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大学数学(1)清华大学数学科学系 Office: 理科楼A302 Tel: 62798531 张立平Email: lzhang@第五章 不定积分§1.不定积分的概念和性质 原函数和不定积分 不定积分的性质 基本积分公式 微分的逆运算不定积分的研究目的 已知物体的运动规律(路程与时间的函数) s=s(t) 则物体的瞬时速度 v=ds/dt 已知物体的瞬时速度v=v(t),怎么求物体的运动规 律(路程与时间的函数)s=s(t)呢? 不定积分运算的目的: 已知一个函数的导数和微 分,求该函数.原函数和不定积分Def. 函 数 F ( x )与 f ( x ) 在 区 间 I 有 定 义 且 处 处 都 有 F '( x ) = f ( x ) 或 dF ( x ) = f ( x ) dx , 则 称 F ( x )为 f ( x ) 在 区 间 I 上 的 一 个 原 函 数 .【 例 】 sin x是 co s x的 原 函 数 ， − c os x是 s i n x的 原 函 数 .Question : 原函数存在吗？唯一吗？Thm.(原函数存在定理)若函数f ( x)在区间I 连续，则在区间I 上存在可导函数F ( x)，满足 F '( x) = f ( x) 即连续函数一定有原函数。
∀x ∈ I .Thm.若函数 F ( x )是 f ( x )在区间 I 上的一个原函数， 则 F ( x ) + C (C 是任意常数 )也是 f ( x )的原函数。
证.因F ( x)是f ( x)在区间I 上的一个原函数，故F '( x) = f ( x).从而 ( F ( x) + C ) ' = f ( x)，所以F ( x) + C是f ( x)的原函数。
设G( x)也是f ( x)的原函数，则G '( x) = f ( x), 从而有G '( x) = F '( x). 由拉格朗日中值定理推论2，G( x) = F ( x) + C.注: 原函数存在且有无穷多个Def.函数F ( x)是f ( x)的一个原函数，C是任意常数，称F ( x) + C 为f ( x)的不定积分，记作∫ f ( x)dx, 即∫ f ( x)dx = F ( x) + C.Remark.(1)∫ f ( x)dx = F ( x) + C∫: 积分号，f ( x)：被积函数，x：积分变量，C : 积分常数 (2)f ( x)的不定积分∫ f ( x)dx就是f ( x)的全体原函数. (3) ∫ f ( x)dx = ∫ dF ( x) = F ( x) + C (必须加积分常数C )(4)求不定积分与求导求微分互为逆运算： ( ∫ f ( x)dx) ' = f ( x) 或 反过来， d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx. 或∫ F '( x)dx = F ( x) + C∫ dF ( x) = F ( x) + C.一组曲线在同一点切线平行【 例 】 求 不 定 积 分 ∫ 3 x dx . 1 【 例 】 求 不 定 积 分 ∫ dx . x 1 1 解 ： ∵ (ln | x |) ' = , ∴ ∫ dx = ln | x | + C ( x ≠ 0). x x 【 例 】 某 商 品 的 边 际 成 本 为 100 − 2 x， 求 总 成 本 C ( x ).22 3 3 x dx = x +C ∫解： ∵C( x)' = 100 − 2x, ∴C( x) = ∫ (100 − 2x)dx = 100x − x2 + C. 【例】设曲线过点(1,2)，且其上任一点切线的斜率都等于该点横坐标 的两倍，求此曲线方程.dy 解：设曲线为y = f (x),在任一点(x, y)处切线的斜率 = 2x, 则必有常 dx 数C使得f (x) = ∫ 2xdx = x2 + C.∵ f (1) = 2,∴C = 1.曲线为f (x) = x2 +1.不定积分的性质性质1.求不定积分与微分运算互为逆运算 ：( ∫ f ( x ) dx ) ' = f ( x ) 或 d ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx.∫ F '( x)dx = F ( x) + C或∫ dF ( x) = F ( x) + C.性质2.求两个函数代数和的不定积分等于各函数不定积分的代数和∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx.性质3.被积函数中不为零的因子可以提到积分号的前面∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx(k是常数，k ≠ 0).【 例 】 已 知 ∫ f ( x ) dx = ( x 2 − 1) e − x + C ， 求 f ( x ).