高数04

高数第四章大一知识点高等数学是大学中的一门重要的数学课程，作为大一学生，学习高等数学的第四章是我们必须要掌握的知识点。

本文将围绕高等数学第四章的知识点展开论述，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一章节的内容。

第四章是高等数学中的一个重要环节，主要涵盖了导数和微分的内容。

其中，导数是微分学的基础，因此对于第四章，我们首先要理解导数的概念和性质。

导数用来描述函数在某一点上的变化率，表示为f'(x)、dy/dx 或者y'。

在学习导数的过程中，我们需要掌握导数的定义和计算方法。

导数的定义是极限的应用，通过求极限可以得到函数在某一点上的切线斜率。

计算导数的方法有很多，比如常见的有可微性、导数的四则运算、导数与函数的关系等。

这些方法是我们掌握高等数学的基础。

在学习导数的过程中，还要了解导数的几何意义和物理应用。

导数可以用来求函数的极值点、判定函数的单调性和凸凹性，也可以用来求函数的极限和求解最优化问题。

此外，导数在物理学中也有广泛的应用，如速度的求解、曲线运动的分析等。

所以，熟练掌握导数的概念和性质，不仅能够帮助我们理解函数的变化规律，还可以拓展我们对数学在实际问题中的应用。

接下来，我们来讨论微分学的内容。

微分学是导数的应用，主要研究函数的变化、增减及其相关问题。

在微分学中，我们主要学习了微分的概念和计算方法。

微分是函数变化的近似量，表示为df(x)或者dy。

微分可以用来求函数在某一点附近的近似值，也可以用来描述函数的局部变化规律。

微分的计算方法主要有微分法、微分运算法则和微分的几何应用等。

通过研究微分，我们可以更深入地理解函数的变化规律，为后续的数学学习打下坚实的基础。

除了导数和微分的基本概念和计算方法外，第四章还包含了一些重要的知识点，如高阶导数、隐函数求导和参数方程的导数等。

高阶导数可以用来描述函数的变化趋势更加细致的性质，对于函数的整体性质有更深入的了解。

隐函数求导是求解隐函数导数问题的一种方法，可以应用于各种实际问题的求解。

第一章 复数与复变函数（1）1.计算)(1)2;i i i i i -=-=-()122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122())]a bi =+=112224sin )]()(cossin );22i a b i θθθθ=+=++3.设1z=2;z i 试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：121cossin;(cos sin );44266z i z i ππππ=+=+121155[cos()sin()](cos sin );2464621212z z i i ππππππ=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.17.证明：三角形内角和等于π。

证明：有复数的性质得：321321311223arg;arg ;arg ;z z z z z z z z z z z z αβγ---===---1332213112231;z z z z z z z z z z z z ---••=----arg(1)2;k αβγπ∴++=-+(0,);(0,);(0,);απβπγπ∈∈∈(0,3);αββπ∴++∈0;k ∴=;αβγπ∴++=第一章 复数与复变函数（2）7.试解方程()4400z a a +=>。

大一高数数学第4章知识点大一上学期的高数课程，第4章是一个非常重要的章节，内容涉及到了函数的连续性、导数和微分以及相关的应用。

在这一章中，我们将学习如何判断函数的连续性，如何求函数的导数，并且学习了一些常见的求导法则和求导公式。

接下来，我将结合学过的内容，给大家简单回顾一下这一章的主要知识点。

首先，我们来看一下连续性的概念。

在数学上，一个函数在某个点处连续，意味着这个函数在这个点的函数值与极限值相等。

这一点在我们解题时非常重要，因为只有在函数连续的情况下，才能应用后续的求导公式和方法。

我们常用的判断函数连续性的方法有三个：第一个是利用函数在某个点的极限是否存在来判断，第二个是利用函数在某个点的左极限和右极限是否相等来判断，第三个是利用函数在某个点的左极限和右极限是否都存在来判断。

