非线性振动与线性振动对比解析

能够求出精确解的非线性系统极少，一般使用数值方法计算。采用近似计算的方法大部分是针对 弱非线性系统。对于强非线性系统，首先需要求出与之相近，而又精确可积的非线性系统精确解，然后 对精确非线性解进行摄动，所导出的微分方程仍然需要借助数值方法求解。
1. 线性振动一般解与典型非线性方程
0 x 0 有阻尼自由振动系统 x 20 x
取决于系统阻尼比与固有频率和激励频率的关系，有
arctan
2 / 0 2 1 2 / 0
1
稳态相应振幅与激励振幅的比值有
A2 B
1
2
2 / 0 2 / 0 2
2
(t ) cx (t ) kx(t ) F cos t kA cos t 对方程 mx
2 2 (t ) n 变形为 x(t ) 2n x x(t ) n A cos t
通解 X cos(t ) ， 表响应对激励的滞后：
通解 X1 为： x
2 0
v n x0 0

2 d
2
v n x0 e nt cos d t 0 ，瞬态响应，逐步衰减。 d
2
A cos nt ，且根据
n 1 n

2
非线性振动
u u (1 u ) 0 ，主要研究自激振动 Van der Pol 方程 u
2 2
实际可能，将谐波取到 3 倍频：(根据实际情况略去无用的高阶项，但求解会存在不少问题！)
x x An cos nt An n 2 2 cos nt
记录非线性的现象和原因，记录求解非线性问题的计算方法 很多问题不实际算，是不会发现问题的 陈小飞，2009-10-16 目 录

隧道爆破影响分析爆破影响分析线性时程分析图形01gtsnx的动力分析概要02自由场分析ffa03反应谱分析04二维等效线性分析05线性时程分析直接积分振型叠加06非线性时程分析直接积分法07非线性时程分析强度折减法08振动加速度级的输出非线性时程分析直接积分法非线性时程分析概要等效线性分析虽然对线性时程分析进行了改善但是不能模拟非线性特性较为明显的材料或接近共振的状态对于非线性特性较为明显的岩土材料需要使用非线性时程分析方法对于核电工业设施建筑桥梁地铁隧道等重要的工程需要进行上部结构下部基础地基的协同分析23线性等效线性非线性分析的应力应变关系比较不同应变范围适用的动力分析方法状态线性非线性液化侧向流动分析方法线性分析等效线性分析非线性分析液化分析有效应力分析2014年类别线性时程分析非线性时程分析叠加原理o对于不同荷载结果可以使用线性叠加结果大小与荷载大小成比例o不能线性叠加不同荷载结果共振o激振频率与固有频率相同或接近时发生o随着响应的变化固有频率也会发生变化o在与初始固有频率不同的激振频率作用下也有可能发生共振平衡点平衡点o力的平衡点只有一个o力的平衡点只有o力的平衡点会有多个o力的平衡点会有多个非线性时程分析直接积分法非线性时程分析与线性时程分析的比较24个结果o对于谐振荷载会输出较为规律的结果o材料非线性特性较为明显时时程结果看起来会不规则初始条件o不受初始条件影响o受初始条件影响非线性动力分析过程高级非线性分析选项牛顿准牛顿刚度的更新收敛加速稳定化通过线搜索和时间分割保证分析的成功tangentmatrixresidualforce用户自定义时间步骤可调整各步骤的时间步长按需要的精确度进行更有效率的分析100dtsec与非线性静态分析相同非线性时程分析直接积分法25与非线性静力分析的荷载分割概念类似equationsolvelinesearchconvergencestatecheckadvancetimestepbisecttimestepmoreiteration110001timesec需要使用hht的噪音消除功能分析过程中因时间步长的修改产生的噪音与非线性静态分析相同非线性动力分析希尔伯特黄变换hhtalpha法可考虑数值衰减的一般化的newmark方法使用数值衰减系数修正平衡方程最小化正确度损失可消除高频区域的噪音dampingfinternalfexternalfdampingfinter

