3基于有限元法分析的转子轴承系统的非线性振动特性研究

高速磁悬浮电机三段式转子动力学分析研究
李晖;徐向波;陈劭;毕中炜
【期刊名称】《微特电机》
【年(卷),期】2024(52)3
【摘要】为解决高速磁悬浮电机三段式转子的动力学分析问题,基于Workbench 有限元仿真平台完成了三段式转子建模、模态振型计算、坎贝尔图求解、不平衡响应分析。

总结讨论了关键因素对三段式转子的动力学特性的影响规律,并通过模态试验对转子建模的合理性进行了验证。

仿真结果与实验结果误差在5%,证明了建模及分析方法的可靠性,为应用在高速磁悬浮电机上同类转子的进一步优化设计和不平衡响应抑制提供理论参考。

【总页数】5页(P6-10)
【作者】李晖;徐向波;陈劭;毕中炜
【作者单位】北京林业大学工学院;北京高孚动力科技有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】TM359.9
【相关文献】
1.永磁悬浮电机转子-轴承系统的动力学特性分析
2.永磁悬浮电机轴承-转子系统动力学分析
3.磁悬浮高速电机转子低频振动机理及补偿方法
4.磁悬浮高速电机转子低频振动机理及抑制方法研究
5.高速永磁电机三段式转子模态分析与实验验证
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振　动　与　冲　击第27卷第9期JOURNAL OF V I B RATI O N AND SHOCKVol .27No .92008　机床主轴2滚动轴承系统非线性动力学分析基金项目:国家重点基础研究发展计划“973”项目(2005CB724101)和国家自然科学基金项目(10702040)资助收稿日期:2007-12-14　修改稿收到日期:2008-02-01第一作者张伟刚男,硕士生,1981年生张伟刚,　高尚晗,　龙新华,　孟　光(上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室,上海　200240) 摘　要:通过对机床主轴2滚动轴承系统的研究,建立了一个基于Hertz 接触力模型的6自由度系统动力学微分方程,初步探讨在非平衡力作用下,具有负游隙的机床主轴-滚动轴承系统的非线性动态特性和稳定性。

结果表明,由于游隙和变刚度的影响,随控制参数频数比的变化,系统将出现失稳和复杂的非线性现象;通过对比正、负游隙下的系统响应,可得到负游隙有助于提高机床主轴-滚动轴承系统稳定性的结论,该结论与其他学者[10]实验所证明的轴承预紧有助于提高主轴-轴承系统的固有频率,进而提高系统稳定性的结论相吻合。

关键词:滚动轴承;非线性动力学;游隙;稳定性中图分类号:O322;TH133 文献标识码:A 现代制造业对高速、高精度的要求使得我们有必要对机床主轴-轴承系统的非线性动态特性进行深入的分析和研究。

而轴承滚子和轴承内、外圈之间的非线性接触力是机床主轴-轴承系统振动响应的主要非线性因素。

为此,众多研究者在该非线性接触力对主轴-轴承系统动态特性的影响方面展开了广泛的研究。

Ya ma mot o [1]通过研究滚动轴承游隙对Jeffcott 转子振动特性的影响,发现其振动幅度会随着轴承游隙的增加而降低;在此工作基础上,Ti w ari 等[2-5]研究了轴承游隙及变刚度对非平衡Jeffcott 转子非线性动态特性的影响;Sopanen 和M ikkola [6,7]对转子-轴承系统建立了一个6自由度的力学模型,通过对该系统动力学模型的研究,分析游隙对系统固有频率和振动响应的影响;在以上的研究中,转速皆假定为常数,L i ouli os和Ant oniadis [8]研究变转速对转子-轴承系统动态特性的影响,结果表明:即使转子转速发生很小的波动,也可能导致系统动态特性发生很大变化。

转子—轴承系统非线性振动及分岔特性研究转子-轴承系统非线性振动及分岔特性研究摘要：转子-轴承系统是工业中非常常见且重要的机械系统之一。

在该系统中，转子通过轴承得到支撑并旋转，以实现机械设备的正常运转。

然而，由于传动链的非线性、摩擦、失衡等因素的存在，转子-轴承系统常常会出现非线性振动。

本文通过理论分析和数值模拟的方法研究了转子-轴承系统的非线性振动机理及其分岔特性。

一、引言转子-轴承系统广泛应用于工业生产中的各个领域，如船舶、飞机、机床等。

然而，由于系统自身的非线性特性，该系统常常会发生非线性振动，给机械设备的正常运行带来不利影响。

因此，研究转子-轴承系统的非线性振动特性对系统的安全运行和性能提升具有重要意义。

二、转子-轴承系统的非线性振动机理转子-轴承系统的非线性振动主要由以下因素引起：轴承的摩擦力、传动链的非线性特性、转子的失衡等。

其中，轴承的摩擦力是主要因素之一。

当转子在摩擦力的作用下旋转时，摩擦力会导致转子-轴承系统产生非线性振动。

同时，传动链的非线性特性也会对系统的振动特性产生显著影响。

另外，转子的失衡也是导致系统振动非线性的重要因素之一。

三、转子-轴承系统的数值模拟为了研究转子-轴承系统的非线性振动特性，本文利用数值模拟的方法对系统进行仿真分析。

首先，建立了转子-轴承系统的数学模型，并将其转化为一组非线性常微分方程。

然后，利用数值求解方法求解该方程组，得到系统的时间-位移响应曲线和频谱图。

通过对比不同参数条件下的模拟结果，研究了转子-轴承系统的非线性振动特性及其分岔现象。

四、转子-轴承系统的非线性振动分岔特性研究表明，转子-轴承系统在一定条件下会产生分岔现象。

分岔是指系统的振动模态在某些特定参数下发生突变的现象。

在转子-轴承系统中，通过改变参数，如失衡量、摩擦力大小等，我们发现系统的振动模态会发生突变，从而产生新的振动模态。

这一现象说明了转子-轴承系统具有丰富的非线性振动特性和动力学行为。

滚动轴承-转子系统非线性动力响应分析陶海亮;潘波;高庆;郭宝亭;谭春青【摘要】采用有限元法建立了含转子不平衡-碰摩耦合故障的滚动轴承-转子系统的连续模型,考虑了转子的剪切效应、回转效应、转子几何参数等影响因素,对滚动轴承模型考虑了非线性赫兹接触及由滚动轴承支承刚度变化而产生的VC(Varying Compliance)振动.运用Newmark-β法获得了连续转子的系统响应,利用时域波形、分岔图、Poincare映射图和频谱图分析了该转子系统的非线性动力学行为.结果表明:由于不同参数的影响,转子碰摩系统具有丰富的非线性现象.本模型考虑了更多的影响因素,可为复杂转子的非线性设计、故障诊断提供更为准确合理的理论参考.【期刊名称】《燃气轮机技术》【年(卷),期】2013(026)001【总页数】6页(P15-20)【关键词】转子;滚动轴承;连续模型;非线性;分岔【作者】陶海亮;潘波;高庆;郭宝亭;谭春青【作者单位】中国科学院工程热物理研究所,北京100190;中国科学院轻型动力重点实验室,北京100190【正文语种】中文【中图分类】O322随着对旋转机械高转速、高效率的要求，转子与静子的间隙越来越小，使得转静碰摩成为转子动力学重要的研究方向［1］。

根据转子系统所采用的支承方式，转子-轴承非线性动力分析主要在以下两个方面进行:一方面，以滑动轴承为支承考虑非线性油膜力作用下转子各种故障的机理性分析;另一方面，以滚动轴承为支承考虑碰摩、偏心、不对中、基础松动、裂纹等相关故障的研究。

目前，滑动轴承-转子的动力特性已经有了比较深入的研究。

褚福磊等［2］用数值分析研究了滑动轴承-转子系统进入和离开混沌状态的路径。

焦映厚等［3］考虑了非线性油膜力，对转子系统的不平衡响应进行了非线性分析。

在对滚动轴承-转子系统的研究中，很多情况下将支承简化为刚度为常数的弹性支承［4-5］，而没有考虑轴承间隙和由于滚珠和滚道的接触位置变化引起的轴承刚度周期变化导致的参数激振(即VC振动)。

