2-5隐函数

第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。

本文将介绍隐函数的求导公式。

隐函数求导的关键在于使用链式法则。

链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。

在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。

设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。

我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。

首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。

这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。

首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。

换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。

其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。

以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。

首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。

例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。

e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。

例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。

第五节 隐函数的求导公式在一元函数中，我们已经提出了隐函数的概念，并且提出了不经过显化真接由方程()0,=y x F （1）求它所确定的隐函数的导数的方法。

现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法则导出多元隐函数的导数公式。

隐函数存在定理1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,00=y x F , ()0,00'≠y x F y 。

则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()x f y =，它满足条件()00x f y =， 并有''yx FF dxdy -= (2)公式(2)就是隐含数的求导公式这个定理我们不证，现仅就公式)2(作如下推导。

将方程(1)所确定的函数()x f y =代入(1)，得恒等式 ()()0,≡x f x F其左边可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，即有0=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF由于'y F 连续，且 ()0,00'≠y x F y ,所以存在()00,y x 的一个邻域，在这个邻域内 0'≠y F于是得''yx FF dxdy -=隐函数存在定理可以推广到多元函数，既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那么一个三元方程()0,,=z y x F 就有可能确定一个二元隐函数。

与定理1相仿，我们同样可以由三元函数()z y x F ,,的性质来断定由方程()0,,=z y x F 所确定的二元函数()y x f z ,=的存在性及这个函数的性质，这就是下面的定理。

隐函数存在定理2 设函数()0,,=z y x F 在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续偏导数，且()0,,000=z y x F ，()0,,000'≠z y x F z 。

第五节隐函数求导法则隐函数是指由关系式给出的函数，其自变量和因变量之间的关系不用显式地给出函数表达式。

在实际问题中，往往需要求出这种隐函数的导数。

本节将介绍隐函数求导的方法和一些常见的隐函数求导法则。

一、隐函数求导的基本方法首先我们来回顾一下显函数求导的基本方法。

对于显函数，我们可以直接对函数表达式使用求导公式进行求导。

但对于隐函数，由于函数表达式未知，我们需要使用一些特殊的方法来求导。

假设我们有一个由关系式 F(x,y)=0 给出的隐函数，我们要求该隐函数关于 x 的导数 y'=dy/dx。

隐函数的求导可分为以下几个步骤：1.对关系式两边同时求导，得到F'(x,y)+F'(y,x)y'=0。

2.将y'移至方程右边得到y'=-F'(x,y)/F'(y,x)。

3.根据关系式求出y的表达式，代入y'=-F'(x,y)/F'(y,x)中，即得到y'的表达式。

这种求导的方法称为隐函数求导的基本方法，下面我们将介绍一些常见的隐函数求导法则来简化上述的步骤。

1.加法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)+G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)+G'(x,y)y'=0。

2.乘法法则：如果隐函数关系式为F(x,y)·G(x,y)=0，则求导后得到F'(x,y)G(x,y)+F(x,y)G'(x,y)y'=0。

3.反函数法则：如果隐函数关系式为G(F(x,y))=0，其中G是F的反函数，则求导后得到G'(F(x,y))·F'(x,y)+G(F(x,y))=0。

4.传递法则：如果隐函数关系式中存在中间变量Z，即F(x,y,z)=0，其中x和z可看作自变量，y为中间变量，则求导后，将得到一个含有z的隐函数关系式，再对其中的x和z分别求导。

毕业论文开题报告数学与应用数学隐函数的理论与应用一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式（或分段函数用不同的解析式）表示的，如，2y 3x x =+，223z x xy y =+-.x 12x 1,0y x +≥⎧=⎨-<⎩，当x 0时当时，这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个（或多个）方程F(x ,y)=0或F(x,y,z)=0来确定的，这时我们称由F(x ,y)=0或F(x,y,z)=0确定的函数为隐函数.二、相关研究的最新成果及动态本文的主要目的是通过对大量文献资料的查阅，寻找各种相关信息，向人们介绍隐函数的理论知识，并且通过隐函数的知识解决一些几何问题和实际问题.本论文首先引出一些关于隐函数的概念．以下是有关概念：定义[1]：设X R ⊂,Y R ⊂，函数F :X Y R ⨯→.对于方程F(x,y)=0 （1）若存在集合I X ⊂与J Y ⊂，使得对于任何x I ∈，恒有惟一确定的y J ∈，它与x 一起满足方程（1），则称由方程（1）确定一个定义在I 上，值域含于J 的隐函数.定义[2]：设F(x,y,z)和(,,)G x y z 为定义在区域3V R ⊂上的两个三元函数。