6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。

令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。

单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。

如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。

102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。

非线性振动系统的周期解与分岔分析方法在物理学、工程学以及许多其他领域中，非线性振动系统是一种常见且重要的研究对象。

理解非线性振动系统的周期解和分岔现象对于深入研究系统的动态行为、稳定性以及预测系统可能的变化趋势具有至关重要的意义。

首先，让我们来理解一下什么是非线性振动系统。

与线性振动系统不同，非线性振动系统中力与位移之间的关系不是简单的线性比例关系。

这种非线性特性可能源于多种因素，比如材料的非线性特性、几何非线性或者外部激励的非线性。

周期解是指系统在一定条件下呈现出的周期性运动状态。

对于非线性振动系统，寻找周期解并不是一件容易的事情。

常见的方法之一是利用数值计算。

通过数值方法，我们可以对系统的运动方程进行逐步求解，从而得到系统的时间响应。

这种方法直观且易于实现，但它也存在一些局限性，比如数值误差的积累以及对初值的敏感性。

另一种重要的方法是解析方法。

其中，平均法是一种常用的手段。

平均法的基本思想是将系统的运动方程在一个周期内进行平均，从而得到一个简化的方程，进而求解周期解。

此外，还有谐波平衡法，它假设系统的解可以表示为一系列谐波的叠加，然后将其代入运动方程，通过求解得到周期解的参数。

分岔则是指系统在参数变化时，其定性性质发生突然的改变。

分岔现象可以分为多种类型，比如鞍结分岔、叉形分岔、霍普夫分岔等。

分岔分析能够帮助我们了解系统在不同条件下的稳定性和动态行为的转变。

在研究分岔时，我们通常需要关注系统的特征值。

特征值的变化可以反映系统的稳定性。

当特征值从负实部变为正实部时，系统可能会发生不稳定的分岔。

相平面分析也是研究非线性振动系统分岔的有力工具。

通过绘制系统的相轨迹，我们可以直观地观察到系统的运动状态以及分岔的发生。

例如，在鞍结分岔中，相轨迹会出现两个平衡点合并为一个的现象；而在霍普夫分岔中，会从一个稳定的焦点变为一个不稳定的焦点，并在其周围出现一个稳定的极限环。

对于一些复杂的非线性振动系统，可能需要结合多种方法来进行分析。

机械振动学基础知识振动系统的有限元分析方法机械振动学是研究机械系统在受到外力作用时所产生的振动现象的科学。

振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的分析方法之一，它通过将振动系统离散化为有限个单元，利用数值计算方法来模拟和分析系统的振动特性。

本文将介绍机械振动学的基础知识以及振动系统的有限元分析方法。

机械振动学基础知识振动系统是由弹性元件和质量元件构成的，当受到外力作用时，系统会发生振动。

振动系统包括弹簧、阻尼器和质量块等元件。

其中，弹簧用于恢复系统的位移；阻尼器用于阻碍系统振动的增长；质量块用于储存和释放振动系统的动能。

振动系统的有限元分析方法有限元法是一种数值计算方法，它将连续的振动系统分解为有限个单元，每个单元包括节点和单元内部的位移场。

通过求解各节点的位移场，可以得到整个系统的振动响应。

1. 建立有限元模型首先，需要建立振动系统的有限元模型。

对于简单的振动系统，可以直接建立单元模型，包括节点、单元和材料属性等。

对于复杂的振动系统，可以采用现有的有限元软件进行建模。

2. 离散化在建立有限元模型后，需要对振动系统进行离散化。

将连续系统离散化为有限个单元，每个单元包括节点和连接节点的单元。

通过离散化，可以得到系统的离散动力学方程。

3. 求解动力学方程在得到系统的离散动力学方程后，可以利用数值计算方法求解系统的振动响应。

常用的方法包括有限差分法、有限元法、模态分析法等。

4. 分析结果最后，根据求解的振动响应结果，可以分析系统的振动特性，如频率响应、模态形态等，为系统设计和优化提供参考。

结论机械振动学是研究机械系统振动现象的科学，而振动系统的有限元分析方法是研究振动系统的重要方法之一。

通过建立有限元模型、离散化系统、求解动力学方程和分析结果，可以深入了解振动系统的振动特性，为系统设计和优化提供有效的手段。

希望本文能够帮助读者更好地理解机械振动学的基础知识和有限元分析方法。

非线性振动百科名片恢复力与位移不成正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。

尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。

一般说,线性模型只适用于小运动范围，超出这一范围，按线性问题处理就不仅在量上会引起较大误差，而且有时还会出现质上的差异，这就促使人们研究非线性振动。

目录编辑本段简介非线性振动恢复力与位移不成线性比例或阻尼力与速度不成线性比例的系统的振动。

尽管线性振动理论早已相当完善，在工程上也已取得广泛和卓有成效的应用，但在实际问题中，总有一些用线性理论无法解释的现象。

一般说，线性振动只适用于小运动范围，超过此范围，就变成非线性振动。

非线性系统的运动微分方程是非线性的，不能用叠加原理求解。

方程中不显含时间的非线性系统称为非线性自治系统；显含时间的称为非线性非自治系统。

保守非线性自治系统的自由振动仍是周期性的，但其周期依赖于振幅。

对于渐硬弹簧，振幅越大，周期越短；对于渐软弹簧，振幅越大，周期越长。

非保守非线性自治系统具有非线性阻尼，阻尼系数随运动而变化，因而有可能在某个中间振幅下等效阻尼为零，从而能把外界非振动性能量转变为振动激励而建立起稳定的自激振动（简称自振）。

