考点分组

行测考点：图形推理分类分组型解题技巧每年国考行测中，图形推理是常考题型。

图形推理分类分组题型是必考的，例如：题目中的六种图形，把这六个图形分为两类从中找出有各自共同特征或者规律的图形，然后把它们分成两类。

福建省公务员考试网为大家总结了几种常考的规律，帮助考生快速攻克分类分组题型。

一、对称性对称图形又分为轴对称图形和中心对称图形。

轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。

中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

1.中心对称与轴对称【例1】81.把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自共同特征或规律，分类正确的一项项是（）。

A.①⑤⑥，②③④B.①②④，③⑤⑥C.①②③，④⑤⑥D.①④⑤，②③⑥【优公解析】D。

本题考查属性类。

观察题干，图形①④⑤既是中心对称也是轴对称图形，图形②③⑥只为轴对称图形。

故本题答案为D选项。

2.对称轴【例2】把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自的共同特征或规律，分类正确的一项是：二、直曲性【例3】把下面的六个图形分为两类，使每一类图形都有各自共同特征或规律，分类正确的一项项是（）。

A.①③④，②⑤⑥B.①④⑤，②③⑥C.①②③，④⑤⑥D.①⑤⑥，②③④【优公解析】A。

本题考查静态位置。

观察题干，发现所有图形均为两部分组成，而①③④三个图形中的为上边曲线和下边直线，②⑤⑥三个图形为上边直线和下边曲线，据此可将图形分为两组。

故本题答案为A选项。

学习了以上福建省公务员考试网关于图形推理中常考的分组分类题型，希望考生碰到这类题目能够快速地选出正确答案。

人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2a m＝4，则m的值为() A．8B．9C．10D．112．(5分)已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A．12B．22C．2D．23．(5分)在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于()A．－213B．213C．26D．－26知识点2等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，18b B．64a，164bC．128a，1128b D．256a，1256b5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？()A．6B．7C．8D．9知识点3等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n}的首项a1和公差d均不为零，且a2，a4，a8成等比数列，则a1＋a5＋a9 a2＋a3＝()A．6B．5C．4D．37．(5分)已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则数列{a n}前6项的和为()A．－20B．－18C．－16D．－14(a5＋a7＋8．(5分)已知数列{a n}满足log3a n＋1＝log3a n＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13a9)的值为()A．－5B．－15C．5D．159．(5分)已知数列{a n}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b9＝2a7，则S17＝()A．34B．39C．51D．68能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)在等比数列{a n}中，a1＝1，公比q≠±1.若a m＝a1a2a3a4a5，则m等于()A．9B．10C．11D．1211．(5分)已知等比数列{a n}满足a1＝3，且4a1,2a2，a3成等差数列，则a3＋a4＋a5等于() A．33B．84C．72D．18912．(5分)(多选)在正项等比数列{a n}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，a n－1a n a n＋1＝324，则()A．q2＝3B．a32＝4C．a4a6＝23D．n＝1413.(5分)已知数列{a n}是等比数列，且a3＋a5＝18，a9＋a11＝144，则a6＋a8＝________.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n}满足a1a2a3＝－1，a4，a3成等差数8，且a2列，求a1.16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．17.(10分)已知数列{a n}是首项为1，公比为q的等比数列．(1)求证：当0<q<1时，{a n}是递减数列．(2)若对任意k∈N*，都有a k，a k＋2，a k＋1成等差数列，求q的值．18.(10分)设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2，且b n＝a n＋1－2a n.(1)求证：数列{b n}是等比数列．(2)求数列{a n}的通项公式．人教版高中数学选择性必修第二册等比数列的概念(第2课时)分层作业(解析版)(60分钟110分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，若a2a m＝4，则m的值为() A．8B．9C．10D．11B解析：∵公比不为1的等比数列{a n}满足a5a6＋a4a7＝8，∴a5a6＝a4a7＝4.∵a2·a m＝4，∴2＋m＝5＋6＝11，解得m＝9.故选B.2．(5分)已知等比数列{a n}的公比q为正数，且a3a9＝2a25，a2＝1，则a1＝()A．12B．22C．2D．2 B解析：∵a3a9＝a26，∴a6＝2a5，∴q＝2.∵a2＝a1q＝1，∴a1＝2 2 .3．(5分)在等比数列{a n}中，若a7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于()A．－213B．213C．26D．－26A解析：a1·a2·…·a13＝(a7)13＝(－2)13＝－213.知识点2等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为()A．8a，18b B．64a，164bC．128a，1128b D．256a，1256bC解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和12，∴对折7次后的厚度为27·a＝128a，面积为·b＝b128.5．(5分)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a？()A．6B．7C ．8D ．9C解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n .∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8.知识点3等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝()A ．6B ．5C ．4D ．3D解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d .又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1＝3.故选D ．7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为()A ．－20B ．－18C ．－16D ．－14B解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4.∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8.∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22＝－18.8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值为()A ．－5B ．－15C ．5D ．15A解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1a n＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3.∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13(9×27)＝－5.9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝()A ．34B ．39C ．51D ．68D解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26，∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2.∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2＝17b 9＝17×4＝68.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于()A ．9B ．10C ．11D ．12C解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11，∴m ＝11.11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于()A ．33B ．84C ．72D ．189B解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84.12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则()A ．q 2＝3B ．a 32＝4C ．a 4a 6＝23D ．n ＝14B D解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝4，a 35＝12，AC 不正确．又a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ．13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝________.±362解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 9＋a 11a 3＋a 5＝q 6＝14418＝8，∴q 3＝±2 2.∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.16解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，求a 1.解：设{a n }的公比为q (q ≠1)，∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－12.∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3.∴2q 2＝－12＋q ，解得q ＝－12或q ＝1(舍)．∴a 1＝a2q＝1.16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，4q 6＝1，(1＋q )＝－32，＝－18，＝－4＝8，＝－14.故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－18.17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(1)求证：当0<q <1时，{a n }是递减数列．(2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值．(1)证明：∵a n ＝q n －1，∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n －1(q －1)．当0<q <1时有q n －1>0，q －1<0，∴a n ＋1－a n <0，∴{a n }为递减数列．(2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1.∴2q k ＋1－(q k －1＋q k )＝0，即q k －1·(2q 2－q －1)＝0.∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列．(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2.当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2，∴a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，则a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，是首项为12，公差为34的等差数列，∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，∴a n ＝(3n －1)·2n －2.。

