勾股定理的应用(立体图形展开)

勾股定理的应用教学设计5篇第一篇：《勾股定理的应用》教学设计《勾股定理的应用》教学设计——解决立体图形外表上最短路线的问题__县第_中学李政法一、内容及内容解析1、内容勾股定理的应用——解决立体图形外表上最短路线的问题。

2、内容解析本节课是勾股定理在立体图形中的一个拓展，在初中阶段，勾股定理在求两点间的距离时，沟通了几何图形和数量关系，发挥了重要的作用，在中考中有席之地。

启发学生对空间的认知，为将来学习空间几何奠定根底。

二、教学目标1、能把立体图形依据需要局部展开成平面图形，再建立直角三角形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

2、学会观看图形，勇于探究图形间的关系，培养学生的空间观念;在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

3、通过有趣的问题提高学习数学的兴趣;在解决实际问题的过程中，培养学生的合作交流能力，体验数学学习的有用性，增强自信心，呈现成功感。

三、教学重难点【重点】：探究、发觉立体图形展开成平面图形，利用两点间线段最短勾股定理求最短路径径问题。

【难点】：查找长方体中最短路线。

四、教学方法本课采纳学生自主探究归纳教学法。

教学中，学生充分运用多媒体资源及大量的实物教具和学具，通过观看、思考、操作，归纳。

五、教学过程【复习回忆】右图是湿地公园长方形草坪一角，有人避开拐角在草坪内走出了一条小路，问这么走的理论依据是什么？若两步为1m，他们仅仅少走了几步？目的：1、复习两点之间线段最短及勾股定理，为新课做预备；2、激起学生爱护环境意识和对核心价值观“文明、友善”的践行。

思考：如图，立体图形中从点A到点B处，怎样找到最短路线呢？目的：引出课题。

【台阶中的最值问题】三级台阶示意图如图，每级台阶的长、宽、高分别为5dm、3dm和1dm，请你想一想，一只蚂蚁从点A动身，沿着台阶面爬行到点B，爬行的最短路线是多少？老师活动：假如A、B两点在同一个平面上，直接连接两点即可求出最短路。

一、勾股定理在生活中的应用１、理解问题实质，能够从生活问题中转化为几何图形关系。

如图4，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距点C 5cm ，一只蚂蚁如果要沿着长方体表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短路程是多少？２、弄清方位角知识，在航海、测绘等问题中使用。

如图，一艘船以6海里/小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一艘船以2.5海里/小时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距３、利用勾股定理，测量物体高度。

如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m ，眼睛与地面的距离为1.6m ，那么这棵树的高度大约为４、利用勾股定理，选择最优方案。

在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要 m ． 二. 特殊几何图形中勾股定理计算规律：等腰直角三角形。