弦乐器和钟表是常见的自振系统。

周期地改变系统的某个参量而激起系统的大幅振动称参变激发。

当系统的固有频率⑴等于或接近参量变化频率的一半时，参变激发现象最易产生。

具有非线性恢复力的系统受到谐激励时，其定常受迫振动存在跳跃现象，即激励频率3缓慢变化时，响应振幅一般也平稳变化，但通过某些特定3值时，振幅会发生跳跃突变。

具有非线性恢复力且固有频率为 3 n 的系统，在受到频率为3的谐激励时，有可能产生频率为 3 /n （心3 n）的定常受迫振动（n为正整数），称为亚谐共振或分频共振。

它的出现不仅与系统和激励的参数有关，而且依赖于初始条件。

亚谐共振可以解释为，由于非线性系统的响应不是谐和的，频率3/n的响应中存在频率为 3 的高次谐波，激励对高次谐波作功而维持了振动。

非线性振动系统的稳定性分析方法引言振动是自然界中广泛存在的一种现象，而非线性振动系统则是指振动系统中存在非线性项的情况。

非线性振动系统的稳定性分析是研究系统在扰动下是否保持原有的振动状态以及如何从扰动中恢复到原有状态的重要课题。

本文将介绍几种常见的非线性振动系统稳定性分析方法。

一、线性稳定性分析方法在介绍非线性振动系统的稳定性分析方法之前，我们先来了解一下线性稳定性分析方法。

线性稳定性分析方法主要用于分析线性振动系统的稳定性，其基本思想是通过线性化系统的方程，利用特征值分析来判断系统的稳定性。

典型的线性稳定性分析方法包括利雅普诺夫稳定性判据、拉格朗日稳定性判据等。

二、平衡点分析法对于非线性振动系统，平衡点是指系统在无外力作用下达到的稳定状态。

平衡点分析法是一种基于系统平衡点的稳定性分析方法，其基本思想是通过线性化系统方程，分析平衡点的稳定性。

具体来说，可以通过计算平衡点处的雅可比矩阵的特征值来判断系统的稳定性。

若所有特征值的实部都小于零，则平衡点是稳定的；若存在特征值的实部大于零，则平衡点是不稳定的。

三、能量函数法能量函数法是一种基于系统能量的稳定性分析方法，其基本思想是通过构建系统的能量函数，分析能量函数的变化来判断系统的稳定性。

对于非线性振动系统，能量函数通常是系统的总能量或者某个子系统的能量。

通过计算能量函数的导数，可以得到能量函数的变化率。

若能量函数的变化率始终小于等于零，则系统是稳定的；若存在能量函数的变化率大于零的情况，则系统是不稳定的。

四、Lyapunov稳定性分析方法Lyapunov稳定性分析方法是一种基于Lyapunov函数的稳定性分析方法，其基本思想是通过构建Lyapunov函数，分析Lyapunov函数的变化来判断系统的稳定性。

对于非线性振动系统，Lyapunov函数通常是一个正定的函数，其导数可以表示系统的变化情况。

通过计算Lyapunov函数的导数，可以判断系统的稳定性。

f=1.15,相轨迹分布看似没有规律,反映了某种内在的结构特征;
f=1.35,相轨迹又呈现比较简单分布, 恢复单倍周期状态,但此 时单摆并非作来回振动,而是作单向的旋转;
f =1.45,单摆运动出现2倍的周期,作单向旋转;
f=1.47,单摆出现4倍的周期,作单向旋转; f=1.50, 又出现貌似无规则的运动,但比 f=1.15,时更为混乱.
说明鞍点是不稳定的平衡点，
因为与之相连的四条相轨迹中
两条指向它，两条背离它，而
附近相轨迹呈双曲线状．
Ep
o

d
dt
o

势能曲线、相图、鞍点
假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动．这样一来， 双曲点就成了敏感区．能量稍大，单摆就会越过势垒的 顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑 回原来的一侧单摆向回摆动。
g 4 2 64 2
式中θm是最大角位移，即单摆振动的角摆幅。
当m 时，T→∞，T/T’随摆幅θm变化关系如图所示。
可见单摆的周期是一个向无
穷大发展的非线性变化。
T T
单摆线性振动的相图
d2 g sin
2
dt 2 L
1
两边积分得
( d
dt
)2
2
2

