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机械系统的非线性振动分析与控制引言机械系统是现代工程中广泛应用的一种系统，其具有非线性特性。
非线性振动是机械系统中一个常见且复杂的问题，对于系统的可靠性与效果具有重要影响。
因此，对机械系统的非线性振动进行深入分析与控制具有重要的理论和实践价值。
一、机械系统的非线性振动特性1.1 线性振动与非线性振动的区别线性振动是指系统的响应与激励之间存在简单的比例关系，即满足叠加原理。
而非线性振动则不满足叠加原理，系统的响应与激励之间存在复杂的非线性关系。
非线性振动会导致系统的摆动幅度增大或者系统出现周期倍频振动。
1.2 非线性振动的原因机械系统中产生非线性振动的原因主要有两个方面：一是系统的非线性特性，例如刚度非线性、摩擦非线性等；二是系统的非线性激励，例如周期激励、随机激励等。
1.3 非线性振动的现象非线性振动的现象非常多样化，常见的有分岔现象、周期倍频共振现象、混沌现象等。
这些现象给机械系统带来了挑战，也为研究非线性振动提供了契机。
二、非线性振动的分析方法2.1 解析法解析法是一种基于数学模型的非线性振动分析方法。
通过建立机械系统的非线性微分方程，并应用数学工具进行求解，可以得到系统的解析解。
然而，由于非线性振动问题的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
因此，需要借助于数值解法。
2.2 数值法数值法是一种基于数值计算的非线性振动分析方法。
通过将非线性微分方程转化为差分方程，采用逐步逼近的方法进行计算，可以得到系统的数值解。
常用的数值法有欧拉法、龙格-库塔法等。
数值法具有灵活性和广泛适用性，可以应对复杂的非线性振动问题。
三、非线性振动的控制方法3.1 被动控制被动控制是一种利用物理手段抑制非线性振动的方法。
例如，利用阻尼器、质量阻尼器等装置来减小系统的振动幅度，或者采用增加刚度、惯性等手段来改变系统的频率响应特性。
被动控制相对简单易行，但只能对系统进行抑制，无法从根本上解决非线性振动问题。
3.2 主动控制主动控制是一种利用外部激励来主动干预系统的振动行为的方法。
非线性振动系统的分析和应用非线性振动系统是指其中至少包含一个非线性元件的振动系统。
非线性元件能够使得系统的振动特性发生较大的改变，如产生新的共振频率、引起失稳现象等。
因此，非线性振动系统的研究具有重要的理论和实际意义。
一、非线性振动系统的形式化描述非线性振动系统的数学模型通常可以表示为：$$\ddot{x}+f(x)\dot{x}+g(x)=0$$其中，$x$是系统的位移或角位移，$\dot{x}$是$x$的一阶导数，$\ddot{x}$是$x$的二阶导数。
函数$f(x)$和$g(x)$分别表示阻尼和弹性的非线性作用。
通常采用微分方程的数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等来进行求解。
二、非线性振动系统的稳定性及分析方法对于非线性振动系统，通常需要考虑系统的稳定性。
由线性振动系统的经验可知，系统的随机性通常较小，因此通常采用非线性分析方法来进行稳定性的分析。
主要的分析方法有：1.浅层非线性方法：包括哈摩因方法、平均法、福克方法等，能够快速地预测系统稳定性。
但是，这些方法通常需要对系统的非线性特性有一定的了解，且适用于一类特定的非线性系统。
2.深层非线性方法：包括留数方法、行波展开法、多尺度方法等，能够精确地分析具有较强非线性特性的系统。
但是，这些方法相对复杂，对数学知识和物理背景要求较高。
3.数值仿真方法：主要包括有限元法、有限差分法等，能够直接计算非线性振动系统的响应。
这些方法通常适用于求解较大、较复杂的非线性振动系统。
三、非线性振动系统的应用非线性振动系统的研究在物理、工程、数学等领域均有广泛应用。
以下列举部分应用领域：1.结构振动分析：对于大跨度、高层建筑、大型膜结构等复杂结构，通常需要考虑结构的非线性特性。
非线性振动系统的研究能够提高结构的安全性、经济性和绿色性。
2.摆钟：摆钟是一种常见的非线性振动系统，其运动特点由复杂的非线性微分方程描述。
摆钟系统的研究不仅有助于物理原理的深入理解，同时还能够应用于时间标准、导航、地震监测等领域。
机械动力学中的非线性振动研究引言机械振动是自然界和工程实践中普遍存在的现象。
振动的研究不仅对于理解自然现象有重要意义，而且在机械设计、结构优化等领域中也起到关键的作用。
振动问题通常都涉及非线性因素，因此非线性振动的研究成为了机械动力学的重要分支。
非线性振动的定义和特点非线性振动是指系统在振动过程中，系统响应不遵循线性叠加原理的振动。
与线性振动相比，非线性振动具有以下几个特点。
首先，非线性振动的频率特性是复杂的。
在非线性系统中，自由振动的频谱通常会出现各种谐波以及倍频。
这些谐波和倍频的出现是非线性系统对外界激励的非线性响应。
其次，非线性振动的幅频特性也是非线性的。
