函数的最大(小)值

《函数的最大(小)值》知识解读
1.函数的最大(小)值 ()0)f x ,则称()0x ),而0x )x 的定义域为(
)0)f x ,则称)0x ),而0x 辨析比较
函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系:函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域. (2)区别:
①函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不一定存在;
②若函数的最值存在,则最值一定是值域中的元素,例如,函数2()f x x =对任意的
x ∈R ,都有()1f x -,但是()f x 的最小值不是1-,因为1-不在()f x 的值域内; ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值. 2.利用函数的单调性求最值的常用结论
(1)如果函数()y f x =在区间[,]a b 上单调递增,在区间[,]b c 上单调递减,则函数
(),[,]y f x x a c =∈在x b =处有最大值()f b ,如图所示.
(2)如果函数()y f x =在区间[,]a b 上单调递减,在区间[,]b c 上单调递增,则函数
(),[,]y f x x a c =∈在x b =处有最小值()f b ,如图所示.
特别提醒
一般情况下,利用函数的单调性就可以求出函数的最值.但是对于定义域为闭区间的函数,还需要确定出函数在端点处函数值的大小,并与前面的最值进行比较,最大(小)者即函数的最大(小)值.。

函数的最大值与最小值常见方法1、配方法利用平方数恒大于或等于0，将所给的函数配成若干个平方以及一些常数的代数和的形式，然后再求最值例如：配成(x±m)2±n的形式（m，n为常数）对于三角函数，可以配成类似sinα±k的形式（k为常数）2、判别式法利用实系数一元二次方程有实根，则它的判别式∆≥0，从而可以确定系数中参数的范围，进而求得最值。

例如：求y=x 2−2x−32x2+2x+1的最大值和最小值去分母并整理得：(2y−1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0（注意判断2y-1是否为0）根据判别式∆解关于x的二次方程求最值。

3、不等式法利用不等式取等号，可得到一个最值问题的解例如：已知x、y是实数，且满足x2+xy+y2=3，求u=x2−xy+y2的最大值与最小值。

将两个式子相减再除以2，得xy=3−u2，带入条件得(x+y)2=9−u2、(x−y)2=3u−32可以得到1≤u≤9三角函数不等式法例如：|cos x|≤1，|sin x|≤14、换元法把复杂的目标函数变形为较简单的函数形式，或将不易求得最值的函数形式化成容求得的最值的形式。

例如：已知α∈[0，π2]，求y=√5−4sinα+sinα的最小值和最大值。

通过变量代换，把y表示成二次函数的形式：设x=√5−4sinα，因0≤sinα≤1，所以1≤x≤√5，且sinα=5−x24，于是可以配成y=x+5−x24=−14(x−2)2+94（1≤x≤√5）5、构造法根据欲求最值的函数的特征，构造反映函数关系的几何图形，然后借助于图形可较容易地求得最大值和最小值。

例如：求函数f(x)=√x4−3x2−6x+13−√x4−x2+1的最大值，及此时x的值。

将原式整理成：f(x)=√(x−3)2+(x2−2)2−√x2+(x2−1)2后，可以发现√(x−3)2+(x2−2)2表示点P（x，x2）到点A（3,2）的距离，√x2+(x2−1)2表示点P（x，x2）到点B（0,1）的距离，再用图像法来解题。

函数最大值的求法
---------------------------------------------------------------------- 函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值，下面是求最大值和最小值的方法。

一、求函数的最大值和最小值：
f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。

一般而言，可以把函数化简，化简成为:
f(x)=k (ax+b)2+c的形式，在x的定义域内取值。

当k>0时，k(ax+b)2≥0，f(x)有极小值c。

当k<0时，k(ax+b)2≤0，f(x)有最大值c。

二、常见的求函数最值方法有：
1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, 0,求出y的最值，此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性﹒首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。