考点17 分组求和法一、单选题1．若数列{}n a 的通项公式是()()131nn a n =--，则1210···+a a a ++= A ．15 B ．12 C ．12-D ．15-【试题来源】吉林省蛟河市第一中学校2020-2021学年第一学期11月阶段性检测高二（理） 【答案】A【解析】因为()()131nn a n =--，所以12253a a +=-+=，348113a a +=-+=，5614173a a +=-+=，7820233a a +=-+=，91026293a a +=-+=， 因此1210···+3515a a a ++=⨯=．故选A ． 2．已知数列{}n a 满足11n n a a λ+=+，且11a =，23a =，则数列{}n a 前6项的和为 A ．115 B ．118 C ．120D ．128【试题来源】河南省豫北名校2020-2021学年高二上学期12月质量检测（文） 【答案】C【分析】由题干条件求得2λ=，得到121n n a a +=+，构造等比数列可得数列{}n a 的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列{}n a 前6项的和． 【解析】21113a a λλ=+=+=，则2λ=，可得121n n a a +=+，可化为()1121n n a a ++=+，有12nn a +=，得21n n a =-，则数列{}n a 前6项的和为()()6262122226612012⨯-+++-=-=-．故选C ．3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a n +a n +1＝2n （n ∈N *），则S 2020＝A ．2020223-B ．202022 3+C ．202122 3-D ．202122 3+【试题来源】河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）（文） 【答案】C【分析】根据递推公式a n +a n +1 ＝2n （n ∈N *）的特点在求S 2020时可采用分组求和法，然后根据等比数列的求和公式即可得到正确选项． 【解析】由题意，可知2020122020123420192020()()()S a a a a a a a a a =+++=++++++132019222=+++2021223-=．故选C ． 4．定义：在数列{}n a 中，0n a >，且1n a ≠，若1n an a +为定值，则称数列{}n a 为“等幂数列”．已知数列{}n a 为“等幂数列”，且122,4,n a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则2009S 为 A ．6026 B ．6024 C ．2D ．4【试题来源】山西省长治市第二中学2019-2020学年高一下学期期末（文） 【答案】A【分析】根据数列新定义求出数列的前几项，得出规律，然后求和．【解析】因为122,4a a ==，所以334242a a a ==，32a =，4216a =，44a =，所以212n a -=，24n a =，*n N ∈，2009(24)100426026S =+⨯+=．故选A ． 【名师点睛】本题考查数列的新定义，解题关键是根据新定义计算出数列的项，然后寻找出规律，解决问题． 5．数列111111,2,3,4,,248162n n +++++的前n 项和等于 A ．21122n n n +-++B ．2122n n n++C ．2122n n n +-+D ．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高一6月月考（期末适应性） 【答案】A 【解析】因，故，故选A ．6．已知一组整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足130m m a a +++=，其中m 为正整数，若12a =，则这组数前50项的和为 A ．-50 B ．-73 C ．-75D ．-77【试题来源】四川省自贡市旭川中学2020-2021学年高一上学期开学考试 【答案】C【分析】先利用已知条件写出整数列的前五项，得到其周期性，再计算这组数前50项的和即可．【解析】因为130m m a a +++=，12a =，所以2130a a ++=，得25a =-；3230a a ++=，得32a =-；4330a a ++=，得41a =-；5430a a ++=，得52a =-，由此可知，该组整数从第3项开始，以-2，-1，-2，-1，…的规律循环， 故这组数的前50项和为()()25212475+-+--⨯=-．故选C ．7．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，23a =，23n n a a +=，则2020S = A ．1010232⨯-B ．101023⨯C ．2020312-D ．1010312+【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末 【答案】A【分析】利用递推关系得出数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，对2020S 进行分组求和． 【解析】因为11a =，23a =，23n n a a +=，所以数列{}n a 的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，且仅比均为3，所以101010102020132019242020133(13)()()1313S a a a a a a --=+++++++=+--1010232=⨯-．故选A ．【名师点睛】本题考查等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，考查分组求和法，解题时注意对递推式23n n a a +=的认识，它确定数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，而不是数列{}n a 成等比数列．8．已知数列{(1)(21)}n n -+的前n 项和为n S ，*N n ∈，则11S = A ．13- B ．12- C ．11-D ．10-【试题来源】山东省青岛胶州市2019-2020学年高二下学期期末考试 【答案】A【分析】本题根据数列通项公式的特点可先求出相邻奇偶项的和，然后运用分组求和法可计算出11S 的值，得到正确选项．【解析】由题意，令(1)(21)nn a n =-+，则当n 为奇数时，1n +为偶数， 1(21)[2(1)1]2n n a a n n ++=-++++=，111211S a a a ∴=++⋯+ 123491011()()()a a a a a a a =++++⋯+++222(2111)=++⋯+-⨯+2523=⨯-13=-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查正负交错数列的求和问题，考查了转化与化归思想，整体思想，分组求和法，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，13nn n a a +=，那么100S 的值为A ．()50231-B ．5031-C ．5032-D ．50342-【试题来源】吉林省四平市公主岭范家屯镇第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试 【答案】A【分析】根据题中条件，得到23n na a +=，推出数列{}n a 的奇数项和偶数项都是成等比数列，由等比数列的求和公式，分别计算奇数项与偶数项的和，即可得出结果．【解析】因为11a =，13nn n a a +=，所以23a =，1123n n n a a +++=，所以1213n n n n a a a a +++=，即23n na a +=，所以135,,,a a a ⋅⋅⋅成以1为首项、3为公比的等比数列，246,,,a a a ⋅⋅⋅也成以3为首项、3为公比的等比数列，所以()()()5050100139924100313131313Sa a a a a a --=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+--505050313532322-+⋅-==⋅-．故选A ．【名师点睛】本题主要考查等比数列求和公式的基本量运算，考查分组求和，熟记公式即可，属于常考题型．10．已知数列{}n a 满足12321111222n n a a a a n -++++=，记数列{2}n a n -的前n 项和为n S ，则n S =A ．2222nn n--B ．22122nn n---C ．212222n n n +--- D ．2222nn n--【试题来源】河北省秦皇岛市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】C【分析】利用递推关系求出数列{}n a 的通项公式，然后利用等差数列和等比数列的前n 项和公式进行求解即可．【解析】因为12321111(1)222n n a a a a n -++++=，所以有11a =， 当2,n n N *≥∈时，有1231221111(2)222n n a a a a n --++++=-，(1)(2)-得，111122n n n n a a --=⇒=，显然当1n =时，也适合，所以12()n n a n N -*=∈，令 2n n a n b -=，所以2n n b n =-，因此有：2323(21)(22)(23)(2)(2222)(123)n n n n S n =-+-+-++-=++++-++++22112(12)(1)222 2.1222222n n n n n n n n n ++-+=-=---=----故选C.【名师点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，考查了数学运算能力．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，则n S =A ．2122n n ++-B ．212n n ++C ．22n -D ．22n n +【试题来源】四川省仁寿第二中学2020-2021学年高三9月月考（理） 【答案】A【分析】根据已知条件求得n a ，利用分组求和法求得n S【解析】因为(),n P n a 为函数221x y x =+-图象上的一点，所以()212nn a n =-+，则()()121212322121321222nnn S n n =++++⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()()212121212nn n -+-=+-1222n n +=+-．故选A ．12．数列112、134、158、1716、的前n 项和n S 为A ．21112n n -+-B ．2122n n +-C ．2112n n +-D ．21122n n -+-【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期线上学习质量检测 【答案】C【分析】归纳出数列的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用分组求和法可求得n S ． 【解析】数列112、134、158、1716、的通项公式为1212nn a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以，2341111113572122222n n S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()231111211111221352112222212n n n n n ⎛⎫- ⎪+-⎛⎫⎝⎭=++++-+++++=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭-2112n n =+-．