在非线性系统中，系统的响应幅值随着激励幅值的增加会产生非线性变化，比如出现硬化或者软化的现象。
最后，非线性振动还可能具有一些特殊的现象，比如倍周期运动、混沌现象等。
这些现象是线性系统所不具备的，对于非线性系统的研究具有重要的意义。
非线性振动的数学描述非线性振动通常可以通过微分方程来描述。
一般来说，非线性振动微分方程可以分为两类，一类是简单非线性，另一类是复杂非线性。
简单非线性是指各个分量之间只存在乘积关系的非线性项，比如二次项、三次项等。
复杂非线性则是指不仅存在乘积关系的非线性项，还存在其他一些非线性函数关系，比如正弦函数、指数函数等。
对于非线性振动问题，目前常用的数学分析方法有多种，比如周期平均法、多尺度方法、能量法等。
这些方法的应用使得非线性振动的研究更加深入和全面。
非线性振动的应用非线性振动的应用十分广泛。
首先，在机械工程领域中，非线性振动的研究成果被广泛应用于机械系统的优化设计和故障诊断中。
比如在飞机结构设计中，非线性振动的研究对于提高结构的稳定性和可靠性具有重要意义。
其次，在物理学和工程学中，非线性振动的研究也被应用于能量传递和信息传输等领域。
比如在能量收集和储存领域，非线性振动可以通过能量的分散和传递，实现机械系统能量的高效利用。
非线性振动现象振动是物体围绕平衡位置做周期性的来回运动，它是自然界中普遍存在的现象。
在很多实际问题中，我们会遇到非线性振动现象，即振动系统不满足线性的回复力定律。
非线性振动现象在物理学、工程学以及生物学等领域都有广泛的应用和重要的研究价值。
一、什么是非线性振动现象非线性振动现象是指振动系统的受力律不满足线性回复力定律，即系统力与位移之间的关系不是线性的。
与线性振动相比，非线性振动显示出更加丰富的运动特性和行为。
非线性振动现象的出现主要归结为以下几个方面的原因：1.回复力律的非线性：通常线性振动系统受到的回复力与振动的位移成正比，但在某些情况下，回复力可能随着位移的增加而变化速率不等，导致非线性振动现象的出现。
2.系统参数的非线性：振动系统的参数非线性，如刚度、阻尼系数、质量等的变化，也会导致系统的振动特性发生变化。
3.外部扰动的非线性：外界对振动系统的扰动如果不规律、不可逆，也会导致系统出现非线性振动现象。
二、非线性振动的种类非线性振动现象的种类繁多，下面介绍几种常见的非线性振动现象：1.硬度非线性：当振动系统的回复力不仅与位移的大小有关，还与位移的变化率有关时，就会出现硬度非线性。
硬度非线性表现为振动系统的频率与振幅的关系非线性，通常存在频率间跳变、倍频和次谐波等特点。
2.阻尼非线性：振动系统受到非线性阻尼时，会出现振幅的跃变、突变等非线性现象。
3.非线性共振：当振动系统的频率接近系统的特征频率时，振幅会出现非线性的迅速增大，达到共振峰值。
4.受迫非线性振动：当振动系统受到非线性外力激励时，振幅和频率会发生非线性变化。
三、非线性振动的应用非线性振动现象在各个领域都有广泛的应用和研究价值：1.物理学：非线性振动现象的研究在物理学领域中有重要的地位。
例如，非线性振动现象的研究为材料的性能评估和电磁波的传播提供了重要依据。
2.工程学：非线性振动的研究对于工程结构的设计和优化至关重要。
例如，建筑结构和桥梁的振动特性分析需要考虑非线性振动的影响。
非线性动力系统的振动特性分析引言：非线性动力系统是指其运动方程中包含非线性项的动力系统。
与线性动力系统相比，非线性动力系统的振动特性更加复杂且难以预测。
本文将从理论和实践的角度，对非线性动力系统的振动特性进行分析。
一、非线性动力系统的基本概念非线性动力系统是指其运动方程中包含非线性项的动力系统。
与线性动力系统相比，非线性动力系统的振动特性更加复杂且难以预测。
非线性动力系统广泛应用于物理、力学、电子、化学等领域，并在实际工程中发挥重要作用。
二、非线性动力系统的振动现象非线性动力系统的振动现象包括周期振动、混沌振动和双曲吸引子等。
周期振动是指系统在某个周期内重复出现的振动，其周期和振幅可以随时间变化。
混沌振动是指系统呈现出无规则的、不可预测的振动，其特点是对初始条件极其敏感。
双曲吸引子是指系统在某个吸引子周围呈现出双曲线状的振动，具有自我相似性和分形结构。
三、非线性动力系统的数学模型非线性动力系统的数学模型可以通过微分方程、差分方程、离散映射等形式进行描述。
其中，微分方程是最常用的描述非线性动力系统的数学工具。
通过对非线性动力系统的数学模型进行分析，可以得到系统的稳定性、周期解、吸引子等信息。
四、非线性动力系统的振动特性分析方法非线性动力系统的振动特性分析方法包括数值模拟、分岔理论、频谱分析等。
数值模拟是通过数值计算的方法，模拟非线性动力系统的振动过程。
分岔理论是通过研究系统参数变化时解的性质变化，来分析系统的振动特性。
频谱分析是通过将非线性动力系统的振动信号转化为频谱图，来分析系统的频率成分和能量分布。
五、非线性动力系统的应用非线性动力系统的应用广泛涉及物理、力学、电子、化学等领域。
例如，在力学领域，非线性动力系统的应用可以帮助研究材料的破裂、振动台的控制等问题。
