ．∴点D 坐标为（22，0）．………………………………………………（1分） ∴PD =2，BD =222-，AD =222+．∴122222-=-=PDBD ，122222-=+=ADPD ，∴ADPD PDBD =．∵∠PDB =∠ADP ，∴△PBD ∽△APD ．…………………………………（1分）∴∠BPD =∠BAP ．另证：联接OP ．∵∠APB ＝90°，OA =OB ，∴OP =OA ．∴∠APO =∠PAO ．又∵点C 坐标为（0，22），……………………………………………（1分）∴直线PC 的表达式为 22+-=x y ．∴点D 坐标为（22，0）．………………………………………………（1分） ∴OC =OD ．∵点P 的坐标为（2，2），∴PC =PD ．∴OP ⊥CD ．∴∠BPD =∠APO ．…………………………………………………………（1分） ∴∠BPD =∠BAP ．25．解：（1）在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴∠APB =∠DAP ．又由题意，得∠QAD =∠DAP ，∴∠APB =∠QAD ．∵∠B =∠ADQ =90°，∴△ADQ ∽△PBA ．………………………………（1分） ∴BPAD ABDQ =，即443+=x y ．∴412+=x y ．………………………………………………………………（1分）定义域为0>x ．……………………………………………………………（1分）（2）不发生变化．…………………………………………………………………（1分） 证明如下：∵∠QAD =∠DAP ，∠ADE =∠ADQ =90°，AD =AD ， ∴△ADE ≌△ADQ ．∴DE =DQ =y ．………………………………………………………………（1分）∴124124482121=+++=⋅+⋅=+=∆∆x x x PC QE AD QE S S S PQE AQE ．…（3分）（3）过点Q 作QF ⊥AP 于点F ．∵以4为半径的⊙Q 与直线AP 相切，∴QF =4．…………………………（1分） ∵12=S ，∴AP =6．………………………………………………………（1分） 在Rt △ABP 中，∵AB =3，∴∠BPA =30°．…………………………………………………（1分） ∴∠PAQ =60°．∴AQ =338．………………………………………………………………（1分）设⊙A 的半径为r ．∵⊙A 与⊙Q 相切，∴⊙A 与⊙Q 外切或内切． （i ）当⊙A 与⊙Q 外切时，AQ =r +4，即338=r +4．∴r =4338-．………………………………………………………………（1分）（ii ）当⊙A 与⊙Q 内切时，AQ =r -4，即338=r -4．∴r =4338+ 综上所述，⊙A 的半径为4338-或4338+．第二套 上海市普陀区22010年九年级数学中考模拟试题2010.4（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：所有答案务必按照规定在答题纸上完成，写在试卷上不给分一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．下列二次根式中，（ ）.(B) ；； .2. 两条对角线互相垂直平分的四边形是………………………………………………（ ）.(A) 等腰梯形； (B) 菱形； (C) 矩形； (D) 平行四边形.3．下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是……………………………………（ ）. （A ）都含有一个30°的内角； （B ）都含有一个45°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个80°的内角．4．如果一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）.(A) 1k ≥； (B) 1k ≤； (C) 1k >； (D) 1k <.5．如右图，△ABC 中，D 是边BC 的中点，BA a = ，AD b = ，那么BC等于…（ ）.（A ）a +b ； （B ）12（a +b ）；（C ）2（a +b ）； （D ）—（a +b）．6. 气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此消息，下面几种说法正确的是…（ ）.(A) 本市明天将有80%的地区降水； (B) 明天降水的可能性比较大； (C) 本市明天降有80%的时间降水； (D) 明天肯定下雨.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：23(2)a a ⋅= .ADBC 第5题第21题8．生物学家发现一种病毒的长度约为0.0043mm ，用科学记数法表示为 = mm . 9．当a=2时，1a -= ．10．不等式组24,50x x >-⎧⎨-<⎩的解集是 .11．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有一根为零的条件是 .12．将图形（右）绕中心旋转180°后的图形是 （画出图形）． 13．函数y =的定义域是 .14. 已知一次函数3y kx =+的图像与直线2y x =平行，那么此一次函数的解析式为 .15．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，如果∠A=5∠B ，那么∠B= 度.16. 在四边形ABCD 中，如果AB ∥CD ，AB=BC ，要使四边形ABCD 是菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 .17．如果一斜坡的坡度为i 10米，那么物体升高了米.18．中心角是40°的正多边形的边数是 .三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分， 满分78分） 19．化简：1(1)11a a a -÷++.20．解方程组：2224,2 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩21．如图，在平行四边形ABCD 中，点G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ， 如果AB=m ，CG =12BC ，求：（1）DF 的长度；（2）三角形ABE 与三角形FDE 的面积之比.第12题22. 如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请加以证明．23．为了引导学生树立正确的消费观，某机构随机调查了一所小学100名学生寒假中使用零花钱的情况（钱数取整数元），根据调查制成了频率分布表，如下：(1)补全频率分布表；(2)使用零化钱钱数的中位数在第组；(3)此机构认为，应对消费200元以上的学生提出勤俭节约的建议，那么应对该校800名学生中约名学生提出此项建议．24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点A的坐标为（2，2），点B、C在x轴上，BC=8，AB=AC，直线AC与y轴相交于点D．1）求点C、D的坐标；2）求图象经过B、D、A三点的二次函数解析式及它的顶点坐标．25．如图，已知Sin∠ABC=13，⊙O的半径为2，圆心O在射线BC上，⊙O与射线BA相交于E、F两点，EF=组别分组频数频率1 0.5—50.5 0.12 50.5—100.5 20 0.23 100.5—150.54 150.5—200.5 305 200.5—250.5 106 250.5—300.5 5合计（1） 求BO 的长；（2） 点P 在射线BC 上，以点P 为圆心作圆，使得⊙P 同时与⊙O 和射线BA 相切， 求所有满足条件的⊙P 的半径.BC 上2009学年度第二学期普陀区九年级质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(A) ； 2．(B) ； 3．(C)； 4．(D) ； 5．(C) ； 6．(B) .二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 45a ； 8. 34.310-⨯； 9. 1；10. 25x -<<； 11. c =0； 12． ；13．2x ≠； 14．23y x =+； 15． 30； 16．AB =CD 等； 17．5 ； 18． 9． 三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．解: 原式=1()(1)11a a a a a +-+++ …………………………………………………………4′（各2分）=(1)a a -+ …………………………………………………………………………………2′=1a a -- ……………………………………………………………………………………2′=1-. ………………………………………………………………………………………2′第21题20．2224,(1)2 1.(2)x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩解： 由（2）式得到：2()1x y -=，…………………………………………………………………………1′再得到1x y -=或者1x y -=-，……………………………………………………………1′与（1）式组成方程组：24,1.x y x y +=⎧⎨-=⎩或24,1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩……………………………………………3′ 解得：112,1.x y =⎧⎨=⎩，222,35.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………………………………4′ 经检验，原方程组的解是：112,1.x y =⎧⎨=⎩，222,35.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………………………1′ 21．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=m ，AB ∥CD ． ………………………………2′∵CG =12BC ，∴CG =13BG ，………………………………………………1′∵AB ∥CD ，∴C F C G A BB G=．…………………………………………………………………………………1′∴13C F m =， …………………………………………………………………………………1′∴23D F m =．…………………………………………………………………………………1′(2)∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△FDE ，………………………………………………………………………………2′∴239()24ABE FD ES S ∆∆==. …………………………………………………………………………2′∴ 三角形ABE 与三角形FDE 的面积之比为9∶4.22．证明：(1) ∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ， ………………………………………1′ ∴∠ADC =90°．∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1=12∠BAC ，…………………………………1′ 同理：∠2=12∠MAC ．…………………………………1′∵∠BAC +∠MAC=180°． ∴∠1+∠2=90°．即∠EAD =90°． …………………………………1′ ∵CE ⊥AN ，∴∠AEC =90°． …………………………………1′ ∴四边形ADCE 是矩形．…………………………1′（2）当△ABC 是等腰直角三角形时，四边形ADCE 是一个正方形．……………………………1′A CD EM N第22题12证明：∵∠BAC =90°，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 是斜边BC 上的中线，∴AD=DC ．……………………………………………………………………………………1′ ∵四边形ADCE 是矩形， …………………………………………………………………1′∴四边形ADCE 是正方形．…………………………………………………………………1′23．解：（1）见右，每个数1分，共8分；（2） 3；…………………………………………2′ （3）120．…………………………………………2′24．解：（1）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ．…………1′∵点A 的坐标为（2，2），∴点E 的坐标为（2，0∵AB=AC ，BC =8，∴BE=CE ， ……………………………………1′点B 的坐标为（-2，0）， 点C 的坐标为（6，0组别 分 组频数 频率1 0.5—50.5 102 50.5—100.53 100.5—150.5 250.25 4 150.5—200.50.3 5 200.5—250.50.1 6250.5—300.50.05 合 计1001设直线AC 的解析式为：y kx b =+（0k ≠）， 将点A 、C 的坐标代入解析式，得到： 132y x =-+．………………………1′∴点D 的坐标为（0，3）． …………………1′（2）设二次函数解析式为：2y ax bx c =++（0a ≠）， ∵ 图象经过B 、D 、A 三点，∴4230,423 2.a b a b -+=⎧⎨++=⎩…………………………………………………………………2′解得：1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………………………………1′∴此二次函数解析式为：211322y x x =-++． ………………………1′顶点坐标为（12，138）． ………………………………………………1′25．