故选C ．13．若数列{}n a 的通项公式是1(1)(32)n n a n +=-⋅-，则122020a a a ++⋯+=A ．-3027B ．3027C ．-3030D ．3030【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试 【答案】C【分析】分组求和，结合等差数列求和公式即可求出122020a a a ++⋯+． 【解析】12202014710...60556058a a a ++⋯+=-+-++-()()101010091010100917...6055410...60551010610104622⨯⨯⎛⎫=+++-+++=+⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭3030=-．故选C ．14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=A ．10B ．145C ．300D ．320【试题来源】山西省太原市2021届高三上学期期中 【答案】C【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解．【解析】因为129a =-，()*13n n a a n N +=+∈，所以数列{}n a 是以29-为首项，公差为3的等差数列，所以()11332n a a n d n =+-=-，所以当10n ≤时，0n a <；当11n ≥时，0n a >；所以()()12201210111220a a a a a a a a a +++=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+1101120292128101010103002222a a a a ++--+=-⨯+⨯=-⨯+⨯=．故选C ． 15．数列{}n a 的通项公式为2π1sin 2n n a n =+，前n 项和为n S ，则100S = A ．50 B ．-2400 C ．4900-D ．9900-【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（理） 【答案】C【分析】由πsin2n y =的周期为4，可得22222210010013579799S =+-+-+⋅⋅⋅+-，利用并项求和可得解．【解析】2111a =+，21a =，2313a =-，41a =，…，考虑到πsin2n y =的周期为4， 所以()222222100100135797991002135799S =+-+-+⋅⋅⋅+-=-⨯++++⋅⋅⋅+(199)50100249002+⨯=-⨯=-．故选C ．16．已知{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，则2019S 的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】广东省广州市增城区增城中学2020-2021学年高二上学期第一次段考 【答案】C【分析】由2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，结合题设条件，推得11n n a a -+=，进而求得2019S 的值，得到答案．【解析】由题意，当2n ≥时，可得1n n n S S a -=-，因为12n n a S n -+=，所以2()n n n S a a n +-=，即2n n S a n =+，当2n ≥时，1121n n S a n --=+-，两式相减，可得121n n n a a a -=-+，即11n n a a -+=， 所以2345671,1,1,a a a a a a +=+=+=，所以()()()12345201820120991201911110102a a a a a a a S -=+++++++=+⨯=．故选C ． 17．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人 A ．225 B ．255 C ．365D ．465【试题来源】山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末月考 【答案】B【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【解析】当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以13291a a a ==⋅⋅⋅==， 2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=，故选B 18．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为 A ．1348 B ．1358 C ．1347D ．1357【试题来源】江苏省镇江市八校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】C【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案.【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+=，故选C. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，当2n ≥时，12n n a S n -+=，，则S 2019的值为 A ．1008 B ．1009 C ．1010D ．1011【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中考前热身 【答案】C【分析】由2n ≥时，12n n a S n -+=，得到121n n a S n ++=+，两式相减，整理得()112n n a a n ++=≥，结合并项求和，即可求解．【解析】当2n ≥时，12n n a S n -+=，①，可得121n n a S n ++=+，②， 由②－①得，112()1n n n n a a S S +--+-=，整理得()112n n a a n ++=≥， 又由11a =，所以20191234520182019()()()1010S a a a a a a a =+++++++=．故选C ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =． 则正确的个数为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）（文）试卷 【答案】D【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断． 【解析】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确．故选D.21．已知正项数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且当*2,n n N ≥∈时，2n a =，数列()1cos 12n n n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前64项和为 A ．240 B ．256 C ．300D ．320【试题来源】重庆市第一中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】D【分析】由题意结合数列n a 与n S 2-=，由等差数列的性质即可得21n =-，进而可得当2n ≥时，88n a n =-，结合余弦函数的性质、分组求和法可得()()()642664648264T a a a a a a --=+++⋅⋅⋅+-，即可得解．【解析】由题意，当*2,n n N ≥∈时，12n n n S a S -==-，即2=，由0n S >2=，所以数列1=，公差为2的等差数列，()12121n n =+-=-，所以当2n ≥时，()222121188n a n n n ==-+--=-⎡⎤⎣⎦，设数列()1cos12nn n a π⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为数列n T ，所以该数列前64项的和为 164234234cos 1cos 1cos 1cos 12222T a a a a ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅++⋅++-⋅++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6464cos 12a π⎛⎫+⋅⋅⋅+⋅+ ⎪⎝⎭ ()()()262642664624486464a a a a a a a a a a =-+-⋅⋅⋅-+=+++⋅⋅⋅--+-641616320=+⨯=．故选D ．【名师点睛】本题考查了数列n a 与n S 的关系、等差数列的判断及性质的应用，考查了分组求和法求数列前n 项和的应用，属于中档题． 22．数列{}n a 的前n 项和为n S ，项n a 由下列方式给出1121231234,,,,,,,,,,2334445555⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若100k S ≥，则k 的最小值为 A ．200 B ．202 C ．204D ．205【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测 【答案】C【分析】首先观察数列中项的特征，先分组求和，之后应用等差数列求和公式，结合题中所给的条件，建立不等关系式，之后再找其满足的条件即可求得结果． 【解析】11212312112312334442222n n S n nn --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1)1004n n -=≥．所以(1)400n n -≥，21n ≥．而当20n =时，95S =，只需要125212121m++⋅⋅⋅+≥，解得14m ≥． 所以总需要的项数为1231914204+++⋅⋅⋅++=，故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列求和公式，分组求和法，属于中档题目．23．已知数列{} n a 中，10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和为A ．10311102-+B ．1131902-+C ．1031902-+D ．11311102-+【试题来源】福建省莆田市第二中学2020-2021学年高二10月阶段性检测 【答案】C【分析】根据n 为奇数时，22n n a a +-=；n 为偶数时，23n n a a +=，得到数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列；所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列；然后分别利用等差数列和等比数列前n 项和求解．【解析】因为10a =，21a =，且当n 为奇数时，22n n a a +-=；当n 为偶数时，23n n a a +=，则此数列的前20项的和：数列{}n a 中所有奇数项构成以0为首项，以2为公差的等差数列； 数列{}n a 中所有偶数项构成以1为首项，以3为公比的等比数列； 所有()()2013192420......S a a a a a a =+++++++()()10113101012100213⨯-+=⨯++-1031902-=+，故选C ． 