（1）斜边中线等于斜边一半并且是特殊的三线合一。

（2）斜边是直角边的2倍。

例题1如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=230．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A ．6 B ．8 C ．10 D ．12图4 图5 BA 图6 AB例题2如图所示，铁路上有A 、B 两点（看做直线上两点）相距40千米，C 、D 为两村庄（看做两个点），AD ⊥AB ，BC垂直AB ，垂足分别为A 、B ，AD=24千米，BC=16千米，现在要在铁路旁修建一个煤栈，使得C 、D 两村到煤栈的距离相等，问煤栈应建在距A 点多少千米处？联系生活的应用实例：如图，公路AB 和公路CD 在点P 处交会，且∠APC=45°，点Q 处有一所小学，PQ=1202 m ，假设拖拉机行驶时，周围130m 以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB 上沿PA 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？根据实际情况分类讨论 实例：为美化小区环境，某小区有一块面积为30平方米的等腰三角形草地，测得其一边长为10米．现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，现在准备这种低矮栅栏的长度分别有以下三种：①10+261米；②20+210米；③20+610米，则符合要求的是（ ）A ．只有①②B ．只有①③C ．只有②③D ．①②③一、选择题1、一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）A ．18海里/小时B ．183海里/小时C ．36海里/小时D ．36海里/小时 2 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A ．12≤a≤13 B ．12≤a≤15 C ．5≤a≤12 D ．5≤a≤13*3如图，在△ABC 中，已知∠C=90°，AC=60cm ，AB=100cm ，a ，b ，c…是在△ABC 内部的矩形，它们的一个顶点在AB 上，一组对边分别在AC 上或与AC平行，另一组对边分别在BC 上或与BC 平行．若各矩形在AC 上的边长相等，矩形a 的一边长是72cm ，则这样的矩形a 、b 、c…的个数是（ ）A ．6 B ．7 C ．8 D ．9*4下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为10；②直角三角形的最大边长为3，最短边长为1，则另一边长为2；③在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：5：6，则△ABC 为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）A ．只有①②③B ．只有①②④C ．只有③④D ．只有②③④**5、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，点M 、N 是AB 上任意两点，且∠MCN=45°，点T 为AB 的中点．以下结论：①AB=2 AC ；②CM 2+TN 2=NC 2+MT 2；③AM 2+BN 2=MN 2；④S △CAM +S △CBN =S△CMN ．其中正确结论的序号是（ ）A ．①②③④B ．只有①②③C ．只有①③④D ．只有②④二、填空题：*6第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A 8A 9=1，请你计算OA 9的长 ．*7如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了180m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C ，那么，由此可知，B 、C 两地相距m ．**8如图，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，A 、B 、N 、E 、F 五点在同一直线上，且正方形ABCD 、EFGH 面积分别是4和9，则正方形NHMC 的面积是 ．**9我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．如果Rt △ABC 是奇异三角形，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b ＞a ，其中，a=1，那么b= ．三、解答题：*10如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）．经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？*11在军事上，常用时钟表示方位角（读数对应的时针方向），如正北为12点方向，北偏西30°为11点方向．在一次反恐演习中，甲队员在A处掩护，乙队员从A处沿12点方向以40米/分的速度前进，2分钟后到达B处．这时，甲队员发现在自己的1点方向的C处有恐怖分子，乙队员发现C处位于自己的2点方向（如图）．假设距恐怖分子100米以外为安全位置．（1）乙队员是否处于安全位置？为什么？（2）因情况不明，甲队员立即发出指令，要求乙队员沿原路后撤，务必于15秒内到达安全位置．为此，乙队员至少应用多快的速度撤离？（结果精确到个位．参考数据：13≈3.6，14≈3.74．）**12如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上6：00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？13如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=√5，则BC 的长为14如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是15如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于16正方形ABCD的边长是4，点P是AD边的中点，点E是正方形边上的一点．若△PBE 是等腰三角形，则腰长为在△ABC中，AB=2√2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为17已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD2+CD2=2AB2．（1）求证：AB=BC；（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD18如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长。

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

勾股定理及其应用勾股定理是中国古代数学的一大发明，也是数学中最基础、最重要的定理之一。

它描述了直角三角形中三边的关系，被广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。

本文将介绍勾股定理的原理以及它在实际问题中的应用。

一、勾股定理的原理勾股定理可以用数学公式表示为：在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。

设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理可以得出以下公式：a² + b² = c²这个公式是勾股定理的基本表达式，它是通过对直角三角形的三边进行数学推导得出的。