在电子领域，非线性动力系统的应用可以帮助设计电路中的振荡器和滤波器等。
六、结论非线性动力系统的振动特性分析是一个复杂而有挑战性的问题。
通过对非线性动力系统的数学模型进行分析，可以得到系统的稳定性、周期解、吸引子等信息。
机械振动学基础知识非线性振动系统的分析与控制机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象的学科。
振动是一种普遍存在于自然界和人造系统中的现象，对于机械系统的设计、分析和控制具有重要意义。
在机械系统中，振动可以分为线性振动和非线性振动两种类型。
本文将着重介绍非线性振动系统的基本原理、分析方法以及控制技术。
一、非线性振动系统的基本原理非线性振动系统是指系统的振动特性不遵循线性原理，即系统的振动方程中包含非线性项。
非线性振动系统的特点包括：振幅对应力的关系非线性、振动频率与振幅之间存在非线性关系、振动系统存在多个共振点等。
非线性振动系统的振动行为通常更为复杂，但也包含了更多的信息。
二、非线性振动系统的分析方法针对非线性振动系统，常用的分析方法包括：周期摆动法、受迫振动法、Poincaré映射法、Lyapunov指数法等。
周期摆动法是研究非线性振动系统解的定性行为的基本方法，通过对周期解进行分析，得到系统的相图。
受迫振动法是研究系统在外力作用下的振动响应，通过将外力视作驱动力进行分析。
Poincaré映射法是一种针对周期性外激励的分析方法，可用于研究系统的稳定性和周期解。
Lyapunov指数法是评估系统稳定性和混沌性质的方法，通过计算Lyapunov指数来描述系统的演化规律。
三、非线性振动系统的控制技朧针对非线性振动系统，常用的控制技术包括：PID控制、滑模控制、自适应控制等。
PID控制是一种基础的控制技术，通过调节比例、积分和微分系数来控制系统的稳定性和响应速度。
滑模控制是一种鲁棒性控制技术，通过设计滑模面来实现系统的稳定控制。
自适应控制是根据系统动态特性自适应调整控制器参数的技术，能够适应系统的变化和不确定性。
结语：非线性振动系统是机械振动学领域的重要研究内容，对于提高系统的性能和稳定性具有重要意义。
通过深入理解非线性振动系统的基本原理、分析方法和控制技术，可以有效地提高系统的运行效率和安全性。
（完整word版）⼯程⾮线性振动学习总结,推荐⽂档东北⼤学《⾮线性振动》学习总结第⼀章⾮线性振动的定性分析⽅法1.1 稳定性理论的基本概念特定的运动成为系统的未受⼲扰的运动，简称为稳态运动，⽽受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。
李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定李雅普诺夫直接⽅法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。
（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。
（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动⽅程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。
定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤⽴极⼩值，则平衡状态稳定。
对于复杂的⾮线性系统，可以以近似的线性系统代替可以根据⼀次近似⽅程的稳定性，判断原⽅程的稳定性：（1）若⼀次⽅程的所有本征实部均为负，则原⽅程的零解渐进稳定（2）若⼀次近似⽅程⾄少有⼀本征实部为正，则原⽅程的零解不稳定（3）若⼀次近似⽅程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原⽅程的零解的稳定性1.2相平⾯、相轨迹和奇点与系统的运动状态⼀⼀对应的像平⾯上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。
像平⾯内能使⽅程右边分⼦分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。
保守系统的相轨迹有以下特点：（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平⾏线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满⾜⼏点的定义；（4）在势能取极⼩值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个⼩领域内都有E⼤于等于V（x）。
这种类型的奇点是稳定的，称为中⼼。
（5）在势能取极⼤值的点x= S2处，设E⼩于V(S2)则在区间（C1，C2），内没有对应的相轨迹，这种类型的奇点是不稳定的，称为鞍点。