24．已知数列{}n a 的通项公式为2(1)n n a n =-，设1n n n c a a +=+，则数列{}n c 的前200项和为 A ．200- B ．0 C ．200D ．10000【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一下学期期中（理）【答案】A【分析】利用分组求和法及等差数列求和公式求解． 【解析】记数列{}n c 的前200项和为n T ，122001223199200200201n T c c c a a a a a a a a =++=++++++++123419920012012[()()()]a a a a a a a a =++++++-+()()()2222[41169200199]1201=-+-++-+-22[3711399]1201=⨯+++++-()2100339921201402004040112002+=⨯+-=-+=-．故选A ．25．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，记n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，且存在*k N ∈，使得10k S +=成立，则 A ．10a d > B ．10a d < C ．1a d >D ．1a d <【试题来源】浙江省浙考交流联盟2020-2021学年高三上学期8月线上考试 【答案】B【分析】由题意按照k 为奇数、k 为偶数讨论，利用并项求和法可得1k S +，转化条件得存在*k N ∈且k 为偶数时，102ka d --=，即可得解．【解析】因为等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠，n S 为数列(){}1nn a -⋅的前n 项和，所以当*k N ∈且k 为奇数时，112341k k k S a a a a a a ++=-+-++⋅⋅⋅-+()()()12341102k k k a a a a a a d ++=-++-++⋅⋅⋅+-+=≠； 当*k N ∈且k 为偶数时，1123411k k k k S a a a a a a a +-+=-+-++⋅⋅⋅-+-()()()()1234111122k k k k ka a a a a a a d a kd a d -+=-++-++⋅⋅⋅+-+-=-+=--； 所以存在*k N ∈且k 为偶数时，102k a d --=即102ka d =-≠，当2k =时，1a d =-，此时1a d =，故排除C 、D ；所以1a 与d 异号即10a d <，故A 错误，B 正确．故选B ． 26．已知函数()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++，则1232020a a a a ++++的值为A ．4040B ．4040-C ．2020D ．2020-【试题来源】四川省宜宾市叙州区第一中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文） 【答案】A【分析】由题意得2222(1)sin(1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++，从而可求出11a =，222232018201920203,,2019,2021a a a a a ==-⋅⋅⋅==-=，然后通过分组求和可得答案．【解析】因为()2*()sin2n f n n n N π=∈，且()(1)n a f n f n =++， 所以2222(1)sin (1)sin sin (1)cos 2222n n n n n a n n n n ππππ+=++=++， 所以11a =，222223452018201920203,5,,2019,2021a a a a a a a ==-==⋅⋅⋅==-=，所以1232020a a a a ++++13520192462020()()a a a a a a a a =+++++++++22222222222[(13)(57)(20172019)][(35)(79)(20192021)]=-+-+⋅⋅⋅+-+-++-++⋅⋅⋅+-+2(135720172019)2(35720192021)=-++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++10102020101020242222⨯⨯=-⨯+⨯1010202010102024=-⨯+⨯4040=，故选A.27．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，*122(3,)n n n a a a n n N --=+≥∈，设211(2)(2)n n n b a a n n --=-≥，则数列{}n b 的前40项的和为A ．860B ．820C ．820-D ．860-【试题来源】河南省开封市河南大学附属中学2020-2021学年高二9月质检 【答案】A【分析】本题先对数列{}n a 的递推公式进行转化可发现数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列，通过计算出数列{}12n n a a --的通项公式可得1n b -的表达式，进一步可得数列{}n b 的通项公式，最后在求和时进行转化并应用平方差公式和等差数列的求和公式即可得到前40项的和．【解析】由题意，可知当3n ≥时，122n n n a a a --=+，两边同时减去12n a -，可得112112222(2)n n n n n n n a a a a a a a -------=+-=--，2123211a a -=-⨯=，∴数列{}12n n a a --是以1为首项，1-为公比的等比数列， 11121(1)(1)n n n n a a ---∴-=⋅-=-，*(2,)n n ≥∈N ，21211(2)(1)n n n n b a a n n ---∴==-⋅-，故2(1)(1)n n b n ⋅=-+，令数列{}n b 的前n 项和为n T ，则4012343940T b b b b b b =++++⋯++22222223454041=-+-+-⋯-+222222[(23)(45)(4041)]=--+-+⋯+-[(23)(45)(4041)]=--+-+-⋯-+23454041=++++⋯++40(241)2⨯+=860=．故选A ．【名师点睛】本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，定义法，平方差公式，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．28．在数列{}n a 中，122,2a a ==，且11(1)(*),nn n a a n N +-=+-∈则100S =A ．5100B ．2600C ．2800D ．3100【试题来源】河南省洛阳市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】A【分析】转化条件为22n n a a +-=，进而可得21k a -，2k a ，由分组求和法结合等差数列的前n 项和公式即可得解．【解析】因为11(1)(*)n n n a a n N +-=+-∈，所以1211(1)n n n a a +++-=+-，所以()()122121n n n n a a ++-=+--+=，因为122,2a a ==，所以()211212k a a k k -=+-=，()22212k k a k a =+-=，*k N ∈，所以()()100123499100139924100S a a a a a a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()2100241002410025051002+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=⨯⨯=．故选A ． 【名师点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了分组求和法的应用及转化化归思想，属于中档题．29．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为A ．20192020-B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）（理） 【答案】C【分析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代入化简n c ，最后利用分组求和法求结果． 【解析】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=， 因为0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，首项为1， 所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==，所以()()21111121n n n n na c s n n +⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项的和11111111202011223342020202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选C ． 30．若数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，则满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值是 A ．4B ．5C ．6D ．7【试题来源】山西省运城市2021届高三（上）期中（理） 【答案】B【分析】求得1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，利用数列的单调性可求得满足11222021nn c c c ++⋅⋅⋅+<的n 的最大值．【解析】数列{}n a 的通项公式为21nn a =-，在一个n 行n 列的数表中，第i 行第j 列的元素为()1,2,,,1,2,,ij i j i j c a a a a i n j n =⋅++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， 所以()()2121212121iji j i jij i j i j c a a a a +=⋅++=--+-+-=-．令1122n nn S c c c =+++，则()102,n n nn S S c n n N *--=>≥∈，所以，数列{}n S 为递增数列，当11222021nn c c c +++<时，所有的元素之和为246212121212021n n n S +=-+-+-++-<，当4n =时，24684222243362021S =+++-=<， 当5n =时，246810522222513592021S =++++-=<， 当6n =时，246810126222222654542021S =+++++-=>， 故n 的最大值为5，故选B ．【点评】关键点【名师点睛】本题考查数列不等式的求解，解题的关键在于求出1122nn c c c ++⋅⋅⋅+关于n 的表达式，在求解数列不等式时，要充分结合数列的单调性求解．31．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用．若将此数列{}n a 的各项除以2后的余数构成一个新数列{}n b ，设数列{}n b 的前n 项的和为n T ；若数列{}n a 满足：212n n n n c a a a ++=-，设数列{}n c 的前n 项的和为n S ，则20202020T S +=A ．