二、勾股定理的应用1. 解决几何问题勾股定理在几何学中有广泛的应用。

例如，可以通过已知直角边的长度来计算斜边的长度，或者通过已知斜边和一个直角边的长度来计算另一个直角边的长度。

通过勾股定理，我们可以解决诸如直角三角形的边长计算、角度计算等几何问题，对于建筑设计、地理测量等领域都有重要意义。

2. 测量地理距离在地理学中，我们often需要计算地球表面上两点之间的直线距离。

由于地球是球状的，所以实际距离不能直接通过直线距离计算得出。

但是在较小的地理范围内（例如一个城市、一个国家等），可以将地球表面近似为平面，这样就可以使用勾股定理来计算两点之间的近似直线距离。

3. 解决物理问题勾股定理也在物理学中得到了广泛的应用。

例如，在力学中，我们可以通过勾股定理计算一个斜面上物体的重力分量和斜面的角度之间的关系；在光学中，勾股定理可以用来计算光的传输路径和折射角度等。

4. 三角函数的应用勾股定理与三角函数之间存在紧密的关系。

通过勾股定理，我们可以定义正弦、余弦和正切等三角函数。

这些三角函数在科学计算、电子工程、信号处理等领域中有广泛的应用，例如在无线通信中，计算机图形学中，音频信号处理中等。

总结：勾股定理作为数学中的重要定理，不仅仅是理论的产物，更是实践中的有力工具。

它的应用广泛涉及到几何学、物理学、工程学等多个领域。

第3节勾股定理的应用知识点一确定几何体上的最短路线长图形中，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路径不一定是两点间的线段长，应将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．【例1】如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是底面的直径，高BC=6 ，点P是母线BC上一点，且PC=32BC，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，求蚂蚁爬行的最短距离．特别提醒：在棱柱上确定不同面上的两点间的最短距离时，要把棱柱展开成平面图形，展成不同的面，可能得到不同的路线，要比较后再确定最短距离．拓展：在曲面上确定最短路线，一般沿着出发点或终止点所在的母线展开．解题模板：知识点二利用勾股定理的逆定理解决实际问题在实际生产、生活中常碰到两直线是否垂直的问题，即判断这两条直线构成的角是不是直角．若身边没有测量直角的工具，则可构造三角形，通过测量三边的长度，利用勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形，从而判断该角是不是直角．【例2】某校两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一小组的行走速度为30 m/min ，第二小组的行走速度为40 m/min ，两组行走的路线为直线且为不同的路线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1 500 m.请你判断一下两组同学行走的路线是否垂直，并说明理由．总结：勾股定理及其逆定理解决实际问题的两种思路思路1：若能抽象出直角三角形，可以直接利用勾股定理解决实际问题；思路2：若不能抽象出直角三角形，需要先运用勾股定理的逆定理来验证三角形是否为直角三角形，再利用勾股定理解决实际问题．题型一立体图形上的最短距离问题角度1、确定长方体（或正方体）上的最短路线长度如图，已知长方体的长AC =2 cm，宽BC =1cm，高AA'=4 cm一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B＇点，那么沿哪条路线爬行最近？最短路程是多少？c1.如图，一块长方体砖宽AN=5 cm 长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD = 8 cm，地面上A 处有一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路程是多少？解后反思：对长方体来说，由于一般情况下，长、宽、高不相等，则展开得到的两定点的距离也不相同，故对此问题应把可能出现的情况考虑全，分别计算，经过比较求出最短距离．本题易出现只考虑其中的一种情形，而忽视了另外两种情形的错误角度2、立体图形中最短缠绕长度问题【例 2】我国古代有这样一个数学问题，其题意是：如示意图所示，把枯木看做一个圆柱体，该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，问葛藤的最短长度为多少．2.如图所示，有一根高为2 m 的木柱，它的底面周长为0.3 m，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕七圈，一直缠到起点的正上方为止．问：小明至少需要准备一根多长的彩带？方法技巧：应用勾股定理建模，求解最短缠绕问题立体图形中不论是路线长还是绳长问题，都需要将立体图形展开转化为平面图形，在平面图形上将“路线长”或“绳长”转化为两点间的距离，再借助直角三角形，利用勾股定理建模求解．题型二利用勾股定理解决实际问题【例3】如图1.3-9，某地方政府决定在相距50 km的A ,B 两站之间的公路旁E点修建一个土特产加工基地，且使C,D 两村到E点的距离相等．己知DA⊥AB 于点A ,CB⊥AB 于点B ,DA=30 km,CB=20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？变式训练：3、一游泳池长为48 m，小方和小朱进行游泳比赛，从同一起点同时出发．小方的平均速度为3 m/s,小朱的平均速度为 3.1 m/s.小朱沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14 m按各人的平均速度计算，谁先到达终点？规律总结：勾股定理及其逆定理的应用知多少（1）解决两点问距离问题：正确画出图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边； （2）解决航海问题：理解方位角的概念，根据题意画出图形，利用勾股定理或逆定理解题； （3）解决实际问题中两线段是否垂直问题：以已知的三条边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题；（4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题（5）解决梯子问题：梯子、墙、地面可构成直角三角形，利用 勾股定理的知识解题； （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题．典型高频题1.如图1，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m 处， 旗杆折断之前的高度是（ ） A. 5 m B.12 m C.13 m D.18 m图1 图22.如图 2，一轮船以 16 n mile/h 的速度从港 口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 n mile/h 的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开 港口2 h 后，则两船相距（ ） A.25 n mile B.30 n mile C.40 n mile D.50 n mile3.图3是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度 都是 30 cm ，每个台阶的高度都是15cm ，连接 AB ，则 AB 等于（ ）A. 195 cmB.200 cmC.205 cmD.210 cm图3 图4 4.如图4，一圆柱高为8 cm ，底面圆半径为6cm ，一只蚂蚁从点 A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是（ ）A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm5.如图5是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100 cm,15 cm 和10 cm,A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁想到B 点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为_________ cm.图5 图66.如图6所示，一个梯子AB长为2.5 m，顶端A 靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为1.5 m，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD 长为0.5 m，则梯子顶端A下落了_____m.7.如图7 是一个边长为6的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路程．8.将一根长为22 cm的筷子置于底面直径为5 cm ,高为12 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h 的取值范围是__________（提示：圆柱的母线与底面直径都垂直）．9..如图9、在一根长为90 cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看做圆柱体，且底面周长为4 cm，影色丝带均匀地缠绕了30 圈，则彩色丝带的总长度为_______cm.图910.如图10，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100 km 的B 处有一台风中心，沿BC方向以20 km/ h 的速度向D 移动．巳知城市A到BC的距离AD=60 km，那么台风中心经过多长时间将从B点移到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？图10。