4、利用均值不等式，形如的函数，及，注意正,定,等的应用条件，即: a，b均为正数，是定值,a=b的等号是否成立。

5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。

函数的最大（小）值（一）教学目标1．知识与技能（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.（2）理解函数的最大（小）值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最值是函数单调性的应用之一.2．过程与方法借助函数的单调性，结合函数图象，形成函数最值的概念. 培养应用函数的单调性求解函数最值问题.3．情感、态度与价值观在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想，感知数学问题求解途径与方法，探究的基本技巧，享受成功的快乐.（二）教学重点与难点重点：应用函数单调性求函数最值；难点：理解函数最值可取性的意义.（三）过程与方法合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题1．函数f(x) = x2. 在( –∞，0)上是减函数，在[0，+∞）上是增函数. 当x≤0时，f (x)≥f(0)， x≥0时，f(x)≥f(0).从而x R. 都有f (x) ≥f(0).因此x = 0时，f (0)是函数值师生合作回顾增函数、减函数的定义及图象特征；师生合作定性分析函数f (x)的图象特征，通过图象观察，明确函数图象在整个定义域上有最低点和最高点，从而认识到最低点和最高点的函数值是函数的最小值和最大值.应用单调性的定义和函数图象感知函数的最小值和最大值.中的最小值.2．函数f (x) = –x2同理可知x R. 都有f (x)≤f (0). 即x = 0时，f (0)是函数值中的最大值.形成概念函数最大值概念：一般地，设函数y = f (x)的定义域为I. 如果存在实数M满足：（1）对于任意x都有f(x) ≤M.（2）存在x0I，使得f(x0) =M.那么，称M是函数y= f(x) 的最大值.师：对于函数y = f (x)、f (x0)为其最大值. 即f (x)≤f (x)意味着什么？生：f (x0)为函数的最大值，必须满足：①x0定义域；②f (x0) 值域；③f (x0)是整个定义域上函数值最大的.由实例共性抽象获得最大值概念.形成概念函数最小值概念.一般地：设函数y = f (x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：（1）对于任意x I，都有f(x)≥M.（2）存在x0I，使得f(x0) =M.那么，称M是函数y = f (x)的最小值.师：怎样理解最大值.生：最大值是特别的函数值，具备存在性、确定性.师：函数最小值怎样定义？师生合作，学生口述，老师评析并板书定义.由最大值定义类比最小值定义.应用举例例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m与时间t师生合作讨论例1、例2的解法思想，并由学生独立完成训练题1、2、3. 老师点评. 阐述解题思想，板书解题过程.自学与指导相结合，提高学生的学习能力.s之间的关系为h (t) = –4.9t 2 + 14.7t + 18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？训练题1：已知函数f (x) = x2– 2x–3，若x[t，t+2]时，求函数f (x)的最值.例2 已知函数y =21x-(x[2，6])，求函数的最大值和最小值.训练题2：设f (x)是定义在区间[–6，11]上的函数. 如果f (x) 在区间[–6，–2]上递减，在区间[–2，11]上递增，画出f (x) 的一个大致的图象，从图象上可以发现f(–2)是函数f (x)的一个 .训练题3：甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x (km / h)的平方成正比，比例例1解：作出函数h(t) = – 4.9t 2+ 14.7t + 18的图象(如图). 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h (t)= – 4.9t 2 + 14.7t +18，我们有：当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时，函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.师：投影训练题1、2.生：学生相互讨论合作交流完成.训练题1解：∵对称轴x = 1，（1）当1≥t +2即t≤–1时，f (x)max= f (t) = t 2 –2t–3，f (x)min= f (t +2) = t 2 +2t–3.（2）当22t t++≤1＜t+2，即–1＜t≤0时，f (x)max= f (t) = t2–2t–3，f (x)min= f (1) = – 4.讲练结合，形成技能固化技能.深化概念能力培养进一步固化求最值的方法及步骤.（1）以上实际问题考查了学生灵活应用数学知识于实践的能力，可见“逐渐增强系数为a，固定部分为b元，请问，是不是汽车的行驶速度越快，其全程成本越小？如果不是，那么为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？（3）当t≤1＜22t t++，即0＜t≤1，f (x)max= f (t +2) = t2 + 2t – 3，f (x)min= f (1) = – 4.（4）当1＜t，即t＞1时，f (x)max= f (t +2) = t2 +2t–3，f (x)min= f (t) = t2–2t–3.设函数最大值记为g(t)，最小值记为ϕ(t)时，则有g (t) =2223,(0)23,(0)t t tt t t⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩2223,(1)()4,(11)23,(1)t t tt tt t tϕ⎧--≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩例2分析：由函数y =21x-(x[2，6])的图象可知，函数y =21x-在区间[2，6]上递减. 