（1）解：联接EO ，过点O 作OH ⊥BA 于点H . ………………2′∵EF=EH………………………………1′∵⊙O 的半径为2，即EO =2，∴OH=1. …………………………………………………1′在Rt△BOH 中，∵Sin∠ABC=13，………………………………………1′∴BO=3. …………………………………………………1′（2） 当⊙P与直线相切时，过点P 的半径垂直此直线. …………………………………………1′（a ）当⊙P 与⊙O 外切时，DCFABO第25题E GH①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，…………………………………………………1′Sin∠ABC=113PPrr=-，得到：14Pr=；………………………………1′②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，Sin∠ABC =133PPrr=+，得到：52Pr=. ………………………………1′(b) 当⊙P与⊙O内切时，①⊙P与⊙O切于点D时，⊙P与射线BA相切，……………………………1′Sin∠ABC =113PPrr=+，得到：12Pr=；………………………………1′②⊙P与⊙O切于点G时，⊙P与射线BA相切，Sin∠ABC =153PPrr=-，得到：54Pr=. ………………………………1′综上所述：满足条件的⊙P的半径为14、52、12、54.……………………1′第三套 2010年松江区初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列计算中，正确的是（A ）532a a a =+； （B ）632a a a =⋅； （C ）532)(a a =； （D ）222532a a a =+． 2．在方程x 2＋xx 312-＝3x －4中，如果设y ＝x 2－3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是（A ）0142=-+y y ； （B ）0142=+-y y ； （C ）0142=++y y ；（D ）0142=--y y ．3．如果反比例函数x k y 12-=的图像在每个象限内y 随x 的增大而增大，那么k 的取值范围是 （A ）21>k ； （B ）21<k ； （C ）0>k ； （D ）0<k ．4．如果将二次函数12-=x y 的图像向左平移2个单位，那么所得到二次函数的图像的解析式是（A ）12+=x y ；（B ）32-=x y ； （C ）1)2(2--=x y ； （D ）1)2(2-+=x y ．5．下列命题中，正确的是（A ）正多边形都是轴对称图形； （B ）正多边形都是中心对称图形；（C ）每个内角都相等的多边形是正多边形； （D ）正多边形的每个内角等于中心角． 6．下列各式错误的是（A ）033=-a a ； （B ）a a 9)3(3=⨯；（C ）a a a 633=+； （D ）b a b a 33)(3+=+． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算：111---x x x =__▲_.8．函数3-=x y 的定义域是__▲__ ．9．因式分解：=-x x 3 ▲ . 10．方程21=-x 的解是___▲___ ．11．已知正比例函数的图像经过点（2-，4），则正比例函数的解析式是 ▲ ． 12．某商品原价a 元，连续两次降价%20后的售价为 ▲ 元．13．在不大于20的正整数中任意取一个正整数能被5整除的概率为 ▲ . 14．在半径为13的圆中，弦AB 的长为24，则弦AB 的弦心距为 ▲ ．15．在梯形ABCD 中，AD // BC ，E 、F 分别是两腰AB 、CD 的中点，如果AD = 4，EF = 6，那么BC = __▲__．16．已知一斜坡的坡比3:1=i ，坡面垂直高度为2米，那么斜坡长是 ▲ 米． 17．如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，若BD ︰D C =1︰2，a AB =，b AC =， 那么AD = ▲ （用a 和b 表示）．18．如图，已知在直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =3，将ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点C ′处，点A 落在点A ′处，则AA ′的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：31)33(27323212021-+++-+--．20．（本题满分10分）C(第17题图)ABC(第18题图)解方程：32321942+--+=-x x x x ．21．(本题满分10分)已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD=AB ，E 、F 分别是AC 、BD 的中点， 且FE ⊥AC ，若AC=8，2tan =∠B ，求EF 和AB 的长．22．（本题满分10分，第（1）题3分，第（2）题2分，第（3）题2分，第（4）题3分）有关部门想了解本区20000名初中生对世博知识掌握情况，对全区初中生进行世博知识统一测试，在测试结果中随机抽取了400名学生的成绩进行分析，并将分析结果（分数取整数）绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布表； （2）补全频数分布直方图；（3）样本中学生成绩的中位数位于频数分布表中 ▲ 分数段内； （4）若90分及以上为优秀，请你估计该区有 ▲ 名学生测试成绩为优秀．频数分布表F EDCBA(第21题图)40 80 120 160200 (分)(频数分布直方图23.（本题满分12分，第（1）题5分，第（2）题7分）已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分∠BCD 、 CF 平分∠GCD ， EF ∥BC 交CD 于点O ． （1）求证：OE=OF ； （2）若点O 为CD 的中点，求证：四边形DECF 是矩形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（2）小题5分）如图，在平面直角坐标系中，直线343+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ．二次函数c ax ax y +-=42的图象经过点B 和点C （-1，0），顶点为P . （1）求这个二次函数的解析式，并求出P 点坐标；（2）若点D 在二次函数图象的对称轴上，且AD ∥BP ，求PD 的长； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为直径的圆与圆O 相切，求圆O 的半径．25．（本题满分14分，第（1）小题①4分，第（1）小题②5分，第（2）小题5分） 如图，正方形ABCD 中， AB =1，点P 是射线DA 上的一动点， DE ⊥CP ,垂足为E ， EF ⊥BE 与射线DC 交于点F ．（1）若点P 在边DA 上（与点D 、点A 不重合）． ①求证：△DEF ∽△CEB ；②设AP =x ，DF =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数定义域；（第23题图）C（第25题图）（2）当EFC BECS S ∆∆=4时，求AP 的长．2010年松江区初中毕业学业模拟考试数学参考答案及评分标准一、选择题1、D ；2、C ；3、B ；4、D ；5、A ；6、A 二、填空题7、1-； 8、3≥x ； 9、)1)(1(-+x x x ； 10、5=x ； 11、x y 2-=； 12、a 64.0； 13、51； 14、5； 15、8； 16、4； 17、b a 3132+； 18、52三、解答题19．解：原式=13133)32(322-++---………………………………5分=734-……………………………………………………………………5分 20．解：方程两边同乘以)3)(3(-+x x 得：………………………………………1分)3(2)3(2942--++-=x x x x …………………………………………2分 整理得：0342=+-x x …………………………………………………2分 解得：11=x ，32=x ………………………………………………………3分 经检验：32=x 是原方程的增根；……………………………………………1分ABCDA BC D E FP所以，原方程的解为1=x ． …………………………………………………1分 21．解：连接AF ，∵AD=AB ，F 是BD 的中点∴AF ⊥BC ，∴︒=∠90AFC …………………………………………………2分 在AFC Rt ∆中，︒=∠90AFC ∵E 是AC 的中点，∴421==AC EF ………………………………………3分又∵FE ⊥AC ，∴24==CF AF …………………………………………2分 在AFB Rt ∆中，︒=∠90AFB ∵2tan ==∠BFAF B ，∴22=BF ，∴102=AB ……………………3分22.(1)160；0.4；40……3分（2）图略；……2分（3）90~80.……………2分 （4）5000………………3分23.（1）证明：∵CE 平分∠BCD 、CF 平分∠GCD∴GCF DCF DCE BCE ∠=∠∠=∠,……………………………………1分∵EF ∥BC ，∴GCF EFC FEC BCE ∠=∠∠=∠,………………………1分 ∴DCF EFC FEC DCE ∠=∠∠=∠,………………………………………1分 ∴OE=OC ，OF=OC ，∴OE=OF ……………………………………………2分 （2）∵点O 为CD 的中点，∴OD=OC ，又OE=OF∴四边形DECF 是平行四边形………………………………………………2分∵CE 平分∠BCD 、CF 平分∠GCD ∴DCG DCF BCD DCE ∠=∠∠=∠21,21 ………………………………2分 ∴︒=∠+∠=∠+∠90)21(21DCG BCD DCF DCE ………………………2分即︒=∠90ECF ，∴四边形DECF 是矩形 ………………………………1分 24.解：（1）因为直线343+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ．由,0=x 得3=y ，0=y ，得4=x ， 所以)0,4(A )3,0(B ……………1分 把)0,1(-C )3,0(B 代入c ax ax y +-=42中，得⎩⎨⎧=++=043c a a c ， 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==533a c …………………………………2分∴这个二次函数的解析式为3512532++-=x x y ……………………………1分 527)2(532+--=x y ，P 点坐标为P )527,2( ………………………………1分 （２）设二次函数图象的对称轴与直线343+-=x y 交于E 点，与x 轴交于F 点把2-=x 代入343+-=x y 得，23=y ， ∴)23,2(E ，∴103923527=-=PE …………………………1分∵PE//OB ，OF=AF ， ∴AE BE =∵AD ∥BP ，∴DE PE =，5392==PE PD ……………………………2分（3）∵23,2(E ， ∴25494=+=OE ，∴OE ED >设圆O 的半径为r ，以PD 为直径的圆与圆O 相切时，只有外切，………1分 ∴251039=-r ， 解得：5321=r ，572=r ……………………………3分即圆O 的半径为532或5725.解：1（1）∵ 90=∠=∠FEB DEC ，∴BEC DEF ∠=∠……………1分∵ 90=∠+∠=∠+∠DCP BCE DCP EDF ，…………………………1分 ∴BCE EDF ∠=∠，∴△DEF ∽△CEB …………………………………1分（2）∵PDC Rt ∆中，CP DE ⊥，∴90=∠=∠CED CDP∴△DEC ∽△PDC ，∴DC PDEC DE= ………………………………………1分∵△DEF ∽△CEB ，∴DCDF CBDF ECDE ==…………………………………1分∴DCDF DCPD =，∴DF PD =………………………………………………1分∵AP =x ，DF =y ，∴,1x PD -= ∴x y -=1 ……………………………1分)10(<<x …………………………………………………………………1分（3）∵△DEF ∽△CEB ，∴22CBDF S S CEBDEF =∆∆ （1） …………………………1分∵CFDF S S CEFDEF =∆∆（2），∴（1）÷（2）得2CBCF DF S S CEB cEF ⋅=∆∆ ……………1分又∵EFC BECS S∆∆=4，∴412=⋅=∆∆CBCF DF S S CEBcEF ……………………………1分当P 点在边DA 上时， 有411)1(=⋅-xx ，解得21=x ………………………………………………2分当P 点在边DA 的延长线上时，411)1(=⋅+xx ，解得212-=x ……………………………………………1分（图二）第四套 上海市闸北区2010年九年级数学中考模拟试题（考试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个题，共25题：2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个结论中，有且只有一个选项是正确的。