Journal of Mechanical Strength2023,45(5):1036-1042DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.05.004∗20211227收到初稿,20220224收到修改稿㊂国家重点基础研究发展计划项目(2013CB035706)资助㊂∗∗王龙凯,男,1990年生,湖南娄底人,汉族,长沙理工大学讲师,主要研究方向为旋转机械动力学㊂∗∗∗尹伊君(通信作者),男,1992年生,湖南湘潭人,汉族,中南大学博士研究生,主要研究方向为转子动力学㊂考虑端齿连接的转子-滚动轴承系统非线性振动特性研究∗STUDY ON NONLINEAR VIBRATION CHARACTERISTICS FOR THE ROTOR-ROLLING BEARING SYSTEM WITHCURVIC COUPLINGS王龙凯∗∗1㊀麻鹏伟2㊀王艾伦2㊀张海彪2,3㊀尹伊君∗∗∗2(1.长沙理工大学汽车与机械工程学院,长沙410114)(2.中南大学机电工程学院,长沙410083)(3.中国航发湖南动力机械研究所,株洲412002)WANG LongKai 1㊀MA PengWei 2㊀WANG AiLun 2㊀ZHANG HaiBiao 2,3㊀YIN YiJun 2(1.College of Automotive and Mechanical Engineering ,Changsha University of Science and Technology ,Changsha 410114,China )(2.College of Mechanical and Electrical Engineering ,Central South University ,Changsha 410083,China )(3.AECC Hunan Aviation Powerplant Research Institute ,Zhuzhou 412002,China )摘要㊀为了研究滚动轴承支撑下端齿连接转子系统的接触效应,采用三维有限元与解析法相结合推导了端齿连接刚度矩阵,建立了端齿连接转子-滚动轴承系统动力学模型,并通过Ansys 验证了模型的有效性㊂通过与连续转子对比发现,端齿结构使转子一阶临界转速降低了5%,振幅增大了3%,非线性分岔趋势与连续转子大致相同㊂然而,端齿接触特性使转子明显地提早进入和离开拟周期运动,在分析含端齿结构的转子振动特性时应考虑接触效应㊂在转速超过15900r /min 时,转子系统做稳定的单周期运动,运行平稳,可作为工作转速合理设计阈值㊂研究可为含端齿结构转子系统非线性振动特性预测和工作转速设计提供分析方法和设计思路㊂关键词㊀转子系统㊀端齿连接结构㊀滚动轴承㊀非线性动力学㊀接触效应中图分类号㊀TH113.1㊀V235.12Abstract ㊀To study the contact effect of the rotor system with curvic couplings under rolling bearing supports,thecombination of 3D finite element and analytical method were used to derive the curvic coupling shaft section stiffness matrix,andthe dynamics model of rotor-rolling bearing system was established,which was verified by Ansys.By comparing with the continuous rotor,it was found that the curvic coupling structure reduced the first-order critical rotor speed by 5%and increasedthe amplitude by 3%.The results show that the nonlinear bifurcation trend of the curvic coupling rotor is nearly the same as that of the continuous rotor,however,the discontinuous characteristic of the curvic coupling structure will make the rotor access or leave the periodic motion state significantly earlier.Obviously,the contact effect needs to be considered when analyzing the rotorvibration characteristics with curvic couplings.The research can provide analysis methods and design ideas for the prediction of nonlinear vibration characteristics and the operating speed design for rotor system with curvic coupling structure.Key words㊀Rotor system ;Curvic coupling structure ;Rolling bearing ;Nonlinear dynamics ;Contact effectCorresponding author :YIN YiJun ,E-mail :yinyijun 1992@The project supported by the National Basic Research Development Program (973Program )of China (No.2013CB035706).Manuscript received 20211227,in revised form 20220224.0㊀引言㊀㊀中心拉杆-端齿连接转子因其具有重量轻㊁拆装方便㊁稳定对中及各级轴段材料可选等优点[1-2],在涡轴发动机及燃气轮机中得到越来越广泛的应用㊂该转子中各级轮盘之间端齿接触连接造成结构非连续,对转㊀第45卷第5期王龙凯等:考虑端齿连接的转子-滚动轴承系统非线性振动特性研究1037㊀㊀子的结构强度㊁相应分析方法及转子系统的动力学行为产生影响,尤其在滚动轴承产生强非线性支承力的情况下,若仍采用整体转子建模的方式会产生较大的误差㊂因此,研究滚动轴承支撑-中心拉杆-端齿连接转子系统的振动特性对保障航空发动机转子的正常运行具有重要意义㊂近年来,很多国内外研究学者对转子的非连续结构刚度计算进行了大量研究㊂高进等[3]运用Hertz接触理论和粗糙表面接触的统计模型并结合有限元分析确定了拉杆转子的弯曲刚度㊂洪杰等[4]建立了连接界面刚度损失力学模型,采用Ansys实体模型分析了刚度损失对转子系统动力学特性的影响㊂张帆等[5]采用六自由度弹簧单元等效成轮盘接触,且包含轮盘接触刚度和拉杆弯曲刚度㊂尹泽勇等[6]建立了 端齿梁元 概念,通过静力学方式计算得到端齿轴段刚度折减系数㊂马艳红等[7]分析了靠近弯曲临界转速的长拉杆-止口连接转子连接界面接触应力分布特性,并提出连接结构弯曲刚度损失修正方法㊂缪辉等[8]利用薄层单元模拟了拉杆预紧状态下接触界面的力学特性㊂金淼等[9]基于接触理论和刚度转换的方法,推导了端齿连接结构的整体法向刚度和预紧力之间的关系,建立了中心拉杆-转子-叶片耦合转子系统动力学模型㊂黑棣等[10-11]将轮盘间接触效应等效为非线性弹簧研究了轴承支撑-周向拉杆转子与整体转子的非线性运动稳定性㊂罗忠等[12]利用嵌入同伦弧长延拓谐波平衡-时频转换(HarmonicBalance and Alternating Frequency Transformation,HB-AFT)方法,分析了轴承等效刚度㊁轴承游隙与线性阻尼系数对在滚动轴承支撑下转子系统滞后突跳的影响㊂WANG Z[13]提出了一种考虑了滚动轴承的变柔度㊁径向内部间隙以及随外载荷变化而产生的强非线性特性的转子-轴承系统新模型㊂WANG L K等[14]采用端齿轴段等效弹性模量方法研究了滑动轴承圆弧齿连接转子的非线性振动㊂以上主要研究盘间结合面为平面的周向拉杆转子系统,较少涉及考虑端齿连接㊁中心拉杆与阶梯轴之间耦合等因素在内的滚动轴承-中心拉杆-转子系统动力学建模与振动特性方面的研究,且通常将端齿连接转子视为连续性转子进行建模㊂因此,本文在建模时考虑了端齿引起的结构非线性和中心拉杆的耦合效应,基于Timoshenko梁理论和有限元法,建立了滚动轴承-端齿连接-中心拉杆转子动力学模型,研究端齿连接转子-轴承系统非线性动力学特性和端齿连接刚度弱化效应㊂1㊀滚动轴承-端齿连接-中心拉杆转子耦合动力学模型㊀㊀本文所建立的滚动轴承支撑-端齿连接结构-中心拉杆转子模型如图1所示,建模时将该转子结构视为由转速相同的阶梯轴和中心拉杆组成的双转子系统㊂中心拉杆和阶梯轴之间利用虚拟弹簧模拟耦合连接㊂圆盘之间通过两对端齿结构连接,对中心拉杆施加预紧力使转子得到有效预紧㊂端齿轴段刚度通过对其等效梁单元有限元分析得到㊂最后,通过矩阵拼装建立完整的滚动轴承支撑-端齿连接-中心拉杆转子动力学模型控制方程㊂图1㊀端齿连接转子结构示意图Fig.1㊀Schematic diagram of the rotor structure with curvic coupling 1.1㊀端齿连接结构刚度㊀㊀端齿连接轴段不同于连续轴段,不可直接采用梁单元求得刚度矩阵㊂参考‘航空发动机设计手册“中端齿刚度矩阵计算方法㊂建立如图2所示端齿连接轴段,其结构参数如表1所示㊂由于端齿的数目较多且为偶数,假设认为端齿连接轴段是一个左右对称且轴对称的结构㊂在设计预紧力下,端齿连接轴段通过端齿齿牙接触传递载荷㊂由于端齿加工表面光滑,可忽略端齿齿牙表面摩擦,认为端齿接触面之间只传递法向力,因此端齿连接轴段在传递轴向载荷时与连续轴段一致,在计算端齿连接轴段弯曲刚度系数时可不施加轴向力㊂图2㊀端齿连接轴段Fig.2㊀Curvic coupling shaft section表1㊀端齿结构参数Tab.1㊀Structural parameters of curvic coupling齿数Number ofteeth弹性模量Elasticmodulus/Pa泊松比Poissonᶄsratio外径Outerdiameter/mm内径Innerdiameter/mm 20 2.0ˑ10110.37465根据以上基本考虑与假设,将端齿连接轴段等效为Timoshenko梁单元,其刚度矩阵与一般实体梁单元刚度矩阵系数只在数值上有区别㊂因此将端齿梁单元㊀1038㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀刚度矩阵中数值不同的刚度系数分为四组,即K 1㊁K 2㊁K 3㊁K 4,计算式分别为K 1=F x 1/u x 1K 2=M x 1/αx 1K 3=M x 2/αx 1K 4=M y 1/u x 1ìîíïïïïïï(1)㊀㊀以上四组端齿梁单元刚度系数可通过对端齿实体结构施加载荷和约束方式得到㊂求解步骤:①如图3(a)所示,端齿连接轴段A 端固定支撑,B 端施加横向载荷F B ,约束B 端转角,释放B 端平动,测量A 端约束反力M A 及B 端横向位移u B ,求得K 1和K 4;②如图3(b)所示,端齿连接轴段A 端固定支撑,B 端施加弯矩M B ,约束B 端平动,释放B 端转动,通过测量A 端约束反力M A 及B 端转角αB 求得K 2和K 3㊂图3㊀端齿梁单元刚度求解示意图Fig.3㊀Schematic diagram of the elemental stiffnesssolution of the end tooth beam按以上方式虽能得到轴段的四个刚度系数,但这些刚度系数并不能准确满足一般梁单元刚度系数平衡式(2),因此还需计算相应结构参数的整体轴段有限元解及采用材料力学方法获得的解析解㊂端齿轴段与整体轴段有限元解及解析解计算结果如表2所示㊂F x 1u x 1L =M y 2u x 1+M y 1u x 1=2M y 2u x 1F y 1αx 1L =M x 2αx 1+M x 1αx 1=M y 2u x 1L ìîíïïïïïï(2)表2㊀刚度系数计算结果Tab.2㊀Calculation results of stiffness coefficient系数Coefficient 端齿轴段有限元解Curvic couplingshaft sectionfinite elementsolution整体轴段有限元解Continuous shaftsection finiteelement solution整体轴段解析解Continuous shaftsectionanalysis solutionK 1/(N /mm)1.2020ˑ1061.3310ˑ1061.3124ˑ106K 2/(N㊃mm /rad) 3.6705ˑ1094.5397ˑ1094.2668ˑ109K 3/(N㊃mm /rad)3.1184ˑ1093.9407ˑ1093.6762ˑ109K 4/(N㊃mm /mm) 1.8200ˑ1071.9975ˑ1071.9686ˑ107㊀㊀计算端齿轴段刚度系数的相对误差为Δi =K isa -K isfK isa(3)式中,K isa 为整体轴段解析解;K isf 为整体轴段有限元解㊂由表3可知,计算精度最高的刚度系数为K 1,则将K 1对应的端齿轴段有限元解和整体轴段有限元解利用式(4)计算出刚度折减系数d dk =0.9㊂使用该折减系数乘以整体轴段各刚度系数解析解,可得到端齿轴段对应刚度系数精确解,结果如表4所示㊂最后,将4个刚度系数代入Timoshenko 梁单元刚度矩阵,即为端齿连接轴段单元刚度矩阵㊂d dk =K jcf K jsf(4)式中,K jcf 为端齿轴段有限元解;K jsf 为整体轴段有限元解㊂表3㊀相对误差Δi Tab.3㊀Relative error ΔiΔ1Δ2Δ3Δ40.01420.06400.07190.0147表4㊀端齿轴段梁单元刚度系数Tab.4㊀Stiffness coefficients of end tooth shaftsegment beam elementsK 1K 2K 3K 41.18ˑ1063.84ˑ1093.31ˑ1091.77ˑ1071.2㊀阶梯轴与中心拉杆耦合动力学模型㊀㊀中心拉杆-端齿连接转子通过中心拉杆施加预紧力将各级轮盘紧密连接㊂中心拉杆与阶梯轴之间的螺纹连接方式使阶梯轴与中心拉杆存在耦合项,如图4中节点4与节点16㊁节点12与节点20所示㊂二者接触,耦合节点具有相同的位移和转速,采用虚拟弹簧单元分别模拟中心拉杆和阶梯轴耦合连接节点x 和y 方向的接触刚度㊂中心拉杆与阶梯轴耦合节点满足的关系为Q 10Q 1ᶄ0Q 10Q 1ᶄ0ìîíïïïïïïïïïïïïüþýïïïïïïïïïïïï=-K c 0K c 0000000000000K c 0-K c 00000000000000000-K c 0K c 0000000000000K c 0-K c 000000000éëêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúúúúx 1θy 1x 1ᶄθy 1ᶄy 1θx 1y 1ᶄθx 1ᶄìîíïïïïïïïïïïïïïüþýïïïïïïïïïïïïï(5)式中,Q 为阶梯轴与中心拉杆耦合节点之间的相互作用力;K c 为阶梯轴-中心拉杆沿x 方向和y 方向的耦合刚度㊂由此可得阶梯轴与中心拉杆的耦合刚度矩阵㊂1.3㊀滚动轴承动力学模型㊀㊀轴承内滚动单元与内㊁外圈之间点接触会产生接触压力,且只能产生法向正压力㊂假设:㊀第45卷第5期王龙凯等:考虑端齿连接的转子-滚动轴承系统非线性振动特性研究1039㊀㊀图4㊀阶梯轴与中心拉杆耦合简化示意图Fig.4㊀Simplified diagram of stepped axis coupled to center tie rod1)滚动轴承内外圈无接触变形㊂2)忽略高速状态下的滚动元件摩擦力和陀螺力矩㊂3)滚动单元在滚道内满足纯滚动,且均匀分布㊂基于上述假设和Hertz 接触理论,可以将滚动轴承非线性支承力表示为[15]f b x =-k b ðNbj =1δmj H (δj )cos θj f by =-k b ðN b j =1δm j H (δj )sin θj ìîíïïïïïï(6)式中,k b 为滚动体与滚道之间的赫兹接触刚度;H (㊃)为Heaviside 函数;θj 为第j 滚动单元的转动角度,可表示为θj =2π(j -1)N b+ωcage t (7)式中,N b 为滚动单元的个数;ωcage 为滚动轴承保持架的转速,可表示为ωcage =ωR R +r(8)式中,ω为转子转速;r ㊁R 分别为轴承内㊁外圈的半径㊂δj 为第j 个滚动单元变形量,其表达式为δj =Δx cos θj +Δy sin θj -γ/2(9)式中,Δx =x nr -x wr ;Δy =y nr -y wr ;γ为轴承的径向游隙㊂滚珠轴承引起的振动主要是滚珠的参数激振(Vibration Criterion,VC),VC 频率公式为ωVC =ωcage N b (10)1.4㊀转子-支承系统动力学建模㊀㊀根据图1所示转子结构特点,采用Timoshenko 梁单元对转子的轮盘㊁中心拉杆㊁阶梯轴分别进行有限元离散化,如图4所示,将中心拉杆与阶梯轴分别划分梁单元数为14和4,轮盘以集中质量的形式分别放置在阶梯轴上第5㊁8㊁11节点㊂忽略转子轴向和扭转振动,每个节点仅考虑4个自由度(x ,y ,θx ,θy ),通过Lagrange 方程推导出滚动轴承支撑-中心拉杆-端齿连接转子系统非线性振动控制方程为M S q ㊆+(ΩG S +C S )q ㊃+K S q =F b +F uM S=M shaft 00M rod éëêêùûúú,㊀K S =K shaftK T C K C K rod éëêêùûúú,G S=G shaft 00G rod éëêêùûúú,㊀C S =C shaft 00C rod éëêêùûúúìîíïïïïïïïï(11)式中,q =(x 1,y 1,θx 1,θy 1, ,x n ,y n ,θxn ,θyn )为位移向量;M shaft ㊁K shaft ㊁G shaft ㊁C shaft 分别为阶梯轴的质量矩阵㊁刚度矩阵㊁陀螺矩阵和阻尼矩阵;M rod ㊁K rod ㊁G rod ㊁C rod分别为中心拉杆的质量矩阵㊁刚度矩阵㊁陀螺矩阵和阻尼矩阵;K C 为中心拉杆与轮盘的接触耦合矩阵;F u 为转子系统不平衡力向量;F b 为转子系统中轴承非线性支承力向量㊂系统的阻尼为比例阻尼,即C