所以，函数y=21x-在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f (x1) –f (x2) =122211x x---=21122[(1)(1)](1)(1)x xx x-----=21122()(1)(1)x xx x---.由2≤x1＜x2≤6，得x2 –x1＞0，函数的应用意识”应及早实现.（2）对函数关系式的处理需要有扎实的基本功才能顺利完成，可见从不同角度不同方向去思考问题在教学中尤为重要，并且应指导学生养成多分析失败原因，多总结成功经验的好习惯.(x1–1) (x2–1)＞0，于是 f (x1) –f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2).所以，函数y =21x-是区间[2，6]上是减函数. 因此，函数y =21x-在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x =2时取得的最大值，最大值是2，在x = 6时的最小值，最小值是0.4.训练题2答案：最小值.训练题3分析：根据汽车运输成本y 元与行驶速度x km / h之间的关系，建立函数模型，结合函数式的特点，运用函数有关知识去解决.解：设汽车运输成本为y元，依题意得汽车运输成本y与汽车行驶速度x 之间的关系为：y = b·sx + ax2·sx.∴y= s(a x+bx) . （其中x(0，+∞). 即将此时的问题转化成：“函数y = s(ax +bx)是否随着x的不断增大而减小？当x取何值时，y取最小值？”下面讨论函数y = s (ax+bx)[x(0，+∞)，a＞0，b＞0]在其定义域内的单调性.设x1，x2(0，+∞)，且x1＜x2，则f (x1) –f (x2)= s [(ax 1 +1b x )– (ax 2 +2bx )] = s [a (x 1– x 2) +2112()b x x x x -] =121212()()s x x ax x b x x --=121212()()bas x x x x a x x --∵x 1，x 2＞0，且x 1＜x 2 ∴x 1x 2＞0，a (x 1 – x 2)＜0 ∴当x 1，x 2(0，ba )时，x 1，x 2＜b a，x 1x 2 –b a＜0，∴f (x 1)＞f (x 2)， 当x 1，x 2[b a ，+∞]时，x 1x 2＞b a，x 1x 2 –b a＞0，∴f (x 1)＜ f (x 2). 综上所述，我们看到函数y = s (ax +b x) (a ＞0，b ＞0)并不是整个区间（0，+∞）上是随着x 的不断增大而减小的，而且由上述分析可看出当x =ba时，y 取得最小值即y min =2s ab . 那么，在这个实际问题当中可回答为：并不是汽车的行驶速度越快，其全程运输成本越小；并且为了使全程运输成本最小，汽车应以x =bakm / h 的速度行驶.备选例题例1 已知函数f (x ) =22x x ax++，x ∈[1，+∞).（Ⅰ）当a =12时，求函数f (x )的最小值；（Ⅱ）若对任意x ∈[1，+∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围. 分析：对于（1），将f (x )变形为f (x ) = x +2 +a x = x +12x+2，然后利用单调性求解. 对于（2），运用等价转化220x x a x++>(x[1，+∞)恒成立，等价于x 2 + 2x + a ＞0 恒成立，进而解出a 的范围.解：（1）当a =12时，f (x ) = x +12x+2 因为f (x )在区间[1，+∞）上为增函数，所以f (x )在区间[1，+∞）上的最小值为f (1) =72.（2）解法一：在区间[1，+∞）上，f (x ) =220x x ax++>恒成立⇔x 2 + 2x + a ＞0恒成立.设y = x 2+2x +a ，∵(x + 1) 2+ a –1在[1，+∞)上递增.∴当x =1时，y min =3 + a ，于是当且仅且y min =3 + a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立， ∴a ＞–3.解法二：f (x ) = x +a x+2 x [1，+∞).当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；当a ＜0时，函数f (x )递增. 故当x =1时，f (x )min= 3+a .于是当且仅当f (x )min =3 +a ＞0时，函数f (x )＞0恒成立. 故a ＞–3. 例2 已知函数f (x )对任意x ，y R ，总有f (x ) + f ( y ) = f (x + y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1) =23-.（1）求证f (x )是R 上的减函数；（2）求f (x )在[–3，3]上的最大值和最小值.分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用.证明：（1）令x = y =0，f (0) = 0，令x = – y 可得： f (–x ) = – f (x )，在R上任取x1＞x2，则f (x1) –f (x2) = f (x1) + f (–x2) = f (x1–x2).∵x1＞x2，∴x1–x2＞0. 又∵x＞0时，f(x)＜0，∴f(x1–x2)＜0，即f(x1) –f(x2)＞0.由定义可知f (x)在R上为单调递减函数.（2）∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[–3，3]上也是减函数，∴f(–3)最大，f(3)最小.f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×(2) = –2. ∴f (–3) = –3f (3) =2.即f (–3)在[–3，3]上最大值为2，最小值为–2.。