2022-2023学年上海市徐汇区位育实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）下列各组线段中，成比例的一组线段是（ ）A．2，3，4，6B．2，3，4，7C．2，3，4，8D．2，3，4，9．2．（3分）如图，在△ABC中，中线AD、BE、CF相交于点G，下列说法错误的是（ ）A．点G为△ABC的重心B．GC＝2GFC．当△ABC为等边三角形时，GA＝GBD．S△ABC＝2S△GBC3．（3分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝4．（3分）如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，则下列判断正确的是（ ）A．AD．AC＝AE•ABB．AE•BC＝AC•DEC．D．5．（3分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC，DF∥AC，联结BE，BE与DF 相交于点G，则下列结论一定正确的是（ ）A．B．C．D．6．（3分）如果△ABC∽△DEF，点A、B、C的对应点分别是D、E、F，△ABC的三边长为3、4、6，△DEF的一边长为12，那么△DEF的周长不可能是（ ）A．65B．52C．39D．26二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）7．（3分）如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是1.8厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米．8．（3分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＜BP，如果AB＝4厘米，那么BP＝　厘米．9．（3分）已知点D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，CD、BE交于点F，如果EF：BF＝3：5，那么AE：EC的值为 ．10．（3分）某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为 米．11．（3分）△ABC∽△DEF，且点A与D，B与E是对应顶点，如果∠A＝48°，∠B＝62°，那么∠F＝ °．12．（3分）边长为2的等边△ABC中，点D、E分别为AB、AC边中点，则四边形BCED 的面积为 ．13．（3分）如图，AB∥CD∥EF，如果AD＝2，DF＝1，BE＝5，那么CE ＝ ．14．（3分）如图，AB∥EF∥DC，如果AB＝15，CD＝30，那么EF＝ ．15．（3分）如图，D是△ABC内一点，且∠ADC＝∠BDA＝∠BDC，如果AD＝2，BD＝3，∠ABC＝60°，那么CD＝ ．16．（3分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，BC边上的中线AE交CD于点F，如果AB＝5，AC＝3，那么DF：DC的值为 ．17．（3分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n倍，得△AB ′C′，如图①，我们将这种变换记为[θ，n]，如图②，在△ABC中，AB＝AC，AB＝3，BC＝2，如果对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B，C，B′在同一直线上，且B′C′⊥BC，那么n＝ ．18．（3分）在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，C1的坐标是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2022到x轴的距离是 ．三、解答题（本大题共7小题，19-21题，每题6分，22-25题，每题7分，共46分）19．（6分）已知：线段a，b，c，且．（1）求的值；（2）如果线段a，b，c，满足a+b+c＝36，求a，b，c的值．20．（6分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝b，BC＝a，b＜a，E为边AB上的任意一点，EF∥BC，且EF交CD于点F．（1）当时，EF＝ ；（用含a，b的代数式表示）（2）当时，求EF的长．（用含a，b和k的代数式表示）21．（6分）已知面积为30平方厘米的锐角三角形ABC中，边BC＝10厘米，正方形EFGH 的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，求：正方形EFGH的边长．22．（7分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，过点B作BD⊥AC，垂足为点D．（1）求BD：CD的值；（2）点E是BD延长线上一点，连接CE，当∠ABD＝∠ACE时，求线段CE的长．23．（7分）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D、E分别在边BC、AB上，线段AD与CE相交于点F，且AB•AF＝AC•AD．（1）求证：∠CDF＝∠CFD；（2）如果AE＝AF，求证：CF2＝DF•DA．24．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b经过点（﹣1，3），与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式；（2）若点C为直线AB上第一象限的点，且CB：BA＝1：2，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在直线AB上是否存在点Q，使得△OAQ与△OBC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（7分）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，∠ABC＝90°，点P是射线AB上一动点，连接DP、CP，且PD⊥CD，DP2＝AP•CP．（1）当点P在边AB上，如图所示．①证明：∠ADP＝∠DCP；②求线段BC的长；（2）当S△PDC＝20时，求AP：PB的值．2022-2023学年上海市徐汇区位育实验学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．【解答】解：A、2×6＝3×4，所以A选项符合题意；B、2×7≠3×4，所以B选项不符合题意；C、2×8≠3×4，所以C选项不符合题意；D、2×9≠3×4，所以选项D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．2．【分析】根据三角形的重心性质可判断选项A、B；根据等边三角形的性质得到AD＝BE，可判断选项C；根据三角形的中线将三角形的面积平分可判断选项D．【解答】】解：A、∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，∴点G为△ABC的重心，故选项A正确，不符合题意；B、∵点G为△ABC的重心，∴GC：GF＝2：1，即GC＝2GF，故选项B正确，不符合题意；C、∵△ABC为等边三角形，∴AD＝BE，∵GA＝2GD，GB＝2GE，∴，，∴GA＝GB，故选项C正确，不符合题意；D、∵GA＝2GD，∴AD＝3DG，则S△ABD＝3S△GBD＝3S△GCD，∴S△ABC＝3S△GBC，故选项D错误，符合题意．故选：D．【点评】本题考查三角形的重心性质、等边三角形的性质、三角形的中线性质，解答的关键是熟练掌握三角形的中线性质和重心性质：三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．3．【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．【解答】解：当，则DE∥BC，故选项A不符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项B符合题意；当＝，则DE∥BC，故选项C不符合题意；由于＝，DE∥BC不一定成立，选项D不符合题意．故选：B．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边4．【分析】只要证明△AED∽△ABC即可解决问题．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴，∴，故D错误，∴AD•AB＝AE•AC，故A错误，∴AE•DE＝AD•BC，故B错误；∵，故C正确；故选：C．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形解决问题，学会用转化的首先思考问题．5．【分析】利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故A，B选项不符合题意，∵DF∥AC，∴，又DE∥BC，∴四边形DFCE为平行四边形，∴CF＝DE，∴．故C选项正确，∵DE∥BF，∴△DGE∽△FGB，∴＝，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．6．【分析】因为相似三角形的周长的比等于相似比，所以此题求得相似比即可求解．注意12的对应边都有可能为3、4、6，所以有三个答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，如果12与3是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长＝12：3，即＝，∴△DEF的周长为52；如果12与4是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长＝12：4，即＝，∴△DEF的周长为39；如果12与6是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长＝12：6，即＝，∴△DEF的周长26．综上所述，选项B、C、D不符合题意．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．解此题时要注意对应边不确定，即相似比不确定，小心别漏解．二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）7．【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离求解即可．【解答】解：设实际距离为x厘米，根据题意，得1：1000000＝1.8：x，解得：x＝1800000，∴A、B两地的实际距离是18千米，故答案为：18．【点评】本题考查比例性质，熟知比例尺＝图上距离：实际距离是解答的关键．8．【分析】根据黄金比是进行计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，∴厘米．故答案为：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．9．【分析】先根据题意画出图形，再分别证明△DEF∽△CBF、△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴∠EDF＝∠BCF，∠DEF＝∠CBF，∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，∴，，∴，∵EF：BF＝3：5，∴AE：AC＝3：5，∴AE：CE＝3：2，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，利用相似三角形的性质探究线段间的数量关系是解答的关键．10．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：设高度为h，因为太阳光可以看作是互相平行的，由相似三角形：，h＝4.8m．【点评】本题考查相似形的知识，解题的关键在于将题目中的文字转化为数学语言再进行解答．11．【分析】根据相似三角形的对应角相等即可求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF相似，且点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F，∵∠A＝48°，∠B＝62°，∴∠C＝∠F＝180°﹣48°﹣62°＝70°，故答案为：70．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．12．【分析】由三角形中位线定理可得DE∥BC，BC＝2DE，可得△ADE∽△ABC，可求S＝，即可求解．△ADE【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AB＝2，∴S△ABC＝＝，∵点D、E分别为AB、AC边中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴S△ADE＝，∴四边形BCED的面积＝S△ABC﹣S△ADE＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，证明△ADE∽△ABC 是本题的关键．13．【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∵AD＝2，DF＝1，BE＝5，∴，解得，经检验，满足所列方程，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理、解分式方程，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意比例线段要对应．14．【分析】分别证明△CEF∽△CAB、△BAE∽△DCE，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠DCE，∠ABE＝∠CDE，∴△BAE∽△DCE，∴，∵AB＝15，CD＝30，∴，则，∵EF∥DC，∴∠CEF＝∠CAB，∠CFE＝∠CBA，∴△CEF∽△CAB，∴，∴，故答案为：10．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．15．【分析】首先由∠ADC＝∠BDA＝∠BDC，得到∠ADC＝∠BDA＝∠BDC＝120°，又由∠ABC＝60°，易证得△ABD∽△BCD，然后似三角形的对应边成比例，得到CD的长．【解答】解：∵∠ADC＝∠BDA＝∠BDC，∴∠ADC＝∠BDA＝∠BDC＝120°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝60°，∵∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠DCB，∴△ABD∽△BCD，∴CD：BD＝BD：AD，∴CD＝，故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．16．【分析】过B作BG∥CD，延长AE，与之交于点G，得到△ADF∽△ABG，则有，进一步推出，再证明△BEG≌△CEF，可得BG＝CF，等量代换即可得到线段之比．【解答】解：如图，过B作BG∥CD，延长AE，与之交于点G，∴△ADF∽△ABG，∴，∵AD＝AC，AC＝3，AB＝5，∴，∵AE是BC边上的中线，∴BE＝CE，∵BG∥CD，∴∠G＝∠CFE，在△BEG和△CEF中，，∴△BEG≌△CEF（AAS），∴BG＝CF，∴，∴，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线，平行线的性质，解题的关键是通过相似得到线段的比，通过全等得到相等线段．17．【分析】首先判定△ABC∽△A′BC′，得到∠ABC＝∠AB′C′，继而证明∠BAB′＝90°，设B′C＝a，在△ABB′中，利用勾股定理得出32+（3n）2＝（2+a）2，证明△ABB ′≌△ACC′（SAS），得到BB′＝CC′＝2+a，再在△B′C′C中，利用勾股定理得到a2+（2n）2＝（a+2）2，两式结合，利用加减消元法求出n值即可．