S =αM +βK (12)式中,α=2(ξ2/ω2-ξ1/ω1)/(1/ω1-1/ω2),β=2(ξ2ω2-ξ1ω1)/(ω22-ω21)其中,ξ1㊁ξ2均为转子系统的阻尼系数[16-17],本文取ξ1=0.02,ξ2=0.04;ω1㊁ω2分别为转子的一阶临界转速和二阶临界转速㊂在刚度矩阵的组装过程中,需引入上述计算所得的端齿连接轴段刚度矩阵,还要考虑中心拉杆与阶梯轴的接触耦合刚度矩阵㊂转子系统整体刚度矩阵组装如图5所示㊂图5㊀转子系统刚度矩阵组装示意图Fig.5㊀Assembly diagram of rotor system stiffness matrix2㊀数值仿真与结果分析㊀㊀本节对滚动轴承支撑-中心拉杆-端齿连接转子系统进行动力学特性的数值研究㊂利用4阶Runge-Kutta 法对式(11)进行数值求解,设置数值积分步长为2π/500㊂分析端齿结构对转子振动特性的影响,以转速为控制参数,采用分岔图㊁频谱图㊁轴心轨迹以及庞加莱截面等方法研究该转子系统的非线性动力学特性㊂2.1㊀模型验证及固有特性分析㊀㊀为满足在设计预紧力下转子轻量化设计的要求,㊀1040㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀轮盘轴和中心拉杆都属于空心轴结构,并且中心拉杆位于阶梯轴内部㊂设计中心拉杆-端齿连接转子如图1所示㊂设阶梯轴与中心拉杆耦合刚度K c为1ˑ109N/m,支承刚度为2ˑ108N/m㊂为验证本文中心拉杆-转子动力学模型及计算程序的正确性,将固有频率作为判断标准,与有限元软件仿真结果对照㊂采用有限元分析软件对该转子建模时,中心拉杆与阶梯轴分别划分68和32个Beam188单元,耦合接触采用COMBIN14单元,轮盘采用MASS211单元分别放置在阶梯轴上第13㊁35㊁57节点㊂计算结果如表6所示㊂有限元软件计算出的两阶固有频率与本文方法差值百分比在1%以下,结果误差小,有较高吻合度,验证转子模型的建立有效,计算程序可靠㊂表6㊀转子固有频率Tab.6㊀Continuous rotor natural frequency阶数Order固有频率Natural frequency/Hz有限元Finite element本文方法Proposedmethod相对误差Relative error/%一阶The first order62.7863.220.69二阶The second order125.05125.220.13表7所示为端齿连接转子与连续转子前三阶固有频率㊂由表7可以看出,由于端齿结构的存在,一阶㊁三阶为阶梯轴固有频率,分别下降4.35%㊁2.68%,二阶固有频率为中心拉杆一阶弯曲,端齿结构并不影响,数值与连续转子固有频率近似相同㊂表7㊀转子固有频率对比Tab.7㊀Comparison of rotor natural frequency阶数Order固有频率Natural frequency/Hz端齿连接转子Rotor withcurvic coupling连续转子Continuousrotor差值百分比Differencepercent/%一阶The first order60.4763.22 4.35二阶The second order125.08125.220.11三阶The third order206.42212.07 2.68 2.2㊀端齿结构对转子振动特性的影响㊀㊀为探究连续转子与端齿连接转子的动力学特性差异,在刚性支撑条件下,连续性转子与端齿连接转子的幅频响应RMS对比如图6所示,时域图及轴心轨迹如图7所示㊂由图6可以看出,二者曲线在一阶临界转速附近区别较为明显,其余基本一致,且端齿连接转子的一阶临界转速提前,是连续转子的95%;端齿连接转子的振幅在一阶临界转速之前高于连续转子,最高处比连续转子高3%㊂这说明端齿连接结构会导致一阶临界转速附近振幅增加,在设计需要跨越临界转速的端齿连接转子时,为保障其安全,转子与机匣的碰撞间距的设计需求高于连续转子㊂图6㊀刚性支撑下RMS对比Fig.6㊀Comparison of RMS under the rigidsupport图7㊀时域图和轴心轨迹图Fig.7㊀Time-domain waveforms and orbits结果表明,相对于连续转子,端齿结构的存在削弱了转子的整体刚度,降低了转子的一阶临界转速并使振幅增大㊂对于一些特殊情况,如预紧力下降或预紧力设计不合理时,须采用含端齿连接的转子建模方法㊂2.3㊀端齿结构对转子-轴承系统非线性振动特性影响㊀㊀转速是影响滚动轴承-转子系统振动特性的重要因素之一,在不同转速下转子系统表现出不同的非线性振动特性㊂图8描述了转速n在1000~ 30000r/min范围内连续转子和端齿连接转子2#盘节点处位移x方向的分叉图㊂由图8可以看出,随着转速的提升,滚动轴承的强非线性支承力使转子依次经历混沌㊁拟周期㊁单周期㊁拟周期和单周期运动状态㊂端齿连接转子与连续转子的分叉图走势一致,在幅值上有所区别㊂在转子第一次进入单周期运动之后,端齿连接转子在5200r/min 时进入拟周期运动,连续转子在5700r/min时进入拟周期运动㊂端齿连接转子在15900r/min时离开拟周㊀第45卷第5期王龙凯等:考虑端齿连接的转子-滚动轴承系统非线性振动特性研究1041㊀㊀图8㊀分岔图Fig.8㊀Bifurcation diagram期运动进入单周期运动,连续转子在17000r /min 时离开拟周期运动进入单周期运动㊂在进入拟周期运动时,端齿连接转子比连续转子提前9.62%进入拟周期运动,比连续转子提前6.91%再次进入单周期运动㊂由图9~图14可以看出,转速在200r /min 时,转速较低,频谱图中轴承内部刚度周期变化所引发的轴承参数激振频率峰值较大,转频较为微弱,且谱线连续,庞加莱映射图为一群散乱的点,此时两类型转子的不稳定响应皆为混沌状态㊂转速在1500r /min 时,两类型转子频谱图基本一致,连续谱线消失,出现轴承通过频率与转频的组合,庞加莱映射图逐渐形成椭圆形,转子即将脱离混沌运动状态㊂转速在2000r /min 时,轴心轨迹清晰且为单一圆,频谱图中只存在转频成分,此转速下两类型转子均处于单周期运动状态㊂转速在8000r /min 时,两类型转子轴心轨迹不同,连续转子轴心轨迹形状规律密集,端齿连接转子轴心轨迹形似花瓣,但庞加莱映射图形势一致构成环形,表明两者均处于拟周期运动状态㊂转速在15500r /min 时,庞加莱映射图不再为严格的闭合环面,轴心轨迹依旧为规律圆形,两转子依旧处于拟周期运动状态㊂20000r /min 时,轴心轨迹为基本重合圆,庞加莱映射图点迹为单个离散点,两转子脱离拟周期运动进入单周期运动状态㊂图9㊀庞加莱映射图和频谱图(200r /min)Fig.9㊀Poincar map and spectrogram (200r /min)图10㊀庞加莱映射图和频谱图(1500r /min)Fig.10㊀Poincar map and spectrogram (1500r /min)图11㊀轴心轨迹和频谱图(2000r /min)Fig.11㊀Orbits and spectrogram (2000r /min)图12㊀轴心轨迹和庞加莱映射图(8000r /min)Fig.12㊀Orbits and Poincar map (8000r /min)图13㊀轴心轨迹和庞加莱映射图(15500r /min)Fig.13㊀Orbits and Poincar map (15500r /min)图14㊀轴心轨迹和庞加莱映射图(20000r /min)Fig.14㊀Orbits and Poincar map (20000r /min)3　结论㊀㊀本文基于梁单元理论推导了端齿结构刚度矩阵,考虑陀螺效应㊁端齿和轴承非线性特性,采用有限元法建立了中心拉杆-端齿连接转子-轴承系统耦合动力学模型,对模型有效性进行了验证,在此基础上研究了端齿结构对转子系统非线性动力学特性影响,主要结论如下:1)端齿结构对转子整体刚度存在弱化效应,与连续转子相比,考虑端齿连接后转子的固有频率降低,一㊀1042㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀阶临界转速提前出现且振幅提高,二阶临界转速及振幅趋于一致㊂因此在构建复杂的中心拉杆-端齿连接转子动力学模型时,需考虑端齿结构的刚度弱化效应㊂2)中心拉杆-端齿连接转子-轴承系统非线性动力学现象明显,端齿结构的非连续特性使转子提早9.62%进入拟周期运动,提早6.91%离开拟周期运动㊂随着转速提高,运动状态经混沌㊁单周期和倍周期,最终稳定在单周期㊂在15900r/min之前,转子系统只经历了短暂单周期运动,系统响应形式多为复杂的倍周期运动;而在15900r/min之后,转子运行平稳,且转速持续范围较大,可作为转子工作转速合理设计参考范围㊂参考文献(References)[1]㊀杨郑烈,王艾伦,张海彪,等.考虑接触效应的端齿连接转子动力学特性研究[J].机械强度,2020,42(6):1489-1495.YANG ZhengLie,WANG AiLun,ZHANG HaiBiao,et al.Study ondynamic characteristics of end toothed connection rotor consideringcontact effect[J].Journal of Mechanical Strength,2020,42(6):1489-1495(In Chinese).[2]㊀马㊀伍,王艾伦,王㊀海,等.考虑齿面粗糙度的端齿连接结构接触刚度求解方法研究[J].机械强度,2020,42(6):1389-1395.MA Wu,WANG AiLun,WANG Hai,et al.Research on solutionmethod of contact stiffness of curvic couplings considering toothsurface roughness[J].Journal of Mechanical Strength,2020,42(6):1389-1395(In Chinese).[3]㊀高㊀进,袁㊀奇,李㊀浦,等.燃气轮机拉杆转子考虑接触效应的扭转振动模态分析[J].振动与冲击,2012,31(12):9-13.GAO Jin,YUAN Qi,LI Pu,et al.Torsional vibration modalanalysis for a rod-fastened gas turbine rotor considering contacteffects[J].Journal of Vibration and Shock,2012,31(12):9-13(InChinese).[4]㊀洪㊀杰,徐翕如,苏志敏,等.高速转子连接结构刚度损失及振动特性[J].北京航空航天大学学报,2019,45(1):18-25.HONG Jie,XU XiRu,SU ZhiMin,et al.Joint stiffness loss andvibration characteristics of high-speed rotor[J].Journal of BeijingUniversity of Aeronautics and Astronautics,2019,45(1):18-25(In Chinese).[5]㊀张㊀帆,冯引利,郭宝亭,等.燃气轮机周向拉杆转子连接刚度对转子振动特性影响的研究[J].推进技术,2021,42(5):1138-1147.ZHANG Fan,FENG YinLi,GUO BaoTing,et al.Impact ofconnection stiffness on vibration characteristics of rotor incircumferential tie rod rotor of gas turbine[J].Journal of PropulsionTechnology,2021,42(5):1138-1147(In Chinese).[6]㊀尹泽勇,欧圆霞,李㊀彦,等.端齿轴段刚度及其对转子动力学特性的影响[J].振动工程学报,1993,6(1):63-67.YIN ZeYong,OU YuanXia,LI Yan,et al.Stiffness of a shaftsection with curvic couplings and its effect on dynamic characteristicsof a rotor[J].Journal of Vibration Engineering,1993,6(1):63-67(In Chinese).[7]㊀马艳红,倪耀宇,陈雪骑,等.长拉杆-止口连接弯曲刚度损失及对转子系统振动响应影响[J].航空学报,2021,42(3):303-313.MA YanHong,NI YaoYu,CHEN XueQi,et al.Bending stiffnessloss of rod-rabbet joints and its effect on vibration response of rotorsystems[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2021,42(3):303-313(In Chinese).[8]㊀缪㊀辉,臧朝平,罗欣洋,等.基于薄层单元的拉杆转子接触界面动力学建模及修正[J].航空动力学报,2019,34(9):1927-1935.MIAO Hui,ZANG ChaoPing,LUO XinYang,et al.Dynamicmodeling and updating for contact interface of rod fastening rotorbased on thin-layer element[J].Journal of Aerospace Power,2019,34(9):1927-1935(In Chinese).[9]㊀金㊀淼,王艾伦,王青山,等.考虑端齿预紧的新型中心拉杆-转子-叶片耦合系统动力学特性分析[J].机械工程学报,2021,57(23):124-136.JIN Miao,WANG AiLun,WANG QingShan,et al.Dynamiccharacteristics analysis of a new type of central tie rod rotor-blade-bearing coupling system considering the end-tooth connectionstructure[J].Journal of Mechanical Engineering,2021,57(23):124-136(In Chinese).[10]㊀黑㊀棣,郑美茹.拉杆转子系统的运动稳定性及分岔研究[J].机械强度,2020,42(2):299-307.HEI Di,ZHENG MeiRu.Study on dynamic stability and bifurcationof the rod-fastening rotor system[J].Journal of MechanicalStrength,2020,42(2):299-307(In Chinese).[11]㊀黑㊀棣,郑美茹.固定瓦-可倾瓦气体轴承支撑的拉杆转子动力学特性[J].机械强度,2020,42(3):529-538.HEI Di,ZHENG MeiRu.Dynamic characteristic of rod fasteningrotor supported by fixed-tilting pad gas-lubricated bearings[J].Journal of Mechanical Strength,2020,42(3):529-538(InChinese).[12]㊀罗㊀忠,周逸夫,边子方,等.滚动轴承非线性因素对转子系统振动特性的影响[J].东北大学学报(自然科学版),2019,40(8):1131-1138.LUO Zhong,ZHOU YiFu,BIAN ZiFang,et al.Influence ofnonlinearity factors of rolling bearings on vibration characteristics ofrotor system[J].Journal of Northeastern University(NaturalScience),2019,40(8):1131-1138(In Chinese). [13]㊀WANG Z.A new model for analyzing the vibration behaviors of rotor-bearing system[J].Communications in Nonlinear Science andNumerical Simulation,2019(83):105130.[14]㊀WANG L K,HUANG Q K,WANG A L,et al.Nonlinear dynamicbehaviors of the arc tooth connected rotor under different loads[J].IOP Conference Series:Earth and Environmental Science,2021,668(1):012084.[15]㊀周海仑,罗贵火,冯国全,等.含浮环式挤压油膜阻尼器的转子系统响应分析[J].航空动力学报,2012,27(3):644-650.ZHOU HaiLun,LUO GuiHuo,FENG GuoQuan,et al.Dynamicresponse analysis of a rotor supported on floating-ring squeeze filmdampers[J].Journal of Aerospace Power,2012,27(3):644-650(In Chinese).[16]㊀王龙凯,王艾伦,金㊀淼,等.含内阻的拉杆组合转子双稳态振动特性[J].中国机械工程,2021,32(5):512-522.WANG LongKai,WANG AiLun,JIN Miao,et al.Bistable vibrationcharacteristics of rod fastening rotor with internal damping[J].China Mechanical Engineering,2021,32(5):512-522(InChinese).[17]㊀WANG L K,WANG A L,JIN M,et al.Nonlinear effects ofinduced unbalance in the rod fastening rotor-bearing systemconsidering nonlinear contact[J].Archive of Applied Mechanics,2019(90):1-27.。