C1
即
(d dt)2
§8.3 非线性振动
一、非线性振动系统
由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。
下面以单摆做自由振动为例进行分析
单摆的线性振动
d2
mL dt 2
mg sin
d 2
dt 2

g sin
L
将sinθ按泰勒级数展开可得

11 第四讲 材料的线性极化与非线性极化
一、电磁波源（电偶极子）
自由电磁波（远场）与束缚电磁波（近场）
二、谐振子模型分析 三、材料的线性极化 四、材料的非线性极化
12
线性极化率
三、材料的线性极化
定义: 介质的极化强度=单位体积中的总电偶极矩：
大写，总 电偶极矩
P = Np = −Nex
小写，单个
单位体积中
电偶极子的
原子个数
偶极矩
[ ] 复数形式：P = Re P(ω )eiωt 其中：P(ω ) = −Nex(ω )
对比电磁场基本方程： P(ω ) = εo~χ (ω )E(ω )
得到线性极化率：
χ~(ω ) =
Ne2
εom
ωo2
1
−ω2
+ iωΓ
=
χ~(ω )e−iδ
其中，用 Γ 代替 γ ，包含了多个原子在一起相互作用引
其中复振幅
p(ω
)
=
+
e2 m
ωo2
E(ω )
−ω2 +
iωγ
9 第四讲 材料的线性极化与非线性极化
讨论：
x(ω ) = − e
E(ω )
m ωo 2 − ω 2 + iωγ
二、谐振子模型分析
z 电子受迫振动 x(ω )与驱动光波 E(ω ) 频率相同；
z 分母中有虚因子 iωγ ，说明受迫振动和驱动场之间
建立运动方程：
位能曲线
假设驱动场不大，只在平
位能
衡位置附近振动；
简化：一维，平衡位置在
x = 0处；
斥力 平衡
位置
ro
电子-核

从研究方法上或是振动过程的变化规律上， 非线性振动与线性振动之间有本质区别。
研究非线性振动有两种基本方法
定性方法：
定性方法关心的是在已知解的邻域内系统的一 般稳定性特征，并非寻求与时间相关的解。
定量方法：
定量方法关心的是运动的时间历程，一般应用 摄动法来求得这类方程的近似解析解。
10.1 非线性振动的例子
x3
0
如果不再假设位移x很小，那么弹簧的弹性恢复
力一般地是位移x的非线性函数
一般非线性系统的运动微分方程可表示为
mx Fx 0
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为硬特性恢复力（称为硬弹簧）；
如果 xFx 0
则称弹性恢复力为软特性恢复力（称为软弹簧）
例如
F x x x3 , 0
当 0 时表示硬弹簧；
1 2
稳定结点
1 2 稳定非正常结点
1 2
稳定星形结点
（2）两特征值均为正实数(p＜0 , p2≥ 4q＞0)，则平 衡点是不稳定结点。分别称为不稳定结点，不稳定非 正常结点和不稳定星形结点。图形分别与上图相似， 但箭头方向相反。
（3）特征值为相异实数（q＜0），则平衡点称为鞍 点，如图所示。
运动微分方程为
mx 2 S AEl sin 0
l
其中A, E和l分别表示钢丝的横截面 积，弹性模量和长度增量； 为钢丝 与竖直线的偏角。
运动微分方程为
其中
mx 2 S AEl sin 0
l
l l 2 x2 l x2 2l
代入整理得
sin
x
x
l2 x2 l
mx
2S l
x
AE l3
微分方程式的一个解x=x(t), y=y(t)对应于相平面 上的一条曲线，称为相轨迹，简称轨迹。

1
x
F F0 cos t
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Phase modulation
x
stiffness increase

x
1 0.8 0.6
F F0 cos t
0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
非线性振动的近似解析方法
4
c1 2 t X e c2
m1 0 0 m 2
c1 2 t k1 k2 k2 c1 t c e k c e 0 k2 2 2 2
k2 c1 c 0 k2 2
K s /( K s 1 '2 ) ( K s e '2 ) /( K s 1 '2 )
em 2
2
m

2
m



2
m
em
2






Phase modulation/ stiffness increase x
2 k1 k2 m12 c22 c21 k2
k2 c21 c 0 k2 22
6
振型：
1 c11 C c11 2 c12 (k1 k2 m11 ) / k2
1
第一阶振型
1 C 2 (k1 k2 m12 )k2