勾股定理的应用场景
勾股定理是一个基本的几何定理，它描述了直角三角形三边之间的关系。

勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，涉及到许多领域。

以下是一些勾股定理的应用场景：
1.建筑工程：在建筑工程中，勾股定理常用于计算房屋的地
基、墙角等的角度和长度。

例如，在确定墙角是否垂直
时，可以使用勾股定理来验证两条边的平方和是否等于斜边的平方。

2.地理测量学：在地理测量学中，勾股定理用于计算地球表
面的距离和高度。

例如，在测量山峰的高度时，可以使用勾股定理结合其他测量数据来计算。

3.物理学：在物理学中，勾股定理常用于计算物体的速度和
加速度。

例如，在抛体运动中，可以使用勾股定理来计算物体的水平位移和垂直位移。

4.航空航天工程：在航空航天工程中，勾股定理用于计算飞
机、火箭等的速度和加速度。

例如，在导弹制导系统中，可以使用勾股定理来计算导弹的飞行轨迹和落点。

5.计算机图形学：在计算机图形学中，勾股定理用于计算三
维物体的位置和角度。

例如，在三维建模软件中，可以使用勾股定理来计算物体的空间位置和方向。

6.数学：在数学领域，勾股定理是三角函数的基础，可以用
于解决各种三角形的计算问题。

此外，勾股定理在数学证明和解题中也经常用到。

总之，勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，涉及到建筑工程、地理测量学、物理学、航空航天工程、计算机图形学和数学等多个领域。

初中数学几何培优第十一讲：勾股定理的应用知识解读无论是解决实际问题，还是解决一些数学问题，勾股定理都有着广泛的应用。

典列示范一、在数轴上作出表示的点例1如图3－11－1，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是________【提示】这个点到原点的距离等于线段OB的长，OB是Rt△AOB 的斜边，根据勾股定理可得OB的长，就是这个点表示的实数。

【技巧点评】实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难.由此我们借助勾股定理，将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题。

第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。

二、在网格中作长度为无理数的线段例2如图3－11－3，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。

（1）使三角形的三边长分别为3，（在图①中画一个即可）（2）使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图②中画一个即可）【提示】（1）长度为3的线段很好作，主要考虑如何作出长度为，的线段和把三条线段组合成一个三角形。

由于＝8＝22＋22，因此可以构造一个两直角边分别为2和2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是.同理要构造一个长度为的线段，可构造一个直角边分别为2和1的直角三角形。

（2）确定三角形的底和高分别为1和8或2和4，然后设法使三角形称为钝角三角形。

【解答】【技巧点评】在网格中作出长的线段的步骤，第一步设法将n表示成两个整数的平方和；第二步构造直角三角形，使得两条直角边等于第一步得出的两个整数的值.三、梯子下滑问题例3如图3－11－5，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时，梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足也将向外移0.4米吗？【提示】本题中出现两个直角三角形，考虑应用勾股定理，在Rt△ABC中，由AB和BC可求出AC，则A1C＝AC－AA1，而A1B1与AB均为梯子之长，在Rt△A1B1C中，再次运用勾股定理求出B1C，由此便可求出梯子向外移动的距离BB1.【解答】【技巧点评】梯子下滑问题，实际上是两个直角三角形问题，比如在本题中，两个直角三角形之间的联系是，AC=A1C+0.4，分别在两个直角三角形中应用勾股定理求出AC，A1C，即可解决问题.四、长方体的对角线例4有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是40cm，30cm，120cm的木箱中，露在木箱外边的长度至少为cm.【提示】如图3-11-7，和△是直角三角形，先在中应用勾股定理求出A′C′的长，然后在△AA′C′中应用勾股定理求出AC′的长.【技巧点评】长宽高分别为a，b，c的长方体的对角线长.五、立体图形表明的最短路径例5如图3-11-8，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长.【提示】要求最短路程，需要将正四棱柱展开成平面图形，再利用勾股定理求解，由于从A点到点C1的面上有两种情况，故需分类讨论。

