函数的最大值最小值解读

第08课时-函数的最大值与最小值教学目的：使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间[a,b]上所有点（包括端点a,b处的函数中的最大(或最小)值必有的充分条件；使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系.教学过程：一、复习1.极大(小)值：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜(>)f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大(小)值=f(x0)，x0是极大(小)值点.2.极大值与极小值统称为极值:在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.3.求可导函数f(x)的极值的步骤:二、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)的图象．最大值是f(x一般地，在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.说明：(1)在开区间(a ,b )内连续的函数f (x )不一定有最大值与最小值．如函数f (x )=x 1在(0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值；(2)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.(3)函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，是f (x )在闭区间[a ,b ]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件.(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.三、例题选讲： 利用导数求函数的最值例1：求下列函数在相应区间上的最大值与最小值. (1) y =x 4-2x 2+5，x ∈[-2,2]；(2)x x x f sin 21)(+=，x ∈]2,0[π(1)解：先求导数，得x x y 443/-=令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4 .小结：利用导数求函数的最值步骤:由上面函数f (x )的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了.设函数f (x )在[a ,b ]上连续，在(a ,b )内可导，则求f (x )在[a ,b ]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f (x )在(a ,b )内的极值；(2)将f (x )的各极值与f (a )、f (b )比较得出函数f (x )在[a ,b ]上的最值.练习：求下列函数的值域：（1）]4,0[,)2()1(22∈--=x x x y ； （2）]4,2[,2122-∈-+=x x xy ；（3）)10(3)(3≤≤+-=x ax x x f （a 为常数）.例2：已知动点M 在抛物线y 2=2px (p >0)上，问M 在何位置时到定点P (p ,p )的距离最短.练习：动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点，O为原点，设S=|OP|2，求S的最小值.例3：已知x,y为正实数，且满足关系式x2-2x+4y2=0，求x⋅y 的最大值.例4：已知抛物线y= -x2+2，过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程.小结：⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；⑵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，是f(x)在闭区间[a,b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.例5：设a ∈R ，函数f (x )=x 2e 1-x -a (x -1)．(1)当a =1时，求f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，2内的极大值； (2)设函数g (x )=f (x )+a (x -1-e 1－x )，当g (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)时，总有x 2g (x 1)≤λf '(x 1)，求实数λ的值．(其中f '(x )是f (x )的导函数)．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2e 1－x －(x －1)，则f '(x )＝(2x －x 2)e 1－x－1＝(2x －x 2)－e x －1e x －1， 令h (x )＝(2x －x 2)－e x －1，则h '(x )＝2－2x －e x －1，显然h '(x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数，又h ′⎝⎛⎭⎫34＝12－14e<0，故x ∈⎝⎛⎭⎫34，2时，总有h '(x )<0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内是减函数．又h (1)＝0，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫34，1时，h (x )>0，从而f '(x )>0，这时f (x )单调递增，当x ∈(1,2)时，h (x )<0，从而f '(x )<0，这时f (x )单调递减，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫34，2内的极大值是f (1)＝1.(2)由题可知g (x )＝(x 2－a )e 1－x ，则g '(x )＝(2x －x 2＋a )e 1－x ＝(－x 2＋2x ＋a )e 1－x .根据题意，方程－x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实根x 1，x 2(x 1<x 2)， 所以Δ＝4＋4a >0，即a >－1，且x 1＋x 2＝2， 因为x 1<x 2，所以x 1<1.由x 2g (x 1)≤λf ′(x 1)，其中f ′(x )＝(2x －x 2)e 1－x －a ，可得(2－x 1)(x 21－a )e1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1－a ]，注意到－x 21＋2x 1＋a ＝0，所以上式化为(2－x 1)(2x 1)e 1－x 1≤λ[(2x 1－x 21)e 1－x 1＋(2x 1－x 21)]，即不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0对任意的x 1∈(－∞，1)恒成立．①当x 1＝0时，不等式x 1[2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)]≤0恒成立，λ∈R ；②当x 1∈(0,1)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≤0恒成立，即λ≥2e 1－x 1e 1－x 1＋1，令函数k (x )＝2e 1－x e 1－x ＋1＝2－2e 1－x ＋1，显然，k (x )是R 上的减函数，所以当x ∈(0,1)时，k (x )<k (0)＝2e e ＋1，所以λ≥2ee ＋1；③当x 1∈(－∞，0)时，2e 1－x 1－λ(e 1－x 1＋1)≥0恒成立，即λ≤2e 1－x 1e 1－x 1＋1，由②，当x ∈(－∞，0)时，k (x )>k (0)＝2e e ＋1，所以λ≤2ee ＋1.综上所述，λ＝2ee ＋1.作业布置：完成《全品》练习册P15-16完成《全品》单元测评（一）A。