动力系统的非线性振动分析动力系统的非线性振动是指在外部激励下，动力系统输出的振动不符合线性系统的响应规律，而出现非线性现象。
非线性振动是一种复杂而有趣的现象，广泛应用于各个领域，如机械工程、航空航天、电力电子等。
非线性振动的分析对于设计和优化动力系统至关重要，因此本文将介绍非线性振动的基本理论、方法和应用。
非线性振动的基本理论基于非线性动力学，非线性动力学研究非线性振动系统的运动规律。
非线性振动系统通常由一系列非线性微分方程描述，如Duffing方程、Van der Pol方程等。
这些方程往往包含非线性项，如非线性刚度、非线性阻尼、非线性耗散等。
非线性系统的解析解很难获得，因此需要借助数值模拟和近似方法来进行分析。
数值模拟是研究非线性振动的常用方法之一、通过数值方法可以求解非线性微分方程的数值解，得到系统的时域响应。
常用的数值方法包括Euler法、Runge-Kutta法、有限元法等。
数值模拟可以模拟系统在不同参数和激振条件下的响应，确定系统的稳定性和动态特性。
非线性振动还可以通过近似方法进行分析。
近似方法不依赖于数值计算，通过一系列数学变换和经验公式，将非线性系统简化为线性或半线性系统，以更好地理解系统的振动行为。
常用的近似方法有受激扰动法、多尺度方法和平均法等。
这些方法可以得到系统的解析解或近似解，为设计和优化动力系统提供参考。
非线性振动的应用广泛，其中一个重要应用是结构动力学领域。
在建筑、桥梁和飞行器等结构中，非线性振动会导致结构的破坏和失效。
通过对结构的非线性振动分析，可以预测并避免结构的振动失控，以提高结构的安全性和可靠性。
此外，非线性振动还在能量传输和能量转换系统中发挥着重要作用。
如能量管道、振动发电器和能量吸收器等系统，其中非线性振动可以改善系统的能量传输效率和转换效率。
通过对非线性振动的分析和优化，可以提高能量系统的性能，降低能量损耗。
总之，非线性振动的分析是设计和优化动力系统的重要环节。
控制系统中的非线性振动分析与控制在控制系统中，振动分析和控制是研究重要的领域。
随着科学技术的不断发展，非线性振动的存在和影响越来越被人们所重视。
非线性振动在工程和自然界中都普遍存在，如结构工程中的桥梁震动、电力设备中的振动、飞行器中的摆动等。
因此，了解非线性振动的特性，并能控制和减小其产生的影响具有重要意义。
1. 振动的基本概念振动是物体在时间和空间上周期性地来回摆动或波动的运动形式。
通常，振动可以分为线性和非线性振动。
1.1 线性振动线性振动是指物体在受到恢复力作用下，运动状态可由简谐运动方程描述的振动。
线性振动的特点是具有周期性、均匀性和超叠加性。
1.2 非线性振动非线性振动是由于振动系统的非线性特性而产生的振动。
与线性振动不同，非线性振动的振幅和频率不再呈现简单的周期性规律，而是可能存在多个频率分量和不同的周期。
2. 非线性振动的分析方法非线性振动的分析方法主要包括数值方法和解析方法。
2.1 数值方法数值方法是通过计算机模拟和数值计算来分析非线性振动。
常见的数值方法有有限元法、辛方法和降阶方法等。
这些方法能够有效地求解非线性振动的方程，并通过模拟振动系统的行为来研究和分析非线性振动的特性。
2.2 解析方法解析方法是通过数学分析来求解非线性振动的方程。
常用的解析方法有多尺度方法、Poincaré-Birkhoff定理和近似解析法等。
这些方法通过将非线性振动转化为一系列简单的线性振动问题进行分析，从而得到非线性振动的解析解。
3. 非线性振动控制的方法非线性振动控制旨在减小或消除非线性振动的不良影响。
常见的非线性振动控制方法包括被动控制和主动控制。
3.1 被动控制被动控制是指通过结构设计和材料选择等方法来减小非线性振动的影响。
常用的被动控制手段有阻尼器、隔振器和刚度调节器等。
这些控制手段能够通过改变结构的动力特性来减小非线性振动的幅值和频率。
3.2 主动控制主动控制是指通过激励和反馈控制等方法主动干预非线性振动系统，以实现对振动的控制。
动态系统中的非线性振动现象在许多物理、化学、生物、力学问题中，我们面对的不只是线性系统，而是涉及到非线性动态系统。
非线性动态系统是一类具有不规律、复杂、非周期、混沌等特征，并具有强耦合和非线性干扰效应的复杂动力学系统。
在这样的系统中，经常会出现一些非线性振动现象，如周期、混沌、共振等现象。
周期振动现象周期现象是被周期力作用下的一些物理系统所表现的固有性质。
常见的周期振动现象有：简谐振动和非谐振动。
简谐振动是一种最简单的周期性运动，是由一个单频（频率ω）的正弦波所描述的。
简谐振动的周期T和角频率ω之间有以下关系：T=2πω^-1简谐振动的重要性在于，它是所有周期振动的数学基础。
相比之下，非谐振动是指某些物理系统中，振幅与振动频率之间的关系并不完全符合简单谐振动的情况。
一个非谐振动的例子是当一个重物通过弹簧被重力牵引时，它完成的周期运动就是非谐振动。
混沌现象当涉及到非线性动态系统时，另一个重要的非线性振动现象是混沌。
混沌是一种看似没有规律的运动状态，由于系统复杂性较高而难以预测。