复杂轴承支撑结构动力学特性的有限元方法研究复杂轴承支撑结构是现代工业中常见的结构形式，其动力学特性对于机械系统的稳定性、安全性和寿命有着非常重要的影响。

为了研究复杂轴承支撑结构在工作过程中的动力学特性，有限元方法成为了一种普遍的研究工具。

在有限元方法中，通常采用在连续体上建立离散节点的方法，通过离散化处理实现结构的数值解析。

同时，为了保证数值解的准确性和可靠性，需要考虑复杂轴承支撑结构中的材料非线性、几何非线性和接触非线性等一系列复杂因素，并采用适当的边界条件和动力学约束条件。

在进行有限元分析时，需要首先建立上述复杂因素的数学模型，考虑到轴承支撑结构中的子结构较多，可以采用分层建模的方法对整个结构进行划分，并建立相应的子模型。

然后，通过自由度平衡方程和柔性化边界条件，建立结构的运动方程，并将其转化为求解一组非线性代数方程组的问题。

随后，可以选择适当的解法方法，例如牛顿-拉夫逊算法、拟牛顿算法、逆迭代法等，对所得的非线性代数方程组进行求解，并得出复杂轴承支撑结构的动力学响应。

此外，还可以采用模态分析、频域分析、时域分析等方法对结构的稳定性、共振问题等进行评估。

最后，需要对所得的数值解进行验证与分析，比较模拟结果与实测数据的差异，并进行计算敏感性分析，以检验模型的合理性，并对结构的设计和优化提供参考。

总的来说，有限元方法是一种非常有效的研究复杂轴承支撑结构动力学特性的工具，它为工程实践提供了可靠的数值分析手段，同时也为结构科学的发展带来了新的方法和思路。

数据分析是通过收集、处理和解释数据，以发现其中的内在规律和趋势的一种方法。

为了更好地理解数据分析的过程和方法，以下列出了一些可能的数据及其分析方式：1.销售数据销售数据是企业经营中关键的数据，通过销售数据可以了解产品的销售情况以及市场需求的变化。