解： f ( x) =( ∫ f ( x)dx ) ' = [( x12− 1)e + C ]' = (2 x − x + 1)e2−x−x【 例 】 已 知 ∫ xf ( x ) dx = arcsin x + C ， 求 f ( x ).解： xf ( x) =( ∫ xf ( x)dx ) ' = (arcsin x + C ) ' =x 1 − x21 1− x2⇒ f ( x) =【 例 】 设 ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ， 求 ∫ F ( x ) f ( x ) dx . 解 ： ∵ ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ， ∴ dF ( x ) = f ( x ) dx ⇒∫ F ( x) f ( x)dx = ∫1 F ( x ) dF ( x ) = F ( x ) 2 + C . 2不定积分的基本公式基本初等函数的不定积分表：(1) ∫ kdx = kx + C (3) ( k 常数 ); (2)α x ∫ dx =1 α +1 (α ≠ −1); x α +11 ∫ x dx = ln | x | +C ; 1 x a +C (5) ∫ a x dx = ln a (6) ∫ sin xdx = − cos x + C ; (8) ∫ sec 2 xdx = tan x + C ;(4) ∫ e x dx = e x + C ; ( a > 0, a ≠ 1); (7) ∫ cos xdx = sin x + C ; (9) ∫ csc 2 xdx = − cot x + C ; (11) ∫ csc x cot xdx = − csc x + C ; 1 (13) ∫ dx = arctan x + C . 2 1+ x(10) ∫ sec x tan xdx = sec x + C ; (12)∫1 1− x2dx = arcsin x + C ;【 例 】 求 不 定 积 分 ∫ (3 e x + 4 x − 2 sin x ) dx . 解：x x x x e + − x dx = e dx + (3 4 2 sin ) 3 4 ∫ ∫ ∫ dx − 2 ∫ sin xdxx 4 = 3e x + + 2 cos x + C ln 41 ) dx 【例】求∫ ( x + x2 1 1 )dx = ∫ xdx + ∫ dx = x + 2 x + C 解： ∫ ( x + 3 x x【 例 】 求 ∫ tan 2 xdx2 = sec xdx − ∫ dx = tan x − x + C 解： ∫ tan xdx = ∫ (sec x −1)dx ∫2 23 21 dx. 【例】求不定积分∫ 1 + cos 2 x 1 1 1 1 2 dx = ∫ dx = ∫ sec xdx = tan x + C 解： ∫ 2 1 + cos 2 x 2 cos x 2 2 x 【 例 】 求 ∫ sin dx 22x 1 − cos x 1 解： ∫ sin dx = ∫ dx = ( x − sin x) + C 2 2 22【例】求∫(1 + x ) 2 dx 2 x (1 + x )(1+ x)2 2 ⎞ ⎛1 解： ∫ dx = ∫ ⎜ + dx = ln | x | +2arctan x + C 2 2⎟ x(1+ x ) ⎝ x 1+ x ⎠作业：I. Page 186: 1(3)(4)(7)(9)(13)； 2； 32 2x 若 f ( x ) dx = x e + C ， 求 f ( x ). II. ∫III. 若 ∫1 f( ) dx = x 2 + C ， 求 ∫ f ( x ) dx . x不定积分的计算⎧第 一 类 换 元 积 分 法 换元积分法 ⎨ ⎩第 二 类 换 元 积 分 法 分部积分法⎧简 单 有 理 函 数 的 积 分 有理函数积分 ⎨ ⎩三 角 函 数 有 理 式 积 分§2.换元积分法 第一类换元积分法【 例 】 求 ∫ cos 2 x d x 1 1 解： 令u = 2 x, 则dx = du , 于是 ∫ cos 2 xdx = ∫ cos udu 2 2 1 1 = sin u + C = sin 2 x + C 2 2Thm. 设f (u)有原函数，且u = u( x)具有连续的导数，则 f (u( x))u '( x)有原函数，且 ⎤ 换元公式：∫ f (u( x))u '( x)dx = ⎡ f ( u ) du ∫ ⎣ ⎦u =u ( x )证：设F (u)是f (u)的原函数, 则∫ f (u)du = F (u) + C.于是 ⎡ f (u)du⎤ = [F (u) + C]u=u ( x) = F (u( x)) + C ⎣∫ ⎦u=u ( x) dF (u( x)) 根据复合函数求导法则， = F '(u)u '( x) = f (u( x))u '( x) dx . 