公务员行测真题类比推理试卷每日一练一、单选题(共计40题,每题1分)1.单选题策略:销售:销量A.表演:技巧:效果B.兵器:战斗:伤亡C.思路:答题:得分D.方法:测量:误差解析第一步:判断题干词语间逻辑关系。

运用策略销售，可以提高销量，三者为对应关系。

第二步:判断选项词语间逻辑关系。

A项:运用技巧表演，可以增强效果，三者为对应关系，但前两词词语顺序与题干相反，与题干逻辑关系不一致，排除；B项:运用兵器战斗，可以提高伤亡人数，三者为对应关系，但造句时多加了“人数”两个字，同时“销量”为名词，而此时的“伤亡”为形容词，二者词性不同，与题干逻辑关系不一致，排除；C项:运用思路答题，可以提高得分，三者为对应关系，与题干逻辑关系一致，当选；D项:运用方法测量，可以减少误差，三者为对应关系，但题干为“提高”，此处为“减少”，与题干逻辑关系不一致，排除。

故正确答案为C。

考点逻辑关系-对应关系来源2022年四川省公务员录用考试《行测》题（网友回忆版）第72题统计正确率2.单选题因循守旧对于( )相当于()对于胆量A.创新；畏缩不前B.古板；闻风丧胆C.保守；胆大妄为D.落后；一往无前3.单选题肖邦:柴可夫斯基A.苏步青:刘微B.齐白石:卢梭C.霍金:哥德巴赫D.柳公权:吴道子4.单选题学习菜谱:下厨烹饪:总结经验A.通过安检:车站候车:登上列车B.投寄稿件:编辑排版:读者阅读C.发布公告:制作标书:签订合同D.撰写邮件:发送邮件:回复邮件5.单选题生产:销售A.收入:支出B.起草:修改C.救灾:抗灾D.闭幕:开幕6.单选题懒惰:失败A.积分:兑换B.昏迷:晕倒C.运筹:决战D.犯罪:坐牢7.单选题相信:坚信:质疑A.希望:盼望:奢望B.报道:报告:封杀C.微词:批判:赞扬D.诚恳:诚信:伪装8.单选题和衷共济:和合共生A.如临深渊:如履薄冰B.或为玉碎:或为瓦全C.不入虎穴:焉得虎子D.锲而不舍:金石可镂9.单选题电影:话剧:演员A.公路:人行道:机动车B.电器:空调:修理工C.数学课:体育课:教师D.运算:存储:硬盘10.单选题投资:风险:收益A.考试:作弊:晋升B.学习:疲劳:知识C.决策:错误:正确D.预警:误判:减灾11.单选题马匹:船只:车辆E.纸张:试卷:画册F.水杯:油瓶:饭碗G.官员:武将:首领12.单选题足球:运动员:体育场A.龙舟:划手:河流B.协议:国家:世贸组织D.葡萄:酿酒师:啤酒节13.单选题花瓶对于相当于对于照明A.瓷器电路B.艺术灯塔C.石狮地图D.装饰台灯14.单选题超速:追尾:处罚A.高温:自燃:追责B.购票:乘车:出行C.谨慎:寡言:冷落D.勤政:声望:爱戴15.单选题耳朵:助听器( )A.眼睛:望远镜B.手指:手套C.嘴唇:口罩D.腿脚:拐杖16.类比推理练习碳:钻石:戒指A.碳酸钙:珍珠:项链B.石墨:铅笔:画稿C.刚玉:红宝石:装饰D.硅:硅胶:石英砂17.单选题乱闯红灯:交通违章:行政罚款A.打架斗殴:扰乱秩序:毁坏公物B.经济过热:通货膨胀:货币贬值C.市场经济:市场失灵:国家干预D.行政垄断:地方保护:法律规制18.行测类比推理萧条:欣欣向荣A.激进:墨守成规B.全面:以偏概全C.默契:心照不宣D.统一:众叛亲离19.单选题报纸:读者:发行量A.论文:作者:引用率B.港口:货物:吞吐量C.影片:观众:票房D.比赛:主办方:赞助费20.单选题招摇撞骗:违法犯罪:锒铛入狱A.班门弄斧:东施效颦:贻笑大方B.强买强卖:欺人太甚:众叛亲离C.兢兢业业:厚积薄发:一鸣惊人D.见死不救:违背道德:良心谴责21.单选题默念:朗诵A.竞走:散步B.贩卖:赶集C.讲授:练习D.调节:管理22.单选题成绩:合格:升学A.合作:共赢:挑战B.疾病:痊愈:出院C.跑步:奖状:鼓励D.体检:达标:锻炼23.单选题( )对于风险相当于精兵简政对于()A.亡羊补牢:效率B.枕戈待旦:业绩C.克己奉公:资源D.曲突徙薪:成本24.单选题邀请:拒绝:接受A.问候:咒骂:感谢B.道歉:真诚:虚伪C.威胁:妥协:报警D.建议:反对:接纳25.单选题线性振动:非线性振动:振动A.花瓣:花蕊:牵牛花B.食肉动物:食草动物:动物C.投资者:经营者:市场主体D.主要矛盾:次要矛盾:矛盾26.单选题投递:收件( )A.逛街:娱乐B.购买:赠送C.借阅:整理D.授课:学习27.单选题孤本:书籍A.正方形:长方形B.蔬菜:土地C.显微镜:实验室D.礼物:商品28.类比推理练习动静:是非A.大小:多少B.生死:曲直C.古今:长短D.轻重:贵贱29.单选题危在旦夕:间不容发A.江河日下:一日千里B.冷嘲热讽:指桑骂槐C.孤注一掷:铤而走险D.行云流水:妙笔生花30.单选题花瓶对于相当于对于照明A.瓷器电路B.艺术灯塔C.石狮地图D.装饰台灯31.单选题瓮牖绳枢:粗茶淡饭:清寒A.叠床架屋:衣锦食肉:奢华B.箪食瓢饮:曲肱饮水:简朴C.轻车熟路:霜行草宿:轻松D.金盆洗手:金屋藏娇:阔绰32.单选题失眠:睡意E.营养:干枯F.窒息:氧气G.麻木:悲伤33.单选题近海:靠近陆地的海域A.充足:多到能满足需要B.三包:包修包换和包退C.四季:春夏秋冬的合称D.忙月:农事繁忙的月份34.单选题湄公河:跨境河A.黄鹤楼:吊脚楼B.青海湖:内陆湖C.英国人:西欧人D.中山门:凯旋门35.单选题雨:雪E.C三项虽然都是并列关系，但是相互之间不能转化，与题干逻辑关系不一致，故排除。