【解答】解：如图，∵，∠BAC＝∠B′AC′＝θ，∴△ABC∽△A′BC′，∴∠ABC＝∠AB′C′，且AB′＝3n，AC′＝2n，∵B′C′⊥BC，∴∠BB′C′＝90°，即∠BB′A+∠AB′C′＝90°，∴∠ABC+∠BB′A＝90°，则∠BAB′＝90°，设B′C＝a，在△ABB′中，AB2+AB′2＝BB′2，即32+（3n）2＝（2+a）2，整理得：5+9n2＝a2+4a，∵∠BAC＝∠B′AC′，∴∠BAB′＝∠CAC′，在△ABB′和△ACC′中，，∴△ABB′≌△ACC′（SAS），∴BB′＝CC′＝2+a，在△B′C′C中，B′C2+B′C′2＝CC′2，即a2+（2n）2＝（a+2）2，整理得：a＝n2﹣1，代入5+9n2＝a2+4a中，解得：（负值舍去），故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质解决问题．18．【分析】先证明△B1OC1≌△C1E1D求得D1E1＝OC1＝1，C1E1＝OB1＝2，再根据相似三角形的判定与性质得到后面正方形的边长是前一个正方形边长的，进而得到第2022个正方形的边长，过A1E⊥x轴于E，延长A1D1交x轴于P，根据相似三角形的判定与性质求得，由此可得出点A2022到x轴的距离是对应正方形边长的，进而求解即可．【解答】解：∵B1（0，2），C1（1，0），∴OB1＝2，OC1＝1，则，∵∠B1OC1＝∠B1C1D1＝∠C1E1D1＝90°，∴∠OB1C1＝∠E1C1D1＝90°﹣∠OC1B1，又B1C1＝C1D1，∴△B1OC1≌△C1E1D1（AAS），∴D1E1＝OC1＝1，C1E1＝OB1＝2，∵点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B1C1O＝∠B2C2E2＝∠B3C3E4，∠B1OC1＝∠B2E2C2＝∠B3E4C3＝90°，∴△B1OC1∽△B2E2C2∽△B3E4C3⋯，∴，，同理，，，…，∴；如图，过A1E⊥x轴于E，延长A1D1交x轴于P，∵∠C1D1P＝∠C1E1D1＝90°，∠D1C1P＝∠E1C1D1，∴△C1D1P∽△C1E1D1，∴，即，∴，则，∵∠A1EP＝∠D1E1P＝90°，∠A1PE＝∠D1PE1，∴△PEA1∽△PE1D1，∴，∴A1E＝3，则，同理可得，点A2022到x轴的距离是，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，得到正方形边长之间的关系是解答的关键．三、解答题（本大题共7小题，19-21题，每题6分，22-25题，每题7分，共46分）19．【分析】（1）根据比例的性质得出，即可得出的值；（2）首先设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，利用a+b+c＝36求出k的值即可得出答案．【解答】解：（1）∵，∴，∴；（2）设，则a＝3k，b＝4k，c＝5k，∵a+b+c＝36，∴3k+4k+5k＝36，∴k＝3，∴a＝9，b＝12，c＝15．【点评】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出a＝3k，b＝4k，c＝5k进而得出k的值是解题关键．20．【分析】（1）过A作AG∥CD，与BC交于G，与EF交于H，证明四边形ADCG是平行四边形，得到AD＝CG＝b，BG＝a﹣b，证明△AEH∽△ABG，得到，再根据EF＝EH+FH，将已知关系代入化简即可；（2）同（1）的方法求解即可．【解答】解：（1）如图，过A作AG∥CD，与BC交于G，与EF交于H，∵AD∥BC，∴四边形ADCG是平行四边形，∴AD＝CG＝b，∴BG＝BC﹣CG＝a﹣b，∵EF∥BC，∴同理可得：FH＝AD＝b，△AEH∽△ABG，∴，∵，∴，则，∴；（2）过A作AG∥CD，与BC交于G，与EF交于H，∵AD∥BC，∴四边形ADCG是平行四边形，∴AD＝CG＝b，∴BG＝BC﹣CG＝a﹣b，∵EF∥BC，∴同理可得：FH＝AD＝b，△AEH∽△ABG，∴，∵，∴，则，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用三角形相似和平行四边形的性质解答．21．【分析】过A作AM⊥BC于M，交EH于N，则AN⊥EH，先由三角形的面积公式求得AM，再证明△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，过A作AM⊥BC于M，交EH于N，则AN⊥EH，∵面积为30平方厘米的锐角三角形ABC中，边BC＝10厘米，∴，则AM＝6厘米，∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥FG，MN＝EF＝EH，∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，∴△AEH∽△ABC，则，∴，解得，故正方形EFGH的边长为．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握利用相似三角形的性质求线段长是解答的关键．22．【分析】（1）过A作AF⊥BC于F，先根据等腰三角形的三线合一性质和勾股定理求得AF、CF，再证明△BDC∽△AFC，利用相似三角形的性质求解即可；（2）证明△ABC∽△ECD，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）过A作AF⊥BC于F，则∠AFC＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴，则，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠AFC＝90°，又∠BCD＝∠ACF，∴△BDC∽△AFC，∴，∴BD：CD＝AF：CF＝4：3，即BD：CD的值为；（2）∵∠ABD＝∠ACE，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，∴．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．23．【分析】（1）证明△BAD∽△CAF得到∠ADB＝∠AFC即可证得结论；（2）根据等腰三角形的判定与性质得到CD＝CF，∠AEF＝∠AFE，进而利用三角形的内角和定理求得∠DCF＝∠DAC，证明△DCF∽△DAC得到即可证得结论．【解答】证明：（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB⋅AF＝AC⋅AD，∴，∴△BAD∽△CAF，∴∠ADB＝∠AFC，∴∠CDF＝∠CFD；（2）∵∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，又∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠DCF，又∠EAF＝∠DAC，∴∠DCF＝∠DAC，又∠CDF＝∠ADC，∴△DCF∽△DAC，∴即CD2＝DF⋅DA，∴CF2＝DF⋅DA．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．24．【分析】（1）将点A坐标代入直线y＝x+b中求解即可；（2）过C作CD∥y轴交x轴于D，证明△AOB∽△ADC得到，进而求得OA、OB，利用坐标与图形性质可求解；（3）先判断出点Q在BA的延长线上，且∠OAQ＝∠OBC＝135°，再利用两点间距离坐标公式求得AQ，BC，然后分两种情况，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x+b经过点（﹣1，3），∴3＝﹣1+b，则b＝4，∴直线AB的解析式为y＝x+4；（2）如图，过C作CD∥y轴交x轴于D，则△AOB∽△ADC，∴，对于直线y＝x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），则OB＝4；令y＝0，由x+4＝0得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），则OA＝4，∵CB：BA＝1：2，∴，∴，∴AD＝CD＝6，∴OD＝AD﹣OA＝2，∴点C坐标为（2，6）；（3）在直线AB上存在点Q，使得△OAQ与△OBC相似．如图，∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴∠BOC＜45°，∠BCO＜45°，又∠OBC＞90°，∴满足题意的点Q在BA的延长线上，且∠OAQ＝∠OBC＝135°，设点Q（m，m+4）（m＜﹣4），则，∵B（0，4），C（2，6），∴，当△OAQ∽△OBC时，，则，∴m＝﹣6，则Q（﹣6，﹣2）；当△OAQ′∽△CBO时，，则，∴m＝﹣8，则Q（﹣8，﹣4），综上，满足条件的点Q的坐标为（﹣6，﹣2）或（﹣8，﹣4）．【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、两点间距离坐标公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．25．【分析】（1）①先利用平行线的性质和垂直定义得到∠A＝∠PDC＝90°，再由已知得到，然后根据斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证明△ADP ∽△DCP可得结论；②过D作DE⊥BC于E，并交CP于F，连接BF，证明四边形ABED是矩形得到BE＝AD＝4，利用四边形的内角和为360°和等角的补（余）角相等得到∠ADP＝∠CDE，则有∠CDE＝∠DCP，根据等腰三角形的判定得到DF＝CF，设点O为CP的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得到点F与点O重合，连接BF，则，根据等腰三角形的三线合一性质可求解；（2）当点P在边AB上时，过D作DH⊥CP于H，证明PD平分∠APC，利用角平分线的性质得到DH＝AD＝4，利用三角形的面积公式求得CP＝10，进而求得PB＝6，设AP ＝x，由AP2+AD2＝DP2＝AP⋅CP列方程求解AP即可；同理，当点P在AB延长线上时求解AP即可．【解答】（1）①证明：如图，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°，∵PD⊥CD，∴∠PDC＝90°，∵DP2＝AP⋅CP∴，∴△ADP∽△DCP，∴∠ADP＝∠DCP；②解：过D作DE⊥BC于E，并交CP于F，连接BF，则∠DEB＝∠DEC＝90°，∵∠A＝∠ABC＝∠DEB＝90°，AD＝4，∴四边形ABED是矩形，∴BE＝AD＝4，∵∠DCB+∠BPD＝360°﹣∠PBC﹣∠PDC＝180°，∠APD+∠BPD＝180°，∴∠APD＝∠DCB，又∠A＝∠DEC＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，由①知∠ADP＝∠DCP，∴∠CDE＝∠DCP，∴DF＝CF，设点O为CP的中点，连接OD，则，∴点F与点O重合，连接BF，则，∵EF⊥BC，∴CE＝BE＝4，∴BC＝2BE＝8；（2）解：当点P在边AB上时，过D作DH⊥CP于H，连接BD，则∠DHP＝∠A＝90°，由②知DE⊥BC，BE＝CE，∴DE垂直平分BC，∴BD＝CD，则（AP+PB）2+AD2＝CP2﹣DP2；∵∠ADP＝∠DCP，∠A＝∠PDC＝90°，∴∠APD＝∠CPD，∴PD平分∠APC，∴DH＝AD＝4，∵，∴CP＝10，又BC＝8，则，设AP＝x，∵AP2+AD2＝DP2＝AP⋅CP，∴x2+42＝10x，即x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，当AP＝x＝8时，∵（8+6）2+42≠102﹣10×8，即（AP+PB）2+AD2≠CP2﹣DP2，故舍去；当AP＝x＝2时，满足（AP+PB）2+AD2＝CP2﹣DP2，∴AP：PB＝2：6＝1：3；当点P在AB延长线上时，如图，过D作DH⊥CP于H，过D作DE⊥BC于E，连接BD，同理可得，DH＝AD＝4，PB＝6，PC＝10，BD＝CD，则（AP﹣PB）2+AD2＝CP2﹣DP2，设AP＝x，由AP2+AD2＝DP2＝AP⋅CP求得x1＝2，x2＝8，∵AP＝x＝2＜PB，∴舍去，当AP＝x＝8时，满足（AP﹣PB）2+AD2＝CP2﹣DP2，∴AP：PB＝8：6＝4：3，综上，AP：PB的值为或．【点评】本题是四边形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．。

2009学年第一学期徐汇区初三年级数学学科期终学习能力诊断卷2010.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．抛物线22(3)4y x =-++的顶点坐标是（ ▲ ） Ａ．（3，4）； Ｂ．（－3，4）；Ｃ．（3，－4）； Ｄ．（－3，－4）．2．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ ▲ ） A ．45米B ．40米C ．90米D ． 80米3． 若向量→a 与→b 均为单位向量，则下列结论中正确的是（ ▲ ） A ．→a =→bB ．1=→bC ．10a →→-=D ． →→=b a4．如图，下列条件中不能．．判定ABC ACD △∽△的是（ ▲ ） A ．B ACD ∠=∠； B ．ADC ACB ∠=∠； C ．AC AB CD BC=； D ．AB AD AC ∙=2． 5．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 的高，下列线段的比值不等于．．．sinA 的值的是（ ▲ ）A ．BC AB B ．CDBC C ． CD AC D ．BD BC6．已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ▲ ）A ．抛物线开口向上；B ．抛物线与y 轴交于负半轴；C ．当x ＝3时，y <0；D ．方程02=++c bx ax 有两个相等实数根．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果23x y =，那么x y y+= __ ▲__． 8．抛物线23125y x x =-+-的对称轴是直线 ▲ ．9．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为第5题BA DCD CBA第4题▲ ．10．计算：=+∙045cos 60sin 30tan ▲ ．11．如果非零向量与满足等式1a 2b =-，那么向量与的方向 ▲ ．12．已知二次函数4)2(2+--=x y ，当2>x 时，若y 随着x 的增大而 ▲ （填增大、不变或减少）．13．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，已知AG ＝0.6cm ，BG ＝1.2cm ，CD ＝1.5cm ，CH ＝___▲____cm 14. 如图，ABC ∆中，AB>AC ，AD 是BC 边上的高，F 是BC 的中点，E F ⊥BC 交AB 于E ，若:3:2BD DC =，则:BE AB == ▲ ．15．如图，已知抛物线c bx x y ++-=2的对称轴为直线1=x ，且与x 轴的一个交点为()0,3，那么它对应的函数解析式是 ▲ ．16．如图：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC=12，BC=9．则它的重心G 到C 点的距离是 ▲ ． 17．如图,在ABC ∆中， ︒=∠90C ，13=AB ，AC=12，D 是AC 的中点，AB DE ⊥， 则DE 的长是 ▲ ．18．已知三角形纸片（△ABC ）中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将三角形按照如图所示的方式折 叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ ABC 相似，那么BF 的长度是 ▲ ． 三、（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分，第（1）题6分，第（2）题4分）已知：如图, 在△ABC 中AB =AC =9,BC =6。