对于销售数据的分析，可以采用时间序列分析、回归分析、聚类分析等方法，以了解销售趋势、销售驱动因素、市场细分等信息。

转子系统非线性振动研究进展3陈安华　刘德顺　朱萍玉(湘潭矿业学院振动、冲击与诊断研究所,湖南湘潭,411201)摘　要　由于机械运转速度的不断提高和新型材料、新型结构的推广应用,旋转机械的非线性动力学行为日显突出和重要1基于线性系统原理的转子动力学理论与方法难以对实践中出现的丰富的非线性动力学现象作出准确的描述、阐释和预测1近年来,随着非线性科学研究的深入和渗透,转子系统非线性振动已成为应用力学和机械工程领域的研究热点之一1从有利于建立旋转机械振动状态集与故障集之间的映射关系出发,综述了近年来转子系统非线性振动研究的主要进展,总结了转子系统中出现的典型非线性动力现象及其产生机理,目的在于丰富旋转机械故障诊断知识库1参551关键词　转子　非线性振动　故障诊断　稳定性　分岔分类号　TH17,TH113第一作者简介　陈安华　男　35岁　博士　副教授　机械动力学与机械故障诊断0　引言自从Jeffcott H H (1919)以来,基于线性系统理论的转子动力学获得了很大的发展,涉及的主要问题(不平衡响应计算、临界转速确定、运转稳定性、参数辨识以及转子平衡)至今在理论上已较为成熟,在实践中也获得了成功的应用,并且拓展了新的应用领域,如机械故障诊断技术等1随着机械运转速度的日益提高和新型材料、新型结构的推广应用,旋转机械中出现的复杂的非线性动力学行为日益引起关注1导致转子系统非线性的主要因素有:轴和支承材料本身的非线性应力应变关系[1,2],滚动轴承刚度[3,4,5,6,7],滑动轴承和挤压油膜阻尼器的油膜力[8,9,10,11],间隙和碰摩[12,13,14,15,16,17],裂纹[18,19,20],参数(质量或刚度)时变[21,22,23]等1由于这些因素不可避免地存在,准确描述转子系统真实动力学行为的微分方程是非线性的1在不少实际问题的处理中,合理的线性化自然能显著地减少分析与计算工作量,降低理论上和技术上的难度,且所得结果与对真实系统的观测基本相符,因而基于线性系统理论的转子动力学得到了充分的发展和广泛的应用,并显示出强大的生命力1然而,当真实转子系统的非线性较为显著时,如果仍采用近似的线性化模型和线性系统的分析方法,将不可避免地“过滤”掉许多系统固有的非线性动力学现象,如稳态响应对初始条件的依赖性、解的多样性与稳定性、振动状态突变、超谐波次谐波共振、混沌振动以及系统长期性态(吸引子)对参数的依赖性等,其主观分析结果与真实系统的客观动力学行为之间必然存在不可忽视的定性和定量上的差异1在大型旋转机械状态监测与故障诊断实践中,人们时常面临转子动力学传统理论难以作出准确阐释的异常振动现象,这就说明,开展转子系统非线性振动的研究,不仅是转子动力学学科自身不断深化的必然结果,更是源于工业实践的迫切需求1收稿日期:1999-02-243国家自然科学基金资助项目(编号:59875073)本文责任编辑:王窈惠第14卷第2期1999年　6月湘潭矿业学院学报J.XIAN GTAN MIN.INST.Vol.14No.2J un.　199960湘潭矿业学院学报1999年6月转子系统的非线性振动研究起始于50年代[24],但引起广泛兴趣并取得明显进展则是在近二十年内1得益于非线性科学、应用力学以及计算机技术的发展,国内外学者针对不同的对象,为了不同的目的,从不同的视角,用不同的方法对转子系统非线性动力学的主要问题进行了较深入和较广泛的研究,揭示了转子系统丰富的非线性动力学行为及其物理机制1因为研究文献数量巨大,且散见于不同学科的学术期刊和学术会议上,加之转子系统非线性动力学尚处于发展的初级阶段,不少问题尚未得出一般性的结论,有些结论尚未形成共识,因而对该领域的进展作一个完整的评述和全面的总结是困难的1作者基于旋转机械故障诊断的需要,从有利于建立完备的故障诊断知识库的视角,总结、归纳了近年来揭示的转子系统典型的非线性振动现象及其产生机理,特别关注源自各种常见故障的异常非线性动力学行为11　转子系统非线性振动分析的方法到目前为止,还没有出现普遍适用于各种不同类型非线性转子系统振动微分方程的分析解法,一般而言,只能针对具体情况采用不同的分析方法1应用较多的近似分析方法有谐波平衡法[6,23,25,26]、多尺度法[8,12,21,27]、和平均法[2,28]1谐波平衡法可用于求解强非线性和弱非线性转子系统的稳态周期响应,多尺度法和平均法适用于求解弱非线性转子系统的稳态响应和非稳态响应1近似分析方法的优点是,解的表述是显式的,因而便于分析参数的影响,这对于转子系统动力学设计和故障诊断是非常有利的1其缺点也是明显的:一是获得足够高精度的解(直接措施是解的近似展式含较多的项)必须以数学推演和计算工作量的剧增为代价,且解对参数的依赖关系不再明显;二是难以用于非解析函数型非线性问题;三是不适宜于高自由度转子系统1鉴于上述分析方法的这些缺点,不少作者更乐于采用数值方法1初值问题的直接积分[11,13,14,15,29]、边值问题的打靶法[30,31]、TCM法(T rigonometric C ollocation Method)[32,33,34]等数值方法具有广泛的用途和适用性,且求解精度较高,但求解稳态响应需耗费较长机时(对于高维和小阻尼问题更是如此),并且难以直截了当地展示参数变化对解的影响1振动稳定性是转子系统非线性动力学研究不可回避的问题1用多尺度法和平均法求转子系统的稳态响应时,首先要导出描述振幅和相位随时间变化的一阶微分方程组,原方程的稳态解对应于这个自治系统的奇点,稳态响应的稳定性对应于奇点的稳定性1用谐波平衡法或TCM法求得的稳态响应的稳定性分析,是通过在稳态解上叠加一个小扰动,将之代入原方程,得一周期系数微分方程,再用Floquet理论或其它方法确定稳态响应是否稳定1结合运用打靶法和Floquet理论,既能直接求得转子系统稳态周期响应的数值解,又能同时确定其稳定性[30,31]1此外,Hopf分叉分析[35]、Lyapunov直接方法[22,36]、Lyapunov第一近似理论[3,8]、中心流形定理和奇异性分析[37]等也被用于转子系统振动稳定性研究1为了刻划动力响应的性质、特征和分析参数的影响,时间历程、功率谱、Poincare映射、分岔图、轴心轨迹以及Lyapunov指数等是经常被使用的工具12　刚度非线性转子系统振动研究多数合金材料、复合材料和高温下的一般材料,其受力与变形的准确关系只能用非线性函数表述;即便是普通的钢铁类材料,当变形超出胡克定律适用范围时,线性关系也不再近似成第14卷第2期陈安华:转子系统非线性振动研究进展61立1随着具有非线性物理性质的新型材料日渐推广使用,以及机械转速和载荷的不断提高,对转轴刚度非线性转子系统振动特性的研究具有越来越普遍的意义1转轴的非线性恢复力通常用振动位移和速度的多项式函数表示[1,2,21,38,39],这是因为[40,41]:①根据Stone-Weierstrass理论,连续非线性函数可用多项式级数近似表达;②多项式中的每一项具有明确的物理意义,代表了非线性的不同源由;③包含多项式的微分方程的解,能展现出与对实际转子系统的观测结果定性相同的非线性振动现象;④便于用分析方法(如摄动法)求解1马孝江和袁景侠[7]对C46115型向心推力球轴承支承的转子系统,采用稳态激振和随机激振进行动态试验,发现系统在预载和非预载两种情况下均存在较强的二阶和三阶非线性,且分别出现三次非线性引起的“软式”和“硬式”突跳现象1陈安华[40]用多尺度法研究了具有非线性刚度的Jeffcott转子在不平衡激励下的2阶和3阶超谐波共振以及1/2和1/3次谐波共振,并分析了参数对超谐波、次谐波振幅的影响,实验验证了其部分理论结论1Cveticanin, L.[2]用平均法研究了具有刚性支承和非线性刚度轴的Jeffcott转子在主共振区的稳态和非稳态振动,并对3种不同材料(铁、铜合金、木材)制成的转轴进行了实验,发现铜合金轴和木制轴分别出现以转速为参数的“硬式”和“软式”突跳现象1陈安华和钟掘[28]将共振区内的振幅曲面表达为尖点突变流形的正则形式,并得到转速和不平衡量构成的参数平面内的分岔集1Cveticanin, L.[38]用Melnikov方法研究了非线性刚度转子系统出现混沌的必要条件13　具有非线性油膜力的转子系统振动研究油膜轴承转子系统不平衡响应求解及稳定性分析一直是转子系统动力学的主题之一1在一定的假设下,油膜力可近似地表达为轴颈微小位移和速度的线性函数,此时,转子系统动力学支配方程是线性的,其响应求解和稳定性分析可按线性系统分析方法进行1随着机械运转速度的提高,人们发现,用简化的线性函数描述油膜力,不仅导致定量上的误差,甚至无法定性地阐释实践中观察到的转子系统动力学行为,得出的分析结论只能在一定的范围内局部地近似成立1Tondl,A.[42]的实验表明,即便转子工作在线性模型预测的失稳阈值速度之下,一定强度的外界冲击仍有可能导致系统失稳1与此相反,当转速超过线性失稳阈值速度时,转子系统也可能在一个小幅值的极限环上稳定地运行,并且一直保持良好的工作状态1此外,线性化的油膜力模型无法预测转子系统线性失稳后的运动性态1G ardner,M.等[8]用多尺度法分析了长轴承和短轴承近似下转子系统线性失稳后的弱非线性运动,研究了平衡点失稳后的次临界和超临界分岔1Brancati,R.等[9]采用短轴承近似,研究了对称不平衡转子的同频涡动和半频涡动及其稳定性,并把(修正Sommerfeld数;无量纲质量)平面分为3个区域1在下部区域,仅存在一个小幅值的同频轨道,因而转子运转是稳定的;在中部区域,存在一个不稳定的同频涡动和稳定的大幅值的半频涡动,因而转子运转是不稳定的;在上部区域,同时存在稳定的同频轨道、稳定的和不稳定的半频轨道,因为稳定的半频轨道吸引性更强,因而转子运转也是不稳定的1Russo,M.和Russo,R.[10]研究了湍流对同频涡动稳定性的影响1Adams,M.L.和Abu-Mahfouz[13]用数值积分方法,结合FF T、轴心轨迹分析和Poincare映射,研究了圆柱轴承和可倾瓦轴承支承的转子系统丰富的非线性动力学行为,着力于揭示进入和离开混沌的路径1基于其研究结果,作者认为进入或离开混沌的路径包含了重要的故障信息1张卫和朱均[36]用Lyapunov函数讨论了滑动轴承转子系统的稳定裕度1袁62湘潭矿业学院学报1999年6月小阳和朱均[30]基于打靶法和Floquet理论,提出了转子系统周期振动求解及其稳定性分析的数值方法,讨论了圆柱轴承刚性转子系统中不平衡量对稳定性的影响1张正松和沐华平[35]提出油膜失稳涡动极限环特性的Hopf分岔分析法1黄文振[43]对多跨滑动轴承转子系统的稳定性进行了试验研究,证实了滞后超临界H opf分岔的存在1汪慰军[29]等用四阶R ounge-Kutta法和Floquet理论分析了短轴承转子系统的稳定性、分岔与混沌1陈予恕等[37]采用短轴承假设,计入湍流影响,用中心流形定理和平均法分析了临界平衡点附近的1/2次谐共振特性;用快速G alerkin法求周期解,用Floquet理论分析其稳定性并确定分岔集1Zhao,J.Y.等[11,33]研究了油膜阻尼器支承的转子系统的不平衡响应,揭示了同频振动、幅值突跳、拟周期振动、次谐波振动、混沌等非线性动力现象以及极限点分岔、拟周期分岔、倍周期分岔、次谐分岔等分岔行为(以转速为控制参数)14　含间隙和碰摩的转子系统振动研究实际转子系统可能存在间隙,变形或位移将导致转动部件与静止部件之间的直接接触和摩擦1间隙和摩擦的存在强化了转子系统的非线性,线性动力学模型、理论和方法不能揭示其复杂的非线性动力学行为1Bently,D.E.(1974)和Muszynska,A.(1984)分别用实验观察了转子与定子碰摩时的次谐波振动1Ehrich,F.F.[15,16]用双线性振子模拟转子与定子之间存在非对称径向间隙(进而产生局部接触)的Jeffcott转子系统在不平衡激励下的非线性振动,用数值积分研究了其次临界超谐波响应和超临界次谐波响应,以及在相邻两次谐波响应之间和相邻两超谐波响应之间的混沌行为,并用实测验证了部分数值计算结果1Ehrich的支配方程中没有包含摩擦力.Choi,Y.S.和Noah,S.T.[26]考察了一个含轴承间隙因而在运转时发生碰摩的刚性轴单圆盘转子系统,基于谐波平衡法、DF T和IDF T,分析了其次谐波振动、同频谐波振动和超谐波振动,并讨论了摩擦系数、偏心率、阻尼和交叉刚度等参数的影响1Ishida,Y.等[4,5]用数值积分和实验研究了具有非线性刚度特征(源于含间隙的球轴承)的转子系统以等加速和等减速通过主临界速度(对应于主共振)、次临界速度(对应于1/2次谐波共振)时的非稳态振动特征,并考察了角加速度和初始条件对最大振幅的影响1Adams,M.L.和Abu-Mahfouz,I.A.[13]用数值积分揭示了线性刚度和线性阻尼支承的转子发生动静件径向碰摩时的周期1、周期2、拟周期和混沌振动现象,分析了间隙和摩擦系数的影响1Choi,S.K.和Noah,S.T.[17]用FPA(Fixed-Point Algorithm)研究了含轴承间隙的Jeffcott转子系统的非线性动力学行为,在激励频率—激励幅值参数平面给出了系统行为复杂的模态锁合结构,并揭示了周期倍化分岔、Hopf分岔和鞍结分岔以及“硬式”突跳等非线性动力现象1G anesan,R.[12]用多尺度法研究了含不对称轴承间隙的Jeffcott转子系统在主共振区的稳态振动和非稳态振动的幅频特性,并用数值方法定性和定量地考察了加速度、阻尼、间隙、刚度、不平衡和质量对加速和减速通过主共振区时非稳态振动幅值的影响1褚福磊等[14]对包含非线性油膜力和碰摩力的转子振动支配方程进行数值积分,分别以转速和阻尼系数为控制参数,考察了转子运动进入和离开混沌的路径1陈安华等[44]用数值积分分析了具有线性支承和非线性轴刚度转子系统,由于不平衡诱发动静件径向接触摩擦时的非线性振动特征,揭示了多吸引子共存、突跳、次谐波响应和拟周期响应等非线性动力行为1第14卷第2期陈安华:转子系统非线性振动研究进展63 5　变参数转子系统振动研究刚度、阻尼、惯性矩的非对称性以及质量的时变、裂纹的存在等,都将导致转子系统动力学支配方程为周期变系数微分方程1非对称转子动力学行为的早期研究者有Brosens,P.J.和Crandall,S.H.[45],Yamamoto,T.和Ota,H.[46],Ardayfio,D.和Frohrib,D.A.[47]以及Tondl, A.[42]等1Tondl对刚度不对称单圆盘转子的振动特性进行了理论分析,为了简化分析,采用了随轴转动的坐标系,忽略了支承的柔性和阻尼1其分析表明,刚度不对称引入两个临界速度,两者之间为不稳定区域1Rajalingham,C.等[48]研究了支承柔性和阻尼对非对称刚度转子系统稳定性的影响,表明适当的支承特性可以完全消除不稳定区域1Kang,Y.等[23]对具有不对称轴和圆盘的转子系统采用有限元建模,用谐波平衡法求解稳态响应并确定临界速度1Isida, Y.[6]用谐波平衡法研究了非线性(源于轴承间隙)对非对称转子系统不稳定区域的影响,并给出了实验结果1Cveticanin,L.用多尺度法研究了可变质量和刚度非线性转子的不平衡响应[21],用K -B法和Lyapunov直接方法研究了变参数(质量、阻尼、刚度和陀螺力)弱非线性转子的动力学行为[22]1为了识别早期裂纹的位置和大小,裂纹转子的振动特性研究引起了广泛的关注,众多研究者提出了各不相同的裂纹模型[19,49,50,51,52]1薛璞[53]采用开闭裂纹模型,结合有限元法和Wilson-θ法分析了一个裂纹转子的次谐波和超谐波振动特性1朱晓梅和高建民[20]针对理想和非理想能源,研究了裂纹转子加速通过主共振区、次共振区和参数共振区的非稳态振动1基于分析结果,作者认为转子加速通过次共振区和参数共振区的瞬态振动特性可作为裂纹诊断的依据1郑吉兵和孟光[18]用数值积分研究了非线性涡动下裂纹转子的分岔和混沌特性1T sai,T.C.和Wang,Y.Z.[54]分析了多裂纹转子的自由振动1Imam,I.等[55]建立裂纹转子的有限元动力模型,用数值积分研究其振动特性,并根据分析结论建立了一个基于微机的裂纹在线检测系统16　结束语由于物理的、结构的、耗散的、几何的以及运动的等非线性因素难以避免地存在,实际高速转子系统呈现出非常复杂的、线性系统理论与方法无法阐释的非线性动力学行为1准确地辨识与描述非线性动力学现象,并正确地认识其产生机理,对于高速转子系统的设计、平衡、降噪、振动控制、状态监测与故障诊断具有十分重要的意义1国内外已经对转子系统非线性振动进行了大量的理论和实验研究,作者对近年来的研究进展作了简要的总结1值得指出的是,由于非线性动力系统理论与方法尚处于发展之中,加之工程问题本身的复杂性和一定程度上的不确知性,转子系统非线性振动的理论研究还远未成熟;尽管研究中广为采用的数值方法本身的局限性不会危及结论的正确性,但却难以充分地揭示动力系统全局性质的全貌,因而在不少基本问题上还没有形成公认的一般性结论1可以预料,随着现代机械继续向高速化、大型化和精密化方向发展,以及新材料和新结构的推广应用,转子系统非线性振动研究将吸引更多的关注1参考文献1　Cveticanin L.Normal modes of vibration for continuous rotors with slow time variable mass.Mech Mach Theory,1997,32(7):881～89164湘潭矿业学院学报1999年6月2　Cveticanin L.Resonant vibrations of nonlinear rotors.Mech Mach Theory,1995,30(4):581～5883　Chen C H,Wang K W.An integrated approach toward the dynamic analysis of high-speed spindles,Part2:dynamics under moving end load.Journal of Vibration and Acoustics,1994,116:514～5224　Ishida Y,Ikeda T,Y amamoto T.Nonstationary vibration of a rotating shaft with nonlinear spring characteristics during acceleration through a critical speed.J SME International Journal,SeriesⅢ,1989,32(4):575～5845　Ishida Y,Ikeda T,Y amamoto T.Transient vibration of a rotating shaft with nonlinear spring characteristics during acceleration through a major critical speed.J SME International Journal,SeriesⅢ,1987,30(261):4586　Ishida Y,Ikeda T,Y amamoto T.Effects of nonlinear spring characteristics on the dynamic unstable region of an unsymmetrical rotor.Bulletin of J SME,1986,29(247):200～2077　马孝江,袁景侠.