第七讲 函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析 题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解 从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120． 2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解 由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解 因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解 设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g (x)的解析式和p的值．解 由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解 去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得 -4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明 本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解 将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4·y·(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即 y2-3y-4≤0． ②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解 先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明 在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析 先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习七1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。

函数的最大值和最小值一、教学目标：1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 让学生掌握求函数最大值和最小值的方法。

3. 培养学生解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 函数的最大值和最小值的定义。

2. 求函数最大值和最小值的方法。

3. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数的最大值和最小值的定义，求最大值和最小值的方法。

2. 教学难点：如何运用方法求解实际问题中的最大值和最小值。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。

2. 利用案例分析，让学生理解最大值和最小值在实际问题中的应用。

3. 开展小组讨论，培养学生合作解决问题的能力。

五、教学过程：1. 引入新课：通过生活中的例子，如购物时如何选择最划算的商品，引出函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解概念：详细讲解函数的最大值和最小值的定义，让学生明确最大值和最小值的意义。

3. 方法讲解：讲解求函数最大值和最小值的方法，并通过示例进行演示。

4. 案例分析：分析实际问题中的最大值和最小值，让学生了解最大值和最小值在生活中的应用。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，运用所学方法解决实际问题。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调最大值和最小值的概念及求解方法。

7. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

课后反思：本节课通过生活中的例子引入最大值和最小值的概念，让学生容易理解。

在讲解方法时，结合示例进行演示，有助于学生掌握。

在案例分析和小组讨论环节，学生能够积极参与，运用所学知识解决实际问题。

但部分学生在理解最大值和最小值的应用时仍有一定难度，需要在今后的教学中加强引导和练习。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、作业批改和课后访谈等方式，了解学生对函数最大值和最小值概念的理解程度。

2. 评估学生在实际问题中运用最大值和最小值方法的能力。

3. 根据学生的表现，调整教学策略，以提高教学质量。

七、教学拓展：1. 引导学生关注其他类型的函数（如二次函数、指数函数等）的最大值和最小值问题。

函数的最大值和最小值教案第一章：函数最大值和最小值的概念1.1 函数最大值1.2 函数最小值1.3 函数的最大值和最小值的意义第二章：函数的单调性2.1 单调递增函数2.2 单调递减函数2.3 单调性与最大值最小值的关系第三章：一次函数的最大值和最小值3.1 一次函数的图像特征3.2 一次函数的最大值和最小值的求法3.3 实际问题中的应用第四章：二次函数的最大值和最小值4.1 二次函数的图像特征4.2 二次函数的最大值和最小值的求法4.3 实际问题中的应用第五章：分段函数的最大值和最小值5.1 分段函数的定义5.2 分段函数的最大值和最小值的求法5.3 实际问题中的应用本教案旨在帮助学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握求解函数最大值和最小值的方法，并能够将所学知识应用于解决实际问题。

在教学过程中，应注意引导学生通过观察函数图像、分析函数性质来求解最大值和最小值，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

结合具体实例，使学生能够更好地理解函数最大值和最小值在实际问题中的应用。

第六章：利用导数求函数的最值6.1 导数的定义6.2 导数与函数单调性的关系6.3 利用导数求函数的最值第七章：利用基本不等式求最值7.1 基本不等式的概念7.2 基本不等式在求最值中的应用7.3 常见不等式求最值的方法第八章：函数最值在实际问题中的应用8.1 最大利润问题8.2 最小成本问题8.3 最优路径问题第九章：函数最值的计算技巧9.1 换元法9.2 构造法9.3 利用不等式性质求最值10.1 函数最值的重要性质10.3 函数最值在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析一、函数最大值和最小值的概念补充说明：理解函数最大值和最小值在数学分析中的重要性，以及它们在实际问题中的应用。

二、函数的单调性补充说明：深入解析单调性如何影响函数的最大值和最小值的求解，以及如何利用单调性进行简化计算。

三、一次函数的最大值和最小值补充说明：详细阐述一次函数图像特征对最大值和最小值求解的影响，以及如何通过图像分析得到答案。

函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。

教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。

3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。

教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。

二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。

2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。

三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。

四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。

五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。

2. 逐个解答学生提出的疑问。

教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。

在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。

通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。

总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。

但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。

六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。

2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。

3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。

七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。