2022-2023学年上海市徐汇区九年级（上）期末（一模）数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y＝ax2+bx+c B．C．y＝（x+2）2﹣x2D．y＝x（x+1）2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝40°，AC＝b，那么BC等于（）A．b sin40°B．b cos40°C．b tan40°D．b cot40°3．已知和都是单位向量，下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．4．已知点P、点Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB＝10，那么PQ的长为（）A．B．C．D．5．在△ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上，下列比例式中能判定DE∥BC的为（）A．B．C．D．6．如图，正方形ABCD与△EFG在方格纸中，正方形和三角形的顶点都在格点上，那么与△EFG相似的是（）A．以点E、F、A为顶点的三角形B．以点E、F、B为顶点的三角形C．以点E、F、C为顶点的三角形D．以点E、F、D为顶点的三角形二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．若，则＝．8．已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，它与y轴的交点坐标为．9．抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的抛物线的函数解析式为．10．二次函数y＝x2﹣6x图像上的最低点的纵坐标为．11．如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cos A＝．13．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是米．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若，则用表示＝．15．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°，如果BD：DC＝1：2，AD＝2，那么DE的长等于．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是．17．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，设点E、F分别是△ABC和△ACD的重心，则两重心E与F之间的距离是．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，点D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A'处，当A′E⊥AB时，那么A'A的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：°．20．已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴．21．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E 是边BC的中点．（1）求边AC的长；（2）求∠EAB的正弦值．22．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE 与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求DE的值；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）．23．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE．（1）求证：△CAD∽△CBG；（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．25．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为边AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交射线AC于点F．（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．。

徐汇区2010学年第一学期初三年级数学学科一．选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）1．在直角坐标平面内，如果抛物线2)1(--=x y 经过平移可以与抛物线2x y -=互相重合，那么这个平移是（ ）．（A ）向上平移1个单位； （B ）向下平移1个单位； （C ）向左平移1个单位 ； （D ）向右平移1个单位．2．在Rt △ABC 中,∠C=90°，若AC=3，BC=4，则tanA 的值为（ ）（A ）43 （B ）53 （C ） 34 （D ）54 3．下列命题不一定．．．成立的是（ ） （A ）斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；（B ）两个等腰直角三角形相似；（C ）两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似； （D ）各有一个角等于95°的两个等腰三角形相似．4．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，下列结论正确的是（（A ）ab>0； （B ）当x ≤1时，y 随x 的增大而增大；（C ）ac>0；；（D ）方程ax 2+bx+c=0有两个正实数根．5．如图，在△ABC 中，点E 、F 分别是边AC 、BC 的中点，设a BC =，b CA =，用a 、b 表示EF ，下列结果中正确的是 ( )（A ）)(21→→+b a ； （B ）)(21→→+-b a ；（C ）)(21→→-a b ； （D ）)(21→→-b a ．6．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 中点，DF=3FC ，联结AE 、AF 、EF ，那么下列结果错误．．的是（ ） （A ）△ABE 与△EFC 相似； （B ）△ABE 与△AEF 相似； （C ）△ABE 与△AFD 相似； （D ）△AEF 与△EFC 相似．二．填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．如果57a a b =+，那么ab= . 8．计算：=⋅-60cot 45sin 30cos 2 .9．二次函数2365y x x =-+的图像的顶点坐标是 .BA第4题第5题第6题10．抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A (1,0),B (－3，0)两点，则二次函数解析式是 . 11．如图，已知21//l l 3//l ，若AB : BC =3:5，DF =16，则DE = .12．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，对称轴为直线x =2，若与x 轴交点为A （6，0），则由图像可知，当0>y 时，自变量x 的取值范围是 .13．在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，CD AB ⊥，若AC =4，BC=3，则cos ∠DCB = ． 14．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，AE ⊥AB ，交BD 于点G ，交BC 的延长线于点E ，那么GEAG= ．15.某滑雪运动员沿着坡比为200米，则他身体下降的高度为_____米． 16．如图，是用手电来测量古城墙高度的示意图, 将水平的平面镜放置在点P 处,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，若AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，则该古城墙的高度约是 米．17. 如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，如果∠B =∠ACD ，AB =6cm ，AC =4cm ，若S △ABC =36cm 2，则△ACD 的面积是 cm 2．18．如图，在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =900，点D 为腰BC 中点，点E 在底边AB 上，且DE ⊥AD ,则BE 的长为 .三．（本大题共6题，第19~22题每题10分；第23、24题12分，满分64分）19．已知：□ABCD 中，E 是BA 边延长线上一点，CE 交对角线DB 于点G ，交A D 边于点F ．求证：2CG GF GE =⋅第12题第14题第11题P D CB A 第16题D C B A第17题第18题BC AE20． 已知：如图，□ABCD 中，E 是BC 中点，AE 交BD 于点F ， 设→→=a BA 、→→=b BC ． （1）用x a y b →→+（x y 、为实数）的形式表示→FA ；（2）先化简，再直接在图中作：)41()21(→→→→+-+-b a b a ．21．已知：如图，在△ABC 中，13==AC AB ，135cos =C ，中线BE 和AD 交于点F ． 求：△ABC 的面积以及sin EBC ∠的值．22．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。

2009学年第一学期徐汇区初三年级数学学科学习能力诊断卷参考答案一、选择题1．B; 2．A; 3．D; 4．C; 5．B; 6．C. 二、填空题7．35； 8．直线2=x ； 9．3)1(2++-=x y ； 10．221+； 11．相反；12．减少； 13．0.5； 14．6:5； 15．322++-=x x y ； 16. 5； 17.1330； 18.4或1340。

三、解答题19．(1) 作AE ⊥BC 交BC 于点E----------------------------------------------------------------2 ∵AB=AC ， ∴BE=EC=3------------------------------------------------------------------------1 在Rt △AEC中，AE ==------------------------------------------------------1∴ 322926===∠ACAE C Sin ---------------------------------------------------- ----2(2) 在Rt △BDC 中，B D Sin C B C∠=，即BD =93-------------------------------------------2∴BD 26=--------------------------------------------------------------------------------------220. (1) (3→a +→b )-(2→a +→b 21)=→a +→b 21-------------------------------------------------------------2 作图3分，正确作出→b 21、→a +→b 21、以及写结论各1分。