1348B ．1347C ．674D ．673【试题来源】浙江省宁波市慈溪市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】B【分析】根据题意写出数列{}n a 的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得2020T ，再计算1n nc c +，结合等比数列的通项公式和求和公式，可得2020S ，进而得到所求和． 【解析】“兔子数列”的各项为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯，∴此数列被2除后的余数依次为1，1，0，1，1，0，1，1，0，⋯⋯，即11b =，21b =，30b =，41b =，51b =，60b =，⋯⋯， ∴数列{}n b 是以3为周期的周期数列，20201231673()673211347T b b b b ∴=+++=⨯+=，由题意知22212112221121222121212()()1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c a a a a a a a a a a a c a a a a a a a a a +++++++++++++++++-+---====----， 由于212131c a a a =-=-，所以(1)n n c =-，所以2020(11)(11)(11)0S =-++-++⋯+-+=． 则202020201347T S +=．故选B.【名师点睛】确定数列数列{}n b 是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列(1)n n c =-可以利用分组求和，是解决问题的关键，属于中档题． 32．已知函数()()()22,,n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩当为奇数时当为偶数时且()(1)n a f n f n =++，则121100a a a a ++++等于A ．0B ．100C ．-100D ．10200【试题来源】广东省普宁市2020-2021学年高二上学期期中质量测试 【答案】B【分析】先求出通项公式n a ，然后两项一组，即可求解数列的前100项的和【解析】()(1)n a f n f n =++，∴由已知条件知，2222(1),(1),n n n n a n n n ⎧-+=⎨-++⎩为奇数为偶数，即()21,21,n n n a n n ⎧-+=⎨+⎩为奇数为偶数，(1)(21)n n a n ∴=-+，12(n n a a n +∴+=是奇数），123100123499100()()()2222100a a a a a a a a a a ∴+++⋯+=++++⋯++=+++⋯+=故选B ．【名师点睛】解答本题的关键是求出数列{}n a 的通项(1)(21)n n a n =-+，即得到12(n n a a n ++=是奇数）．33．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是 A ．8 B ．9 C ．10D ．11【试题来源】山东省菏泽市2021届高三上学期期中考试（A ） 【答案】A【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{}n c 的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{}n c 的前n 项和n T ，验证得答案．【解析】由题意得323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2nn +-()212312n n ⨯-=⨯-- 1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<；当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8．故选A ．【名师点睛】本题解题的关键是求出数列{}n c 的通项公式，利用分组求和求出数列{}n c 的前n 项和n T ．34．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且23n n b π=，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2020S =A ．1B ．12C ．12-D ．-1【试题来源】山西省孝义市第二中学校2019-2020学年高一下学期期末 【答案】C【分析】由题设条件以及等差数列的性质得出2n a n =，进而得出2cos3n n b n π=，利用诱导公式求出32313,,k k k b b b --，即可求得2020S ． 【解析】1(1)(1)n n na n a n n +=+++，111n na a n n+∴-=+， ∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差与首项都为1，21(1)n n a n a n n ∴=+-⇒=，2cos3n n b n π∴=，3241(32)cos 2(32)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， 3121(31)cos 2(31)32k b k k k ππ-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，33cos 23k b k k k π==， 3231332k k k b b b --+∴=+，20203674212020(36742)101022b b ⨯-=-⨯-=-=-=， ()()()1234562017201820192020202031673101022b b b b b b b b b S b ++++++++++==⨯-=-故选C ．35．设()f n ()*n ∈N 的整数， 如()()()()()11,21,324252f f f f f =====，，，若正整数m 满足()()()()11114034123f f f f m ++++=，则m = A ．20162017⨯ B ．20172018⨯ C ．20182019⨯D ．20192020⨯【试题来源】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二上学期期末（理） 【答案】B【解析】设()f x j =，,*x j N ∈，n 是整数，则221124n n n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭不是整数，因此任意正整数的正的平方根不可能是1()2n n Z +∈形式，所以1122j j -<<+，221144j j x j j -+<<++， 因为,*x j N ∈，所以221j j x j j -+≤≤+，故()f x j =时，2221,2,,x j j j j j j =-+-++共2j 个，设222111(1)(2)()p a f j j f j j f j j =+++-+-++，则22p ja j==，*p N ∈， 由题意()()()()11114034123f f f f m ++++=，403422017=⨯， 所以()()()()1111111111123(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f m f f f f f f ⎡⎤⎡⎤++++=+++++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1114034(220171)(220172)()f m f m f m ⎡⎤+++=⎢⎥-⨯+-⨯+⎣⎦， 故()2017f m =，m 为方程2017f =的最大整数解， 所以22017201720172018m =+=⨯．故选B ．【名师点睛】本题主要考查数列与函数的关系、数列的应用，解题关键是设()f x j =，,*x j N ∈，确定x 的范围，得出x 的个数，然后计算出满足()f x j =的所有1()f x 的和为2． 二、多选题1．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）．已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S ．下列结论正确的有A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 【试题来源】湖南省长沙市第一中学2020-2021学年高三上学期月考（三） 【答案】ACD【解析】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的，故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．2．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）．已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S ．下列结论正确的有A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【试题来源】江苏省扬州市仪征中学2020-2021学年高二上学期期中模拟（2） 【答案】ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【解析】因为a 11＝2，a 13＝a 61+1，所以2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， 所以a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，所以a 67＝17×36，所以S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（）12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1），故选ACD ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题． 三、填空题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112a =-，且()1222n n a a n N n n *++=∈+，则10S =__________．【试题来源】广西桂林市第十八中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】1011【分析】根据题中条件，由裂项的方法得到1112n n a a n n ++=-+，根据裂项相消与并项求和的方法，即可得出结果． 【解析】因为()122211222n n a a n n n n n n ++===-+++，则()()()()()1012345678910S a a a a a a a a a a =+++++++++11111111113355779911⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11011111=-=．2．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若11(1)(2)n n n na a +⎡⎤=+-+-⎣⎦（*n N ∈），则100S =__________．【试题来源】江苏省徐州市沛县2020-2021学年高三上学期第一次学情调研【答案】101223- 【分析】分n 为奇数、n 为偶数两种情况讨论，可得数列{}n a 的特点，然后可算出答案． 