F (t ) f1 n cos(n t ) f 2 n sin(n t )
其中,
1 T /2 f1 n T / 2 F (t ) cos (n t ) d t T 1 T /2 f 2 n T / 2 F (t ) sin (n t ) d t T
n 1


2 T
d d ml 2 l mg sin F cos t dt dt
2
●一个复杂的非线性系统。其解更为复杂。
结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件 下，其解可能具有不可预测的随机性。
第5章 非线性振动
5. 3.1 非线性振动的近似解析方法
定性分析方法讨论振动系统在奇点（平衡位置） 附近的运动稳定性，它不需要求解系统的动力学微 分方程。但定性分析方法的研究对象主要限于自治 系统，而且不能定量地计算系统运动的时间历程，
第五章 非线性系统的振动
5.1 非线性振动概述
5.2 非线性振动问题的主要特点 5.3 非线性振动问题的研究方法 5.4 分叉与混沌的概念
王卫滨
5.1 非线性振动概述
不能用线性微分方程描述的振动称为非线性振动。恢复力与位移不成 正比或阻尼力不与速度一次方成正比的系统的振动。 工程技术与自然界中的振动问题及现象，绝大多数属于非线性的，线 性振动系统往往是对非线性系统进行性 恢复力
非线性 激振力
5.2 非线性振动问题的主要特点
• (1) 非线性振动系统的频率与系统响应的振幅和初始条件有关
线性振动系统的振动周期不随振幅大小而变化
(2) 对于非线性振动系统,叠加原理不适用
• 对于线性微分方程
• 对于非线性系统
d n x1 x2 d n x1 d n x2 n n dt dt dt n