若存在区间I ,对于I 内任意一点x ,分别有区间J 和K 上唯一的一对值y J ∈,z K ∈, 它们与x 一起满足方程组(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ （2）；则说方程组(2)确定了两个定义在区间I 上,值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数为由方程组(2)所确定的隐函数组,若分别记这两个函数为()y y x =,()z z x =,则在区间I 上成立恒等式(,(),())0F x y x z x ≡和(,(),())0G x y x z x ≡.隐函数存在惟一性定理[3]若满足下列条件：（i ）函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续；（ii ）00(,)0F x y =（通常称为初始条件）；（iii ）在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ；（iv ）00(,)0y F x y ≠，则在点0P 的某领域0()U P D ⊂内，方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+内的函数（隐函数）()y f x =，使得① 0000(),(,)f x y x x x αα=∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡；② ()f x 在00(,)x x αα-+内连续.隐函数存在定理的推广定理1[4] 设(,)F x y 在00(,)x y 的一个领域内连续，满足1）00(,)0F x y =2）存在正数0M σ>>及0δ>，使以下（A ）、（B ）两条件至少有一个成立 （A ）00,(,),,(,)D F x y D F x y M σ≥≤ 00[,]y y y δδ∀∈-+（B ）00,(,),,(,)D F x y D F x y M σ≤-≥- 00[,]y y y δδ∀∈-+这里0,(,)D F x y 等是关于y 的Dini 导数.那么存在00[,]x x δδ-+上的连续函数()x ϕ，使00(),(,())0x y F x x ϕϕ==定理2[5] 函数(,)F x y 是带域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤-∞<<∞上的有界函数，(,)F y g 的导数处处存在，且满足'0(,)m F x y M <≤≤，(,)F x g 在[,]a b 上Lebesgue 可测，则存在()[,]y x L a b ∈%，使得(,())0F x y x =%.定理3[6] 若函数(,)Z F x y =满足下列条件:（1）函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2D R <上连续；（2）00(,)0F x y =；（3）在D 内存在关于y 的直到1n +阶的连续偏导数,且'()000(,)0,,(,)0n y y F x y F x y ==L ;（4）(1)00(,)0n y F x y +≠.则当n 为偶数时,在点0P 的某领域0()U P D <内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x A x A -+内的函数(隐函数)()y f x =,使得（1）0000(),(,)f x y x x A x A =∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡；（2）()f x 在00(,)x A x A -+内连续;注:当n 为奇数时,无法判断隐函数的存在性,也无法判断惟一性.隐函数组定理[7]设方程组F(x,y,u,v)=0(,,,)0G x y u v ⎧⎨=⎩（3）， 若（3）中的F 与G 满足：（i ）在4V R ⊂上连续，00000(,,,)int p x y u v V ∈；（ii ）00()()0F p G p ==；（iii ）在V 内存在一阶连续偏导数；（iv ）00000()()|0()()u v p u v F p F p J G p G p =≠，则01、000()()()P Q W V ∃=⨯⊂U U U 000000((,),(,))Q x y W u v =使0(,)()x y Q ∀∈U ，10(,)()u v W ∃∈U ，即有(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，0(,)()x y Q ∈U ，0(,)()u v W ∈U 满足0000(,),(,)u u x y v v x y ==及(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y u x y v x yG x y u x y v x y =⎧⎨=⎩，0(,)()x y Q ∈U ； 02、(,),(,)u u x y v v x y ==在0()Q U 内连续；03、(,),(,)u u x y v v x y ==在0()Q U 内存在一阶连续偏导数，且1(,),(,)1(,),(,)u F G x J x v u F G y J y v ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩1(,),(,)1(,).