混沌现象相对于周期现象有更加复杂的周期表现形式，并且有非常高的灵敏度和不可预测性。
混沌现象在理论物理、天文学和化学领域中都有广泛应用。
例如，天文学中的行星轨道运动，化学中的反应动力学和流体力学中的湍流现象，都涉及到混沌现象的进一步研究。
共振现象另一个常见的非线性振动现象是共振。
共振是指，在某些物理系统中，周期性外部刺激作用下，系统的振幅和波形与外部刺激的周期和波形发生共振。
共振现象在许多领域中都有广泛应用，包括建筑学、机械工程、音乐等领域。
非线性振动现象广泛应用于物理、化学、生物、天文学、工程等领域，其内在的物理本质和数学模型一直是研究的热点。
各种非线性振动现象具有共性和差异性，对不同领域的应用和研究都有重要的指导意义。
我们期待着未来更深入、更便宜的研究来探究人类社会和自然界中非线性振动现象的机制和应用价值。
目录1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1)1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3)1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4)1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5)1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5)1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7)1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7)1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 81.4.1同步涡动的临界转速： (9)1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9)1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10)1.5mathematic源代码 (11)2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12)2.1 分析 (12)2.2 MATLAB编程求解 (16)两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =⨯=⨯，材料密度337.810/Kg cm ρ-=⨯。
固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。
ϕ为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ϕπ=⨯=。
假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。
求：①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程；②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图；③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。
1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形心的平动和相对形心的运动。
随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个定点运动方程描述，共计需要6个方程。
假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位移。
因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。
下面导出单盘偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。
欧拉角表示的刚性支承偏置转子位置示意图o x y z为过圆盘形心的圆盘无偏心，图中Axyz为固定坐标系，''''平动坐标系，0' 为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。
当圆盘以自转角速度C ϕ=Ω≠绕自转轴转动时，单盘偏置转子的角速度矢量ω在旋转后的动坐标系110'ξης中的投影用第2类欧拉角表示为111cos sin ξηςωβωαβωϕαβ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩（1-1） 注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负1'o ξ轴旋转，固角速度1ξωβ=-，这与第1章所述有所不同。