轴承组件非线性特性研究.机械工程学报,1991,27(3):8～128　G ardner M,Myers C,Savage M.Analysis of limit-cycle response in fluid-film journal bearings using the method of multiple scales.The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics,1985,38:27～459　Brancati R,Rocca E,Russo M.Journal orbits and their stability for rigid unbalanced rotors.Journal of Tribology,1995,117:709～716 10　Russo M,Russo R.Parametric excitation instability of rigid unbalanced rotor in short turbulent journal bearings.Journal of Mechanical Engineering Science,1993,207:149～16011　Zhao J Y,Huhn E J.Subharmonic,quasi-periodic and chaotic motions of a rigid rotor supported by an eccentric squeeze film damper.Journal of Mechanical Engineering Science,1993,207:383～39212　G anesan R.Dynamic response and stability of a rotor-support system with non-symmetric bearing clearances.Mech Mach Theory, 1996,31(6):781～79813　Adams M L,Abu-Mahfouz I A.Exploratory research on chaos concepts as diagnostic tools for assessing rotating machinery vibration signatures.Proceedings of IFToMM Fourth International C onference on Rotor Dynamics,A,1994.29～3914　褚福磊,冯冠平,张正松.碰摩转子系统中的阵发性及混沌现象.航空动力学报,1996,11(3):261～26415　E hrich F F.S om e obs erv ations o f cha otic v ibration phen om ena in h igh-s peed r otordynam ics.Journal o f V ibration and A c oustics,1991,113:50～5716　Ehrich F F.Observations of subcritical su perharm onic and chaotic res ponse in rotordynam ics.Journal of Vibration and Ac oustics,1992,114:93～10017　Choi S K,Noah S T.Mode-locking and chaos in a Jeffcott rotor with bearing clearances.Journal of Applied Mechanics,1994,61:131～138 18　郑吉兵,孟光.考虑非线性涡动时裂纹转子的分岔与混沌特性.振动工程学报,1997,10(2):190～19719　Li C H,Bernasconi O,Xenophontidis N.A generalized approach to the dynamics of cracked shafts.Journal of Vibration,Acoustics, Stress,and Reliability in Design,1989,111:257～26320　朱晓梅,高建民.含裂纹转子在变速过程中的瞬态振动.固体力学学报,1996,16(1):65～6921　Cveticanin L J.The oscillations of a textile machine rotor on which the textile is wound up.Mech Mach Theory,1991,26(3):253～260 22　Cveticanin L J.Dynamic behavior of a rotor with time-dependent parameters.J SME International Journal,Series C,1994,37(1):41～4823　K ang Y,Shih Y P,Lee A C.Investigation on the steady-state responses of asymmetric rotors.Journal of Vibration and Acoustics,1992, 114:194～20824　Ishida Y.Nonlinear vibration and chaos in rotordynamics.J SME International Journal,Series C,1994,37(2):237～24525　Shiau T N,Jean A N.Prediction of periodic response of flexible mechanical systems with nonlinear characteristics.Journal of Vibration and Acoustics,1990,112:501～50726　Choi Y S,Noah S T.Nonlinear steady-state response of a rotor-support system.Journal of Vibration,Acoustics,Stress,and Reliabili2 ty in Design,1987,109:255～26127　Cveticanin L J.Vibrations of a textile machine rotor.Journal of Sound and Vibration,1984,97(2):181～18728　Chen A H,Zhong J.Mechanism analysis and mathematical description of mechanical abrupt faults.Chinese Journal of Mechanical:Engi2 neering,1999,12(1):55～5729　汪慰军,吴昭同,虞文华.转子—轴承系统稳定性的非线性动力学分析.机械科学与技术,1998,17(4):528～53030　袁小阳,朱均.不平衡转子—滑动轴承系统稳定性的非线性研究.振动与冲击,1996,15(1):71～7631　张　欢,陈绍汀.转子—轴承系统的分叉行为研究.应用力学学报,1994,11(3):32～4132　Nataraj C,Nelson H D.Periodic solutions in rotor dynamic systems with nonlinear supports:A general approach.Journal of Vibration, Acoustics,Stress,and Reliability in Design,1989,111:187～19333　Zhao J Y,Linnett I W,Mclean L J.Subharmonic and quasi-periodic motions of an eccentric squeeze film damper-mounted rigid rotor.Journal of Vibration and Acoustics,1994,116:357～36334　Zhao J Y,Linnett I W,Mclean L J.Unbalance res ponse of a flexible rotor su pported by a squeeze film dam per.Journal of Vibration and Ac oustics,1998, 120:32～3835　张正松,沐华平.油膜失稳涡动极限环特性的Hopf分叉分析法.清华大学学报,1996,36(7):30～35第14卷第2期陈安华:转子系统非线性振动研究进展6536　张　卫,朱　均.转子—滑动轴承系统的稳定裕度.机械工程学报,1995,31(2):57～6237　陈予恕,丁　千,孟　泉.非线性转子的低频振动失稳机理分析.应用力学学报,1998,15(1):113～11738　Cveticanin L.A necessary condition for chaos in rotor systems.Mech Mach Theory,1997,32(3):411～41639　G enin J,Maybee J S.External and Material dam ped three dim ensional rotor system.Int Journal of N on-linear Mechanics,1970,5:287～29740　陈安华.旋转机械若干非线性故障现象的分析与研究:[学位论文].长沙:中南工业大学,199741　陈安华,钟　掘.转子系统非线性振动的辨识建模.中国有色金属学报,1997,7(3):159～16342　Tondl A.Some problems of rotor dynamics.London:Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences,196543　黄文振.多跨转子—轴承系统振动稳定性试验研究.机械工程学报,1995,31(5):34～3844　陈安华,朱萍玉,钟掘.转子系统动静件径向摩擦的振动特征.湘潭矿业学院学报,1998,13(1):33～3845　Brosens P J,Crandall S H.Whirling of unsymmetrical rotor.Journal of Applied Mechanics,1961,28:355～36246　Y amam oto T,Ota H.On unstable vibrations of a shaft carrying an unsymmetrical rotor.Journal of Applied Mechanics,1964,31:515～52247　Ardayfio D,Frohrib D A.Instabilities of an asymmetric rotor with asymmetric shaft mounted on symmetric elastic supports.Journal of Engineering for Industry,1976,98:1161～116548　Rajalingham C,Bhat R B,Xistris G D.Influence of support flexibility and damping characteristics on the stability of rotors with stiff2 ness anisotropy about shaft principal axes.Int Journal of Mechanical Science,1992,34(9):717～72649　Mayes I W,Davies W G R.Analysis of the response of a multi-rotor-bearing system containing a transverse crack in a rotor.Journal of Vibration,Acoustics,Stress,and Reliability in Design,1984,106:139～14550　Dimarogonas A D,Papadopoulos C A.Vibration of cracked shaft in bending.Journal of Sound and Vibration,1983,91(4):583～59351　Nelson H D,Nataraj C.The dynamic of a rotor system with a cracked shaft.Journal of Vibration,Acoustics,Stress,and Reliability in De2 sign,1986,108:189～19652　G asch R.A survey of the dynam ic behavior of a sim ple rotating shaft with a transverse crack.Journal of S ound and Vibration,1993,162:313～33253　薛　璞.具有横向裂纹转子系统的振动特性研究.见:陈滨主编:第五届全国一般力学学术会议论文集.北京:北京大学出版社, 1994.365～36754　Tsai T C,Wang Y Z.The vibration of a multi-crack rotor.Int.Journal of Mechanical Science,1997,39(9):1037～105355　Imam I,Azzaro S H,Bankert R J.Development of an on-line rotor crack detection and monitoring system.Journal of Vibration,Acous tics,Stress,and Reliability in Design,1989,111:241～250R E SE AR CHA DV AN C E S IN N ON LIN E AR R OT OR D YN A MI C SChen A nhua L i u Deshun Zhu Pi ngyu(Institute of Vibration,Impact&Diagnosis of Xiangtan Mining Institute,H unan,China,411201)ABSTRACT　As a result of the heightening of mechanical operation speed and the application of new materials and new structures,the nonlinear dynamic behavior in rotating machines is becom2 ing increasingly outstanding and important.Nonlinear dynamic phenomena in rotating machines can’t be described,explained and predicted by rotordynamics based on linear system theory.Along with the deepening and permeating of nonlinear scientific research,the nonlinear vibration of rotor systems has become an attractive field in recent years.From a point of view to set up the distinct corresponding relations between vibration states and failures of rotating machines,main advances in the research of rotor nonlinear vibration are summarized,and typical nonlinear dynamic phe2 nomena and their forming mechanism are also summed up in the paper.The aim of the paper is to enrich the diagnostic knowledge base of rotating machines.55refs.K ey w ords　rotor,nonlinear vibration,failure diagnosis,stability,bifurcationSynopsis of the f irst author　Chen Anhua,male,born in1963,Dr.,associate professor,mechani2 cal dynamics and mechanical failure diagnosis。