【名师专项点拨-判断】定义判断+类比推理 2（讲义）1.（2019 青海）理想∶打算A.计算∶算计B.品德∶道德C.人杰∶人才D.空闲∶无聊2.（2019 黑龙江）荷花对于（）相当于（）对于地瓜A.荷叶红薯B.池塘土地C.莲藕中药D.芙蕖甘薯3.（2015 吉林）胎生动物∶蝴蝶A.男教师∶女青年B.实数∶正数C.哺乳动物∶鸭嘴兽D.文科∶化学4.（2019 黑龙江）线性振动∶非线性振动∶振动A.花瓣∶花蕊∶牵牛花B.食肉动物∶食草动物∶动物C.投资者∶经营者∶市场主体D.主要矛盾∶次要矛盾∶矛盾5.（2019 浙江）书信∶短信∶微信A.电灯∶电视∶电脑B.扇子∶电风扇∶空调C.凉菜∶热菜∶主食D.传呼机∶电话∶手机6.（2019 山东）动脉血管∶静脉血管∶毛细血管A.散文∶诗歌∶小说B.历史片∶战争片∶科幻片C.休眠火山∶死火山∶活火山D.晴天∶雨天∶雪天7.（2019 山东）感冒药∶中药∶西药A.果汁∶冷饮∶热饮B.标枪∶田赛∶径赛C.城墙∶古建筑∶西方建筑D.学士∶硕士∶博士8.（2018 广西）收集素材∶编辑整理∶出版发行A.需求调研∶软件开发∶交付使用B.突发险情∶山体滑坡∶紧急救援C.购买车票∶行李安检∶预付票款D.网络搜索∶实地考察∶商家发货9.（2019 事业单位）水滴∶石穿A.千军∶万马B.掩耳∶盗铃C.买椟∶还珠D.唇亡∶齿寒10.（2019 江苏）头∶包工头A.眉∶柳叶眉B.肚∶将军肚C.腰∶小蛮腰D.手∶操盘手11.（2019 河北）鸡蛋∶蛋糕A.铅芯∶铅笔B.水泥∶水泥路C.鞋子∶鞋带D.榆钱∶榆钱饼1.（2018 国考）人耳对一个声音的感受性会因另一个声音的存在而发生改变。

一个声音能被人耳听到的最低值会因另一声音的出现而提高，这种现象就是听觉掩蔽。

根据上述定义，下列符合听觉掩蔽的是：A.吵闹的课间，老师得大声说话，同学们才能听到B.长时间戴耳机听音乐，会觉得听到的音量逐渐变小C.人类无法听到蝙蝠等动物发出来的超声波D.安静的房间内，我们能够听到闹钟“滴答”的声音2.异株克生是指植物产生的次生代谢产物在植物生长过程中，通过信息抑制其他植物的生长、发育并加以排除的现象。