函数的最大（小）值基本初等函数的最值1.正比例函数：y=kx(k≠0)在定义域R 上不存在最值.在闭区间［a,b ］上存在最值，当k>0时，函数y=kx 的最大值为f(b)＝kb ，最小值为f(a)＝ka ；当k<0时，函数y=kx 的最大值为f(a)＝ka ，最小值为f(b)＝kb.2.反比例函数：y=xk(k≠0)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不存在最值.在闭区间［a,b ］（ab>0）上存在最值，当k>0时，函数y=x k 的最大值为f(a)＝a k ，最小值为f(b)＝bk；当k<0时，函数y=x k 的最大值为f(b)＝b k ，最小值为f(a)＝ak .3.一次函数：y=kx+b(k≠0)在定义域R 上不存在最值.在闭区间［m,n ］上存在最值，当k>0时，函数y=kx+b 的最大值为f(n)=kn+b ，最小值为f(m)＝km+b ；当k<0时，函数y=kx+b 的最大值为f(m)＝km+b ，最小值为f(n)＝kn+b.4.二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0):当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 在定义域R 上有最小值f(ab2-)=a ac b 442+-，无最大值；当a<0时，函数y=ax 2+bx+c 在定义域R 上有最大值f(ab2-)=a ac b 442+-，无最小值.二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间［p ，q ］上的最值可能出现以下三种情况：(1)若a b2-＜p ，则f(x)在区间［p ，q ］上是增函数，则f(x)min =f(p)，f(x)max =f(q). (2)若p≤a b 2-≤q ，则f(x)min =f(a b2-),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：①当p≤a b 2-＜2qp +时，则f(x)max =f(q);②当2q p +＝a b 2-时，则f(x)max =f(p)＝f(q);③当2q p +＜a b 2-＜q 时，则f(x)max =f(p).(3)若ab2-≥q ，则f(x)在区间［p ，q ］上是减函数，则f(x)min =f(q)，f(x)max =f(p).由此可见,当ab2-∈［p,q ］时,二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0)在闭区间［p ，q ］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(a b 2-)；当ab2-∉［p,q ］时,二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a＞0)在闭区间［p ，q ］上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 ○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；例1、 下图为函数]7,4[),(-∈=x x f y 的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。