2022学年初三年级第一学期数学学科学习能力评估试卷（时间100分钟满分150分）考生注意∶1.本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1.如果把Rt △ABC 的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（）A.都扩大到原来的2倍B.都缩小到原来的12C.都没有变化D.都不能确定2.函数2(x y k=（常数0k <）的图象经过的象限为（）A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限3.如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东50︒方向，距离灯塔5海里的点A 处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离AB 的长是（）A.5海里B.5sin 50︒海里C.5cos50︒海里D.5tan 50︒海里4.下列命题正确的个数是（）①设k 是一个实数，a是向量，那么k 与a相乘的积是一个向量；②如果0k ≠，0a ≠ ，那么ka的模是k a ；③如果0k =，或0a =，那么0ka = ；④如果0k >，ka 的方向与a的方向相反．A .1个B.2个C.3个D.4个5.如图，在ABC 中，DE FG BC ∥∥，::1:2:5AD AF AB =，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形（）A.1:2:5B.1:4:25C.1:3:25D.1:3:216.阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集.同样，如果引进“虚数”，实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，则2023i =（）A.i- B.iC.1D.1-二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知23x y =，那么x x y=+________.8.已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sin α=________．9.若a ＝4cm ，b ＝9cm ，则线段a ，b 的比例中项是______cm ．10.已知线段10AB =，P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，则AP =________．11.在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，AD =2，DB =3，BC =10，要使DE ∥AC ，那么BE 必须等于_________．12.如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ．设AB a =，BC b =，那么AD =________（结果用a 、b的式子表示）．13.如果抛物线()22y k 1x x k 2=++-+与y 轴的交点为()0,1，那么k 的值是________．14.如图，已知AD EB FC ∥∥，4AB =，2EF =，则BC DE ⋅=________.15.如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后楼梯AC 长为______m ．16.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，E 为BC 上一点，过点E 作DE AB ⊥，垂足为点D ，并交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果6AE =，2CE =，CFBC的值为________.17.如图：在等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，若ABC 的面积为48，则DEF 的面积为________.18.如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB AC ==，将线段BC 绕点B 逆时针旋转()0180αα︒<<得到线段BD ，且AD BC ∥，则AD =________.三、解答题（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.计算：2tan 454cos 30cot 30cot 45sin 601︒︒-︒-︒-︒-.20.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2BE CE =，AC 、DE 相交于点F ．（1）求:DF EF 的值；（2）如果AB a =，AD b =，试用a 、b 表示向量EF .21.在直角坐标平面内，二次函数2y ax bx =+的图像经过点()1,5A -和点()1,3B -.（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，请用m 的代数式表示平移后函数图像顶点M 的坐标.22.如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地．已知B 地位于A 地北偏东67︒方向，距离A 地390km ，C 地位于B 地南偏东30︒方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒≈，12tan 675︒≈ 1.73≈）．23.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是斜边AB 的中点，点E 是边AC 上的一点，45EDF ∠=︒，DF 交射线BC 于点F ．（1）求证：ADE F ∠=∠；（2）求证：22BC AE BF =⋅．24.如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()6,0，抛物线的对称轴为直线2x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）当BCD △的面积为154时，求点D 的坐标；（3）是否存在点D ，使得2∠=∠DCB ABC ？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.25.已知：在梯形ABCD 中，AB CD ，5AD BC ==， 2.5AB =，4sin 5D =，点E 是AD 边上一点，3DE =，点P 是CD 边上的一动点，连接EP ，作EPF ∠，使得EPF D ∠=∠，射线PF 与AB 边交于点F ，与CB 的延长线交于点G ，设DP x =，BG y =.（1）求CD 的长；（2）试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接EF ，如果EFP △是等腰三角形，试求DP 的长.2022学年初三年级第一学期数学学科学习能力评估试卷（时间100分钟满分150分）考生注意∶1.本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1.如果把Rt △ABC 的三边长度都扩大2倍，那么锐角A 的四个三角比的值（）A.都扩大到原来的2倍B.都缩小到原来的12C.都没有变化D.都不能确定【答案】C【详解】试题分析：根据锐角的三角比的定义可知，锐角A 的大小确定后，锐角A 的四个三角比的值与边长无关，固定不变，故选C.考点：锐角的三角比.2.函数2(x y k=（常数0k <）的图象经过的象限为（）A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第二、四象限 D.第三、四象限【答案】A【分析】根据已知函数解析式得出y=22x k，即函数图象开口向上，顶点坐标在原点的抛物线，即可得出答案．【详解】解：∵函数y=22x k（常数k<0），∴y=22x k ，即函数图象开口向上，顶点坐标在原点的抛物线，∴函数y=22x k（常数k<0）的图象经过的象限为：第一、二象限．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是：y=ax 2中，a>0时，函数图象是开口向上、顶点坐标在原点的抛物线，图象经过第一、二象限；a<0时，函数图象是开口向下、顶点坐标在原点的抛物线，图象经过第三、四象限．3.如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东50︒方向，距离灯塔5海里的点A 处，如果轮船沿正南方向航行到灯塔的正东方向，轮船航行的距离AB 的长是（）A.5海里B.5sin 50︒海里C.5cos50︒海里D.5tan 50︒海里【答案】C【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出50NPA ∠=︒，5AP =海里，90ABP ∠=︒，再由AB NP ∥，根据平行线的性质得出50A NPA ∠=∠=︒．然后解Rt ABP ，得出cos 5cos50AB AP A =⋅∠=︒海里．【详解】解：如图，由题意可知，AB NP ∥ ，50A NPA ∴∠=∠=︒，在Rt ABP 中，90︒∠= ABP ，50A ∠=︒，5AP =海里，cos 5cos50AB AP A ∴=⋅∠=︒海里．故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题关键正确理解方向角的定义．4.下列命题正确的个数是（）①设k 是一个实数，a是向量，那么k 与a相乘的积是一个向量；②如果0k ≠，0a ≠ ，那么ka的模是k a ；③如果0k =，或0a =，那么0ka = ；④如果0k >，ka 的方向与a的方向相反．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】解：①设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a相乘的积是一个向量，故①正确；②如果0k ≠，0a ≠ ，那么ka的模是k a ，故②正确；③如果0k =，或0a = ，那么0k a ⋅=，故③错误；④如果0k <，ka 的方向与a的方向相反，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键．5.如图，在ABC 中，DE FG BC ∥∥，::1:2:5AD AF AB =，则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形（）A .1:2:5B.1:4:25C.1:3:25D.1:3:21【答案】D【分析】由于DE FG BC ∥∥，那么ADE AFG ABC ∽∽ ，根据::1:2:5AD AF AB =，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出ADE V 、四边形DFGE 、四边形FBCG 的面积比．【详解】解：∵DE FG BC ∥∥，∴ADE AFG ABC ∽∽ ，∵::1:2:5AD AF AB =，∴1425ADE AFG ABC S S S ：：＝：： ，设ADE V 的面积是a ，则AFG 和ABC 的面积分别是4a ，25a ，则DFGE S 四边形和FBCG S 四边形分别是3a ，21a ，∴1:3:21ADE DFGE FBCG S S S = 四边形四边形：：．故选：D ．【点睛】此题考查三角形相似的判定与性质，解题关键在于掌握相似三角形的性质与判定．6.阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集.同样，如果引进“虚数”，实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，则2023i =（）A.i - B.iC.1D.1-【答案】A【分析】根据运算法则可知4个运算一循环，进而即可求解．【详解】1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =， 根据运算法则可知4个运算一循环，202345053÷= ，∴2023i i ==-，故选：A ．【点睛】本题考查了规律性问题，解题的关键是通过所给的数据发现其中的变化规律，利用发现的规律进行解题.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.已知23x y =，那么x x y =+________.【答案】25##0.4【分析】根据合比性质、倒数的定义计算即可.【详解】解：∵23x y =，3,2y x ∴=32522y x x ++∴==25x x y ∴=+故答案为：25【点睛】本题主要考查了合比性质、倒数的定义.熟练掌握比例的性质是解题的关键.8.已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sin α=________．【答案】【分析】坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为x ，水平直角边为2x ，由勾股定理求出斜边，进而可求出α的正弦值．【详解】解：如图所示：由题意，得：1tan 2i α==，设竖直直角边为x ，水平直角边为2x ，则斜边==，则sin5α==．故答案为【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．9.若a ＝4cm ，b ＝9cm ，则线段a ，b 的比例中项是______cm ．【答案】6【分析】根据比例中项的定义可求得c 的值．【详解】解：设线段a ，b 的比例中项是x cm ，∵a ＝4cm ，b ＝9cm ，∴236x ab ==，∴x =6cm ．故答案为：6【点睛】本题主要考查比例中项的定义，掌握若c 为a 、b 的比例中项，则有2c ab =是解题的关键．10.已知线段10AB =，P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，则AP =________．【答案】5-【分析】直接根据黄金分割的定义计算．【详解】解：∵P 是线段AB 的黄金分割点()AP PB >，∴1110522AP AB --==⨯=-．故答案为：5-．【点睛】本题考查黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC ()AC BC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::AB AC AC BC =），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中0.618AC AB =≈，并且线段AB 的黄金分割点有两个．掌握黄金分割的定义是解题的关键．11.在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和BC 上，AD =2，DB =3，BC =10，要使DE ∥AC ，那么BE 必须等于_________．【答案】6【分析】根据平行线截线段成比例定理求解．【详解】解：当BD BEBA BC=时，//DE AC ，所以33210BE =+，∴6BE =，故答案为6．【点睛】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．12.如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ．设AB a =，BC b =，那么AD =________（结果用a 、b的式子表示）．【答案】12a b+【分析】根据等腰三角形的性质得出12BD BC =，继而根据三角形法则即可求解．【详解】解：∵在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为点D ．∴12BD BC =，∵AB a =，BC b =，∴12a ADb += ，故答案为：12a b + ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平面向量的线性运算，数形结合是解题的关键．13.如果抛物线()22y k 1x x k 2=++-+与y 轴的交点为()0,1，那么k 的值是________．