【解析】当n 为奇数时，()12nn a +=-，则()122a =-，()342a =-，，()991002a =-，当n 为偶数时，()12222nn n n n a a a +=+-=+，则232220a a =+=，454220a a =+=，，989998220a a =+=，又10a =，所以10110024100223S a a a -=+++=． 3．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n n a a a +=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =__________． 【试题来源】安徽省亳州市涡阳县第四中学2019-2020学年高一下学期第二次质量检测（理） 【答案】122n n +--【分析】根据题中条件，得到11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，判定数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，求出121n na =-，由分组求和的方法，即可求出结果． 【解析】由12n n n a a a +=+得12121n n n n a a a a ++==+，所以11211221n n n a a a +⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭， 因此数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为公比的等比数列，又11a =，所以1112a +=，因此111222n n n a -+=⨯=，所以121n n a =-，因此()()2121222 (22212)n nn n n n S n +-=+++-=-=---．故答案为122n n +--．【名师点睛】求解本题的关键在于，根据12n n n a a a +=+，由构造法，得到111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法求解即可． 4．数列{}n a 的通项公式22cos4n n a n n π=-，其前n 项和为n S ，则2021S =__________． 【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题 【答案】1010．【分析】由于22cos(1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，可得数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项，从而可求得其结果 【解析】因为22cos (1cos )cos 422n n n n a n n n n n πππ=-=+-=，所以数列{}n a 的所有奇数项为0，前2021项的所有偶数项共有202010102=项， 所以2021246820182020S a a a a a a =++++⋅⋅⋅++246820182020=-+-+-⋅⋅⋅-+(24)(68)(20182020)=-++-++⋅⋅⋅+-+1010210102=⨯=．故答案为1010 5．2020年疫情期间，某医院30天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a =，且满足21(1)nn n a a +-=--，则该医院30天内因患新冠肺炎就诊的人数共有__________．【试题来源】山东省聊城市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】255【分析】根据题目所给递推关系式，求得数列{}n a 项的规律，由此进行分组求和，求得数列前30项的和．【解析】由于()211nn n a a +-=--，当n 为偶数时，20n na a +-=，因此前30项中的偶数项构成常数列，各项都等于22a =，共有15项，和为15230⨯=；当n 为奇数时，22n n a a +-=；又11a =，所以前30项中的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，共有15项，和为151415122252⨯⨯+⨯=． 故30天的总人数为30225255+=．故答案为255． 6．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*1cos2n n a n n N π=+⋅∈，则2020S =__________．【试题来源】上海市复兴高级中学2021届高三上学期期中 【答案】3030【分析】根据题意，先确定cos2n π的周期，再求出一个周期的和，即可得出结果． 【解析】由()4coscos 2cos 222n n n ππππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，知cos 2n π的周期为4，又11cos12a π=+=，212cos 12a π=+=-， 3313cos12a π=+=， 414cos 214a π=+=+，则1234426a a a a +++=+=，所以20202020630304S =⨯=．故答案为3030．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-．则数列{}n S 的前n 项和n T =__________． 【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期适应性月考（四） 【答案】122n n +--【分析】通过前n 项和n S 与n a 的关系式以及等比数列的定义得出{}n a 及{}n S 的表达式，进而利用分组求和即可．【解析】由21n n S a =-，得111211a a a =-⇒=，由21n n S a =-，有1121(2)n n S a n --=-≥，两式相减，11222(2)n n n n n a a a a a n --=-⇒=， 故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，12n na ，122112nn n S -==--，()12122212n n n T n n +-∴=-=---．8．设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 的极大值点从小到大依次记为1a 、2a 、3a 、、n a 、，并记相应的极大值为1b 、2b 、3b 、、n b 、，则数列{}n n a b +前9项的和为__________．【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考 【答案】11032【分析】求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N*-∈上的解析式，利用导数求出函数()y f x =在区间[)()1,n n n N *-∈上的极大值点与极大值，可得出数列{}n n a b +的通项公式，再利用分组求和法可求得数列{}n n a b +的前9项的和． 【解析】函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，则()()21=-f x f x ，且当[)0,1x ∈时，()sin f x x π=，则当[)()1,x n n n N *∈-∈，()[)10,1x n --∈，()()()()()2112122212sin 1n n f x f x f x f x n x n ππ--=-=-==--=--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()12cos 1n f x x n πππ-'=--⎡⎤⎣⎦，当[)()1,x n n n N*∈-∈时，()[)10,1x n --∈，则()[)10,x n πππ--∈⎡⎤⎣⎦，令()0f x '=，可得()12x n πππ--=，解得12x n =-， 当112n x n -<<-时，()0f x '>，当12n x n -<<时，()0f x '<． 所以，函数()y f x =在12x n =-处取得极大值，即1122n n b f n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，又12n a n =-，1122n n n a b n -∴+=-+，因此，数列{}n n a b +的前9项的和991199121103222122S ⎛⎫+-⨯ ⎪-⎝⎭=+=-． 【名师点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题．9．在数列{}n a 中，若121,(1)2nn n a a a +=+-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S =__________．【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】2550【分析】当n 为奇数时，可得数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，可得偶数项的特征，将所求问题转化为奇数项和偶数项求和即可．【解析】因为121,(1)2nn n a a a +=+-=，所以当n 为奇数时，22n n a a +-=，即数列{}n a 的奇数项为公差为2的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a ++=，所以135995049501225002a a a a ⨯++++=⨯+⨯=， ()()()()24681012485022550a a a a a a a a ++++++++=⨯=，所以1002500502550S =+=，故答案为2550．【名师点睛】（1）得到数列{}n a 的奇数项为公差是2的等差数列； （2）得到数列{}n a 的偶数项满足22n n a a ++=．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21122n n a a a =＋，=+，则5S 的值为__________． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （理） 【答案】732【解析】122n n a a +=+，()1222n n a a +∴+=+，故数列{}2n a +是以2为公比，以223a +=为第二项的等比数列， 故2232n n a -+=⋅，故2322n n a -=⋅-，()5531273225122S -∴=-⨯=-，故答案为732. 【名师点睛】1n n a pa q +=+(1,0p q ≠≠的常数)递推关系求通项，构造等比数列是解题关键，属于基础题． 11．设数列{}n a 是以4为首项，12为公比的等比数列，其前n 项和为{}n S ，则{}n S 的前n 项和为__________．【试题来源】江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试 【答案】3288n n -+-【分析】先根据题意得382nn S -=-，由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，进而利用分组求和法求和即可得答案．【解析】由等比数列的前n 项和公式得()1314112821112n nn na q S q -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===---， 由于数列{}32n-是以4为首项，12为公比的等比数列，。