在平动坐标系'''o x y ς中圆盘对形心'o 的动量矩为o'ςx'y'H =H +H +H （1-2）式中''(cos sin cos )'(sin cos )'(sin )x p d y d p p J J J J J ςςϕβαβααϕβαϕαβ=-=+=+H i H j H k（1-3）由于动坐标轴''o x 与1'o ξ的夹角1,'','o y o αη的夹角β很小，有sin ,sin ,cos cos 1ααββαβ≈≈≈≈代入对圆盘形心'o 的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有''()x p p d y p p d p d J J J dt d J J J dt d J dt ςϕαϕαβϕβϕβαϕαβαβ=+-=++=++H H H（1-4） 注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标系下动量矩的最终形式是一致的。
1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达下面分析作用在弹性轴上的力矩。
作用在转轴上的力矩有，弹性恢复力矩e M 和阻力矩R M 。
由材料力学知，圆轴在xoz 平面上弹性恢复力和弯矩223322223()13x xx x x x a ab b a bF lEI x k x k a b a b a b M lEI x k x k a b ab αααααααα-+-=+=+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭（1-5）注意，力矩的下标x 表示在'''x o z 平面内的力矩。
同理圆轴在'yo z 平面内弹性恢复力y F 和恢复力矩11122213()y yy y y y F k y k k y k a b M lEI y k y k a b abββββββββ=+=+-=+=+（1-6） 因忽略阻尼，所以没有阻力矩。
由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影''''''()0x ex Rx x y ey Ry y M M M k x k M M M k y k M αααβββςαβ=+=-+=+=+=∑∑∑（1-7）注意，因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右端等于零。
如果考虑扭转刚度k ϕ，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形成的弹性扭矩ςM 为k ςϕςϕ=-M k1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心o '的动量矩定理''''x y y x d M dt d M dt d M dt ςς===∑∑∑H H H（1-8） 整理得到描述相对圆盘形心运动的定点转动微分方程⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+++++=+++--0)(00ϕϕβαβαϕααβϕαβϕββαϕαϕβϕϕααααββββk c J c k x k J J J c k y k J J J p x p d p y p p d（1-9） 再加上圆盘随形心运动的平动微分方程⎩⎨⎧=++=++00βαβαk y k y m k x k x m y yy x xx （1-10） 这就是刚性支承偏置单盘转子变转速瞬态自由涡动微分方程，共计5个方程。
对于圆轴截面，k k k k k k k k y 22112112,======ββααβαβ。
第2和第3个方程可简化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++++=+++++=+++--000)(001211121122212221βαϕϕβαβαϕααβϕαβϕββαϕαϕβϕϕαβk y k y m k x k x m k c J c k x k J J J c k y k J J J p p d p p p d （1-11） 1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图：由题目给出的条件代入数据，得：()1570.1425m 44a l ===，()0.4275mb l a =-=()23167.810 3.14159262 3.137kg 2m V A ρρ-⎛⎫==∆=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭()2223.137160.0050192kg m 1616d mD J ⨯===⋅220.0100384kg m p d J J ==⋅（因为是动力对称转子圆盘）对于等截面轴，有2211333549858.9N/m a ab b k lEI a b ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭122122367161.07N a b k k lEI a b -⎛⎫===- ⎪⎝⎭4223 1.43610N m lEIk ab==⨯⋅ 1.4.1同步涡动的临界转速：当圆盘转动为同步正进动时ωΩ=。