【答案】1【分析】把交点为（0，1）代入抛物线解析式，解一元二次方程，即可解得k ．【详解】∵抛物线y =(k +1)x 2+x −k 2+2与y 轴的交点为(0,1)，∴−k 2+2=1，解得：k =±1，∵k +1≠0，∴k =1，故答案为:1.【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是理解抛物线与y 轴的交点问题，难度不大.14.如图，已知AD EB FC ∥∥，4AB =，2EF =，则BC DE ⋅=________.【答案】8【分析】根据平行线分线段成比例，得出AB DE BC EF =，即可求解．【详解】解：∵AD EB FC∥∥∴AB DE BC EF=∵4AB =，2EF =，∴428BC DE AB EF ⋅=⋅=⨯=，故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找到对应线段是解题的关键．15.如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后楼梯AC 长为______m ．6【分析】先在Rt △ABD 中利用正弦的定义计算出AD ，然后在Rt △ACD 中利用正弦的定义计算AC 即可．【详解】在Rt △ABD 中，∵sin ∠ABD =AD AB，∴AD =4sin60°3（m ），在Rt △ACD 中，∵sin ∠ACD =AD AC，∴AC =23sin 456（m ）．故答案是：6．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可．16.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，E 为BC 上一点，过点E 作DE AB ⊥，垂足为点D ，并交AC 的延长线于点F ，联结AE ，如果6AE =，2CE =，CF BC的值为________.【答案】24124【分析】利用勾股定理求出AC ，利用两角分别相等证明FCE BCA △∽△∠，即可求解．【详解】解：∵DE AB ⊥，∴90ADF Ð=°，∴90F DAF ∠+=︒∠，∵90ACB ∠=︒，∴90B DAF ∠+=︒∠，90FCE ∠=︒∴F B ∠=∠，又∵90FCE BCA ∠==︒∠，∴FCE BCA △∽△∠，∴CF CE BC CA=，∵Rt ACE △中，6AE =，2CE =，∴AC ==，∴24CF CE BC CA ==，故答案为：24．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握“两角分别相等的两个三角形相似”以及相似三角形的对应边成比例．17.如图：在等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，若ABC 的面积为48，则DEF 的面积为________.【答案】16【分析】先证明DEF 是等边三角形，利用特殊角的三角函数值得到各线段之间的关系，再利用相似三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴AB BC AC ==，60A B C ∠=∠=∠=︒，∵DE AC EF AB FD BC ⊥⊥⊥，，，∴90BDF AFE DEC ∠=∠=∠=︒，∴30BFD AEF EDC ∠=∠=∠=︒，∴60EDF DFE DEF ∠=∠=∠=︒，∴DEF 是等边三角形，∴2DEF ABC S DF S BA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，DE EF DF ==，∴BFD AEF CDE ≌≌，∴BD AF CE ==，设BD AF CE x ===，∴tan 60DF x =︒=，2BF x =，∴3AB BF AF x=+=∴22133DEF ABC S DF S BA x ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴DEF 的面积为148163⨯=，故答案为：16．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是利用相似三角形的性质得到面积关系．18.如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB AC ==，将线段BC 绕点B 逆时针旋转()0180αα︒<<得到线段BD ，且AD BC ∥，则AD =________.【答案】++【分析】构造矩形，将求AD 转化为求EF ，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，分别过A 点，D 点向BC 作垂线，垂足分别为点F 和点E ，∴AF DE∥∵AD BC ∥，∴四边形ADEF 是矩形，∴AD EF =，DE AF=∵在Rt ABC △中，90A ∠=︒，2AB AC ==，AFBC ⊥∴BC ==∴BF AF ==，∴DE =，由旋转，得BD BC ==，∴BE =，∴AD EFBE BF ==+=，【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、旋转的性质，解题关键是构造出矩形进行线段之间的转化．三、解答题（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.计算：2tan 454cos 30cot 30cot 45sin 601︒︒-︒-︒-︒-.8【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解．【详解】解：2tan 454cos 30cot 30cot 45sin 601︒︒-︒-︒-︒-2341232⎛⎫=⨯--⎪ ⎪⎝⎭)3414=⨯--(3122=++44=+8=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2BE CE =，AC 、DE 相交于点F．（1）求:DF EF 的值；（2）如果AB a =，AD b = ，试用a 、b 表示向量EF .【答案】（1）:3:1DF EF =（2）11124b a - 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则即可解决问题．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴=，AD BC ∥，DF AD EF EC ∴=，2BE CE = ，31BC EC ∴=，31DF EF ∴=即:3:1DF EF =；【小问2详解】解：2BE CE = ，23BE BC ∴=，23BE BC b ∴== ，ED EC CD =- ，13ED b a ∴=- ，31DF EF = ，14EF ED ∴=，11111443124EF ED b a b a ⎛⎫∴==-=- ⎪⎝⎭ ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.在直角坐标平面内，二次函数2y ax bx =+的图像经过点()1,5A -和点()1,3B -.（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，请用m 的代数式表示平移后函数图像顶点M 的坐标.【答案】（1）24y x x=--（2）()2,4m -+【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出平移前的顶点坐标和与y 轴的交点坐标，再确定平移的距离，即可求解．【小问1详解】将点()1,5A -和点()1,3B -代入解析式得到：53a b a b +=-⎧⎨-=⎩，∴14a b =-⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数的解析式为24y x x =--；【小问2详解】∵()22424y x x x =-=-++-，∴该图象的顶点为()2,4-，与y 轴的交点为()0,0，将这个二次函数的图像向上平移，交y 轴于点C ，其纵坐标为m ，则函数图象向上平移了m 个单位，∴平移后顶点M 的坐标为()2,4m -+．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和抛物线的平移，解题关键是牢记待定系数法的解法步骤和图象的平移规律．22.如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需绕行B 地．已知B 地位于A 地北偏东67︒方向，距离A 地390km ，C 地位于B 地南偏东30︒方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数，参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒≈，12tan 675︒≈ 1.73≈）．【答案】447km ．【分析】过点B 作BD ⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出A 地到C 地之间高铁线路的长．【详解】解：如图所示，过点B 作BD AC ⊥于点D ，则//BD AE ，由题意得：390km AB =，30CBD ∠=︒，//BD AE ，则67ABD BAE ∠∠==︒，BD AC ⊥ ，∴在Rt △ABD 中，sin AD ABD AB ∠=，cos BD ABD AB∠=，1239036013AD ∴=⨯=，539015013BD =⨯=，又在Rt BCD 中，30CBD ∠=︒，12CD BC ∴=，由勾股定理得：222CD BD BC +=，222150(2)CD CD ∴+=，解得：CD =，1.73≈，50 1.7387CD ∴≈⨯=，AC AD CD ∴=+36087=+447=，答：A 地到C 地之间高铁线路长为447km ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是斜边AB 的中点，点E 是边AC 上的一点，45EDF ∠=︒，DF 交射线BC 于点F ．（1）求证：ADE F ∠=∠；（2）求证：22BC AE BF =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）首先根据等要直角三角形的性质求出45A B ∠∠==︒，再根据外角的性质推EDF FDB A AED ∠∠∠∠+=+，根据45EDF ∠=︒，得AED FDB ∠∠=，从而证明ADE BFD ∽；（2）根据等腰直角三角形的性质得出22AD BD BC ∴==，根据（1）的结论得出=AD AE BF BD ，即可得证．【小问1详解】证明：90ACB ∠=︒ ，AC BC =，45A B ∠∠∴==︒，EDB ∠ 是ADE 的外角，EDF FDB A AED ∠∠∠∠∴+=+，45EDF ∠=︒ ，AED FDB ∠∠∴=，ADE BFD ∴ ∽．∴ADE F ∠=∠．【小问2详解】90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是斜边AB 的中点，11222AD BD AB ∴===⨯=，∵ADE BFD ∽，AD AE BF BD∴=，∴2221222AE BF AD BD BC BC BC ⋅=⋅=⨯=，22BC AE BF ∴=⋅．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形，熟练应用等腰直角三角形的性质，外角性质的应用是解题关键．24.如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B 点的坐标为()6,0，抛物线的对称轴为直线2x =，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）当BCD △的面积为154时，求点D 的坐标；（3）是否存在点D ，使得2∠=∠DCB ABC ？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2134y x x =-++（2）151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或75,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）存在，()2,4【分析】(1)利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；(2)连接OD ，设241,3D x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，即可求得点C 的坐标，即可求得OC 、OB ，再根据154BCD OCD ODB OBC S S S S =+-=△△△△，列方程求解即可；(3)过点D 作DE OB ⊥于点E ，过点C 作CF DE ⊥于F ，设DE 与BC 交于点G ，首先根据矩形的性质及2DCE ABC ∠∠=，即可证得DCF GCF ∠=∠，据此即可证得()ASA DCF GCF △≌△，可得DF GF =，再由点B 、C 的坐标，即可求得直线BC 的解析式为132y x =-+，设241,3D a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则OE a =，则(),3F a ，1,32G a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，可得241a DF a =-+，12GF a =，即可得方程，解方程即可求解．【小问1详解】解：B 点的坐标为()6,0，抛物线的对称轴为直线2x =，3663022a b b a++=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：141a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.，所以，抛物线的解析式为：2134y x x =-++；【小问2详解】解：如图：连接OD ，过点D 作DE OB ⊥于点E ，设241,3D x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，OE x ∴=，∵点D 是BC 上方抛物线上的一个动点，06x ∴<<，2341DE x x ∴=-++，令0x =，则3y =，()0,3C ∴，3OC ∴=．()6,0B ，6OB ∴=．BCD OCD ODB OBC S S S S =+-△△△△Q ，BCD △的面积为154，111122245OC OE OB DE OB OC ∴⋅+⋅-⋅=，∴21111363632224154x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯= ⎪⎝⎭，整理得：2650x x -+=．