勾股定理的八大应用
1. 测量直角三角形边长和角度：勾股定理可以用来确定直角三角形的斜边长，也可以用来计算两侧的直角边的长度。

它还可以用来计算三角形角度。

2. 计算斜率和距离：勾股定理可以用来计算误差，比如在工程学中，测量仪器的精度可以通过勾股定理来检验。

3. 计算面积和体积：勾股定理可以用来计算任意形状的物体的表面积和体积。

4. 面对三角形和圆形的圆角问题，勾股定理可以帮助我们解决。

5. 在游泳、篮球和足球比赛中，勾股定理可以帮助我们预测运动员的最终目标。

6. 在数学中，勾股定理是三角函数的基础，可以用来证明一些三角函数的恒等式。

7. 勾股定理可以用来推导其他数学和物理方程的解，如波动方程。

8. 勾股定理也可以用于解决实际问题，例如构建建筑物或在电路中设计电路。

3 勾股定理的应用1．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离长方体(或正方体)是立体图形，但它的每个面都是平面．若计算同一个面上的两点之间的距离比较容易，若计算不同面上的两点之间的距离，就必须把它们转化到同一个平面内，即把长方体(或正方体)设法展开成为一个平面，使计算距离的两个点处在同一个平面中，这样就可以利用勾股定理加以解决了．所以立体图形中求两点之间的最短距离，一定要审清题意，弄清楚到底是同一平面中两点间的距离问题还是异面上两点间的距离问题．谈重点 长方体表面上两点间最短距离因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况——前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【例1－1】 如图①是一个棱长为3 cm 的正方体，它的6个表面都分别被分成了3×3的小正方形，其边长为1 cm.现在有一只爬行速度为2 cm/s 的蚂蚁，从下底面的A 点沿着正方体的表面爬行到右侧表面上的B 点，小明把蚂蚁爬行的时间记录了下来，是2.5 s ．经过简短的思考，小明先是脸上露出了惊讶的表情，然后又露出了欣赏的目光．你知道小明为什么会佩服这只蚂蚁的举动吗？解：如图②，在Rt △ABD 中，AD ＝4 cm ，BD ＝3 cm.由勾股定理，AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋42＝25，AB ＝5 cm ，∴蚂蚁的爬行距离为5 cm.又知道蚂蚁的爬行速度为2 cm/s ，∴它从点A 沿着正方体的表面爬行到点B 处，需要时间为52＝2.5 s.小明通过思考、判断，发现蚂蚁爬行的时间恰恰就是选择了这种最优的方式，所以他感到惊讶和佩服．【例1－2】如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？解：蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式，分别展成平面图形如下：如图①，在Rt△ABC1中，AC21＝AB2＋BC21＝42＋32＝52＝25.故AC1＝5.如图②，在Rt△ACC1中，AC21＝AC2＋CC21＝62＋12＝37.如图③，在Rt△AB1C1中，AC21＝AB21＋B1C21＝52＋22＝29.∵25＜29＜37，∴沿图①的方式爬行路线最短，最短的路线是5.点技巧巧展长方体求解此类问题时只需对长方体进行部分展开，画出局部的展开图，若将长方体全部展开，不仅没有必要反而会扰乱视线．2．圆柱体(或圆锥体)面上的两点间的最短距离圆柱体(或圆锥体)是立体图形，从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线，那么怎样确定哪一条是最短的呢？解决问题的方法是将圆柱(或圆锥)的侧面展开，转化为平面图形，应用勾股定理解决，而不能盲目地凭感觉来确定．【例2】如图①所示，一只蚂蚁在底面半径为20 cm，高为30π cm的圆柱下底的点A处，发现自己正上方圆柱上边缘的B处有一只小昆虫，便决定捕捉这只小昆虫，为了不引起这只小昆虫的注意，它故意不走直线，而绕着圆柱，沿一条螺旋路线，从背后对小昆虫进行突然袭击，结果蚂蚁偷袭成功，得到了一顿美餐．根据上述信息，请问蚂蚁至少爬行多少路程才能捕捉到小昆虫？分析：解此题的关键是把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短和勾股定理作答．解：假设将圆柱体的侧面沿AB剪开铺平如图②，则对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线．在Rt△ACB中，AC＝40π cm，BC＝30π cm.由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝(40π)2＋(30π)2＝(50π)2，∴AB＝50π cm.∴蚂蚁至少爬行50π cm才能捕捉到小昆虫．谈重点圆柱体两点间的最短距离本题文字叙述较多，要求在阅读的基础上提炼有用的信息，具体解题时先将圆柱沿AB剪开，将侧面展开成一矩形，会发现对角线AB即为蚂蚁爬行的最短路线，再运用勾股定理即可求得．3．生活中两点间的最短距离用勾股定理解决实际问题的关键是从实际问题中构建数学模型——直角三角形，再正确利用两点之间线段最短解答．【例3】如图①是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm,3 dm 和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？分析：由于蚂蚁是沿台阶的表面由A爬行到B，故需把三个台阶展开成平面图形(如图②)．解：将台阶展开成平面图形后，可知AC＝5 dm，BC＝3×(3＋1)＝12 dm，∠C ＝90°.在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴AB2＝52＋122＝132，∴AB＝13 dm.