(,)v F G x J u x v F G y J u y ∂∂⎧=-⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ 隐函数求导的方法[8]1、显化法把隐函数化为显函数后，再利用显函数求导数的方法来求隐函数的导数.此种方法常用于较容易化为显函数的隐函数的求导，但是此种方法由于受有些隐函数不能或较难化为显函数限制，而不是很常用.2、公式法 利用公式：'''x xy F y F =-来求隐函数的导数的方法[9].这种方法要求先把确定隐函数的方程写成(,)0F x y =的形式，再对(,)0F x y =的两边同时分别对,x y 求导数，然后再利用该公式求出'x y .而且在对(,)F x y 的两边同时分别求导数时，需要先后把,y x 看作常数(其实是根据,x y 为(,)F x y 的独立变量)这对初学者来说不容易分辨.而且此方法的计算量较大.3、微商法利用对确定隐函数的方程两边同时求微分，再根据函数的微分与函数的导数之间的关系（y 对x 的导数即为y 的微分与x 的微分的商）求出隐函数的导数的方法.此种方法与公式法有着同样的缺点，即：在求微分的过程中需要分别把,x y 看作独立变量，而且该方法比公式法的计算过程更复杂一些.4.参数法引入参数把隐函数转换成由参数方程所确定的函数，再利用参数方程组所确定的函数的求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法在把隐函数转换成由参数方程组所确定的函数时，步骤较为复杂，因此一般很少使用.5、复合法把隐函数转换成复合函数，再利用复合函数求导法则来求该隐函数的导数的方法.该方法的原理类似于对数求导法原理，但比对数求导法适用性更广泛.6、直接法直接把确定隐函数的方程中的y 看成是x 的函数,再对方程的两边同时求对x 的导数，从而得到一个含有'x y 的方程，由此方程解出'x y 的方法.该方法具有很好的适用性，因此也被广泛使用，但是该方法要求使用者比较熟悉复合函数的求导法、对数求导法等一些基本的导数知识，而且若能够把此方法和复合法灵活地结合起来使用，将是求导数问题的一个极其有用的工具.隐函数极值定理定理1[10] 设函数(,)f x y 在00(,)x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且0000(,)0,(,)0,(,)0x y f x y f x y f x y ==≠，则当0000(,)0(,)xx y f x y f x y >时,由方程(,)0f x y =确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当0000(,)0(,)xx y f x y f x y <时, 由方程(,)0f x y =确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值. 定理2[11] 设函数12(,,,,)n f x x x y L 在点0000012(,,,,)0n p x x x y =L 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数,且000012(,,,,)0(1,2,,)i x n f x x x y n n ==L L ，00001212(,,,,)0,(,,,,)0n y n f x x x y f x x x y =≠L L . 由方程12(,,,,)0n f x x x y =L 所确定的n 元函数为12(,,,)n y y x x x =L ，则当0()()ij H p h =为正定矩阵时,12(,,,)n y y x x x =L 在0p 处取得极小值;当0()()ij H p h =为负定矩阵时,12(,,,)n y y x x x =L 在0p 处取得极大值;当0()()ij H p h =为不定矩阵时,12(,,,)n y y x x x =L 在0p 处不取得极值.其中000012000012(,,,,),,1,2,,(,,,,)i j x x n ij y n f x x x y h i j n f x x x y =-=L L L .