由方程错误!未找到引用源。
：211221()2d p k k m J J ω=+±-（1-12）代入数据，得临界角速度：21278.87(rad/s )F ω=临界转速：1602663(r/min)2F n ωπ==当同步反进动时ωΩ=-，由方程错误!未找到引用源。
：211221,2123dk k m J ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1-13） 代入数据得临界角速度：临界转速：1260609836.7(r/min)2480.8(r/min)22B B n n ωωππ====，1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系：由偏置单盘转子稳态自由涡动涡动角速度与自转角速度的关系式为： ()432112************d p d p mJ mJ J k mk J k k k k k ωωωω-Ω-++Ω+-=（1-14）将前面已求得的各个数据代入上式，可写为：4320.01570.031547807.175519.73385364480.460ωωωω-Ω-+Ω+=（1-15）Ω取不同值时，经Mathematic 算出对应的ω值，如下表所示：Ω1F ω2F ω1B ω2B ω1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下：1.5mathematic源代码2. 威尔逊--θ法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 2.1 分析因假设没有作用在转子上的不平衡外力F ，不计重力m g ，没有重力矩gM ，只有保持转子作等加速转动的外力矩gM 。
取广义坐标(,,,,)Tx y βαϕ=q ，有前面分析可知，系统微分方程简化为11142223323341440()000dd p d p p d p p a m y cy k y k J c k J J J k y k c J J J k x k c ϕϕββϕαβαβϕϕβϕαϕαββαϕβϕβαα⎪⎪++-=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎪⎪+-+++=⎩（1-16）转子形心的瞬态涡动幅频特性: 圆盘的转动惯量为220.0100384kg m p d J J ==⋅转轴的截面惯性矩及材料的弹性模量48411213.97610, 2.05810/64I d m E m π-==⨯=⨯4la =，由影响系数法假定转子受单位力P 作用求转子的位移11α和转角12α，其表达式为221112()()(2),33a l a a l a l a EIl EIl αα---==（1-17）假定转子受单位力矩M 作用求转子的位移12α和转角22α，其表达式为222122()(2)33,33a l a l a l la a EIl EIl αα---+==（1-18）从而得柔度矩阵2222()()(2)133()(2)3333a l a a l a l a EIl a l a l a l la a ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥=---+⎢⎥⎢⎥⎣⎦α（1-19） 则刚度矩阵为111212122k k k k-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α（1-20） 对于等截面圆轴，有2211333549858.9N/m a ab b k lEI a b ⎛⎫-+== ⎪⎝⎭122122367161.07N a b k k lEI a b -⎛⎫===- ⎪⎝⎭4223 1.43610N m lEIk ab==⨯⋅等加速过程中，不考虑11142223323341440()000dd p d p p d p p a m y cy k y k J c k J J J k y k c J J J k x k c ϕϕββϕαβαβϕϕβϕαϕαββαϕβϕβαα⎪⎪++-=⎪++++=⎨⎪-+-++=⎪⎪+-+++=⎩中的第三式222 5.7/35.814/rad s rad s ϕπ=⨯=，由威尔逊--θ法设转子涡动微分方程为q q q ++=M C K F （1-21）式中,,,M C K F 分别为质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和外激励矩阵。