分组求和法1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝( B ) A.2 019×2 0202 B ．2 021×2 0202 C.2 019×2 0192D ．2 020×2 0202 [解析] 由a n ＝n 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋12π得，当n 为奇数时，a n ＝－n 2，当n 为偶数时，a n ＝n 2，故S n ＝－12＋22－32＋42＋…－2 0192＋2 0202＝1＋2＋3＋4＋…＋2 019＋2 020＝2 0201＋2 0202＝2 020×2 0212.故选B. 2.(2024·新高考全国Ⅰ卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数.(1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和.[解析] (1)因为b n ＝a 2n ，所以b 1＝a 2＝a 1＋1＝2，b 2＝a 4＝a 3＋1＝a 2＋2＋1＝a 1＋1＋3＝a 1＋4＝5.由题意得a 2n ＋1＝a 2n ＋2，a 2n ＋2＝a 2n ＋1＋1，所以a 2n ＋2＝a 2n ＋3，即b n ＋1＝b n ＋3，所以数列{b n }是以2为首项，3为公差的等差数列，所以b n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1.(2)当n 为奇数时，a n ＝a n ＋1－1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝[(a 2－1)＋(a 4－1)＋…＋(a 20－1)]＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝2(a 2＋a 4＋…＋a 20)－10，由(1)可知a 2＋a 4＋…＋a 20＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝10×2＋10×92×3＝155， 故S 20＝2×155－10＝300，即{a n }的前20项和为300.名师点拨：分组转化法求和的常见类型1.若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可接受分组求和法求{a n }的前n 项和.2.通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可接受分组求和法求和.【变式训练】1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n (n 2－n )，前n 项和为S n ，则满足S 2n ＋1≤－2 023的最小正整数n 的值为( D )A.28B ．30C ．31D ．32 [解析] 用分组(并项)求和法求得和S 2n ＋1，然后解不等式S 2n ＋1<－2 023，结合n 是正整数得解.由题意，得S 2n ＋1＝(22－12)＋(42－32)＋…＋[(2n )2－(2n －1)2]－(2n ＋1)2－[－1＋2－3＋4－5＋…＋2n －(2n ＋1)]＝(2－1)×(1＋2)＋(4－3)×(3＋4)＋…＋[2n －(2n －1)][(2n －1)＋2n ]－(2n ＋1)2－[n －(2n ＋1)]＝1＋2＋3＋4＋…＋2n －(2n ＋1)2＋n ＋1＝2n 1＋2n 2－(2n ＋1)2＋n ＋1＝－2(n 2＋n )，由S 2n ＋1≤－2 023，得－2(n 2＋n )≤－2 023，即n 2＋n ≥2 0232，结合n ∈N *，解得n ≥32，故n 的最小值为32.故选D. 2.(2024·信阳模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( C )A.1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124[解析] 由题意知，数列{a 2n }是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a 2n －1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{a n }的前20项和为1×1－2101－2＋10×1＋10×92×2＝1 123.。