隐函数[12]的极值求法（一）隐函数(,)0F x y =确定的函数的极值求解步骤归纳如下[13]：⑴利用隐函数求导方法求出'(,)(,)f x y yg x y =. ⑵求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点（驻点），即(,)0,(,)0f x y g x y =≠的点；导数不存在的点(,)0,(,)0f x y g x y ≠=的点；有的隐函数还存在同时既是导数等于零的点又是导数不存在的点.⑶对于(,)0,(,)0f x y g x y =≠的点一般用第二充分条件判断；对于(,)0,(,)0f x y g x y ≠=的点可用反证法说明或从函数方程来考虑，对于(,)0,(,)0f x y g x y ==的点只能从函数本身来考虑．（二）几何判别法[14]对于隐函数的极值问题,通常是根据隐函数求导法求出隐函数的一阶和二阶导数,再根据多元显函数取极值的必要和充分条件,求得隐函数的极值.利用方向导数讨论隐函数极值却很少见到.所以我们在方向导数的基础上,得到了隐函数的几何判别法,丰富了隐函数极值的判别理论.下面来看一下隐函数在几何，经济方面的应用（一）在几何中的应用[15]例：求一条平面二次曲线L ，使过点A 与点B ，且分别在点A 与点B 处与直线,AC BC 相切（图1），并证明直线CP 在曲线L 上点P 处的法线上，其中点P 为点C 到曲线的最近点.解：（1）先求二次曲线L 的方程.设直线,,AB AC BC 的方程分别为:(,)0AB l x y ax by c =++=，1111:(,)0AC l x y a x b y c =++=， （1）2222:(,)0BC l x y a x b y c =++=，其中直线AB 与AC 相交于点A ，直线AB 与BC 相交于B ，11()()()()0l A l B l A l B ====.令212(,)(,)(,)(1)(,)(0)F x y Ll x y l x y L l x y L =+-≠，则(,)0F x y =是二元二次方程，表示一条圆锥曲线L （即不过圆锥顶点的任意平面截圆锥所得的曲线）.由于12()()0,()0l A l A l A ==≠曲线L 在点A 处的法向量（即该点处与切向量垂直的向量）{}()(),()y x y n A F A F A =，其中122112999()(1)2()999x A l l l F A L l l L l La l A x x x ⎧⎫⎡⎤=++-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，12()()y F A Lb l A =于是，法向量{}{}21121()(),()(),()y y x y n A F A F A Ll A a b Ll A n ===，而{}111,y n a b =是直线AC 在点A 处的法向量，故曲线L 在点A 处与直线AC 相切.同理可得曲线L 在点B 处与直线BC 相切.因此，所求平面二次曲线的方程为212:(,)(,)(1)(,)0L Ll x y l x y L l x y +-=其中12(,),(,),(,)l x y l x y l x y 由（1）式确定.（2）下证直线CP 在曲线L 上点P 处的法线上.设点(,)P x y 为点00(,)C x y 到曲线L 的最近点，则点P 的坐标满足方程(,)0F x y =，并使距离d =.构造Lagrange 函数 2200(,)()()(,)T x y x x y y KF x y =-+-+，则点P 的坐标还满足方程组002()02()0x x yy T x x KF T y y KF =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩，因此 002x yx x y y K F F ---== （2） 又曲线(,)0F x y =在点P 处的法向量为{},y x y N F F =，而向量{}00,CP x x y y =--u u u r ，由（2）式知2K CP N =-u u u r u u r ，即CP 在曲线L 上点P 处的法线上. （二）在经济方面的应用[16]以一个简单的国民收入模型为例介绍了隐函数定理及在其基础之上推导出来的比较静态分析一般形式体系在经济学比较静态分析中的应用.三、课题的研究内容及拟采取的研究方法（技术路线）、难点及预期达到的目标（1）研究内容本课题主要是研究隐函数的理论知识及其在几何与经济中的应用．（2）研究方法探讨隐函数的理论知识与应用问题，要理论联系实际！怎么把隐函数的知识应用到实际中！隐函数的知识在实际中有很广泛的作用．主要是通过大量的搜查资料，寻找相关信息，总结隐函数的理论知识和实际应用.我将会通过上网和去图书馆借相关的书来得到资料信息．（3）技术路线尽可能的收集足够的相关资料，对资料中的理论研究成果进行整理分析，相互比较后进行总结并尽量得到新的应用．（4）研究难点怎样把隐函数的理论知识应用到实际问题中．（5）预期达到的目标利用隐函数理论知识解决生活中的一些实际问题．四、论文详细工作进度和安排1．指导学生收集资料完成毕业论文的文献检索，泛读相关文章，形成系统材料。