解得：1x =或5x =，D ∴的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或75,4⎛⎫ ⎪⎝⎭；【小问3详解】解：存在点D ，使得2∠=∠DCB ABC ，理由如下：如图：过点D 作DE OB ⊥于点E ，过点C 作CF DE ⊥于F ，设DE 与BC 交于点G ，∴四边形COEF 是矩形，CF OB ∴∥，3OC EF ==，GCF ABC ∴∠=∠，22DCB ABC GCF GCF DCF ∠=∠=∠=∠+∠ ，DCF GCF ∴∠=∠，在DCF 和GCF △中，90DCF GCF CF CF CFD CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()DCF GCF ASA ∴△≌△，DF GF ∴=，设BC 的解析式为：()0y mx n m =+≠，603m n n +=⎧∴⎨=⎩，解得：123m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的解析式为：132y x =-+，设241,3D a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则OE a =，则(),3F a ，1,32G a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵点D 是BC 上方抛物线上的一个动点，06a ∴<<，2341DE a a ∴=-++，3EF =，132GE a =-+22114334a DF DE EF a a a ∴=-=-++=-+-，113322FG EF GE a a ⎛⎫=-=--+= ⎪⎝⎭，21124a a a ∴-+=，整理得：220a a -=，解得12a =，20a =(不合题意，舍去)2a ∴=，∴点D 的坐标为()2,4．【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，坐标与图形，不规则图形面积的求法，一元二次方程的解法，全等三角形的判定及性质，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键．25.已知：在梯形ABCD 中，AB CD ，5AD BC ==， 2.5AB =，4sin 5D =，点E 是AD 边上一点，3DE =，点P 是CD 边上的一动点，连接EP ，作EPF ∠，使得EPFD ∠=∠，射线PF 与AB 边交于点F ，与CB 的延长线交于点G ，设DP x =，BG y =.（1）求CD 的长；（2）试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接EF ，如果EFP △是等腰三角形，试求DP 的长.【答案】（1）8.5CD =（2）2117556362y x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭＜＜（3）5或256【分析】（1）先作辅助线构造两个直角三角形，证明全等后，利用勾股定理求解即可；（2）证明GPC PED △∽△，利用对应边成比例即可求解；（3）分为三种情况讨论哪两条边是腰，再构造相似三角形和平行四边形，分别利用相似三角形的判定与性质求解即可．【小问1详解】∵在梯形ABCD 中，AB CD ，5AD BC ==， 2.5AB =∴D C ∠=∠，分别过A 点、B 点作AM CD ⊥于M ，BN CD ⊥于N ，∴四边形AMNB 是矩形，∴AM BN =， 2.5MN AB ==∴()Rt Rt HL AMD BNC △≌△，∴=MD NC ，∵4sin 5D =，∴sin 4AM AD D =⋅=，∴3DM =，∴3CN =，∴3 2.538.5CD DM MN CN =++=++=；【小问2详解】∵EPF D ∠=∠，∴EPD FPC DPE DEP ∠+=∠+∠∠，∴FPC DEP =∠∠，又∵D C∠=∠∴GPC PED △∽△，∴GC PCPD ED =，∵3DE =，DP x =，BG y =，∴58.53y xx +-=，∴2117536y x x =-+-，∵x ＞0，0y ＞，∴562x ＜＜，∴2117556362y x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭＜；【小问3详解】∵AB CD ，∴GFB GPC △∽△，∴GFB GPC PED △∽△∽△，∴GF GB PF BC =，GF GB PE PD=，当PE PF =时，∴GB GB PD BC =，∴PD BC =，∴5x =；当FE FP =时，FEP FPE ∠=∠，∵EPF D ∠=∠，∴EPF D C FEP ∠=∠==∠∠，过B 点作BQ AD ∥交CD 于点Q ，∴BQC 是等腰三角形，四边形ADQB 是平行四边形，BQC C=∠∠∴5BQ BC ==， 2.5DQ AB ==，∴8.5 2.56CQ DC DQ =-=-=，∵EPF FEP BQC C ∠==∠=∠∠，∴FEP BQC △∽△，∴56FP CB EP QC ==，过F 点作FH BC ∥，交DC 于H ，∴FPH GPC △∽△，∴FPH PED △∽△，∴FP FH EP DP=，∴556x =，∴6x =（不合题意，舍去），若EP EF =，同理可证EPF BQC △∽△，FPH PED△∽△得56PE PF =，5PE PD x PF FH ==，∴565x =，∴256x =，综上可得：如果EFP △是等腰三角形，DP 的长为5或256．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰梯形的性质等，涉及到了勾股定理、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，本题综合性较强，解题关键是发现或构造相似三角形，本题包含了分类讨论的思想方法等．。

2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三年级数学学科 2014.1(满分∶150分，考试时间∶100分钟)考生注意∶1．本试卷含3个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题∶(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在比例尺为1∶2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为 （ ）A ．10m ；B ．25m ；C ．100m ；D ．10000m ． 2．在△ABC 中，C ∠=90°，13AB =，5BC =，则sinA 的值是（ ）A ．513；B ．1213； C ．512； D ．135． 3．抛物线()21232y x =--的顶点坐标是（ ） A ．()2,3； B ．()2,3-； C ．()2,3- ； D ．()2,3--．4．已知抛物线()232y ax x a =++-，a 是常数且0a <，下列选项中可能是它大致图像的是（ ）5．下列命题中是假命题的是（ ）A ．若a b =，b c =，则a c =；B ．()222a b a b -=-； C ．若12a b =-，则a ∥b ； D ．若a b =，则a b = 6．已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为3、4、5，如果△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ）A ．1.5；B ．2；C ．2.5；D ．3．二、填空题∶(本大题共12题，每题4分，满分48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知34a b =，则2a a b+的值为 ．D C B A 第9题E D A BC 第10题FD C A BE 8．计算：()()23m n m n ++-= ．9．如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，若10AC =，4AE =，则BC = ．10．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若DE ∶EC =2∶3，则DEF S ∶ABF S = ．11．如图，已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，若点A 的坐标为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点B 的坐标为 ．12．如果抛物线()231y x =++经过点()11,A y 和点()23,B y ，那么1y 与2y 的大小关系是1y 2y （填写“>”或“<”或“=” ）．13．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且AD ⊥BD ，若=1CD ，=3BC ，那么∠A 的正切值为 ．14．在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为β，那么楼底到这个十字路口的水平距离是 米．（用含β的代数式表示）15．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，AB a =，AD b =，那么=BG （用a 、b 表示）．16．△ABC 中，5AB AC ==，8BC =，那么sinB = ．17．将二次函数23y x =的图像向左平移2个单位再向下平移4个单位，所得函数表达式是()2324y x =+-，我们来解释一下其中的原因：不妨设平移前图像上任意一点P 经过平移后得到点P '，且点P '的坐标为(),x y ，那么P '点反之向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点()2,4P x y ++，由于点P 是二次函数23y x =的图像上的点，于是把点()2,4P x y ++坐标代入23y x =进行整理就得到()2324y x =+-．类似的，我们对函数()11y x x =+的图像进行平移：先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图像的函数表达式为 ．18．如图，矩形ABCD 中，=8AB ，=9BC ，点P 在BC 边上，3CP =，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP BR =，则=QR BQ． 第13题 第18题F CB AD E F E A C DB三、解答题∶（本大题共7分，满分78分）19．（本题满分10分）计算：222230+6030+6045+6030sin tan tan sin cos cot cos ⋅⋅．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，12AE AC =，F 为AC 的 中点． （1）设BF a =，AC b =，试用xa yb +的形式表示AB 、ED （x 、y 为实数）； （2）作出BF 在BA 、BC 上的分向量（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）．21．（本题满分10分） 某商场为了方便顾客使用购物车，将滚动电梯由坡角30°的坡面改为坡度为1:2.4的坡面．如图，BD 表示水平面，AD 表示电梯的铅直高度，如果改动后电梯的坡面AC 长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长（结果保留根号）．22．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）已知：如图，△ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点，CD 平分∠ECB ，且2BC BD BA =⋅． （1）求证：△CED ∽△ACD ；（2）求证：AB CE BC ED=．23．（(本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分）在△ABC 中，D 是BC 的中点，且AD AC =，DE ⊥BC ，与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点 F ． （1）求证：△ABC ∽△FCD ；（2）若=3DE ，=8BC ，求△FCD 的面积．24．（本题满分12分，每小题各6分） 如图，直线3y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且3tan CBO ∠=．C BD E A（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（(本题满分14分，其中第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分) ）如图，△ABC 中，=5AB ，=11BC ，35cosB =，点P 是BC 边上的一个动点，联结AP ，取AP 的中 点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PN ，联结AN ，NC ．（1）当点N 恰好落在BC 边上时，求NC 的长；（2）若点N 在△ABC 内部（不含边界），设BP x =，CN y =，求y 关于x 的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若△PNC 是等腰三角形，求BP 的长．2013年第一学期徐汇区初三数学答案（2014.1）一、选择题∶1．C ．2．A ．3．B ．4．B ．5．D ．6．D ．二、填空题∶7．67． 8．5m n -．9． 15．10．425． 11．2(2,)3 ． 12．<．13．13．14．100cot β． 15.．23a b -+． 16．35． 17．213y x x =+-． 18．1或4198+． 三、解答题∶19．94． 20．（1）12AB a b =-+，1324ED a b =-+；（2）略．21．(1253)-米．22．略．23．（1）略；（2）4.5．24．（1）243y x x =++；()2,1D --；（2）P (4,3)--或52(,)33--．25．（1）2NC =； （2）2578333(36)2x x y x -+=<<；（3）7BP =或414193+或4115-．。