卫星陀螺仪滚动轴承—转子系统非线性振动分析卫星陀螺仪滚动轴承—转子系统非线性振动分析摘要：卫星陀螺仪作为现代导航、定向和控制系统中重要的部件之一，具有关键的重要性。

而滚动轴承—转子系统作为卫星陀螺仪的核心，承载着陀螺仪的旋转转子，其振动特性对陀螺仪的性能和寿命具有重要影响。

本文通过分析卫星陀螺仪滚动轴承—转子系统的非线性振动特性，旨在提供更为准确的设计和优化方案，以提高卫星陀螺仪的性能和可靠性。

1. 引言卫星陀螺仪作为一种惯性导航设备，可以测量和维持卫星的方向和角速度，广泛应用于航天、航空、导弹等领域。

陀螺仪的精度和性能对于导航和定位的准确性至关重要。

而滚动轴承—转子系统作为卫星陀螺仪的核心部件，负责支撑和转动陀螺仪的旋转转子，其振动特性对整个系统的性能和寿命具有重要影响。

2. 滚动轴承—转子系统的建模与参数估计为了分析滚动轴承—转子系统的非线性振动，我们首先需要建立一个准确的数学模型，并对模型中的参数进行估计。

在建模过程中，我们考虑了滚动轴承的几何和材料非线性、陀螺仪转子的材料和几何特性等因素，并通过实验测定和理论计算来估计模型中的参数。

3. 滚动轴承—转子系统的振动特性分析基于建立的滚动轴承—转子系统数学模型，我们进行了振动特性的分析。

通过数值仿真和实验测试，我们得到了转子系统的固有频率、振动模态和振动幅值等参数，并进一步分析了不同转速和加载条件下系统的振动响应。

4. 非线性振动机制分析在研究滚动轴承—转子系统的振动特性时，我们发现了系统中存在的非线性振动现象，如转子的共振现象、摩擦力对振动特性的影响等。

通过对这些非线性振动机制的分析，我们可以更好地理解并预测滚动轴承—转子系统的振动行为。

5. 优化设计方案针对滚动轴承—转子系统的非线性振动问题，我们提出了一些优化设计方案。

例如，可以通过改变轴承的几何结构和材料，优化转子的结构和动平衡等方法，来降低系统的振动幅值和共振频率，提高系统的性能和可靠性。

2009年第23卷第1期测试技术学报V o l.23　N o.1　2009 (总第73期)JOURNAL OF TEST AND M EASURE M ENT TECHNOLOG Y(Sum N o.73)文章编号:167127449(2009)0120023205滚动轴承接触的非线性有限元分析Ξ熊小晋1,张晓昆鸟1,2,熊晓燕1(1.太原理工大学科研处,山西太原030024;2.煤炭科学研究总院太原研究院,山西太原030024)摘　要:　利用M SC.Patran M arc软件建立了滚动轴承的二维有限元分析模型,进行了接触非线性有限元分析,得到接触应力、应变随接触状态的变化情况.当不考虑摩擦接触时,压力与变形间呈现一定的非线性关系.当考虑摩擦接触时,下板面最大等效应力增加,应力分布形状发生改变,最大切向应力发生点向接触部位靠近,说明摩擦因素对接触表面切向应力大小与最大切向应力发生点产生影响.关键词:　滚动轴承;接触力学;摩擦;非线性有限元分析中图分类号:　TH133.33 文献标识码:ANon li near FE M Analysis of Con tact Problem of Rolli ng Bear i ngX I ON G X iao jin1,ZHAN G X iaokun1,2,X I ON G X iaoyan1(1.Scien tific R esearch D epartm en t,T aiyuan U n iversity of T echno logy,T aiyuan030024,Ch ina;2.T aiyuan B ranch,Ch ina Coal R esearch In stitu te,T aiyuan030024,Ch ina)Abstract:　A tw o2di m en si onal fin ite elem en t m odel of ro lling bearing w as develop ed u sing the M SC. Patran M arc softw are.T h rough the non linear FE M analysis of con tact,the changes of con tact stress and strain in differen t con tact states w ere ob tained.W hen neglecting fricti on con tact,there is a certain non2linear relati on sh i p betw een p ressu re and defo rm ati on.W hen con sidering fricti on con tact,the b iggest equ ivalen t stress increases,the shap e of stress distribu ti on changes,and at the sam e ti m e,the b iggest tangen tial stress po in t gets clo se to the con tact p art.It is indicated that fricti on can influence the tangen tial stress value and the b iggest tangen tial stress po in t.Key words:ro lling bearing;con tact dynam;fricti on;non linear FE M analysis随着科技与工业的发展,滚动轴承的使用范围越来越广泛.轴承作旋转运动时,其内的滚动体与滚道发生接触,产生各种旋转运动与摩擦,轴承的刚度、承载能力甚至使用寿命主要取决于内部滚动体与滚道之间的接触性质.所以对滚动轴承接触力学问题的研究以及利用有限元法对滚动轴承进行接触非线性分析、解决轴承问题已经成为科研人员研究的重要方向.M SC.Patran M arc兼具M SC.Patran强大的网格划分功能、CAD继承工具和M arc强大的非线性处理功能.它支持多种复杂的材料模型以及材料的试验数据拟合,很容易模拟复杂的接触边界条件以及涉及多种加载历程的问题,尤其是M arc中自适应网格重划分功能可用于精确求解接触变形难题.本文暨利用此软件对滚动轴承进行接触非线性分析,得到滚动轴承接触应力、应变随接触状态的变化情况.Ξ收稿日期:2008204209　基金项目:国家自然科学基金资助项目(50405043);山西省自然科学基金资助项目(200801104322)　作者简介:熊小晋(19662),男,工程师,主要从事动态测试与故障诊断研究.1　接触问题1.1　滚动轴承接触问题滚动轴承接触属于典型的点、线接触问题,而H ertz接触理论在解决两个弹性体点接触的局部应力和变形上有经典解,适用于大部分滚动轴承的应力、应变计算问题.H ertz点接触理论的基本假设有3条[1]:1)接触体是线性弹性体,服从广义胡克(Hooke)定律.2)载荷与表面垂直,即不考虑表面切向应力.3)接触面积尺寸与接触体表面的曲率半径相比很小.H ertz点接触理论的基本计算公式为∑Θ=Θ11+Θ12+Θ21+Θ22,F(Θ)=[(Θ11-Θ12)+(Θ21-Θ22)] ∑Θ,a=a3[3Q2∑Θ(1-Τ21E1+1-Τ22E2)]1 3,b=b3[3Q2∑Θ(1-Τ21E1+1-Τ22E2)]1 3,Ρm ax=32QΠab,式中:∑Θ为曲率和;F(Θ)为曲率差;a,b为接触椭圆长短半轴;Τ1,Τ2为材料泊松比;E1,E2为材料弹性模量;a3,b3为与F(Θ)有关的无量纲量;Ρm ax为最大应力值;Q为法向载荷.H ertz线接触理论的基本计算公式为b=8QΠl∑Θ(1-Τ21E1+1-Τ22E2),Ρm ax=Q∑ΘΠl(1-Τ21E1+1-Τ22E2),式中:b为接触矩形半宽;l为接触物体上的有效接触长度,其余同点接触理论参数.实际上,H ertz接触理论只考虑垂直作用于表面的集中载荷,对于大多数滚动轴承应用场合,润滑条件充分的情况下,可以忽略滚动体与滚道间的摩擦作用,即滚动体与滚道表面上的切向应力与法向应力相比是可以忽略的;但实际上滚动轴承摩擦是不可避免且不可忽略的重要因素,随着对滚动轴承摩擦动力学特性研究的不断深入[2],认识到摩擦动力学特性与接触动力学特性有很强的耦合作用,摩擦特性对接触应力的影响不能忽视.因此,我们在对球轴承进行接触分析时有必要考虑摩擦因素的存在,观测摩擦作用下球轴承的接触特性的变化.1.2　有限元法在接触问题上的应用对于低频的物体运动,如果物体的变形可以忽略,那么运用多刚体方法和刚体接触理论就可以获得想要的结果,但如果考虑物体的高频波动现象且物体变形不可忽略,则有限元法就成为解决接触问题的有效手段;有限元法的基本思想是系统地构造偏微分方程在复杂区域上的近似解,重要特征是能够计算接触区域的变形和构造大规模的简单的线性方程组[3].有限元法可分为两大类,线弹性有限元法和非线性有限元法.线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上.这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应变与位移也呈线性关系.非线性有限元分析中,接触问题属高度边界非线性问题,接触体的变形和接触边界的摩擦作用使得部分边界条件随加载过程改变且不可恢复;接触约束是一类特殊不连续的约束,分析方法必须能够判断接触条件并应用或解除接触约束,M SC.Patran M arc中针对不同的无穿透接触约束方法提供间隙单元、非线性弹簧、接触迭代三种接触算法,其中接触迭代算法是解决所有问题的通用算法.M SC.Patran M arc中采用三种简化的理想模型对摩擦进行数值模拟[4],即:滑动库仑摩擦模型、剪切摩擦模型、粘2滑摩擦模型.其中滑动摩擦模型(包括库仑定理和剪切摩擦定理)可以精确描述滑动摩42测试技术学报2009年第1期擦,但很难模拟纯粹的粘性摩擦;而粘2滑摩擦模型(基于节点力)能够模拟从粘性摩擦到滑动摩擦的摩擦力突变,可模拟真实的粘性摩擦,模型如图1所示.图1中,∃u t 为切向位移增量;a 为乘子(默认值为1.05,用户可自定义大小);Β为滑动摩擦到粘性摩擦的相对位移过渡区域(默认值为10-6,用户可自定义大小);Ε为小常数.图1　阶跃摩擦模型图F ig .1　T he stick 2sli p step fricti on model 图2　二维模型图F ig .2　T he graph of two 2di m ensi onal model2　非线性有限元分析2.1　有限元模型由于二维有限元分析模型计算快捷且具有代表性,三维模型可以在二维模型上生成,所以本例中建立二维有限元模型,由球面和下板面组成,考虑到模型对称性的存在,只取右半部如图2所示.边界条件分两种工况:一是球面顶边施加垂直载荷,即对应不考虑切向力状态,球面、下板面左侧边施加水平位移约束,下板面底边施加垂直位移约束;二是在工况一的基础上取消下板面水平位移约束,在下板面右侧边施加水平载荷.模型相关数据为:球面半径5mm ,下板面长度16mm ,宽度2mm ,弹性模量均为2.07×E 11(Pa ),泊松比均为0.3.2.2　结果及分析2.2.1　垂直载荷作用下接触应力及变形球面与下板均设为2D 变形体,不考虑摩擦因素的影响,图3为压力2变形曲线,图4至图6为网格细化计算后应力云纹图.图3　压力2变形曲线F ig .3　T he p ressure 2defo rm ati on curve 图4　接触应力云纹图F ig .4　T he mo ire pattern of contact stress由图3Y 向压力2变形曲线图可知压力与变形间的非线性关系,随着压力载荷增大,Y 向变形速率趋于缓慢,这是因为压力载荷刚开始作用时,接触部位较少,因此接触应力相对较大,所以变形也较大,但随着压力增加,接触部位增大,接触应力相对变小,因此变形也较小,最终呈现非线性趋势.52(总第73期)滚动轴承接触的非线性有限元分析(熊小晋等)由图4可看出,H ertz 接触最先发生在球面和下板接触的顶点上,而且最大接触应力和最大接触变形也发生在此处,接触应力以接触部位为中心对称向两边减小并趋于0.由图5,图6V on M ises 等效应力分布图及X Y 向应力分布图可以看出应力分布以接触部位为中心上下基本对称,并且可以看出最大剪切应力并不是发生在接触部位上,而是发生在接触面下的某个部位,这对我们理解滚动轴承接触疲劳剥落很有帮助.L undberg 等人最初假设最大正交剪切应力首先导致表面下某处裂纹的产生,然后扩展至表面形成滚动轴承的表面剥落现象,而这种假设已经被许多试验所证明是正确的[1].图5　等效应力云纹图F ig .5　The mo ire pattern of von m isesstress 图6　X Y 向应力云纹图F ig .6　T he stress mo ire pattern of the XY direction图7　接触应力云纹图F ig .7　T he mo ire pattern of contactstress 图8　等效应力云纹图F ig .8　T he mo ire pattern of von m ises stress2.2.2　考虑摩擦因素状态下的接触特性球面顶边施加垂直2D 面压力,下板面右侧边施加水平2D 面压力,不施加下板面X 向位移约束,图9　X Y 向应力云纹图F ig .9　T he stress mo ire pattern of the X Y directi on使下板面与球面有相对运动趋势;球面与下板均设为2D 变形体,考虑摩擦因素影响,采用粘2滑摩擦模型进行摩擦计算,相关参数取默认值,在接触表中设置球面与下板摩擦系数为0.1;提交计算后得到有限元分析结果.从图7可知,接触应力大小及形状改变很小,说明考虑摩擦因素下对接触应力影响不大;将图8,图9与图5,图6进行比较可看出考虑摩擦因素下球面应力分布形状及大小基本没有改变;由于切向力的影响,下板面最大等效应力增加,应力分布形状发生改变,最大剪切应力发生点向接触部位靠近,说明摩擦因素对剪切应力的影响较大.62测试技术学报2009年第1期图10　摩擦应力云图F ig .10　T he mo ire pattern of fricti on stress图11　摩擦应力历程图F ig .11　T he developm ent chart of fricti on stress 图10分别为第6,11,19个增量步摩擦应力云图,从中可看出球面和下板面摩擦云图基本对称,随着载荷增加,摩擦云图向接触部位里侧靠近,且摩擦应力大小相应增加,说明随着载荷增加和相对运动趋势的影响,最大摩擦力发生部位向里侧节点靠近,外侧摩擦力相应减小;这从摩擦应力历程图也可看出,如图11所示,横坐标为下板面顶边节点变化路径,以接触顶点为原坐标,纵坐标为摩擦应力,说明了摩擦应力发生的部位和大小的变化.有许多学者对齿轮齿面摩擦力对接触应力的影响进行过研究[5],并通过实验证明了齿面摩擦力影响的大小与一个无量纲参数S 有关,此参数S 与润滑油粘度、表面卷吸速度、材料综合弹性模量、接触点综合曲率半径及单位载荷有关;鉴于滚动轴承接触与齿轮齿面接触的可比性,我们也可以认为存在这样一个参数,参数的大小决定了滚动轴承接触摩擦力对接触应力的影响程度,这种联系有待于我们在以后的研究中证实.3　总结及展望利用M SC .Patran M arc 强大的非线性处理功能,可以解决静态或动态摩擦条件下的滚动轴承接触非线性问题,并且利用软件丰富的后处理功能可以得到我们想要的结果.本文中建立的二维有限元分析模型在静态摩擦条件下进行分析,由结果可知摩擦因素对滚动轴承接触特性的影响不可忽视;下一步的研究方向是建立三维模型并在动态摩擦条件下进行分析,得到更符合实际情况的结果.参考文献:[1]　H arris T A .Ro lling Bearing A nalysis (T h ird Editi on )[M ].John W iley &Son s .Inc .,1991:962128.[2]　赵联春,刘雪峰,曹志飞,等.滚动轴承振动的摩擦动力学特性[C ].洛阳轴承研究所,中国轴承论坛第四届研讨会论文集,洛阳:2006,1072112.[3]　彼得・艾伯哈特,胡斌.现代接触动力学[M ].南京:东南大学出版社,2003.[4]　陈火红,祁鹏.M SC .Patran M arc 培训教程和实例[M ].北京:科学出版社,2004:2362241.[5]　高创宽,周谋,亓秀梅.齿面摩擦力对齿轮接触应力的影响[J ].机械强度,2003,25(6):6422645.Gao Chuangkuan ,Zhou M ou ,Q i X ium ei.Effect of gear too th fricti on fo rce on gear con tact stress [J ].Jou rnal of M echan ical Strength ,2003,25(6):642～645.(in Ch inese )72(总第73期)滚动轴承接触的非线性有限元分析(熊小晋等)。