故蚂蚁爬到B点的最短路程是13 dm.4．如何正确利用勾股定理及其逆定理解决生活中的问题利用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题，重要的是将实际问题转化成数学模型(直角三角形模型)，将实际问题中的“数”转化为定理中的“形”，再转化为“数”．解题的关键是深刻理解题意，并画出符合条件的图形．解决几何体表面上两点之间的最短距离问题的关键是要设法把立体图形转化为平面图形，具体步骤是：(1)把立体图形展成平面图形；(2)确定点的位置；(3)确定直角三角形；(4)分析直角三角形的边长，用勾股定理求解．【例4】如图①，圆柱形玻璃容器的高为18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蜘蛛，在与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1 cm的点F处有一只苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛需要爬行的最短距离是__________cm.解析：将圆柱的侧面展开得到它的侧面展开图(如图②)，CD ∥AB ，且AD ＝BC ＝12底面周长，BS ＝DF ＝1 cm.则蜘蛛所走的最短路线的长度即为线段SF 的长度．过S 点作SM ⊥CD ，垂足为M ，由条件知，SM ＝AD ＝12×60＝30 cm ，MC＝SB ＝DF ＝1 cm ，所以MF ＝18－1－1＝16 cm ，在Rt △MFS 中，由勾股定理得SF 2＝162＋302＝342，所以SF ＝34 cm.故蜘蛛需要爬行的最短距离是34 cm.答案：345．勾股定理与方程相结合的应用方程思想是一种重要的数学思想．所谓方程思想是指从分析问题的数量关系入手，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式．而勾股定理反映的直角三角形三边的关系正是构建方程的基础．故勾股定理的许多问题的解决都要跟方程相结合．方程思想是勾股定理中的重要思想．【例5】 如图，有一张直角三角形状纸片ABC ，两直角边AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？解：设CD ＝x cm ，由题意知DE ＝x cm ，BD ＝(8－x ) cm ，AE ＝AC ＝6 cm ，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝AC 2＋BC 2＝10 cm.于是BE ＝10－6＝4 cm.在Rt △BDE 中，由勾股定理得42＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝3.故CD 的长为3 cm.。

勾股定理的实际应用
勾股定理的应用如下：
1、勾股定理理解三角形。

2、勾股定理与网格问题。

3、利用勾股定理解决折叠问题。

4、利用勾股定理证明线段的平方关系。

5、利用勾股定理解决实际问题——求梯子滑落高度。

6、利用勾股定理解决实际问题——求旗杆高度。

7、利用勾股定理解决实际问题——求蚂蚁爬行距离。

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中
较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

实际应用如下：
1、面积法：一个图形或者是面积相等的图形的面积有2种表示方法，从而得出关于边之间的等式。

应用比较普遍，主要用于求边长，找边之间的关系。

2、讲解的是方程思想：通过设未知数，结合某些定理，建立方程来完成解答，数学思想中常见的思想方法。

3、正方形中，利用边长相等，结合全等，找到相等的边，借助勾股定理，找到多个正方形之间的关系。

4、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，是由4个全等的直角三角形与1个正方形
构成的图案。

勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．（图1）（2）（3）由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）． 例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( )A ．a 3B ．a )21(+C ．3aD ．a 5 解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a 5a )a 2(AB 222==+= 故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．∙ ∙AB C图3⑵∙ AB图3⑴下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．，、点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ， 则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离 在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响． 故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时， 该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时. （3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．。