高效记忆法快速掌握教师资格证的考点教师资格证考试是教师从业者非常重要的一项资格认证，对于备考者来说，高效地记忆考点是提高学习效率，快速掌握考试内容的关键。

本文将介绍一些高效记忆法，帮助您快速掌握教师资格证的考点。

一、分组记忆法分组记忆法是一种将相关信息分成不同组别并进行归类记忆的方法，可以帮助记忆者建立清晰的信息框架，更好地理解和记忆知识点。

在备考教师资格证时，可以将考点按照不同学科、章节或知识点进行分组，并在每个组别中进行详细的记忆。

以语文学科为例，可以将诗词、文言文、现代文、语言文字知识等作为不同的分组，然后在每个分组内进行深入的学习和记忆。

这种分组记忆法可以帮助您更好地理解和掌握每个学科的考点，并提高信息的关联性和记忆效果。

二、联想记忆法联想记忆法是利用联想和想象来帮助记忆，通过将要记忆的内容与已有的知识、形象或场景进行关联，加深记忆印象。

这种方法在记忆抽象的概念或基础性知识点时非常有效。

以数学学科为例，假如要记忆直角三角形的三边关系，可以想象一个直角三角形的图形，并通过联想“这个直角三角形是一个直到对角处的小路，对角是斜边，其他两边是直路”，将概念形象化，更容易记忆。

通过不断构建有趣、明显的联想，可以有效提高记忆效果。

三、串联记忆法串联记忆法是将要记忆的内容串连起来，形成一个逻辑的故事或图景，帮助记忆者建立起记忆之间的连贯性，加深记忆印象。

以历史学科为例，假设要记忆中国古代历史的朝代顺序，可以构建一个故事情节，比如“夏商周，秦汉晋，南朝北朝隋唐，五代十国辽宋金，元明清最后到现在”，通过这个故事串联起不同的朝代顺序，更容易记忆和回忆。

四、音标记忆法音标记忆法是通过利用音标和谐音的特点，将要记忆的内容与音标进行联系，加深记忆印象。

以英语学科为例，假设要记忆英语单词"beautiful"的拼写，可以将"beautiful"分解成"beauty"+"full"，然后通过联想“beauty（美丽）”是个全“full”的词语，帮助记忆词汇的拼写和意义。

人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(原卷版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋42．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)23.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋35.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法()A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝n(2n2＋1)3时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．13.(5分)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为________．14.(5分)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被m整除，则m的最大值为________．15.(15分)已知数列{a n}的前n项和为S n，其中a n＝S nn(2n－1)且a1＝1 3.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．人教版高中数学选择性必修第二册数学归纳法分层作业(解析版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1用数学归纳法证明等式1．(5分)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)时，第一步验证n＝1，左边应取的项是()A．1B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4D解析：当n＝1时，n＋3＝4，故左边应为1＋2＋3＋4.2．(5分)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1(n∈N*)时，等式左边应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1B．(k＋1)2C．(k＋1)4＋(k＋1)22D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2D解析：当n＝k时，等式左边＝1＋2＋…＋k2；当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.故选D．3.(10分)用数学归纳法证明：1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，那么，当n＝k＋1时，1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2.这就是说，当n＝k＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立．知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是___________________________．1 22＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析：当n＝k＋1时，目标不等式为122＋132＋…＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.5.(10分)证明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k<2k.当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1<2k＋1k＋1＝2k k＋1＋1k＋1<(k)2＋(k＋1)2＋1k＋1＝2(k＋1)k＋1＝2k＋1.所以当n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N*都成立．知识点3用数学归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为.25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2解析：当n＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋2＋25×52k＋1＝25(34k＋2＋52k＋1)＋56×34k＋2.7.(10分)用数学归纳法证明：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3能被9整除(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，13＋23＋33＝36能被9整除，所以结论成立；(2)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．则当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋[(k＋3)3－k3]＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除，所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立．由(1)(2)知命题对一切n∈N*都成立．能力提升练能力考点适度提升8.(5分)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＝1－a n＋11－a(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(B)A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a39．(5分)利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是() A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，减少了1k这一项D．以上都不对C解析：当n＝k时，左端为1k＋1k＋1＋1k＋2＋…＋12k；当n＝k＋1时，左端为1k＋1＋1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，对比可知，C正确．10．(5分)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋1时正确D．假设n＝k(k∈N*)时正确，再推n＝k＋2时正确B解析：∵n为正奇数，∴在证明时，应假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推出n＝2k＋1时正确．故选B.11．(5分)对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则当n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法()A ．过程全都正确B ．n ＝1验证不正确C ．假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确D解析：n ＝1的验证及假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用假设作为条件，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证明要求．故选D ．12.(5分)用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________________________________________________________________________．(k ＋1)2＋k 2解析：当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12.当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12，所以等式左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2.13.(5分)用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．2(2k ＋1)解析：令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1).14.(5分)若存在正整数m ，使得f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m 的最大值为________．36解析：f (1)＝36，f (2)＝36×3，f (3)＝36×10，…，猜想m 的最大值为36.15.(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并证明．解：(1)a 2＝S 22×(2×2－1)＝a 1＋a 26，a 1＝13，则a 2＝115，类似地求得a 3＝135.(2)由a 1＝11×3，a 2＝13×5，a 3＝15×7，…，猜想：a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，由(1)可知等式成立．②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，那么，当n ＝k ＋1时，由题设a n ＝S nn (2n －1)，得a k ＝S kk (2k －1)，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，所以S k ＝k (2k －1)a k＝k (2k －1)1(2k －1)(2k ＋1)＝k2k ＋1，S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k2k ＋1.因此，k (2k ＋3)a k ＋1＝k 2k ＋1.所以a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)＝1[2(k ＋1)－1][2(k ＋1)＋1].这就证明了当n ＝k ＋1时命题成立．由①②可知命题对任意n ∈N *都成立．。