故有∫ f (u( x))u '( x)dx =F (u( x)) + C = ⎡∫ f (u)du ⎤ ⎣ ⎦u=u ( x) 注：求不定积分 ∫ f (u ( x ))u '( x )dx可以通过作变量代换u = u ( x ) 转化为求 ∫ f (u ) du，求出后再把u换成u ( x ). 凑微分法凑微分法常用到的微分公式： adx = d (ax + b), nx n−1dx = dx n , e x dx = de x , sin xdx = −d (cos x)1 dx = 【 例 】∫ 1+ x 1 ∫ 1 + x d (1 + x ) = ln | 1 + x | + Cln 2 x 【 例 】∫ dx = x3 ln x 2 2 ∫ ln x (ln x ) ' dx = ∫ ln xd (ln x ) = 3 + C 1 5 【 例 】 ∫ (2 x + 3) dx = ∫ (2 x + 3) 5 (2 x + 3) ' dx 21 1 5 = ∫ (2 x + 3) d (2 x + 3) = (2 x + 3) 6 + C 2 121 1 1 x2 x2 2 x2 2 【 例 】 ∫ xe dx = ∫ e ( x ) ' dx = ∫ e d ( x ) = e + C 2 2 2x2【 例 】 ∫ tan xdx =∫sin x 1 dx= − ∫ d (cos x ) cos x cos x= − ln | cos x | + C1 【 例 】求 ∫ 2 dx ( a ≠ 0) 2 a +x1 1 解： ∫ a 2 + x 2 dx = a 2∫ cot x d x = ln | sin x | + C1 1 x ∫ ⎛ x ⎞ 2 dx = a ∫ ⎛ x ⎞ 2 d a 1+ ⎜ ⎟ 1+ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝a⎠ 1 x = arctan + C a a 11 【 例 】求 ∫ 2 dx 2 a −x 1 1 解： ∫ a 2 − x 2 dx = 2 a 1 = 2a( a ≠ 0)∫1 ⎞ ⎛ 1 + ⎟dx ∫⎜ ⎝a−x a+x⎠ 1 1 1 d (a + x) − d (a − x) ∫ a+x 2a a − x1 1 a+x = (ln | a + x | − ln | a − x | ) + C = ln | | +C 2a 2a a−x 1 1 cos x d ( sin x ) 【 例 】∫ dx = ∫ dx = ∫ 2 2 1 − sin x cos x cos x 1 1 + sin x = ln +C 2 1 − sin x【例】解： ∫∫1 a2 − x21dx ( a > 0)1 ⎛x⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠21 dx = ∫ 2 2 a a −xdx = ∫⎛x⎞ d⎜ ⎟ 2 ⎛x⎞ ⎝a⎠ 1− ⎜ ⎟ ⎝a⎠ 11 【 例 】 ∫ sin 3 x cos 2 x d x = ∫ (sin 5 x + sin x )d x 2 1 1 =− cos 5 x − cos x + C 10 2x = arcsin + C a【 例 】 ∫ csc x d x =∫1 dx = sin x=∫x ⎛x⎞ sec d⎜ ⎟ = x 2 2 ⎝ ⎠ tan 2 12∫1 dx ∫ x x 2 sin cos 2 2 x⎞ x 1 ⎛ d ⎜ tan ⎟ =ln| tan |+C x ⎝ 2 2 ⎠ tan 2x 1 − cos x ∵ tan = = csc x − cot x,∴ ∫ csc xdx = ln | csc x − cot x | +C 2 sin x∫ sec xdx = ln | sec x + tan x | +C第二类换元积分法【例】求∫ sin x x 解： 令 x = t , 则dx = 2tdt , dxsin x sin t 于是∫ dx = ∫ 2tdt = 2∫ sin tdt t x= −2cos t + C = −2cos x + C选取适当的x = ϕ (t )使其有反函数t = ϕ −1 ( x)，则dx = ϕ '(t )dt , ⎤ 换元公式：⎡ f ( x ) dx ⎣∫ ⎦x =ϕ ( t )= ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt = [ F (t ) + C ]t =ϕ −1 ( x )= F (ϕ −1 ( x)) + CThm. 设f ( x)连续，x = ϕ (t )具有连续的导函数，且ϕ '(t ) ≠ 0， 则换元公式：∫⎤ f ( x)dx = ⎡ f ( ϕ ( t ) ) ϕ '( t ) dt ⎣∫ ⎦,t =ϕ −1 ( x )其中t = ϕ −1 ( x)是x = ϕ (t )的反函数。