函数的最大值和最小值教学内容：本节课主要讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值。

教学目标：1. 理解函数的最大值和最小值的概念。

2. 学会使用图像法求解函数的最大值和最小值。

3. 学会使用导数法求解函数的最大值和最小值。

教学准备：1. 教学课件。

2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 举例说明函数的最大值和最小值的意义。

二、函数的最大值和最小值的概念（10分钟）1. 讲解函数的最大值和最小值的定义。

2. 给出函数的最大值和最小值的判定条件。

三、图像法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解图像法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明图像法求解函数的最大值和最小值的步骤。

四、导数法求解函数的最大值和最小值（10分钟）1. 讲解导数法求解函数的最大值和最小值的方法。

2. 举例说明导数法求解函数的最大值和最小值的步骤。

五、练习题讲解（10分钟）1. 讲解练习题的解题思路。

2. 逐个解答学生提出的疑问。

教学反思：本节课通过讲解函数的最大值和最小值的概念，以及如何求解函数的最大值和最小值，使学生掌握了这一重要知识点。

在教学过程中，采用图像法和导数法两种方法进行讲解，使得学生能够更好地理解和运用。

通过练习题的讲解，巩固了学生所学的知识，并解答了学生提出的疑问。

总体来说，本节课的教学效果较好，学生对函数的最大值和最小值的概念和求解方法有了较为深入的理解。

但在教学过程中，仍需注意引导学生主动思考和探索，提高学生的学习兴趣和参与度。

六、案例分析：实际问题中的最大值和最小值（10分钟）1. 引入实际问题，如成本最小化、收益最大化等。

2. 展示如何将实际问题转化为函数的最大值和最小值问题。

3. 引导学生运用所学的图像法和导数法解决实际问题。

七、练习与讨论：小组合作求解复杂函数的最大值和最小值（15分钟）1. 分配练习题，要求学生以小组合作的形式进行求解。

函数的最大值和最小值例子1.引言1.1 概述在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。

函数是一种对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个输出值。

函数的最大值和最小值分别指的是函数在定义域范围内取得的最大和最小的输出值。

最大值和最小值在很多实际问题中都有着重要的应用。

例如，在经济学中，我们经常需要找到某个函数表示的利润、成本或效益的最大值或最小值。

在物理学中，我们可能需要找到某个函数描述的物理量的最大或最小值，比如速度、加速度等。

要找到函数的最大值和最小值，需要使用微积分的一些基本概念和方法。

其中，一阶导数和二阶导数对于确定函数的极值点非常重要。

通过求解导数为零的方程，我们可以确定可能的最大值和最小值的位置。

然后，通过求解二阶导数的符号，我们可以确定这些极值点是最大值还是最小值。

在本文的正文部分，我们将介绍一些函数的最大值和最小值的例子，并详细说明如何求解这些极值点。

通过这些例子，读者将更加深入地理解函数的最大值和最小值的概念，以及如何在实际问题中应用它们。

总之，函数的最大值和最小值是数学中非常重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。

通过研究函数的极值点，我们可以更好地理解函数的特性，并在实际问题中做出准确的判断和决策。

下面，我们将详细介绍函数的最大值和最小值的例子，以帮助读者更好地掌握这个概念。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以写成如下形式：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。

在概述中，我们可以简要介绍函数的最大值和最小值的概念以及其在数学和实际问题中的重要性。

在文章结构中，我们将展示本文的整体结构，为读者提供一个全局的认知。

在目的部分，我们将明确说明本文旨在通过例子来介绍函数的最大值和最小值的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

正文部分分为函数的最大值和函数的最小值两个小节。

在函数的最大值小节中，我们将通过具体的例子来介绍最大值的概念，并阐述求解最大值的方法，如导数法和二次函数法。