非线性振动理论在机械系统中的研究与应用非线性振动理论是研究机械系统中的振动现象的重要学科，其应用广泛，并对机械系统的设计和优化具有重要影响。

本文将探讨非线性振动理论在机械系统中的研究与应用。

一、非线性振动理论简介非线性振动理论是振动力学领域的重要理论分支，研究机械系统在非线性条件下的振动现象。

所谓非线性振动，是指机械系统在振动过程中存在非线性力或非线性刚度的情况。

与线性振动相比，非线性振动更加复杂，包含更多的现象和特性。

二、非线性振动理论的研究进展近年来，随着计算机科学和数值计算技术的快速发展，非线性振动理论的研究取得了重要的进展。

研究人员利用数值模拟和实验方法，对非线性振动进行了深入研究，揭示了许多非线性振动现象的本质和规律。

1. 非线性振动的特性非线性振动具有丰富的特性，包括周期倍增、共振、混沌等。

周期倍增是指当外部激励达到一定阈值时，系统振动周期将发生倍增现象。

共振是指当外部激励频率接近系统的固有频率时，系统振幅增大的现象。

混沌是指系统的运动状态具有不可预测性和无序性。

2. 非线性振动的控制非线性振动的控制是研究的重点之一。

通过调节系统参数或引入控制策略，可以实现对非线性振动的控制和抑制，提高系统的工作性能。

其中，最常用的控制方法包括单参数控制、多参数控制和混沌控制等。

3. 非线性振动的应用非线性振动理论的应用广泛存在于机械系统中。

例如，风力发电机组、航天器、汽车引擎等机械系统都存在着非线性振动现象。

非线性振动的研究可以帮助解决这些系统中的振动问题，改善系统的工作性能。

三、非线性振动理论的应用案例以下是一些非线性振动理论在实际应用中的案例。

1. 风力发电机组振动控制风力发电机组在运行时往往会受到气动力的影响而发生振动。

通过应用非线性振动理论，可以对风力发电机组进行振动控制，提高发电效率和稳定性。

2. 航天器姿态控制航天器在太空中的运动过程中会受到多种非线性力的作用，如引力、气动力等。

非线性振动理论可以帮助设计航天器的姿态控制系统，使其在运行过程中能够保持稳定的姿态。

”
ｍ ｘ ＋ ｃ （ ） ＋ （ 口 ） ＝ Ｄ （ ｓ 。 ）
’
Ｃ ｅ 一为等效 阻尼系数 ，ｋ ｅ 一为等效 刚度系数 ，
， ，
・、
ｍ ＋ｋ ｘ＝ｓ ｆ Ｉ ， ／ ， Ｉ ，ｓ为／ Ｊ 、 量。 （ １ ）
当ｓ ＝ ＝ ＞ ０时 ， ｍ 十ｋ ｘ＝ ０＝ ＝ ＞Ｘ＝ａＣ Ｏ Ｓ （ ２）
则 有 ， 系 统 的 固 有 频 率 为 ： ： 、 ／ ， 系 统 的 阻
尼 比为 ： ＝
方程 （ １）的 一 次 近 似 解 设 为 ＝ ａ ｃ ｏ ｓ ，
＝ｃ ｏ ｔ ， ＝ ＝ ＞ Ｘ＝－ ａ ｏｓ ｃ ｉ ｎ ￣
系 统 的 解 为 ： ｘ （ ｔ ） ＝ Ｐ ｌ ｅ ＋ Ｐ ｌ
结构 减震 的 目的 。
＾
从 上式 可 知 ，当且仅 当 （ ５）成立 时有
Ｏｃ
．
：０，
：
０， 故此时 △有极值 ， 再分别对 （ ７ ） 式求二阶
Ｉ 、
“
Ｐ
倒 数可 知 ：
２ ｚ
， ：
、
｛
、
２
，
ｃ
Ｏ ｋ ｅ 。
：０ Ｏ ｋＯ Ｃ Ｐ
（ ２） 等 效线 性化 方法 的最 优性 当假设 系统 作简 谐振 动 时 ， 在 的一 个周 期 ２ 万
可将非线性 力ｅ ｆ Ｉ ， ／ Ｉ 展开成 傅里叶 级数 并仅
保 留基 频 ；
ｓ
内考虑非线性力与等效线性力误差 的平方累计 ：
ｌ ， ｊ ｓ （ ｃ 。 ｓ ￣ ， － ａ ｓ ｉ ｎ 妒 ） （ ３ ）
化 具有 最优 性 。
图２ Ｆ Ｐ Ｓ － １ Ｍ Ｄ阻 尼 器

振动理论(6-1)第6章具有非线性特征的系统陈永强北京大学力学系6.1 非线性系统的举例●在粘性阻尼条件下，系统的运动微分方程为线性二阶常微分方程⏹线性振动理论能表征很多实际问题⏹对于不能用常系数线性微分方程来描述的物理系统，需要讨论非线性微分方程●忽略质量变化，单自由度系统的运动方程的一般形式可以写为⏹带有非线性特征的系统称为非线性系统，其运动称为非线性振动或者非线性响应⏹叠加原理不适用于非线性系统⏹通常，非线性振动不是简谐的，其频率随振幅改变非线性现象的一个重要类型是弹性恢复力与变形不成比例硬化弹簧软化弹簧32014/11/14质量附在长度为的拉直的弦AB 的中部，弦的初始张力用表示。

令质量在弦的横向上离开平衡位置的距离为，弦中产生的弹性恢复力如图(b )所示该系统自由振动方程：对称硬化弹簧的例子2014/11/144由几何关系代入运动方程显然这是一个非线性方程如果认为是小振动，有，因此52014/11/14●单摆，重，长度。

单摆离开竖直位置的夹角为, 单摆关于轴的回复力矩为，绕轴的转动方程为●代入质量的惯性矩, 有●小振幅情况为简谐振动，●振幅较大，对称软化弹簧的例子2014/11/14 6对比两种情况的非线性方程72014/11/14硬化情形分段线性化恢复力2014/11/148软化情形92014/11/14●如果动力荷载使结构或机器部件变形时超出了材料弹性范围，造成的运动称为非弹性响应●一建筑的二维矩形钢框架，受横向力作用于屋顶。

如果柱的弯曲刚度小于梁的弯曲刚度，随着荷载无限增加，在柱的两端会形成所谓的塑性铰。

102014/11/14●对应的载荷-位移曲线●实验表明，最大的正力和最大的负力在数值上是相等的●滞后回线关于原点对称2014/11/1411线性软化弹性卸载反向加载弹性卸载●曲线部分常常用直线代替，用以模拟真实的材料行为●双线性非弹性恢复力2014/11/1412双线性●理想弹塑性恢复力●滞后回线表示的能量耗散在这里被假定通过塑性铰损失掉，结构的其余部分依然保持能量守恒●这种能量耗散机制称为滞后阻尼2014/11/1413刚塑形带有摩擦抗力的单自由度系统及其滞后回线142014/11/14●下图两个问题在数学上是相同的⏹前者是属于刚塑形恢复力的情况，弹性变形与塑形范围相比很小⏹后者是没有弹簧的质量在摩擦力的阻滞下运动⏹除粘性阻尼外，其它类型的耗散机制均导致非线性⏹通常，假定质量、阻尼和刚度特征不随位移、速度和加速度而改变。