熟练掌握这些方法，对于后续的学习和解题至关重要。

接下来，我们来看一下导数和微分的概念。

在数学中，导数表示了函数在某个点处的变化率，可以理解为函数曲线在这个点处的斜率。

导数的计算方法有很多，常见的有用基本公式、利用求导法则和应用链式法则等。

其中，基本公式主要包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数等，我们需要牢记它们的推导过程和具体的应用。

而求导法则主要包括和差法、积法、商法等，可以简化一些复杂函数的求导过程。

链式法则则用于求解复合函数的导数，将复合函数分成多个函数相乘的形式来求解，非常实用。

除了导数的计算，我们还需要学习导数的一些应用。

其中，最常见的就是求函数的极值。

在求解极值的过程中，我们需要使用一阶导数和二阶导数的概念，通过求导判断函数的增减性和凹凸性，从而求得函数的极值点。

此外，导数还可以用于求解函数的最优化问题，如求解函数的最大值、最小值等。

在这个过程中，我们需要利用导数的性质，结合具体的问题进行分析和求解。

总结一下，大一高数数学第4章的内容主要包括了函数的连续性、导数和微分以及相关的应用。

理解和掌握这些知识点，对于后续的高数学习和解题都非常重要。

高等数学教材四答案完整版第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$，当$n$趋向于无穷时，如果存在实数$a$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么我们称$a$为数列$a_n$的极限，记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。

1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$c$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。

1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$，其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时，$x^n$与$x$同阶无穷小。

2) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$x^n$同阶无穷大（$a>1$，$n$为正整数）。

3) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$b^x$同阶无穷大（$a>1,b>1$）。

第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。

20. 解 f (x )是有任意阶导数的, 它的5阶麦克劳公式为)(!5)0(!4)0(!3)0(!2)0()0()0()(55)5(4)4(32x o x f x f x f x f x f f x f +++'''+''+'+=)(!516!34)1(553x o x b a x b a x b a +--+++--=.要使f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小, 就是要使极限])(!516!341[lim )(lim552405xx o b a x b a x b a x x f x x +--+++--=→→ 存在且不为0. 为此令⎩⎨⎧=+=--0401b a b a , 解之得34=a , 31-=b . 因为当34=a , 31-=b 时,0301!516)(lim5≠=--=→b a x x f x ,所以当34=a ,31-=b 时, f (x )=x -(a +b cos x )sin x 为当x →0时关于x 的5阶无穷小.习题4-11. 求下列不定积分: (1)⎰dx x21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ;解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231.(3)⎰dx x 1;解 C x C x dx x dx x+=++-==+--⎰⎰21211112121.(4)⎰dx x x 32;解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰3313737321031371.(5)⎰dx x x 21;解 C x x C x dx xdx xx+⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252.(6)dx x m n ⎰;解 C x mn mC x mndx x dx x mn m m n m n mn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰gh dh 2(g 是常数);解 C ghC h gdh h gghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121.(10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解 C x x x dx x x xdx x x x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(.(14)⎰+++dx x x x 1133224; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx xx 221;解 ⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx x dx x x dx xx arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx x dx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx x x )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx xdx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe exxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3; 解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532;解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532.(21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x 2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx x dx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx x x xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x 22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx xx x x dx x x xtan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x )11(2;解⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得 xx f y 1)(='=',所以C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C , C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x |+1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？(2)物体走完360m 需要多少时间？ 解 设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2,C t dt t s +==⎰323.因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27. (2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4.证明函数x e 221, e x sh x和e xch x都是xx e xsh ch -的原函数.证明x x xx x x x x xe ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数. 因为(e x sh x )'=e x sh x +e x ch x =e x (sh x +ch x )x xx x x xe e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x +e x sh x =e x (ch x +sh x )x x x x x xe e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e x ch x 是xx e xsh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax ); 解dx = a1 d (ax ).(2) dx = d (7x -3); 解dx =71 d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx =21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2); 解x d x =101 d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=; 解)1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2); 解x 3dx =121 d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解)1( 2 22x xed dxe --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解)23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx =; 解|)|ln 5( 51x d x dx =.(11)|)|ln 53( x d xdx -=;解 |)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx =+;解)3(arctan 31 912x d xdx =+. (13))arctan 1( 12x d x dx -=-;解 )arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-. 解)1( )1( 122x d xxdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5;解 C e x d e dt e x x t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(;解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.(3)⎰-dx x211; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332x dx ;解 C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132.(5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解 C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin;解 ⎰⎰+-==C t t d t dt t t cos 2sin2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan .(8)⎰xx x dx ln ln ln ;解 C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx xx x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d xx x d x +++=++=⎰⎰C x x d x++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d x dx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2.(11)⎰-+dx ee x x 1;解 ⎰-+dx e e x x 1C e de e dx e e x x x x x+=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2;解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x+-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解 C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313;解 ⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω;解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω.(17)⎰dx xx 3cos sin ;解 C x C x x xd dx x x +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ;解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d xx dx x x xx +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解 dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239;解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223.(21)⎰-dx x 1212;解 ⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d xC x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω;解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω.(25)⎰xdx x 3cos 2sin ;解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx x x 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos . (27)⎰xdx x 7sin 5sin ;解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin .(28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅= C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32. (29)⎰-dx xx2arccos 2110;解 C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x)1(arctan;解 C x x d x x dx x dx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解 C xx d x xx dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1;解 C x x x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ; 解 ⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解 ⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令,C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421.(35)⎰-12x x dx ;解 C xC t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或 C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解 C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解 ⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解 C x x C t t dt t tdt t tx x dx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解 ⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt t dt t tdt t tx x dx )2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .(40)⎰-+21x x dx .解 ⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令 C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ;解 C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin . 2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin .4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x xC x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(.5. ⎰xdx x ln 2;解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e x d x e x x x x +-=+-=----⎰)c o s (s i n 21)c o s s i n (21c o s .7. ⎰-dx x e x 2sin 2; 解 因为⎰⎰⎰-----==x x x x de x x e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=xx x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C x x e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx x x 2cos ;解 C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2;解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x xC x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22.12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t t t 2222212121C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx x x x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx xx x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ;解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sinC x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx x x 2cos 22;解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(;解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212 ⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解 ⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1 ⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223 ⎰+---=dx x x x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C xx x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==tt xde t dt e t t x dx e 223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322⎰+-=dt e te e t t t t 6632C e te e t t t t ++-=6632C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解 因为⎰⎰⋅⋅+=dx x x x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx x x x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos ,所以 C x x xx d x ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.22. ⎰xdx e x 2sin .