动量轮滚动轴承-转子系统非线性动力响应分析朱玉鹏;朱川峰;谢鹏飞;于晓凯;杨茹萍【摘要】建立了考虑非线性轴承力的动量轮轴承-转子系统动力学方程,并采用Runge-Kutta数值方法对其求解.利用分岔图、Poincare映射图、幅值谱图依次分析了不同转速、等效阻尼、径向游隙状态下系统动力学响应特征.分析结果表明:滚动轴承-转子系统具有丰富的周期、拟周期以及混沌的响应形式.混沌响应中存在变柔度振动,且x方向较为剧烈.合理选择滚动轴承的参数组合,可使滚动轴承-转子系统处于较稳定的振动响应状态.【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)003【总页数】5页(P24-28)【关键词】滚动轴承-转子系统;非线性动力学;变柔度振动;振动响应【作者】朱玉鹏;朱川峰;谢鹏飞;于晓凯;杨茹萍【作者单位】河南科技大学土木工程学院,河南洛阳471023;洛阳轴研科技股份有限公司,河南洛阳471039;洛阳轴研科技股份有限公司,河南洛阳471039;洛阳轴研科技股份有限公司,河南洛阳471039;河南科技大学土木工程学院,河南洛阳471023【正文语种】中文【中图分类】TH133.33;O3220 引言动量轮广泛应用于航天、航空等领域的惯性制导系统中，承载着飞行器姿态调整和轨迹变换的重要任务，其主要由4部分组件构成：轴承组件、电机组件、壳体组件和轮体组件[1]。

轴承作为其主要传动部件，对动量轮寿命和性能影响重大。

超长时间的高速运转及复杂受力导致轴承在工作过程中会出现一些异常振动，传统的线性理论无法合理解释这种现象的存在,越来越多的专家学者开始用非线性理论进行分析 [2]。

目前，滚动轴承-转子系统的相关研究已取得较多成果。

文献[3]用简化的多自由度转子模型进行离心机轴承-转子系统模拟分析，考察了垂直放置转子在有无基础运动时的动力学性质。

文献[4-5]研究了时变非线性刚度对轴承稳定性的影响。

摘要摘要航空发动机结构复杂，运行环境极端严峻，振动故障多发，严重制约我国航空工业的发展。

航空发动机多为双转子结构，包含滚动轴承支承、多级轮盘和叶片、挤压油膜阻尼器等复杂构件，并受双频激励、气流激励等复杂载荷影响。

转子系统的动力学特性对航空发动机的设计尤为重要，厘清航空发动机复值。

本文以实际的航空发动机为研究对象，开展复杂转子系统的离散动力学建模及可逆化结构降维工作；在降维简化模型上考虑中介轴承的非线性特征，分析中介滚子轴承游隙、外载荷等对双转子-中介轴承系统非线性响应的影响；以及滚珠轴承游隙对系统时变刚度等非线性特性的影响；建立空心轴裂纹模型，采用解析与数值相结合的方法对空心转轴裂纹故障-双转子系统的动力学特性开展研究；最后，研究发动机叶片对转子-轴承系统动力学特性及非线性分岔特性的影响。

具体研究内容与成果如下：针对某六点支承形式的航空发动机双转子系统，研究其动力学建模及模型简化问题，并给出不同简化模型的适用条件。

基于有限元方法建立较为复杂的离散动力学模型，并分析系统的基本动力学特性；从实际结构特点出发研究双转子离散动力学模型的降维简化问题，得到了四轮盘双转子简化模型和三轮盘双转子简化模型并给出其适用条件，对比分析临界转速可知四轮盘双转子简化模型在任意支承条件下均可以很好的保有原系统的动力学特性。

以高压转子为对象研究降维模型的可逆化问题，结果表明反推得到新的复杂模型前三阶临界转速和原模型误差均在3%之内，表明本文的降维简化方法是可逆的。

研究中介滚子轴承对双转子系统非线性振动特性的影响规律。

根据上述简化建模方法，针对实际的航空发动机双转子结构和工作特点，考虑滚动轴承和双转子的相互影响，建立航空发动机四轮盘双转子-中介轴承-支承系统的一体化模型。

采用数值方法重点分析中介轴承径向游隙、外载荷及转速比等参数对系统非线性响应的影响规律。

结果表明，中介轴承径向游隙对系统的非线性振动特性影响十分明显，随着径向游隙的增加，受迫共振转速减小，并且两个受迫共振峰值处会由“线性”共振变为具有明显“硬特性”的非线性现象，而且游隙越大“硬特性”越明显；此外，随着径向外载荷的增加，幅频曲线在受迫共振峰附近由“硬特性”变为“软特性”。

第29卷第6期 水下无人系统学报 Vol. 29 No.62021年12月 JOURNAL OF UNMANNED UNDERSEA SYSTEMS Dec. 2021收稿日期: 2021-12-06; 修回日期: 2021-01-04.基金项目: 国家自然科学基金项目(61403306).作者简介: 宋 文(1986-), 男, 在读博士, 高级工程师, 主要研究方向为结构动力学设计及振动控制.[引用格式] 宋文, 杨赪石, 陈志伟, 等. 鱼雷涡轮转子-滚动轴承系统非线性动力学特性分析[J]. 水下无人系统学报, 2021,29(6): 690-694.鱼雷涡轮转子-滚动轴承系统非线性动力学特性分析宋 文1, 杨赪石1, 陈志伟2, 孙 岩2, 任 鑫2, 李 刚2, 柴晓帅2(1. 中国船舶集团有限公司 第705研究所, 陕西 西安, 710077; 2. 山西平阳重工机械有限责任公司, 山西 临汾, 043003)摘 要: 针对鱼雷发动机涡轮转子系统, 考虑轴承径向游隙, 非线性赫兹接触刚度以及转子不平衡量的基础上, 建立了悬臂转子-滚动轴承系统的动力学模型, 并基于变步长的龙格库塔方法对所建立的动力学模型进行了数值仿真。

计算了双参数平面最大Lyapunov 指数谱图, 得到了转子系统随双参数变化时的周期和非周期运动的分布规律, 并进行了系统在特定参数条件下的时域特性、频域特性及周期特性分析。

分析表明, 随着轴承径向游隙增加, 进入混沌区域的最低转速在不断减低。

该研究可为鱼雷涡轮机系统设计提供参考。

关键词: 鱼雷; 发动机; 涡轮转子; 非线性动力学; 接触刚度; 双参数中图分类号: TJ630.32; O194 文献标识码: A 文章编号: 2096-3920(2021)06-0690-05DOI: 10.11993/j.issn.2096-3920.2021.06.007Nonlinear Dynamic Characteristics Analysis of Torpedo TurbineRotor-Rolling Bearing SystemSONG Wen 1, YANG Cheng-shi 1, CHEN Zhi-wei 2, SUN Yan 2, REN Xin 2,LI Gang 2, CHAI Xiao-shuai 2(1. The 705 Research Institute, China State Shipbuilding Corporation Limited, Xi’an 710077, China; 2 ShanXi PingYang Industry Machinery Co.LTD, Linfen 043003, China)Abstract: To investigate the dynamic response of a torpedo turbine rotor, a dynamic model of a cantilever rotor-rolling bearing system is established, and the effect of the radial clearance of the bearing, nonlinear Hertz contact stiffness, and unbalance of the rotor are considered. The numerical simulation of the dynamic model of the system is carried out based on the variable step-size Runge-Kutta method. The maximum Lyapunov exponential spectra of the two-parameter plane are calculated, and the distribution of periodic and aperiodic motions of the rotor system with the change in the two pa-rameters is obtained. The time-domain, frequency-domain, and periodic characteristics of the system under specific pa-rameters are also studied. The analysis results show that the minimum speed in the chaotic region decreases with an increase in the bearing radial clearance. This study provides a useful reference for the design of torpedo-turbine systems. Keywords: torpedo; engine; turbine rotor; nonlinear dynamics; contact stiffness; two-parameter. All Rights Reserved.2021年12月 宋 文, 等: 鱼雷涡轮转子-滚动轴承系统非线性动力学特性分析 第6期 0 引言涡轮机是热动力鱼雷的重要推进形式之一,相对于鱼雷活塞发动机, 鱼雷涡轮发动机工质的焓降大、功率密度大, 能达到活塞发动机无法实现的高航速和远航程[1-2]。

三种非线性油膜力模型的分析比较1)王晋麟曹登庆2)王立刚黄文虎（哈尔滨工业大学航天学院，137 信箱，哈尔滨150001）摘要：本文分析比较了三种具有解析表达式的圆轴承非线性油膜力模型，对比了建立油膜力时，Reynolds 方程及其边界条件所采用的假设条件，并以200MW汽轮发电机低压转子为例，比较了不同油膜力模型对系统非线性行为的影响，并分析了产生各种差异的因素。

关键词：转子―轴承；汽轮机；非线性振动；油膜振荡中图分类号：TH133 O3220引言转子―轴承系统非线性动力学行为研究是转子动力学中较为活跃的一个领域。

基于八个油膜动特性系数的线性油膜力模型[1]已经发展得较为完善并获得了广泛的应用。

为了提高发电效率、节约能源、保护环境，汽轮发电机的主力机组从亚临界到超临界、超超临界转型，已经成为必然的选择。

同时，由于发电机转速的提高、结构的轻型化和大柔性使得转子―轴承系统中的非线性因素越来越显著，以小扰动为前提的线性油膜力模型已不再适用。

从20世纪80年代起,转子―轴承系统的非线性油膜失稳问题逐渐引起科学家与工程师们的重视。

建立一个既能较为准确地反映轴承中的油膜力，又简单实用的解析的非线性油膜力模型是研究转子―轴承系统非线性动力学现象的关键。

对圆轴承，从基本的Reynolds方程出发，基于静态Gümbell假设，可以导出无限短轴承和无限长轴承的π油膜力模型的解析表达式[2]。

Muszynska[3]提出用表征流体的周向流速的量来建立非线性的油膜力模型，并据此分析了转子―轴承系统的稳定性。

1991年Capone[4]提出修正的短轴承假设下的非线性油膜力模型，该模型的计算结果表明，它具有较好的精度和收敛性。

张文等[5,6]提出了动态π油膜力模型，它用三个非线性函数描述油膜力，并在短轴承假设下获得了非稳态非线性油膜力的解析表达式。

张文等[7]于2002年进一步提出了非线性油膜力的一般表达式，其瞬态刚度阵和瞬态阻尼阵由三个非线性函数来描述，并通过变分法给出了有限长椭圆轴承的高精度近似解析式。

滑动轴承-裂纹转子系统非线性动力学特性分析
焦映厚;李海峰;陈照波;李明章
【期刊名称】《振动工程学报》
【年(卷),期】2004(017)0z1
【摘要】在裂纹转子非线性动力学特性分析中考虑了非线性油膜力的影响,在此基础上建立了单盘Jeffcott裂纹转子的非线性动力学模型,裂纹模型采用非线性涡动模型,菲线性油膜力通过数据库方法获得.利用数值计算方法分析了裂纹转子系统随转速w/w0、相对刚度减小量△kε等参数变化的动力学特性和动力学行为.结果表明:在非线性油膜力的作用下,△kε较小时,响应中出现不可公约的谐波分量导致系统在亚临界转速区出现概周期运动,△kε较大时,系统产生丰富的非线性动力学行为;在不同转速下,系统出现多种形式的周期运动、分岔、概周期运动和混沌运动.
【总页数】3页(P88-90)
【作者】焦映厚;李海峰;陈照波;李明章
【作者单位】哈尔滨工业大学机电学院,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学机电学院,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学机电学院,哈尔滨,150001;哈尔滨工业大学机电学院,哈尔滨,150001
【正文语种】中文
【中图分类】O322;TH133
【相关文献】
1.分数阶阻尼裂纹转子的非线性动力学特性分析 [J], 薛士明;曹军义;林京;陈阳泉
2.多自由度裂纹转子系统非线性动力学特性分析 [J], 于海;陈予恕;曹庆杰
3.一类裂纹转子的非线性动力学特性分析 [J], 邓田;周厚云;白庆月
4.呼吸式裂纹转子系统非线性动力学特性分析 [J], 曹锐锐; 石慧荣; 杨艳
5.含裂纹的齿轮耦合转子系统非线性动力学特性分析 [J], 李同杰;王娟;杨金龙;孙启国
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