解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2,而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos , 所以 C x x e e x d x e x x x ++-=⎰)2s i n 22(c o s 10121sin 2.习题4-4 求下列不定积分: 1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322; 解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458;解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx x x x x dx x x dx x x x x 22458)1(8⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 131******** C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133; 解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2.5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解 dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21 C x x +++-=11|1|ln 212.7.dx x x )1(12+⎰;解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222. 8. ⎰++))(1(22x x x dx ;解 ⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||lnC x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9.⎰+++)1)(1(22x x x dx;解 dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 2122C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122.10. ⎰+dx x 114; 解 dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222 ⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222)1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dx x x dx x x x x d x x x x dC x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222.11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222,因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x ,而 ⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式⎰⎰+-++-=+])()32()([)1(21)(a x dx n a x x n a a x dx ,得 ⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x ,所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312a r c t a n 32312a r c t a n 3211221112122 C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+xdx 2sin 3;解 ⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13. ⎰+dx x cos 31;解⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222xx x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan2.或 ⎰⎰+⋅++=+du u u u x u dxx 221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122.14. ⎰+dx x sin 21;解⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x++-=312cot 2arctan 32.或 ⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32.15. ⎰++xx dxcos sin 1;解⎰⎰⎰+=+=+=++C x x x d x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12.或 ⎰⎰+⋅+-+++=++du uu uu ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C x C u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16. ⎰+-5cos sin 2x x dx;解 ⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122.或 ⎰⎰+⋅++--+=+-du u u u u ux u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51.17. ⎰++dx x 3111; 解 ⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du u u ux dx x )111(33111111233令C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18. ⎰++dx x x 11)(3;解 C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19. ⎰++-+dx x x 1111;解 ⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(.20. ⎰+4x x dx ;解 ⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42C x x x +++-=)1ln(4244.21. ⎰+-xdx x x 11; 解令u xx =+-11, 则2211uu x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du u u du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|lnC xxx x x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln .22. ⎰-+342)1()1(x x dx.解 令u x x =-+311, 则1133-+=u u x ,232)1(6--=u u dx , 代入得C x x C u du x x dx+-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数): 1. ⎰--x x e e dx ;解 C e e de e dx e e ee dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(;解 C x x dx x dx x dx x x +-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(.3. ⎰-dx x a x 662(a >0);解C a x a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx xx x sin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xx ln ln ; 解 C x x x dx xx x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6. ⎰+dx xxx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x xtan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ;解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212.9. ⎰+)4(6x x dx ; 解C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10. )0(>-+⎰a dx xa xa ;解 ⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a axa +--=22arcsin .11. ⎰+)1(x x dx ;解 C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ;解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解 因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax ax ax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cosdx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax axax ax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 Cbx e a b bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14. ⎰+xe dx 1;解 ⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edxx x )1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15. ⎰-122x xdx ;解 C t tdt tdt t t t tx x xdx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16. ⎰-2/522)(x a dx ;解 ⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t a dt ta tan )1(tan1cos 112444C t a t a ++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17. ⎰+241x xdx ;解 tdt t t tx xxdx2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d ttdt t t sin sin cos sin cos 4243 C t t t d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324C xx xx ++++-=233213)1(.18. ⎰dx x x sin ;解 ⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令 ⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222 ⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2.19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx x x x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx xx x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2.20. ⎰dx x x32cos sin ;解x d x x x x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-==C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctanC x x x +-+=arctan )1(.22. dx xx⎰+sin cos 1;解 C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1.23. ⎰+dx x x 283)1(;解C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283.提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dx n a x x n a a x dx .24. ⎰++dx x x x 234811; 解⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25. ⎰-416xdx ; 解 ⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx )4141(81)4)(4(11622224 C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321.26. dx x x ⎰+sin 1sin ; 解 ⎰⎰⎰-=--=+dx x xx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx xx x ++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xx x ⎰++cos 1sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx xx dx xx x dx x x x 2cos sin 212cos 212cos2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx x x xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x ex23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x e x x x sec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec ⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sinC e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29. ⎰+dx x x x x)(33;解 dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6.30. ⎰+2)1(x e dx ; 解 ⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解 )()(1111222243x x x x x x xx x x xx e e d e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰ C e e x x +-=-)arctan(C x +=)sh 2arctan(.32. ⎰+dx e xe x x2)1(; 解 ⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=xx x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x x xxde e ee x )111(1C e e e x x x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x ++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34. ⎰+dx x x 2/32)1(ln ;解 因为 ⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt ttx dxx 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以 ⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x 111ln )1(ln )1(ln 2222/32C x x xx x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解 ⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令 ⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36. ⎰-dx xx x 231arccos ;解 ⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx xx x x dx xx x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322C x x x x x x x x ++------=3323229232arccos )1(3231arccos 1C x x x x x ++-+--=)6(91arccos )1(131222.37. ⎰+dx xx sin 1cot ; 解 ⎰⎰⎰+-=+=+x d xx x d x x dx x x sin )sin 11sin 1(sin )sin 1(sin 1sin 1cot=ln|sin x |-ln|1+sin x |+C =-ln|csc x +1|+C . 38. ⎰xx dx cos sin 3; 解 ⎰⎰⎰⎰⋅-=-=-=x d x x x d x x x x d x x x x dx cot cos 1cot cot cos sin cos cot cos sin 1cos sin 223122sin 21|tan |ln cot 21|cot |ln cot )cot cot 1(C x x C x x x d x x +-=+--=+-=⎰.39.⎰+x x dxsin )cos 2(; 解 令2tan x u =, 则⎰⎰⎰++=+⋅++-+=+du uu u du u u uu u x x dx)3(11212)112(1sin )cos 2(222222。